Динамическая система гамильтонов

В гл. 3 мы построили семейство приближенных методов решения задач с граничными условиями они сводятся к нахождению стационарной точки некоторого функционала, которая является также и точкой экстремума. В этой главе мы по возможности обобщим такие методы на задачи с начальными данными. Однако при рассмотрении вариационной формулировки эволюционных задач возникают дополнительные трудности. Например, в случае диссипативных систем после дополнения основной задачи сопряженной соответствующий им функционал 1 и,и ) уже не будет обладать такими экстремальными свойствами. Даже в таких эволюционных задачах, для которых существует точная вариационная постановка, как, например, динамические системы Гамильтона, стационарная точка не является экстремальной. [c.156]

Первые 2п уравнений представляют уравнения Гамильтона для динамической системы. Последнее уравнение не является независимым от остальных, поскольку определитель матрицы есть кососимметрический определитель нечетного порядка и потому равен нулю. Если функция Н не содержит явно t, то последнее уравнение эквивалентно интегралу энергии Н = h. [c.302]

Формулы (24.5.2), (24.5.3) представляют особый интерес вследствие их сходства с уравнениями движения Гамильтона. Вспомним, что впервые рассмотренные нами контактные преобразования определялись движением динамической системы. Теперь мы видим, что и в общем случае контактные преобразования определяются уравнениями сходной структуры. [c.495]

Уравнения движения после контактных преобразований. Рассмотрим те видоизменения, которым подвергаются уравнения движения механической системы при переходе от старых переменных к новым посредством контактного преобразования. Пусть динамическая система характеризуется функцией Гамильтона Н qi,. . q , Pi, Рг, Pn i t). Уравнения движения запишем в виде [c.504]

Выясним теперь, как изменятся эти результаты, если в качестве функций ф взять п интегралов динамической системы с функцией Гамильтона Н. Как известно, в новых переменных Q Р) уравнения движения имеют гамильтонову форму и характеризуются функцией Н, равной сумме Н + , записанной в переменных Q, Р в. t. Но Q, будучи интегралами, не изменяются [c.519]

Другой аналогичный результат такого же типа относится к теореме Гамильтона — Якоби. Предположим, что для заданной динамической системы с функцией Гамильтона Н нам известен полный интеграл S q а t) уравнения Гамильтона в частных производных. Разрешим уравнения [c.522]

Это — уравнения движения в форме Гамильтона их называют также каноническими уравнениями. Переход от лагранжевых уравнений к уравнениям Гамильтона — чисто математический процесс, не имеющий никакого отношения к исходной динамической системе. Для любой системы, описываемой уравнениями Лагранжа в форме (46.18), будут иметь место уравнения Гамильтона в [c.129]

Полный интеграл Якоби уравнения Гамильтона — Якоби. Предположим, что мы отыскиваем все лучи или траектории и соотнесенные им векторы импульса — энергии для динамической системы с уравнением энергии [c.250]

Оператор Гамильтона заряженной частицы, находящейся в электромагнитном поле. Любая динамическая система, т. е. система, чьи параметры зависят от времени, полностью определена, если задан ее лагранжиан. Поэтому мы начнем с рассмотрения лагранжиана заряженной частицы, находящейся во внешнем электромагнитном поле. Он имеет следующий вид [21] [c.11]

В методе Лагранжа уравнения движения получают из энергетических соображений, а не из условия равновесия сил. Согласно принципу Гамильтона, движение динамической системы определяется условием [c.426]

Как уже отмечалось, на достаточно грубой шкале времени макроскопическое состояние всей системы характеризуется значениями температур подсистем. Для того, чтобы построить соответствующий неравновесный статистический оператор, нужно сначала выбрать базисные динамические переменные, средние значения которых описывают такое состояние. В данном случае кажется разумным взять в качестве базисных динамических переменных гамильтонианы и Я . Тогда статистический оператор, описывающий частичное равновесие в подсистемах, запишется в виде [c.91]

Например, в механических системах такие отмеченные фазовые координаты определяются аксиомами Ньютона (это обобщённые скорости в механике Лагранжа и обобщённые импульсы в динамике Гамильтона). Если в системе (21) некоторые фазовые координаты являются производными по времени от других фазовых координат, то реакция вводится только в уравнение с производной наиболее высокого порядка. В случае, когда динамическая система содержит подсистему, являющуюся чисто механической, реакциями в этой подсистеме являются обобщённые силы, которые соответствуют силам реакции. [c.100]

Пусть движение динамической системы описывается уравнениями Гамильтона [c.132]

