Линеаризация относительно

Далее необходимо привлечь к рассмотрению уравнение состояния. Если иметь в виду либо релаксационное уравнение первого порядка, подобное уравнению Максвелла, либо простое интегральное уравнение, то при соответствующей линеаризации относительно возмущения скорости Ve — v можно получить [c.275]

После линеаризации относительно вектора компонентные уравнения имеют вид [c.177]

Подставив это значение ip в уравнение (37) п. 230 и произведя его линеаризацию относительно х, получим, что с точностью до первой степени е линейное уравнение возмущенного движения будет иметь вид уравнения Матье [c.560]

В случае малых отклонений велосипеда от движения с постоянной скоростью V вдоль оси Оу соотношения (2.8) упрощаются. В этом случае, выполняя линеаризацию относительно малых величин 0, 0. X. получаем [c.336]

Тогда второе уравнение системы (12) может быть рассмотрено независимо. После линеаризации относительно угла 0 оно принимает вид [c.476]

Можно ожидать, что с увеличением разности температур, кроме переноса тепла фононами, обусловливающего существование предельного значения теплового потока, описываемого формулой (15-8), начинают играть роль и другие механизмы переноса тепла. О возникновении таких дополнительных механизмов можно судить, например, по отклонению температурной зависимости контактной тепловой проводимости от той зависимости, которая должна существовать при чисто фононном механизме переноса тепла. Формула (15-8) была получена путем линеаризации относительно ЛГ. Точное выражение можно получить введением поправочного множителя [c.355]

До сих пор мы рассматривали малые движения относительно естественного, т. е. ненапряженного, состояния. Однако при теоретическом исследовании сред с электрическими и магнитными свойствами часто приходится проводить линеаризацию относительно начального состояния с конечной деформацией и намагниченностью и/или поляризацией (см. гл. 6 и 7). Разумеется, если за начальное состояние взято состояние без напряжений, намагниченности, поляризации и электромагнитных полей, то линеаризованная система уравнений, полученная из полной нелинейной системы уравнений, сводится к системе линейных уравнений классической теории. Техника, используемая для получения системы линеаризованных уравнений, описываю- [c.150]

Ферромагнитные кристаллы имеют два основных свойства. Во-первых, они демонстрируют наличие локальной плотности спонтанной намагниченности, и, во-вторых, большинство из них анизотропны- Эти два свойства чрезвычайно усложняют исследование распространения волн, даже если ограничиться сигналами с малыми амплитудами. Довольно сильное начальное поле намагниченности в таких телах в этом контексте делает особенно рельефным представление о наложении малых движений и медленно меняющихся во времени полей на фоновые поля. Поэтому в этом параграфе, имея в виду исследовать магнитоупругие взаимодействия в ферромагнетиках в следующих пяти параграфах, мы обобщим результаты 2.15, полагая, что хотя в отсчетной конфигурации Жц в отсутствие всех полей материал ведет себя изотропно, имеется некоторая начальная конфигурация Жг — конфигурация без деформаций, но с конечной намагниченностью в результате появления спонтанной намагниченности. При проведении линеаризации относительно Хг слабые поля будут варьироваться так, как если бы среда приобрела достаточную степень анизотропности, чтобы дать возможность проявиться интересующим нас эффектам. В качестве награды за некоторые усложнения мы можем начать с рассмотрения [c.373]

Поскольку амплитуда колебаний расхода на выходе из насоса существенно меньше его установившегося значения, уравнение (9.16) допускают линеаризацию относительно стационарного режима. После линеаризации и исключения Рз получим [c.274]

Для определения и" достаточно сначала найти предварительное значение из (1.51), подставить его в (1.50), а затем обратить оператор [А +(2/3)г ] в (1.50). Ввиду нелинейности оператора L, как и в случае рассмотренных выше неявных схем, требуется его линеаризация относительно известных значений сеточной функции у. Эти значения можно получать, например, по тем или иным экстраполяционным формулам или из предыдущей итерации в случае использования какого-либо итерационного процесса для решения нелинейных уравнений. [c.32]

Эти уравнения получаются в результате линеаризации уравнений (1.1) в окрестности состояния равновесия (л , у, Z ) относительно малых величин = х — х, т] = -= у — у , S = 2 — г. Решение уравнений (1.2) определяется корнями характеристического уравнения [c.14]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

Если от этого уравнения перейти к операторному равенству по формулам (71.9), то получающееся уравнение будет уравнением первого порядка относительно времени, но не относительно производных по координатам, поскольку оператор производных входит под знак корня. Чтобы освободиться от этой трудности, необходимо произвести линеаризацию правой части уравнения (71.22) посредством извлечения корня. Введем обозначения [c.386]

После линеаризации получим алгебраические линейные уравнения относительно [c.87]

Основным условием возможности замены выходной функции нелинейного оператора с помощью выходной функции линеаризованного оператора является малость отклонений параметров объекта от их значений в выбранном стационарном режиме, относительно которого производится линеаризация. В общем виде [c.81]

