Гамильтона) нормальная форма

Для дальнейшего исследования надо привести к нормальной форме члены третьего и четвертого порядков в разложении функции Гамильтона. Нормальная форма будет различной в зависимости от того, будут параметры (х, е резонансными или нет. Оказывается, что в плоскости (I, е внутри области устойчивости линеаризованной задачи есть кривые, на которых выполняются резонансные соотношения третьего и четвертого порядков. Эти кривы при е = О исходят из точек оси Оц, выписанных во второй строке табл. 2 и 3. На рис. 14 внутри области устойчивости [c.155]

Уу (/ = 1,. .., л), приводящее систему (2. 92) к нормальной форме. Нормальной формой системы уравнений (2.92) будем называть такую систему дифференциальных уравнений, которой соответствует функция Гамильтона, равная алгебраической сумме гамильтонианов п линейных, не связанных между собой осцилляторов [c.125]

Как и в случае, когда в системе (2.92) матрица G t) постоянна, нормальной формой системы (2,92) будем называть такую систему уравнений с постоянными коэффициентами, которой соответствует функция Гамильтона вида (2.93). [c.129]

Обычные проблемы механики приводят к лагранжианам, которые не содержат производных выше, чем первые. В общем же случае вариационной проблемы в подынтегральной величине могут быть производные п-го порядка. Однако и такая задача может быть приведена к нормальному виду с помощью канонических интегралов, так что канонические уравнения Гамильтона, как показал Остроградский, могут рассматриваться как нормальная форма, в которую могут быть преобразованы дифференциальные уравнения, возникающие при рассмотрении вариационной проблемы это преобразование требует только дифференцирований и исключений. [c.905]

Нормальная форма квадратичной части Пг гамильтониана [c.221]

В нерезонансном случае нормальная форма степени М (т. е. нормализация проводится до членов степени М относительно кОординат и импульсов) функции Гамильтона возмущенного дви-кения, будет иметь вид (см. (145)) [c.225]

В случае резонанса (139) порядка М нормальная форма функции Гамильтона будет иметь вид [c.226]

В заключение отметим, что коэффициенты С ц в (154) и коэффициент Ср в (157) являются инвариантами функции Гамильтона относительно канонических преобразований [172], т. е. не зависят от способа нахождения нормальной формы. [c.226]

Приведение выражения второго порядка гамильтониана Ih к нормальной форме (эта форма, как мы видели, различна в зависимости от того, имеет место или отсутствует резонанс частот линеаризованной системы), конечно, не всегда решает вопрос об [c.232]

Будем искать каноническую замену, приводящую гамильтониан к нормальной форме Биркгофа, поставив целью уничтожить как можно больше членов в разложении возмущенной части гамильтониана [c.308]

Эта формула является основной для формируемого ниже алгоритма приведения гамильтониана к нормальной форме Биркгофа. [c.311]

Уравнение Гамильтона в нормальной форме всегда допускает понижение порядка, поскольку решения вырожденной системы являются группой симметрий для возмущенной части системы (см. 51). [c.313]

Зигель К. Л. О существовании нормальной формы аналитических дифференциальных уравнений Гамильтона в окрестности положения равновесия. Сб. пер. Математика , 1961, т. 5, вып. 2, с. 129-156. [c.227]

В частности, если ai,...a независимы, то в нормальной форме гамильтониана присутствуют только члены вида = = + vfY . .. ( + vlY"- Ряд К , Т]) имеет нормальную форму в том и только том случае, когда D K) = О, где D = [c.128]

В общем случае, когда не все собственные числа Л1,..., Л чисто мнимые, также можно привести уравнения Гамильтона к нормальной форме Биркгофа. Детальное обсуждение этих вопросов содержится, например, в книге [230]. В общем случае уравнения Гамильтона имеют инвариантные асимптотические поверхности Е, сплошь заполненные траекториями, неограниченно приближающимися к положениям равновесия при I —> оо. Оказывается, преобразование Биркгофа может задаваться расходящимися степенными рядами, однако эти ряды сходятся в точках из Е. [c.130]

Методом нормальных форм Биркгофа в окрестности возмущенных неустойчивых периодических решений + 0 е) можно найти периодическую по t формальную каноническую замену переменных Z и, приводящую функцию Гамильтона H z,t,e) к функции Н и,е), не зависящей от t. Из-за соизмеримости характеристических показателей это преобразование Биркгофа может расходиться. Однако в случае одной степени свободы (п= 1) формальные ряды замены переменных z — и всегда сходятся и аналитически зависят от параметра е (Ю. Мозер [217]). [c.265]

