Производная Олдройда

Здесь снова возникает терминологическая проблема. Вращательная производная часто называется также производной Яуман-на и обозначается символом 3ilS t. Две конвективные производные называются также производными Олдройда, и обе обозначаются символом b/bi это обозначение применяется лишь в связи с обозначениями индексов, причем принято условие, что под указанным символом понимается нижняя конвективная производная, когда рассматриваются ковариантные компоненты, и верхняя конвективная производная, когда рассматриваются контравариантные компоненты, так что [c.107]

Здесь - время релаксации, время ретардации. Оператор дифференцирования (1.7) при т = 0 есть субстанциональная производная по времени, при т = , 1 = 0 - конвективная производная Яуманна при /я = 1,/ = 1 имеем две производные Олдройда. [c.7]

Применим уравнения движения, неразрывности, энергии (1.2)-(1.5) без источников и реологические соотношения (1.6), (1,7) в полярных координатах г, <р и, W - радиальная и окружная составляющие скорости г -о 1, (р <г>2. Для реологических уравнений при /, = у, /j = О рассмафиваем случаи 1) субстанциональная производная по времени I - О, т = 0 2) производная Яуманна = 1, / = 0 3) производная Олдройда т = 1,1 = . [c.30]

Пусть имеется двумерное плоское движение жидкостей Максвелла (У2 = 0) и Олдройда (7,)<2 0) с реологическим уравнением состояния (1.6), в котором применяется оператор субстанциональной производной по времени (1.7), /и = О, / = О. Несовершенство этой модели в том, что для нее не выпо н1яется принцип материальной объективности (подробное обсуждение этого вопроса имеется в обзоре [88]). Вместе с тем вариант т О является предельным для моделей Максвелла и Олдройда и содержит все основные гиперболические черты общей модели, когда т О. Подробный сравнительный анализ этих операторов дифференцирования показал [89]. что существует диапазон гидродинамических параметров, где простая конвективная производная дает результаты, которые качественно и количественно близки к производной Олдройда. Этот вывод подтверждается и нашими расчетами, см. п. 1.5.2, рис. 1.21. Отметим также, что оператор конвективной производной успешно применяется при описании релаксационных свойств ту рбулентных сдвиговых течений в пограничном слое [15], [c.40]

Тензоры второго ранга и называются соответственно производными Олдройда и Коттера — Ривлина тензора второго ранга h. Они связаны с материальными производными выражениями [c.29]

Простые выражения компонент конвективных производных Олдройда, Коттера — Ривлина и Яуманна имеют тензоры, определенные в переменных Эйлера. Пусть система отсчета — декартова система координат. Тогда с учетом (1.29) выпишем компоненты производных ЬР и [c.32]

Так, можно говорить о вращательной производной (производная Яумана), нижней и верхней конвективных производных (производные Олдройда) и т. д. [c.264]

Материальная производная в лагранжевом описании приводит к понятию верхней и нижней производных Олдройда ( 13). [c.47]

Это выражение материальной производной вектора A(t, г) называется нижнеС производной Олдройда (см. 13, гл. II, (2.61)). [c.214]

Таким образом, в лагранжевой системе координат контравариантные компоненты вектора 0Х/01 равны материальным производным от контравариантных компонент А вектора А. В любой другой системе криволинейных координат компоненты производной Олдройда 0 /0( определяются на основании общих формул. [c.314]

Чтобы найти компоненты производной Олдройда в абсолютной системе координат, преобразуем правую часть (2.55) следующим образом [c.314]

Отсюда для контравариантных компонент производной Олдройда в системе эйлеровых координат абсолютной системы имеем [c.314]

Заметим, что здесь и слева, и справа стоят функции от /, х, х , нр производная Олдройда касается компонент Л в сопутствующей системе координат. Таким образом, можно записать для производной Олдройда от вектора А [c.314]

Аналогичным образом определяется производная Олдройда для тензора любого ранга. Так, например, для тензора второго ранга Т = = Т й.й , получаем [c.315]

Чтобы получить производную Олдройда, сформулированную относительно ковариантных компонент (нижняя производная), исходим из определения производной Олдройда от вектора А, выраженной через его ковариантные компоненты, а именно [c.315]

Таким образом, для производной по времени от ковариантных компонент тензора 1к ) (нижняя производная Олдройда) получаем следующее выраже- [c.316]

Следует отметить выражения для производных Олдройда от метрического тензора, заданного своими компонентами в лагранжевой системе коорди- [c.318]

Заметим также, что в декартовых координатах с абсолютным базисом (а = а, — ) две производных Олдройда не совпадают. Однако их полусумма равна производной Яуманна. Действительно, из (2.59) и (2.62) в декартовых координатах абсолютной системы имеем [c.318]

Производные Яуманна формально можно получить из выражения для производных Олдройда, полагая [c.319]

Щк дц где — ——- — р,/ ---Рл, — — значение верхней производной Олдройда (см. 13 [c.393]

Условие = Руу — р — —р для ньютоновской жидкости здесь заменяется более слабым р = р . Но эксперименты не согласуются с этим фактом. Лучшее согласие дает модель жидкости с памятью второго порядка, где учитывается зависимость р. от тензора ускорения деформации в виде производной Олдройда, и тогда р Ф Руу. Действительно, на основании (2,175) имеем [c.411]