Таким образом при линеаризации по методу Ньютона на каждой итерации решают задачу относительно приращений Aun , а затем вычисляют температуры согласно (3.71). Этот метод имеет более высокую скорость сходимости по сравнению с методом последовательных приближений, но оказывается несколько сложней в программной реализации и требует вычисления производных для [c.109]

Существующая теория [27] ограничивается рассмотрением малых возмущений, т.е. такого масштаба, при котором допустима линеаризация уравнений магнитной гидродинамики относительно этих возмущений. Однако на практике условие устойчивости равновесного состояния к малым возмущениям может также оказаться недостаточным. Необходима проверка устойчивости по отношению к возмущениям реального масштаба. [c.28]

Если в начальный момент времени положение склерономной системы выбрано достаточно близким к положению устойчивого равновесия и начальные скорости по абсолютной величине достаточно малы, то на протяжении всего движения будут малыми по абсолютной величине как сами отклонения от положения равновесия, так и обобщенные скорости. Это обстоятельство позволяет сохранить в дифференциальных уравнениях движения только линейные члены относительно отклонений и скоростей, а члены более высокого порядка малости отбросить. Тогда дифференциальные уравнения движения становятся линейными, т. е. задача линеаризуется . В этом параграфе рассматривается линеаризация уравнений движения для случая консервативной системы. [c.230]

Произведя линеаризацию первых двух уравнений системы (10) и разрешив их относительно старших производных, получим [c.541]

Так как в дальнейшем будет проведена линеаризация уравнений (9.32), при вычислении входящих в эти уравнения скалярных произведений сохраним только слагаемые нулевого и первого порядка относительно компонентов перемещения. Поступая таким образом и деля почленно первое из уравнений (9.32) на (1 + 2ei) os р,- второе — на (1 + 2е ) sin (3 и третье — на (1 + + 2 1 + 2еа), приведем уравнения (9.32) к виду [c.397]

Считаем, что в тяговом режиме (рис. 104, а) момент внутреннего сопротивления пропорционален относительной скорости деформации звеньев Р12 (внутреннего сопротивления, определяемый эквивалентной линеаризацией действительного нелинейного сопротивления. В режиме заклинивания самотормозящейся пары (рис. 104, б) аналогично определяются линеаризованные коэффициенты р 2 и pi2- При этом управляющим воздействием по-прежнему считаем относительную координату а . Граничными условиями изменения режимов являются 0 = 0 — при [c.339]

Действие сил трения зависит от упругих и пластических деформаций и перемещений или их скоростей. Внешнее трение вызывается сопротивлением среды или сопротивлением специальных демпферов. При внешнем трении в большинстве случаев имеет место вязкое сопротивление, т. е. сопротивление, зависящее от скорости перемещения часто эту зависимость принимают линейной. Внутреннее трение принято описывать с помощью петли гистерезиса при установившемся режиме знакопеременного деформирования. Грубое описание петли дает сухое трение, при котором сила трения постоянна по величине и изменяет направление с изменением направления деформирования, а следовательно, знак силы трения зависит от знака относительной скорости. Однако во многих случаях допустима такая линеаризация внутреннего трения, при которой оно формально подчиняется законам вязкого трения. [c.122]

Предположение об относительной малости амплитуды возбуждения еще не дает представления о результатах его воздействия на работу механизма. В самом деле, высокочастотные вибрации резцов металлорежущих станков, амплитуда которых редко превышает десятые доли мм, приводят к серьезным нарушениям технологического процесса (см., например, [35, 67]) амплитуды вибрации корпусов приборов, редко превышающие величину порядка 1—2 мм, могут служить источником существенных динамических ошибок и т. д. Даже для грубой оценки интенсивности возбуждения каких-либо предположений относительно его амплитуды еще недостаточно. Вторым, не менее важным фактором при этой оценке является частота возбуждения. Вместе с тем предположение об относительной малости амплитуды возбуждения определенным образом упрощает решение поставленных задач, допуская в некоторых случаях линеаризацию [c.19]

Линеаризация (28) приближенно сводится к линеаризации функций расхода ( ( ) и <2п ( )- Разложим эти функции в ряд Тейлора в окрестности некоторого давления относительно разности h — Аа и ограничимся двумя членами ряда [c.85]

В случае большого порядка системы применяются линеаризация функционала в ряд Тейлора в окрестности нулевого приближения, отбрасывание членов со степенями выше первой относительно приращений коэффициентов, решение линейной системы относительно приращений. Найденное решение рассматривается в качестве нулевого приближения, и процесс уточнения повторяется несколько раз. Для удовлетворения граничных условий, в частности в критической точке жидкость — пар, применяется метод неопределенных -множи- [c.20]

Оптимизация по критерию минимума себестоимости заключается в нахождении минимума линейной формы (10.198) при линейных ограничениях, аналогичных ограничениям (10.196). Отметим дополнительно, что в случаях, когда регрессия критериев оптимальности относительно б нелинейна, то применение кусочно-линейной аппроксимации или статистической линеаризации дает возможность решать задачи оптимизации с любой заданной точностью, вполне достаточной для практических целей. [c.377]

