Область эллиптических точек

Гладкая линия параболических точек Пз,2 делит такую поверхность на область эллиптических точек Пг (нет веществен ных касательных прямых выше первого порядка) и область гиперболических точек Пз,1 (две таких касательных эти каса тельные называются асимптотическими прямыми, а их направ ления в точке касания — асимптотическими направлениями) [c.46]

Область гиперболических точек Пз,1 160 Область эллиптических точек Пз 160 Обобщённый ласточкин хвост 72, 82 [c.334]

Существование кривошипов в шарнирных четырехзвенниках невозможно, если длина шатуна принадлежит открытой области, представляющей собой разность интервалов, образуемых значениями функции Ь (ф, ф) в эллиптических точках и двумя наибольшими значениями этой функции в гиперболических точках. [c.82]

Как видно из формулы (8), полная кривизна равна нулю при а = = 90°. Это значит, что эвольвенты, проходящие через точки Ь и Ь (см. фиг. 2), являются параболическими линиями. Эти линии разделяют эвольвентную каналовую поверхность на внешнюю и внутреннюю области. Внешняя область содержит только эллиптические точки. Уравнения этой области [c.54]

ДЛЯ конфигурации I, в то время как упругие энергии совпадают. Следовательно, распределение ламелл в широких местах канала термодинамически невыгодно. Однако возможны устойчивые распределения ламелл, когда крайние ламеллы в цепочке смещаются так, что средняя оказывается в широкой части канала. Такого типа распределения ламелл в цепочке (конфигурация III на рис. 5.2) описываются замкнутыми траекториями вблизи эллиптических точек. При этом верхняя часть овала описывает сжатые цепочки, а нижняя часть - растянутые. Периодические решения (область III на рис. 5.1) ограничены сепаратрисами, каждая из которых имеет две ветви, соединяющие гиперболические точки либо сверху от прямой р = 1, либо снизу от нее. Сепаратриса описывает бесконечную цепочку пузырей, одна половина которых сдвинута на период канала относительно дру- [c.89]

Заметим, что подобно изложенному может быть получено асимптотическое при больших Л решение задачи о вдавливании в полупространство двух эллиптических в плане штампов с параболическими основаниями. Если в этом случае потребовать обращения в нуль контактного давления д(х, у) на контуре области П, то можно прийти к выводу, что области контакта П и штампов с полупространством будут эллиптическими лишь с точностью до членов (А " ), причем получаются два соотношения, аналогичные (26) и служащие для определения полуосей С1. [c.52]

Если же к 1, то область стохастического движения заполняет практически весь фазовый портрет на рис.8, кроме малых областей около устойчивых эллиптических точек X, [c.18]

Эллиптические точки. В 2.4 путем перехода к переменным, связанным с эллиптической точкой, нам удалось исследовать все более и более мелкие области регулярного движения на фазовой плоскости. Мы видели, что вокруг эллиптической точки существует своя система резонансов (периодических точек) более высокого порядка, движение вокруг которых повторяет исходное на более мелком масштабе. Было показано также [см. (2.4.62) и последующее обсуждение], что возмущение в высших порядках очень быстро уменьшается с 5 (пропорционально 1/5 ). Если исходное возмущение мало, то фазовая плоскость заполнена, в основном, инвариантными кривыми, топология которых такая же, как и у невозмущенной системы. Остальная часть фазовой плоскости вокруг эллиптических точек заполнена инвариантными кривыми другой топологии. Можно ли сказать, что вся фазовая плоскость заполнена инвариантными кривыми все возрастающей сложности и все более мелких масштабов, пока с ростом возмущения вся эта структура внезапно не разрушается, переходя в стохастичность Оказывается, что нет. В типичном случае области стохастичности существуют в окрестности сепаратрис (связанных с гиперболическими точками) при любом возмущении и растут вместе с ним. [c.197]

