Динамическая система гамильтонов эргодическая

В этой книге мы преимущественно рассматриваем динамические системы с компактным фазовым пространством. Чтобы применить излагаемые нами понятия и методы к гамильтоновой системе с гамильтонианом Н, можно рассмотреть ограничение динамики на гиперповерхности Н = с, которые часто оказываются компактными, например для геодезического потока на компактном римановом многообразии, где эти гиперповерхности представляют собой сферические расслоения над конфигурационным пространством. Иногда можно еще понизить размерность системы, используя первые интегралы, отличные от интеграла энергии. Если с не является критическим значением гамильтониана и гиперповерхность Д, = х( Я(х) = с компактна, то гамильтонова система сохраняет невырожден1 ю (2п— 1)-форму которая может быть описана следующим образом. Локально можно разложить 2п-мерную меру, порождение формой ш, на (2п-1)-мерные меры на для всех достаточно малых 5 и рассматривать условные меры, каждая из которых определена с точностью до мультипликативной константы. Таким образом, в этом случае благодаря предложению 5.5.12 можно применить теорему Пуанкаре о возвращении 4.1.19, эргодическую теорему Биркгофа 4.1.2 и другие факты из эргодической теории к ограничению гамильтоновой системы на Д.. [c.237]

С точки зрения эргодической теории, описанная ситуация означает, что поток 5 , отвечающий гамильтоновой системе с функцией Гамильтона H(p,q) и инвариантной мерой dqdp, не эргодичен. Его эргодическими компонентами служат (mod 0) п-мерные торы, на каждом из которых индуцируется эргодический поток с чисто точечным спектром. И в более общем случае, если динамическая система не эргодична, а на почти всех, ее эргодических компонентах реализуется динамическая система с чисто точечным спектром, то мы будем называть ее интегрируемой. [c.115]

Математическая теория основана на том факте, что уравнения движения Гамильтона (1.1) определяют непрерывное точечное преобразование (или отображение) в фазовом ьространстве, которое сохраняет опредедеиную меру. Это известная теорема, называемая теоремой Лиувилля. Возьмем произвольную совокупность фазовых точек или, для большей наглядности, некоторую область фазового пространства, имеющую определенный объем. Если границы области изменяются с течением времени, то фазовые точки движутся ио естественным траекториям, но мера этой совокупности, или величина объема деформированной области, остается инвариантной.. Другими словами, естественное движение напоминает течение несжимаемой жидкости в 2/-мерном фазовом пространстве. Если существуют некоторые интегралы движения, то движение фазовых точек может происходить лишь в ограниченных частях эргодической поверхности. Однако обычные динамические системы не имеют других интегралов [c.104]

Все сказанйое до сих пор в этом параграфе относилось к характеристике принципиальных возможностей, предоставляемых классической механикой для интерпретации статистики. Отметим сейчас один хорошо известный недостаток, присущий всем проводившимся до сих пор многочисленным исследованиям по эргодическим системам отсутствие эффективного критерия, который позволил бы судить, принадлежит ли физическая система к тому или иному из математически определяемых классов динамических систем. Это, конечно, не принципиальный недостаток классической механики, а недостаток того направления, в котором до сих пор развивались такие исследования. Даже после исследований Биркгофа в 1931 г. [11] и появления многих замечательных работ, указанный недостаток продолжает сохраняться. В частности, существующие исследования не дают возможности установить не только точную, но и приближенную, качественную связь между теми или иными свойствами эргодичности динамических систем (например, свойствами спектра унитарного оператора движения) и типом гамильтониана. [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...