Стохастичность области

Возникновение стохастичности в гамильтоновых системах типа (1) определяется значением амплитуды внеш. силы, что имеет простой физ, смысл. При достаточно больших амплитудах появляется большое число гармоник оси. частоты колебаний, на каждой из к-рых возможен нелинейный резонанс при дальнейшем увеличении амплитуды области резонанса в фазовом пространстве, соответствующие этим движениям, перекрываются (т. и. перекрытие резонансов Чирикова). Обнаружение стохастич. поведения гамильтоновых [c.695]

Полагая X 1) получаем отсюда оценку для масштаба времени потери устойчивости за счет квантового перехода в область стохастичности [c.392]

Уравнение Дуффинга (29) при (5 = 0 всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При > О уравнение (29) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно суш ествование стохастических аттракторов. Действительно, при (5 > О происходит разрушение инвариантных линий, ограничиваюш их стохастичность вблизи сепаратрисы, и фазовые траектории могут уходить от нее достаточно далеко и попасть в область притяжения устойчивого фокуса или цикла. Таким образом, как показано с помогцью аналогового моделирования [17], при выполнении условия (35) и (5 > О траектория блуждает в окрестности сепаратрисы, пока не попадет на какой-либо аттрактор, простой или странный (стохастический). [c.380]

Начальные условия, заданные с точностью, полностью забываются через N итераций. В нехаотических системах ошибка проявляется не так быстро. Таким образом, сильная чувствительно сть системы к точности задания начальных условий ведет к непредсказуемости решений на больших временах. Такое движение системы называют хаотическим, или детерминированным хаосом. Его синонимы — стохастичность, нерегулярность. По мере хаотизации движения наряду с резкими спектральными линиями в (19.22) появляется непрерывный по частоте фон. В этом случае решение при Ас < Л < 4 представляет области регулярного периодического движения, случайно прерываемые областями хаотических всплесков. Такой вид поведения называется перемежаемостью. При полном хаосе спектральная плотность (19.22) обладает чисто непрерывным спектром, а корреляционная функция (19.23) убывает по экспоненциальному закону. [c.179]

Система Лоренца. Возникает вопрос возможно ли хаотическое поведение реальных динамических систем в ограниченной области фазового пространства В системах с одной степенью свободы хаотическое движение невозможно. Действительно, стохастичность возникает при перепутывании и расходимости траекторий. Однако, в силу того что фазовые траектории не пересекаются, единственно возможными аттракторами в ограниченной области являются предельные циклы и неподвижные точки. Ситуация меняется в случае трехмерного фазового пространства (система с 1, 5 степенями свободы). До недавнего времени никто, например, не сомневался в том, что в принципе можно достичь точного прогноза погоды, обработав достаточное количество информации. От этого подхода пришлось отказаться благодаря поразительному открытию детерминированные системы с малым числом степеней свободы ведут себя хаотически, причем случайное поведение имеет принципиальный характер — от него нельзя избавиться, собирая больше информации. Здесь случайный процесс определяется вероятностью того, что динамическая переменная может принять любое значение из некоторой области фазового пространства. [c.179]

Книга посвящена систематическому описанию явления стохастичности, или хаоса, которое возникает при определенных условиях в нелинейных динамических системах и появление которого не обусловлено действием каких-либо случайных сил на систему. Книга содержит изложение вопросов теории хаоса общего характера, а также приложения из различных областей физики (механики, оптики, теории плазмы, гидродинамики и др.). Значительное место в книге занимает исследование возможности появления хаоса в квантовых системах. [c.2]

Однако наиболее важным обстоятельством является не то, что при определенных условиях может рождаться хаос, а то, насколько это типично для систем общего вида. И, по-видимому, именно здесь содержится объяснение того необычайно большого числа работ и результатов, которые появились в последнее время и посвящены явлению стохастичности. Хаос (как внутреннее свойство системы) возникает почти всегда и почти везде И если мы его не всегда обнаруживаем, то лишь потому, что либо он возникает в очень узкой области параметров, либо проявляется на очень больших временах, либо вуалируется другими, более сильными процессами. [c.6]

Область приложений явления стохастичности оказалась необычайно широкой. Она охватывает практически все основные разделы современной физики, классической и квантовой. В этом и состоит новый п необычный аспект проблемы обоснования статистической физики, которая ранее представлялась несколько академической. [c.6]