Современные быстродействующие ЭВМ позволяют получить сотни тысяч итераций рассмотренных выше отображений. Для исследования всей фазовой плоскости разобьем интервал фазы (0,1) или (0,2я) на 100 ячеек, а интервал скорости (О, акс) на 200 ячеек. На рис. 3.12 приведены численные результаты для упрощенного отображения (3.4.4) с М = 10 после 163 840 итераций для каждой из 10 траекторий, использованных в счете. На рисунке отмечены ячейки, в которые попала хотя бы одна из этих траекторий. В правой части рисунка показано распределение плотности Р и), проинтегрированное по фазе и по всем итерациям. Начальные условия движения выбраны случайно в области малых скоростей частицы. При этом каждая траектория заполняет всю стохастическую компоненту движения, и конечное распределение на фазовой плоскости не зависит от начальных условий. Незаполненные траекториями островки устойчивости ограничены инвариантными кривыми, и поэтому частицы не могут попасть в них извне. Центрами островков являются эллиптические точки. Ниже мы покажем, что при [c.224]

Другие результаты. В работе Грина [165] получены и другие интересные результаты. Рассмотрим кратко некоторые из них. Прежде всего из (4.4.2) следует, что значение Р = 1/4 соответствует а = л/З. Это означает, что разрушение инвариантных кривых в какой-либо области фазового пространства соответствует возникновению вторичных резонансов шестой гармоники вокруг периодических эллиптических точек с большими 5- оо. Но то же самое происходит в стандартном отображении и для неподвижной точки (5 = 1), т. е. в противоположном пределе по з. Фактически численные результаты Грина показывают, что все периодические траектории с а = а обладают этим свойством. [c.273]

Когда начальная скорость ракеты в точке А (рис. 152) превышает значение, определяемое уравнением (11.21), то ракета движется не по эллиптической, а по гиперболической траектории, т. е. ракета уже не возвращается к Земле, а удаляется в бесконечность, практически — в области, в которых сила тяготения Солнца преобладает над силой тяготения Земли (предполагается, что при этом тело не приближается к какой-либо планете настолько, что сила тяготения этой планеты начинает играть существенную роль). Под действием силы тяготения Солнца тело движется по замкнутой орбите вокруг Солнца, т. е. превращается в искусственную планету. [c.330]

Имеются также решения [75] для одноосного растяжения области с эллиптическим отверстием, то же — при всестороннем растяжении. В последнем случае моментная теория дает значения коэффициентов концентрации чуть больше, чем по безмоментной теории. Там же рассмотрены случаи треугольного и квадратного отверстий, случай изгиба полос с отверстиями и многие другие. [c.56]

Если система гиперболическая (параболическая, эллиптическая) в каждой точке некоторой области, то ее называют гиперболической (параболической, эллиптической) в этой области. [c.234]

Представляется естественным к точкам, в которых нарушается регулярность решения, относить и те точки, в которых происходит изменение характера краевых условий (даже, если сама граница гладкая). Указанные особенности нельзя выявить заранее, однако весьма важные сведения могут быть все же получены. В работе [122], относящейся к поведению решения общих эллиптических краевых задач (и, следовательно, задач теории упругости) в окрестности нерегулярных точек границы, установлены следующие результаты. Показано, что решение в окрестности этих точек представляется в виде асимптотического ряда и бесконечного дифференцируемой функции. Слагаемые этого ряда содержат специальные решения однородных краевых задач для модельных областей (для конуса, если на поверхности коническая точка, для клина, если угловая линия). Эти решения зависят только от локальных характеристик (величины телесного или плоского угла и типа краевых условий). В ряде случаев (они далее будут подробно рассмотрены) построение этих решений сводится к трансцендентным уравнениям. Величины же коэффициентов при них зависят от задачи в целом. [c.306]

Особенностью предлагаемой схемы является то, что на шаг Аф практически не накладывают ограничений, связанных с устойчивостью, а величина его определяется допустимой погрешностью аппроксимации на шаг Ах ограничения накладывают лишь в эллиптической (дозвуковой) области. Кроме того, в связи с очевидной простотой вычислительного алгоритма затраты машинного времени чрезвычайно малы. [c.190]

Согласно уравнению (л) 70 первый интеграл обращается в нуль, если заменить iji на функцию ф, обладающей всеми свойствами, которые требовались от 1)з в 70. Заметим, что это обстоятельство относится к отверстиям не только эллиптической формы. Для второго интеграла, применяя теорему (103), т. е. интегральную формулу Коши для внешней области, получаем 1 О Г 14- то . 1 da v 14 ,с [c.224]