Отбросив индифферентные слагаемые, придем к производной Олдройда [c.46]

Приходим к таким, не содержащим символов Кристоффеля, представлениям производных Олдройда и Трусделла [c.47]

Обратимся теперь к более подробному анализу свойств релаксационных уравнений состояния, предложенных в литературе. Олдройд [25] исследовал поведение материалов, описываемых уравнениями (6-4.39) или (6-4.47) для частного случая, когда а = Ь = с = О, т. е. когда в обеих частях уравнения состояния используется вращательная производная [c.245]

Определенные выше термины твердое тело и жидкость являются взаимоисключающими. Твердое тело может иметь только одну равновесную форму при нулевом напряжении, в то время как жидкость в ненапряженном состоянии может обладать любой равновесной формой. Следовательно, реологические уравнения состояния (4.2) для жидкости не будут, по-видимому, содержать переменных формы (таких, как для упругого тела), относящихся к какому-либо одному характерному реологическому состоянию. Для вязкой жидкости, как можно ожидать, появится первая производная по времени dy /dt наряду с переменными тогда как для упругих жидкостей могут играть роль временные интегралы и производные более высоких порядков. Проведенное ниже исследование основано отчасти на работах Олдройда [c.100]

Олдройд рассматривал уравнения этого типа, где были опущены члены y 4 o), Yij( o), производные второго и более высоких порядков от напряжения, третьего и более высоких порядков от уо был включен дополнительный член [c.226]

Приведенный выше анализ временных производных произвольного порядка телесных полей и их аналогов для пространственных полей принадлежит Олдройду исключая небольшие различия в терминологии, упомянутые выше. Пространственные тензоры использовались Ривлиным и Эриксеном [ ] в случае пространственной декартовой прямоугольной системы, когда ковариантные производные сводятся к частным производным. Подобное упрощение является справедливым независимо от того, будет ли пространственная координатная система декартовой прямоугольной или нет. В этом убеждаемся из того факта, что (12.52)—лишь другая форма более общего уравнения (12.55). [c.408]

По аналогии с (1.52) можно определить производные Риц лина и Олдройда для тензоров любого ранга (исключая нул вой). [c.34]

Для производных - Ривлина и Олдройда правило (1.65) несправедливо даже в случае изотропных функций. [c.38]

Отметим еще, что производная по Яуманну от гиротропного или изотропного тензора, материальная производная которого равна нулю, также равна нулю. Для производных Ривлина к Олдройда это несправедливо. Например [c.38]

Обозначим некоторую коротационную производную тензора второго ранга h через h . Коротационные производные являются подклассом конвективных производных. В отличие от других производных этого класса (например, Олдройда и Коттера — Ривлина), они характеризуются следующими свойствами. [c.31]

В общем случае при больших деформациях способ выделения жесткого поворота малой окрестности частицы существенно влияет па вид определяющих соотношений скоростного тина, т. е. использующих скорости изменения напряжений и деформаций. При ЭТ0.Л1 имеет место неединственность представления движения малой окрестности частицы в виде траисляцнонного и вращательного движения как жесткого целого и собственной деформации данной окрестности. Различия в выборе жесткого поворота и систем координат наблюдателя порождают различные определения коротационных производных от тензоров напряжений и деформаций тина Яуманна, Олдройда, Трусделла, Зарембы и др. [c.21]

ОрОИЗВОДНая Олдройда При анализе движения сплошной среды, проводимом в И производная Яуманна неподвижной (абсолютной) системе координат, иногда [c.313]

Предложенная Олдройдом (1950 г.) производная по времени от тензорных характеристик среды устанавливает связь между материальными производными от компонент тензора, взятых в абсолютной и собственной системах координат. При этом в качестве собственной системы выбирается лагранжева (сопутствующая) система, а система наблюдателя служит в качестве абсолютной системы. Таким образом, различие между двумя материальными производными целиком определяется движением среды, а их вычисление связано либо с лагранжевым, либо с эйлеровым описанием движения. [c.313]

Тогда производная (верхняя) Олдройда (обозначим ее 0А/01 ) от вектора А, выраженная через компоненты Л , по определению равна [c.314]

Рассмотрено течение между двумя пластинами жидкости, подчиняющейся реологическому уравнению состояния де Витта с производной Яумана. Аналитически установлено, что в случае стационарного куэттовского течения имеют место устойчивость и неустойчивость течения к плоским сдвиговым возмущениям при числах Вайсенберга соответственно меньше и больше единицы. Численно и аналитически исследована фаза разгона течения, проведено сопоставление со случаем жидкости Олдройда, построены кривые нейтральной устойчивости. Отмечена принципиальная роль рассмотренного типа возмущений в общей совокупности типов неустойчивости, способных действовать на жидкость в таком течении. [c.6]

Ключевые слова устойчивость, вязкоупругость, модель де Витта, производная Яумана, модель Олдройда. [c.6]

На фиг.1 сопоставлены результаты вычислений для модели Де Витта и контравариантной модели Олдройда (подробно описанных в [4]). Наблюдается практически полное совпадение течений для первой и второй фаз. Такое можно было ожидать, поскольку, во-первых, яумановская производная может быть получена из определенной [c.10]

Отметим, кроме того, что производные для всех трех моделей могут быть получены из выражения для производной в обобщенной форме моделей Олдройда (2.4) [7] при о = О, 1,-1 соответственно. [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...