Покажем, что в случае потенциального поля ударных импульсов на действительном движении динамической системы имеет место условие стационарности функционала, составленного в виде суммы функции —П и действия по Гамильтону. При этом фиксируются начальный и конечный моменты времени и 1 ), начальное и конечное положение системы, а также обобщённые координаты (не обязательно все) и (или) момент времени приложения ударных импульсов. [c.134]

Таким образом, на действительном движении динамической системы в условиях принципа Гамильтона-Остроградского при приложении потенциальных ударных импульсов (10) выполняется необходимое условие стационарности функционала 3 [c.135]

Существенные результаты настоящего раздела могут быть выведены на основании полуклассического рассмотрения. Пусть в месте нахождения динамической системы действует (обобщенная) сила F t), создаваемая диссипативной системой р считается с-числом. Оператор Гамильтона динамической системы представим в виде [c.102]

Конструктивное решение -задачи на собственные значения и собственные функции полного набора операторов Казимира требуется для целого ряда физических приложений теории представлений групп, в том числе при изучении квантования нелинейных динамических систем, ассоциируемых с алгебраической структурой полупростых групп Ли (см. гл. VII). При этом выбор того или иного разложения группы через ее подгруппы приводит, вообще говоря, к физически неэквивалентным квантовым системам, гамильтонианы которых отождествляются с квадратичными операторами Казимира, а волновые функции — с собственными функциями последних. [c.84]

Величина К2 вида (1.45) может рассматриваться как оператор Гамильтона некоторой динамической системы, описываемой г обобщенными координатами т,- (превращающимися в циклические в пределе а(т) оо), г обобщенными импульсами р/ N — г)/2 динамическими переменными и (N — г)12 динамическими переменными с а > 0. Скобки Пуассона между [c.155]

Подобно тому как непрерывное движение динамической системы можно описать разностными уравнениями на поверхности сечения Пуанкаре, физическую задачу, сформулированную в виде отображения, можно представить в форме уравнений Гамильтона. Это позволяет использовать методы усреднения и резонансной теории возмущений, рассмотренные в гл. 2. Как показано в п. 3.1в, разностные уравнения можно преобразовать в дифференциальные с помощью периодической б-функции (3.1.33). В случае отображения [c.235]

Гамильтонова механика Формально метод, позволяющий записывать уравнения движения динамической системы с N степенями свободы в виде 2N дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [Гамильтон (1805—1865)]. На практике под гамильтоновой механикой часто понимают теорию недиссипативных систем с потенциальными силами. [c.268]

В работе [13] изложены методы доказательства неинтегрируемости гамильтоновых систем. Работы [35], [36] содержат подробные доказательств неинтегрируемости уравнений Гамильтона вблизи положений равновесия. Вопросы качественного анализа поведения траекторий в неинтегрируемых динамических системах рассматриваются в [1], [3], [31]. [33]. [c.291]

При исследовании функции Гамильтона с помощью канонической замены переменных, носящей название преобразования Биркгофа [7], будет приводиться в окрестности начала координат к некоторому простейшему виду (к нормальной форме) и в зависимости от соотношений между коэффициентами нормальной формы будут сделаны выводы об устойчив ости или неустойчивости положения равновесия. Рассмотрим преобразование Биркгофа подробно, предполагая, что изучаемая динамическая система имеет п степеней свободы. Итак, пусть изучается каноническая система дифференциальных уравнений [c.52]

Практическое применение изложенных в предыдущих главах результатов теории гамильтоновых систем требует эффективных способов получения нормальной формы функции Гамильтона. Линейную нормализацию можно осуществлять при помощи алгоритма, изложенного во второй главе. Задача нелинейной нормализации более сложна и весьма громоздка. Для автономных систем она сводится к проведению некоторых алгебраических операций над алгебраическими и тригонометрическими полиномами. Если в изучаемой задаче требуется получить нормальную форму гамильтониана с точностью до членов не выше четвертого поряд ка, то можно воспользоваться расчетными формулами, приведенными в предыдущих главах. Трудности нормализации неизмеримо возрастают при увеличении числа степеней свободы изучаемой динамической системы, а также когда функция Гамильтона явно содержит время. В последнем случае без расчетов на ЭВМ уже нельзя обойтись, так как при нахождении производящей функции нормализующего преобразования неизбежно приходится решать задачу нахождения периодического решения некоторой системы дифференциальных уравнений. [c.106]

В предыдущем параграфе показано, как по функции Гамильтона построить точечное отображение. В этом параграфе кратко рассмотрим обратную задачу, как по отображению Т построить соответствующую функцию Гамильтона динамической системы. Очевидно, что обратная задача не имеет однозначного решения. [c.115]