Если все углы областей z и / прямые или кратные прямому, то получаются эллиптические и гиперэллиптические интегралы. Н. Н. Павловский подробно излагает те сведения по теории эллиптических функций, которые ему нужны для решения примеров. Его книга получила известность многие из предложенных [c.274]

Уравнения гидродинамики (в пучках как в анизотропном пористом теле) образуют систему эллиптического типа. Это определяет вид граничных условий, заданных по всему контуру. В то же время необходимо, чтобы задание на границах области условий для давления и компонент скорости соответствовало техническому оформлению границ и физической картине течения вблизи них. [c.201]

Система уравнений (2.2) — эллиптическая по р и гиперболическая по q. Для ее решения в области 0<ж<Д, г>0 должны быть заданы условия для потенциала в сечениях х = 0 и ж = Д, асимптотические условия при г (X) и условие для q при х = 0. Если же сетка 4 отсутствует и необходимо построить решение в области ж > 0, г > 0, то должны быть сформулированы условия при X со. Разумеется, в сечениях х = 0 и х = Ь могут быть заданы и комбинации величин р [c.361]

Этот качественно новый тип течения в ударном слое хорошо прослеживается по распределению энтропийной функции (кривые 4, на рис. 1 и 2) в плоскости симметрии течения (рис. 2). Наблюдаются две полки с постоянными значениями энтропии одна — в окрестности ребра крыла с уровнем энтропии, совпадающим с ее значением на стенке крыла (рис. 1), вторая — за ударной волной К2. Переходный участок между двумя указанными уровнями энтропии в окрестности центра эллиптической области течения соответствует размазыванию особой точки Ферри в численном решении. Картина изэнтроп (рис. 3) подтверждает наличие структуры линий тока в коническом течении с всплывшей точкой Ферри, качественно изображенной слева от линии симметрии. Заметим, что интерпретация результатов расчета, данная в [7] на основе распределения компонент полной скорости в плоскости, нормальной хорде У-образного крыла, и приведенная схема линий тока во внутренней области течения неверны. [c.655]

У-образного крыла в силу отставания точки К1 от положения плоского скачка уплотнения на эквивалентном клине, приобретают отрицательную кривизну и увеличивают наклон в сторону ребра. В то же время линии тока в центральной части течения под влиянием положительного градиента давления еще больше отклоняются от хорды крыла. После выравнивания давления во внутренней части эллиптической области течения пристеночные струйки тока, получившие дополнительную поперечную скорость (на сфере) в сторону ребра крыла, тормозятся, приобретая положительную кривизну. Это приводит к повышению давления вдоль стенки крыла (рис. 1), что вызывает дальнейшее отклонение линий тока в центральной части течения от ребра крыла и оттеснение линий тока в окрестности контактного разрыва в сторону плоскости симметрии. Следствием такого процесса и является всплывание точки Ферри. Линии же тока, идущие вдоль стенки крыла, дойдя до ребра крыла, под влиянием отрицательного градиента давления асимптотически уходят в плоскости симметрии к особому лучу (точка Ферри). [c.658]

Рассмотрим линейную контактную задачу о давлении на границу упругого полубесконечного тела, занимающего область хз > О, системы эллиптических штампов с центрами в точках Р ,. .., Наименьшее из [c.132]

Представим себе теперь, что штампы, заделанные в жесткую плиту, имеют различную высоту. Именно, пусть штамп с номером j занимает в плане эллиптическую (с эксцентриситетом ej и большей полуосью = eAj) область с центром в точке и вдавливается в упругое полупространство на глубину Sj. (Как и в предыдущем, для простоты изложения сначала рассматриваем систему эллиптических штампов.) [c.142]

Рассмотрим поверхность общего положения в трехмерном проективном пространстве (рис. 259). Кривая параболических точек (р) делит поверхность на область эллиптических точек (е) и область гиперболических точек (к), где лежит еще кривая перегибов асимптотических линий (/), с точками биперегиба (Ъ), самопересечения (с) и касания с параболической кривой ( ). [c.456]