В относительных координатах и изображениях Лапласа после линеаризации уравнения (12) это выражение примет вид [c.271]

Интересно вычислить плотность р, скорость температуру 1 напряжения Pij и тепловой поток qi, соответствующие /г . Для этого отметим сначала, что если произвести линеаризацию относительно максвеллиана /о с нулевой скоростью, плотностью Ро и температурой Го, то получатся следующие результаты [c.222]

Здесь мы рассмотрим априори линейную теорию упругих диэлектриков с градиентами поляризации в числе параметров состояния в пренебрежении тепловыми и другими диссипативными эффектами. Понятие линейности предполагает процедуру линеаризации относительно некоторого заданного состояния, т. е. считаются заданными определенные значения основных полевых величин, в частности, если мы ограничиваемся рамками квазиэлектростатики, то [c.450]

Математическая модель в приращениях удобна щш случая малых изменений параметров Днапример, на уровне несимметрии, при вероятностном моделирювании объекта и пр.). Рассмотрим для конкретности построение такой модели для стационарного теплового режима ЭМУ. В этом случае диагональные элементы матрицы тепловых проводимостей Ст содержат лишь полные собственные проводимости и (5.24) представляется системой алгебраических уравнений, в общем случае — нелинейных. При линеаризации, что часто приемлемо, для решения системы сравнительно невысокого порядка может быть применен наряду с другими известными аналитическими методами метод обратных матриц. В этом случае решение (5.24) относительно искомых температур тел может быть представлено в виде [c.127]

С широким внедрением ЭВМ и вычислительной математики аналитические методы в аэродинамике не утрачивают своего значения. Хотя число этих методов относительно невелико (размерностный количественный анализ, асимптотические методы, методы характеристик и малого параметра, линеаризация уравнений движения), тем не менее с их помощью можно решать многие прикладные задачи. Для инженерной практики важное значение имеет тот факт, что аналитическое решение определяет соответствующие зависимости от параметров в явном виде, в то время как в вычислительном эксперименте необходимо проводить значительное число однотипных расчетов, которые позволяют установить правильные количественные соотношения между газодинамическими характеристиками. [c.3]

Теперь устаиоБии связь между действительный значением Vj. и принятым для решения системы (2)-(5) осредненннм значением Vje, что является необходимым условием метода линеаризации из. Для этого найдем с помощью выражения (9) градиент Вр/Эг к подставим его в выражение (8), отбросив в нем составляющие высшего порядка малости. Подставляя полученное выражение для ТГ,, в уравнение (S), получим его решение относительно [c.89]

Иапользов зние дифференциальных приближений приводит К нелинейному относительно температуры дифференциальному уравнению энер гии, решаемому численно или методом линеаризации. При использовании же ин-тегралыных уравнений теплообмена излучением в конечном счете получается нелинейное интегро-дифференци-альное уравнение, которое либо решается численно [Л. 108, 402—405], либо путем экапоненциальной аппроксимации ядра (в случае плоского слоя) сводится к нелинейному дифференциальному уравнению [Л. 370, 407], решаемому тем или иным способом. [c.382]

В соответствии с поставленными задачами парогенератор расоматривается в условиях малых возмущений как линейная детерминированная динамическая система. Линеаризация проводится относительно значений координат объекта в исходном стационарном состоянии. Конструктивные параметры и параметры, характеризующие исходное состояние, не изменяются во времени. Исходное состояние соответствует работе парогенератора при нагрузках, находящихся в пределах регулировочного диапазона от 100 до 30% номинальной. [c.66]

Недостатки метода были устранены путем линеаризации криволинейной зависимости при помощи тарировки зонда, предназначенного для измерения температуры указанным методом, по температуре, измеренной по такому методу, показания которого можно принять за образцовые. В качестве термоприемников использовались три термопары типа ПР-30/6 с различными диаметрами спаев, сваренные по обычной технологии из проволоки диаметром 0,2 0,4 0,5 мм при этом отклонения корольков термопар от геометрической формы автоматически учитывались при тарировке зонда. Провода термопар помещались в алундовые соломки, которые крепились в водоохлаждаемом чехле (рис. 1). Тарировка производилась в камере печи в потоке продуктов полного сгорания природного газа (с равномерным полем параметров, не считая пристеночных слоев) при этом температуры стен и газа были различными. В качестве образцового прибора служила отсасывающая термопара из того же материала. Результаты тарировки обрабатывали в виде условных размеров. Всего проведено около 120 тарировочных опытов при различных температурах газового потока и окружающих поверхностей. Среднеквадратичная относительная погрешность определения температуры 1%. В нее входит также погрешность, вызванная колебаниями температуры газового потока вслед--. ТБие колебания расходов газа и воздуха, и приборная почетность. Тем не менее полученная точность вполне удовле- рительная для подобных измерений, [c.207]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...