Упомянутый резонанс является резонансом первого порядка и в случае общей динамической системы он должен был бы привести к неустойчивости, которая была бы обнаружена уже при анализе линейной системы дифференциальных уравнений возмущенного движения. Но в нашей конкретной задаче в линейном приближении этот резонанс не приводит к неустойчивости. Это происходит потому, что в линейной задаче плоские и пространственные колебания разделяются, а пространственное движение описывается при помощи функции Гамильтона [c.173]

При составлении уравнений Лагранжа или канонических уравнений Гамильтона выбор обобщенных координат был ироизволен в том смысле, что за такие координаты можно было выбрать любые s независимых между собой величин, однозначно определяющих положение рассматриваемой динамической системы. Формальный вид этих уравнений не зависит от той системы обобщенных координат, которая выбирается. Это значит, что если от каких-либо обобщенных координат Q, Q2,. ... Qs перейти к новым обобщенным координатам q, q i,. . по формулам [c.137]

Контактные преобразования встречаются и во многих других случаях. Движение динамической системы определяет контактное преобразование (goJ Ро) в Р)- Кроме того, если мы будем фиксировать траекторию в фазовом пространстве с помощью параметров (а Р), связанных с q -, рд) соотношениями р,. da. = dq g, то преобразование от (а Р) к (q р) будет контактным ( 24.1). В самом деле, подобное контактное преобразование мы получаем всякий раз, когда решаем задачу динамики с помощью теоремы Гамильтона — Якоби ( 25.2). Можно, наконец, определить контактное преобразование с помощью производящей функции ( 24.3) в дальнейшем, при исследовании задачи трех тел (гл. XXIX), мы приведем много примеров контактных преобразований. [c.503]

Постоянство скобок Лаграняса. Если общее решение уравнений Гамильтона для заданной динамической системы имеет вид [c.517]

ПУАНКАРЕ ТЕОРЕМА о возвращении — одна из осн. теорем, характеризующих поведение динамической системы С инвариантной мерой. Примером такой системы является гамильтонова система, эволюция к-рой описывается решениями Гамильтона уравнений — дЩдр , Р = — дЯ дд [< / и — канович. координаты и импульсы г =1,. .., п Н = Н[р, ) — Гамильтона функция, точкой обозначено дифференцирование по времени ]. Инвариантной (сохраняющейся [c.174]

Наряду с таким лагранжевым подходом к описанию динамической системы существует альтернативный ему гамильтонов подход, в рамках которого динамические свойства системы полностью определяются начальными условиями и гамильтонианом системы. Гамильтониан системы и плотность гамильтониана не являются релятивистски инвариантными. Однако электроны в атоме движутся с нерелятивистскими скоростями и поэтому релятивистская инвариантность лагранжиана для электрона в атоме теряет свою значимость. Описание системы с помощью гамильтониана имеет серьезное преимущество перед лагранжевым подходом при рассмотрении не классических, а квантовых систем, к которым, несомненно, относится и атом. Поэтому атом в электромагнитном поле обычно описывают гамильтонианом. [c.12]

Полученная картина весьма привлекательна, однако не стоит проявлять из липший оптимизм Уравнение Гамильтона — Якоби является, вообще говоря, чрезвычайно сложным нелинейным уравнением. Лишь в весьма редких случаях его можно действительно репшть (это так называемые интегрируемые динамические системы). В таких случаях можно на самом деле указать набор подходящих N переменных действия и убедиться в существовании некоторого тора. [c.363]

Гамильтоновы динамические системы. В задачах небесной механики и теоретической физики значительную роль играют гамильтоновые системы и близкие к ним при учете диссипативных эффектов. Система Гамильтона — это динамическая система, уравнения движепия которой записываются с помощью единственной функции Гамильтона H(q, р) в виде [c.21]

Задача о представимости динамической системы в виде уравнений Гамильтона включает отыскание двух объектов функции Гамильтона и подходящей симплектической структуры. Оказывается, в малой окрестности каждой неособой точки динамическая система на четномерном многообразии является гамильтоновой. Это вытекает из теоремы о выпрямлении фазовых траекторий в подходящих локальных координатах уравнения приводятся к виду [c.61]

Показать, что фазовый объем линейной стационарной динамической системы х = ацХх - -a12X2, 2 = 21 1 + 22 2 сохраняется лишь в том случае, когда эта система гамильтонова. Выписать выражение для соответствующего гамильтониана. [c.229]