Гладкая кривая параболических точек Пз 2 делит поверхность на область эллиптических точек Пг (не имеющую вещественных касательных, порядок касания которых превышает 2) и область гиперболических точек Пзд (в каждой точке которой имеется пара таких касательных, называемых асимптотическими прямыми-, их направ.иения в точках касания называются асимптотическими направлениями). В этих обозначениях первый индекс равен максимальной кратности пе- [c.160]

Если в пластине внезапно образуется сквозная эллиптическая трещина длиной 2с, расположенная под прямым углом к направлению действующих напряжений, то упругая энергия высвободится в зоне трещины, представляющей собой область эллиптической формы объемо.м 2лс . Высвобождающаяся энергия упругой деформации в пластине составит [c.98]

Эти результаты Улама были объяснены с помощью аналитических и численных методов Заславским и Чириковым [443 ] и более полно Брахичем [38 ] и Либерманом и Лихтенбергом [274 ]. Они показали, что в случае гладкой зависимости скорости стенки от времени фазовая плоскость движения разбивается на три различные области 1) область малых скоростей, в которой все неподвижные точки неустойчивы, что приводит к стохастическому движению практически во всей этой области 2) область промежуточных скоростей, где внутри стохастической компоненты имеются островки устойчивости, окружающие эллиптические точки, и 3) область больших скоростей, в которой стохастические слои в окрестности сепаратрис изолированы друг от друга инвариантными кривыми, которые пересекают весь интервал изменения фазы. Именно последняя область и ограничивает набор энергии частицей. Если же зависимость скорости стенки от времени недостаточно гладкая, то области 3 не существует в согласии с теорией KAM. [c.220]

Что касается самой Ковалевской [9], то она, исходя из факта, что все до нее вполне изученные гироскопические случаи (т. е. движение Пуансо и гироскоп Лагранжа) решаются в т. н. мероморф-ных (т. е. представляющих непосредственное обобщение рациональных дробей) однозначных функциях времени и в виду совершенства, достигнутого теорией таких функций, к которым причисляются все более сложные тригонометрические вроде тангенса, эллиптические функции и т. п., поставила себе целью найти все типы тяжелых гироскопов, для которых общее, т. е. при всяких системах начальных условий, решение задачи об их движении возможно в подобных (хотя бы и не периодических, как до сих пор) функциях. Для этой цели исследовательница применила собственно метод неопределенных коэффициентов, но к разложениям около так называемых особых точек, т. е. здесь таких значений I, где обычные разложения в ряды Тэйлора неприменимы (в случае мероморфности непременно так называемых полюсов). Она справедливо полагала, что разыскания в области особых точек (хотя для задачи динамики обычно и обладающих комплексными аффиксами, ибо для действительных I решения тут вообще однозначны и непрерывны) при всей их, так сказать, отвлеченности могут дать для характеристики предполагаемого решения гораздо больше, чем рассмотрение тэйлоровских разложений около обыкновенных точек с их сильно нивелирующими 4 [c.64]

Тип системы уравнений определяет особенности постановкп задачи, методы и свойства решения. В случае эллиптической задачи на решение в некоторой точке области оказывают влияние краевые условия, заданные на всей границе области. Прп решении гиперболической задачи возмущения сносятся только вниз по потоку. [c.176]

Если в некоторой точке М (х, у) величина б < О (б = О, б > 0), то уравнение относят в этой точке к эллиптическому (параболическому, гиперболическому) типу. Уравнение эллиптическое (параболическое, гиперболическое) в каждой точке некоторой облгсти называют эллиптическим (параболическим, гиперболическим) в этой области. [c.128]

Заметим, что разработан метод определения указанных коэффициентов для общего случая эллиптических краевых задач [154, 155]. Для них получены явные интегральные представления, в которые входят исходные краевые условия и некоторые специальные решения вспомогательной однородной краевой задачи. Указанные решения зависят только от конфигурации области и характера краевых условий. Они определяются однозначно главными членами своей асимптотики и так же, как функции (8.17), имеют особенность в нерегулярной точке границы. Реализация этого метода представляется особенно эффективной тогда, когда требуется для одной и той же области решить совокупность однотипных краевых задач, поскольку потребуется лишь один раз решать вспомогательную задачу. В [162] приведены примеры, иллюстрирующие применение метода в задачах теории упругости. [c.312]