Цель настоящей монографии познакомить читателя с явлением стохастичности, методами его анализа и рядом приложений к разным задачам физики. После появления первых обзоров по стохастичности [14, 15, 241 прошел большой срок, в течение которого усилиями большого числа исследователей были получены новые важные результаты и существенно расширена область приложений явления стохастичности. Данная книга является обзором, а отбор материала в ней связан с исследованиями автора. Вошедший материал основан на монографии автора [14], вышедшей в 1970 г., обзорах [15, 124, 137, 138] и ряде обзорных лекций, читавшихся автором в различное время. Содержание книги построено следующим образом. [c.6]

Введем в области стохастичности функцию распределения частиц /(у, t). Ее нормировка имеет вид [c.64]

Для полноты картины в области стохастичности нам осталось найти функцию распределения /(у, t). Покажем, как это делается непосредственно из уравпепий преобразования (1.7). Система [c.65]

Сразу же возникает вопрос действительно ли существует некоторая граница, отделяющая островки устойчивости от области неустойчивости Из общих соображений можно заключить, что траектория не может быть и устойчивой, и неустойчивой в одно и то же время. Поэтому поставленный вопрос вырождается в следующий не могут ли малые островки устойчивости сильно повлиять на общую картину движения во всем фазовом пространстве и ликвидировать стохастичность Строгой теории преобразования (1.9) не существует. Трудности в ее построении как раз и связаны с тем, что островки устойчивости имеют конечную ме- [c.78]

Прежде всего заметим, что упрощение, связанное с переходом от преобразования (1.7) к преобразованию (1.8), не является существенным в области стохастичности, т. е. при 7I 1. Действительно, член ъТ 5F/5/ 8g 8 и не влияет на условие [c.79]

С ним связано лишь изменение переходной области и числа и структуры островков устойчивости. Поэтому для общего представления достаточно ограничиться изучением преобразования (1.9), которое вытекает из (1.8) при не слишком больших ос. Будем также предполагать а < 1. Тогда критерий стохастичности [c.79]

Таким образом, область стохастичности I имеет вид, согласно (1.15), [c.89]

Аналогично (1.16) получаем для области стохастичности [c.90]

При п 1 эта формула совпадает с (1.16). При иоо ширина области стохастичности стремится к единице ). [c.92]

В заключение этого параграфа приведем два примера, являющиеся хорошей иллюстрацией образования большой области стохастичности при слиянии различных стохастических слоев в ре< зультате перекрытия резонансов. [c.97]

Мы уже замечали (см. ком. 3 к гл. 4), что при очень сильном перекрытии (АГ > 1) область стохастичности может резко сузиться, так как в этом случае происходит сильное вырождение резонансов и они, по существу, все сливаются в один резонанс. Чтобы этого не произошло, необходимо выполнение условия [c.99]

Для анализа того, как возникает кинетическое описание системы в области стохастичности ее движения, т. е. в области перемешивания траекторий в фазовом пространстве, удобно рассмотреть сначала пример какой-либо простой системы (ком. 4). Выберем в качестве такой системы нелинейный осциллятор, воз- [c.107]

Из приведенных выше рассуждений можно получить одно следствие, которое связано с некоторым общим свойством динамики частицы в области стохастичности. В 5.3 при анализе уравнений (3.1) или (3.6) уже отмечалось, что потенциал каждой из плоских волн создает для частицы на фазовой плоскости область, соответствующую области захвата в нелинейный резонанс. Условие стохастичности (3.5) означает просто условие перекрытия таких областей. Теперь заметим, что характерное время прохождения частицей потенциальной ямы, создаваемой одной плоской волной, в которую захвачена частица, равно т согласно [c.120]

Отсюда видно, что имеет место растяжение фаз О всюду, кроме малых областей 1/Х в фазовом пространстве вблизи значений О = я/4, Зя/4. Таким образом, в фазовом пространстве волн при условии (2.26) развивается стохастическая неустойчивость. Из области стохастичности выпадают островки устойчивости, определяемые условием [c.133]

В 2.3 уже рассматривались биллиарды со стенками отрицательной кривизны. Если границы биллиарда имеют как отрицательную, так и положительную кривизну, то характер динамики частицы должен определяться соотношением времен, которые частица проводит в окрестности рассеиваю-щих и фокусирующих областей. Эти соображения были высказаны Хопфом [40] и рассмотрены более детально в работе Бунимовича [160]. Последующие исследования показали, что стохастичность может возникать также в биллиардах, которые содержат только фокусирующие дуги п прямолинейные отрезки [161, 162]. Примеры таких биллиардов приведены на рис. Д1.1 ) [c.244]