Под динамическими системами в то время понимались в первую очередь консервативные системы, уравнения движения которых записываются в форме Гамильтона. Основным конкретным объектом теории были задачи небесной механики. Изучение земных неконсервативных систем или, как их назвали В. Томсон и П. Г. Тет, искусственных систем , началось позже и пошло в значительной мере по пути изучения аналогий между явлениями разной физической природы и формирования более широкого взгляда на них. Возникновение привычного для нас колебательного подхода в первую очередь следует отнести к заменитому трактату лорда Рейли по теории звука. [c.137]

Математическим вариантом этих физических представлений являются асимптотические формулы для решений соответствующих дифференциальных уравнений, формулы, которые дают тем яучшее приближение, чем выше частота колебаний (т. е. чем короче волны). Эти асимптотические формулы записываются в терминах лучей (т. е. движений в некоторой гамильтоновой динамической системе) или фронтов (т. е. решений уравнения Гамильтона — Якоби). [c.407]

Однако в действительности реальные системы обладают существенно более сложными движениями. Опишем их в краткой форме на примере ангармонического осциллятора, в котором стохастичность возникает под действием внешнего периодического возмущения (гл. 4). Гамильтонов характер системы предполагает четное число переменных (в примере с осциллятором их две). По одной из них (фазе О) происходит быстрый процесс перемешивания с характерным временем Тс. По второй (действию I) идет медленный процесс диффузии с характерным временем тв. Таким образом, возникают, вообще говоря, два масштаба универсальности глобальной динамики универсальность динамических систем ио процессам перемешивания, если их Я-энтроиии одинаковы (на временах Тс), и универсальность по процессам диффузионной релаксации, если эти процессы имеют одинаковый коэффициент диффузии (на временах Тс). Естественно, что, например, две динамические системы могут быть изоморфными относительно перемешивания и неизоморфными относительно диффузии. [c.219]

В этой книге мы преимущественно рассматриваем динамические системы с компактным фазовым пространством. Чтобы применить излагаемые нами понятия и методы к гамильтоновой системе с гамильтонианом Н, можно рассмотреть ограничение динамики на гиперповерхности Н = с, которые часто оказываются компактными, например для геодезического потока на компактном римановом многообразии, где эти гиперповерхности представляют собой сферические расслоения над конфигурационным пространством. Иногда можно еще понизить размерность системы, используя первые интегралы, отличные от интеграла энергии. Если с не является критическим значением гамильтониана и гиперповерхность Д, = х( Я(х) = с компактна, то гамильтонова система сохраняет невырожден1 ю (2п— 1)-форму которая может быть описана следующим образом. Локально можно разложить 2п-мерную меру, порождение формой ш, на (2п-1)-мерные меры на для всех достаточно малых 5 и рассматривать условные меры, каждая из которых определена с точностью до мультипликативной константы. Таким образом, в этом случае благодаря предложению 5.5.12 можно применить теорему Пуанкаре о возвращении 4.1.19, эргодическую теорему Биркгофа 4.1.2 и другие факты из эргодической теории к ограничению гамильтоновой системы на Д.. [c.237]

Канонические преобразования позволяют, по крайней мере формально, решить уравнения движения динамической системы следующим образом. Рассмотрим отдельно случай гамильтониана, зависящего явно от времени, и случай автономного гамильтониана, не зависящего от времени, В первом случае положим Я = 0. Тогда производные по времени от новых переменных равны нулю в силу уравнений Гамильтона. Поэтому новые переменные не зависят от вре.мени и их можно интерпретировать как начальные значения исходных (непреобразованных) переменных. Таким образом, каноническое преобразование фактически оказывается решением, определяющим значения координат и импульсов в произвольный >гамент времени в зависимости от их начальных значений. Подставив (1.2.13а) в (1.2.13в) с Я = О, получим уравнение в частных производных для производящей функции F [c.23]

Гамильтон (Hamilton) представил общие уравнения движения в другой форме, которая в ряде случаев бывает более удобной для исследования общих свойств динамической системы. Это преобразование может быть осуществлено на основании леммы, которая дается в следующем пункте. [c.354]

В этой главе будут рассмотрены некоторые задачи устойчивости движения в многомерных гамильтоновых системах. Под многомерной системой понимается динамическая система, число степеней которой больше двух или оно равно двум, но функция Гамильтона явно содержит время. Задача об устойчивости движения в таких системах полностью не решена до сих пор. Но прогресс в этой области весьма значителен, благодаря исследованиям Арнольда, Мозера, Брюно, Нехорошева и других авторов. Кратко рассмотрим полученные к настояш ему времени результаты. [c.87]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...