Построение аналитических и даже числовых решений полной системы уравнений газовой динамики связано со значительными трудностями не только из-за сложности физико-химических процессов, но и потому, что в общем случае течение содержит дозвуковые, трансзвуковые и сверхзвуковые области, для описания которых требуется различный математический аппарат. При этом приходится иметь дело сразу с эллиптическими, параболическими и гиперболическими уравнениями в частных производных. В то же время построение некоторых аналитических решений, основанных на приближенных предпосылках, позволяет, значительно упростив методы решения, установить многие качественные закономерности. В настоящем параграфе будут рассмотрены некоторые аналитические решения, позволяющие выявить ряд важных закономерностей движения газа и являющиеся необходимыми тестовыми примерами при численных расчетах. К числу таких решений относятся одномерная теория сопла, теория простой волны (течение Прандт-ля — Майера, волна Римана), обтекание клина, распад произвольного разрыва, точечный взрыв, решение методом источников и стоков, решение уравнения для потенциала. [c.54]

Таким образом, при расчете течения в эллиптической области целесообразно применять разностную сетку с переменным шагом. Использование больших шагов разностной сетки в областях с малыми градиентами приводит к тому, что рост погрешностей округления при численном решении задачи Коши для эллиптических уравнений оказывается практически незаметным и не влияет на устойчивость счета. Для проверки этих соображений были проведены специальные расчеты, в которых рассматривалось различное расположение точек на слое. При использовании разностной сетки с постоянным, но мелким шагом рост погрешностей округления в области / приводил к тому, что после небольшого числа шагов в направлении по нормали к линии тока счет становился неустойчивым. При использовании разностной сетки с постоянным, но большим шагом, таким, что рост погрешностей округления в области / был практически неощутим, погрешности аппроксимации в областях II и IV становились настолько значительными, что по-прежнему счет быстро становил- [c.189]

При вычислении производных в крайних точках слоя х полагают равным Xi-i или д ,+, для левого и правого конца соответственно. В остальных точках слоя x = xi. При вычислении производных трехточечная разностная схема в сочетании с неравномерной сеткой является своеобразным регуляризирующим оператором, который позволяет успешно решать некорректную задачу Коши в эллиптической области. Изложенная разностная схема имеет второй порядок точности по который обеспечивается итерациями по I. [c.190]

Каверна, образованная за диском, при определенных числах Фруда имеет на большей части своей длины гладкую прозрачную поверхность (рис. VI. I). Однако это свойство существенно зависит от степени турбулентности потока. При повышении турбулентности потока (например, путем его искусственной турбулизации) на поверхности каверны, образованной за диском, появляются высокочастотные колебания — волны (рис. VI.2). На поверхности сферических и эллиптических кавитаторов есть пограничный слой, который вблизи точки отрыва каверны разрушается и служит источником возмущения поверхности каверны. На небольшом участке длины за точкой отрыва каверна имеет гладкую и прозрачную поверхность течения. Однако сразу же за этой областью появляется система поверхностных волн с амплитудой, возрастающей вниз по потоку. Ряд исследователей предполагает, что эти волны возникают вследствие роста неустойчивости отделенного пограничного слоя кавитатора. [c.211]

Простая модель, позволящая найти время контакта при соударении изотропной сферы и композиционного материала, была предложена Муном [116], который предположил, что область контакта круговая. Эксперименты по внедрению стальной сферы в пластины из однонаправленного композиционного материала показали, что несмотря на то, что область контакта эллиптическая [c.317]

Известно, что в математической теории упругости большое внимание уделяется вопросам существования и единственности решения [67, 100], весьма сложным с математической точки зрения. Вместе с тем в случае неоднородного тела необходимость их решения не менее, а, по-видимому, более важна, чем в классической теории упругости, ввиду возможности возникновения особенностей, связанных с характером исходных уравнений. Достаточно в качестве примера указать на задачу Бусси-неска для неоднородного полупространства, когда обобщенная система уравнений Ламе на границе области вырождается из эллиптической в параболическую [142]. [c.38]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...