При отсутствии резонансов (7.5) в гамильтоновой системе нет резонансов (7.4) порядка 3 и 4 (когда /г = к = 3 или А = 4). Поэтому, согласно классическому результату Биркгофа, вблизи точки р функция Гамильтона приводится к нормальной форме [c.300]

Пусть А1,...,Л2п — собственные значения линеаризованной канонической системы с гамильтонианом Яг. Можно считать, что Хп+к = —Хк (1 < /г < п). Рассмотрим случай, когда числа Ах,..., Л чисто мнимы и независимы над полем рациональных чисел, т. е. сумма тхАх -Ь. .. -Ь гтг А с целыми тп равна нулю только если все т,- — нули. При этом предположении Биркгоф нашел формальное каноническое преобразование, приводящее систему (1.1) к нормальной форме. В частности, уравнения Гамильтона (1.1) имеют п интегралов в виде формальных степенных рядов по х,у, попарно находящихся в инволюции (см. 11 гл. II). [c.309]

Зигель К. Л. О существовании нормальной формы аналитических дифференциальных уравнений Гамильтона // Математика. Период, сб. перев. ин, статей.—1961, т.. 5, 2, 129-1.56. [c.419]

Если система (1) автономна, то сформулированные утверждения о неустойчивости остаются в силе надо только в резонансном соотношении (3) и нормальной форме функции Гамильтона положить ТУ = 0. Если п = 1 и система неавтономна или она автономна и п = 2, то при выполнении неравенства (16) с обратным знаком имеет место устойчивость по Ляпунову. [c.122]

Одномерный гармонический осциллятор в механике может быть описан классически через канонически сопряженные обобщенные координаты д я р с представленной в нормальной форме функцией Гамильтона [c.87]

Рассмотрим задачу о приведении к нормальной форме (2.93) гамильтониана //j в разложении функции Гамильтона (2.44), описывающей возмущенное движение динамически симметричного спутника относительно центра масс в окрестности цилиндрической прецессии. Предполагается, что значения параметров задачи а, /J принадлежат об/щстям /, //устойчивости цилиндрической прецессии (см. рис. 15). Из рассмотрения исключается единственная точка a — 1, = 2 области /, в которой [c.126]

Длн уравнении в этой нормальной форме мы можем тотчас ке получить общее формальное решение. Если мы положим тт. = то нармалгзпыс уравнения Гамильтона могут быть записаны в виде [c.96]

Резюме. Канонические уравнения Гамильтона могут рассматриваться как решение задачи Лагранжа с подинтегральным выражением особо простой структуры. Переменными в этой вариацион юй задаче являются варьируемые независимо друг от друга qt и р,-. Подинтегральное выражение вариационной задачи приводится к нормальной форме [c.201]

Широкое распространение в теории канонических систем получил метод нормализации гамильтониана в окрестности равно-ise Horo решения (положения равновесия), который, в сущности, является специальным методом замены переменных. Впервые вопросы нормализации гамильтоновых систем были подробно исследованы Биркгофом [161, 162]. К первоначальной канонической системе применяется такая каноническая замена переменных, чтобы в новых обобщенных координатах и импульсах функция Гамильтона имела наиболее простой вид, который и принято иа- 1ывать нормальной формой гамильтониана возмущенного движения. [c.195]

Программы третьего, верхнего иерархического уровня, по существу, являются управляющими для всего комплекса программ нормализации, и использопайие тех или иных из этих программ зависит от конкретной ренгаемой задачи. К числу предусмотренных в комплексе возможностей относятся а) решение задач устойчивости, для которых достаточно провести нормализацию до какого-то пе очень большого порядка т (как правило, m = 4, реже m = 6) б) построение высокоточных приближенных теорий движения, для которых учитываемый порядок членов может быть очень большим. В первом случае на входе достаточно задать коэффициенты исходного гамильтониана, а на выходе получить коэффициенты нормальной формы заданной степени т и заключение об устойчивости или неустойчивости рассматриваемого положения равновесия периодического или условно-периодического движения. [c.227]

Описанный в предыдущем параграфе комплекс программ является универсальным в том смысле, что с ого помощью можно нормализовать гамильтониан канонической системы с произвольным числом степеней свободы. Однако такой комплекс нуждается в больших ресурсах ЭВМ, поэтому для решения конкретных механических задач важное значение имеет создание быстродействующих вычислительных алгоритмов, нормализующих гамильтоновы системы с небольшим числом степеней свободы. Большое количество задач связано с нормализацией автономных гамильтоновых систем с двумя и тремя степенями свободы (порядок системы дифференциальных уравнений равен 4 или 6), для которых знание коэффициентов нормальной формы до члено четвертого порядка включительно позволяет часто рехпить задачу об устойчивости положения равновесия. При этом знапие самого нормализующего преобразования (производящей функции) но является необходимым, а коэффициенты нормальной формы вычисляются через коэффициенты исходного гамильтониана с помощью явных и относительно простых формул. Соответствующие алгоритмы и основанные па них вычислительные программы разработаны и описаны в работах [173, 174]. [c.228]

В случае непростых элементарных делителей нормальной формой гамильтониана 11% в веществеппых переменных называется выражение [180, 181] [c.231]

Такая, неупрощаемая никакими полиномиальными заменами, форма гамильтониана называется нормальной формой Биркгофа. Ниже будет дано более конкретное определение для этой формы. [c.308]

Аналог теоремы 4 для гамильтоновых систем, зависящих от параметра, указан в [74]. В работе [142] рассмотрена задача о приводимости к нормальной форме Биркгофа гамильтоновых систем с параметром, допускающих интегралы с вырожденными квадратичными частями. Пусть г = 2 и коэффициенты ьаг в квадратичной форме гамильтониана (11.1) как функции е удовлетворяют условию ГП]а1 + гпгаг О для всех целых т, т2, не равных одновременно нулю. В [142] доказано, что если гамильтонова система допускает формальный интеграл Г = Гд + Гд+ +. .. д 2), аналитический по е, причем однородные формы Гд и Яг функционально независимы при всех е, то существует нормализующее преобразование Биркгофа, аналитически зависящее от е. [c.130]

Одим из основных технических приемов при исследовании системы (1) является разработанный егце в 1879 г. метод нормальных форм Пуанкаре [14], который в последние десятилетия нашел широкое применение в разнообразных нелинейных задачах [15]. Сугцность метода нормальных форм Пуанкаре в задаче об устойчивости системы (1) состоит в том, что при помогци близкого к тождественному канонического преобразования qj,Pj функция Гамильтона (2) приводится к некоторой простейшей (нормальной) форме. Соответствуюгцая ей каноническая система дифференциальных уравнений сугцественно упрогцается, что значительно облегчает ее исследование. Нормальная форма функции Гамильтона будет различной в резонансном и нерезонансном случаях. [c.115]

Первый этап нормализации состоит в приведении к нормальной форме квадратичной части гамильтониана Н2. К настоягцему времени [c.116]

Дальнейшая нелинейная нормализация может быть осугцествлена либо при помогци классического преобразования Биркгофа [21], либо при помогци сравнительно нового метода Депри-Хори или его модификаций [22]. Для неавтономной системы оказался эффективным [17 метод точечных отображений, основанный на приближенном решении уравнения Гамильтона-Якоби вблизи точки qj = Pj =0. Нелинейная нормализация последовательно упрогцает (или даже уничтожает совсем) члены третьей, четвертой и т. д. степеней в разложении (2). При этом нормальная форма членов степени в преобразованной функции Гамильтона будет зависеть от наличия или отсутствия резонансов (3) до порядка включительно. [c.116]

По коэффициентам нормальной формы функции Гамильтона, на основании соответствуюгцих теорем, полученных к настоягцему времени для резонансных и нерезонансных случаев, можно сделать те или иные выводы об устойчивости системы (1). [c.116]

Если в системе (1) функция Гамильтона будет условно-периодичес-кой по t, то задача об устойчивости станет крайне сложной. Это связано с тем, что применение метода нормальных форм требует анализа устойчивости и нормализации линеаризованной системы (1), которая будет иметь условно-периодические коэффициенты, а аналога теоремы Флоке-Ляпунова о приводимости систем с периодическими коэффициентами к системе с постоянными коэффициентами для условнопериодических систем нет. [c.124]

Преобразование гамильтониана к более простой форме называют нормализацией. Нормальные формы в окрестности особых точек подробно исследовал Дж. Бирхгоф [16, 227]. Произведем линейное КП х, р х, р , диагонализирующее форму ктпРтХп- Выберем производящую функцию в виде [c.334]

Галин вычислил также нормальные формы, к которым можно привести любое семейство гладко зависящих от параметров линейных гамильтоновых систем при помощи гладко зависящей от параметров симплектической линейной замены координат. Например, для простейшей жордановой клетки .а) такой нормальной формой гамильтониана будет [c.350]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...