Области стохастичности. Известно, что стохастические траектории занимают конечную область энергетической поверхности в фазовом пространстве, а их последовательные пересечения заполняют конечную площадь поверхности сечения. Пример двух стохастических траекторий приведен на рис. 1.10. В случае д траектория заполняет кольцеобразный стохастический слой, заключенный между двумя инвариантными кривыми, подобными тем, что изображены в случае а. В этой области существуют также и регулярные траектории, но соответствующие им островки устойчивости, окружающие неподвижные точки (см. 3.3), либо обходятся стохастической траекторией, либо их размер слишком мал и их просто не удается разглядеть. В случае е показан стохастический слой вблизи островков случая в, заполненный одной стохастической траекторией. [c.62]

Вывод -отображения. Классичемшй предел. Квантовые поправки и -формы. Экспоненциальная расходимость квантовых поправок. Квантовая граница стохастичности. Область квазиклассичности и условие ее существования [c.171]

Однако наряду с этой областью перемешивания (или областью стохастичности) в фазовом пространстве (1) всегда будут существовать нач. условия, к-рым отвечает регулярное периодическое или квааипериодическое поведение. Особенно наглядно это видно на секущей [c.695]

В области стохастичности спектр колебаний в системе Лорепца является сплошным и достаточно широким (рис. 9.30), что свидетельствует о наличии сильного перемешивания 441]. Приближенный расчет спектра выполнен в работе [567. Емкость аттрактора Лоренца близка к двум. Так, при Ь = 4, о = 16, г = 40 она равна й = 1,98 0,02 [578, 579] (ляпуновская размерность, вычисленная по формуле Каплана — Йорке, ь = 2,06 [587]). Зависимость максимального ляпуновского показателя от параметра г для указанных значений Ь и о, на основе которой в [587] вычислялась ляпуновская размерность, приведена на рис. 9.31 [686]. Интересно отметить, что в области значений г вблизи г р 33,45 эта зависимость имеет такой же вид, как на рис. 8.28. Штрих-пунктирная кривая на рис. 9.31 соответствует метастабильпому хаосу. [c.290]

Таким образом, имеем при К < 1 е 1) движение устойчиво, при К 1 движение луча стохастично, при А" 1 — переходная область. [c.810]

Странный аттрактор. В хаотических системах возникновение случайности связано с новой геометрической структурой — странным аттрактором. В качестве критерия, позволяющего определить существование в динамической системе странного аттрактора, можно использовать свойство гиперболично сти. Наглядно гиперболичность представляет собой комбинацию растяжения фазового объема в одном направлении и сжатия в другом. Растяжение приводит к стохастичности, сжатие необходимо, чтобы траектории оставались в ограниченной области фазового пространства. Растяжение и сжатие систематически устраняют начальную информацию при экпоненциальном разбегании траекторий возрастает неопределенность, обусловленная неопределенностью AVq, при сжатии сближаются далеко отстоящие траектории и стирается различие в начальных данных. [c.180]

Резонансы и области стохастичности. Квант стохастичности в фазовои пространстве. Происхождение островков устойчивости. Разрушение интегралов движения. Замечание о теореме Пуанкаре. Два примера движение частицы в поле двух плоских волн и в поле волнового пакета [c.94]

Тот факт, что возмущение приводит к очень сложной картине разрушения сепаратрисы (к так называемой гомоклинической структуре, которая рассмотрена в этой главе), был отмечен еще Пуанкаре. Исследование этой структуры было связано с оггоеделенными трудностями, и первая оценка пгарины области разрушения была получена Мельниковым [82]. Соображения о том, что разрушение в окрестности сепаратрисы носит стохастический характер, были высказаны впервые в работе [83]. В ней же было показано, что имеется локальная неустойчивость внутри слоя, называемого стохастическим, что движение частицы внутри слоя носит диффузионный характер и что для оценки ширины слоя может быть использован критерий стохастичности. Этот подход, подтвержденный численным анализом [83],позволил оце- [c.101]

До сих пор предметом нашего исследования были системы с малым числом степеней свободы. Естественно ожидать, что увеличение числа степеней свободы N должно приводить к более легким условиям возникновения перемешивания. Следует ли ожидать, что при 1 движение является практически стохастическим, и областями устойчивости (т. е. областялш фазового пространства и значенпй параметров задачи, где движение является условно-периодическим) можно пренебречь По существу, этот вопрос означает, что характер движения системы более существенно зависит от Л чем от других параметров задачи. В этом месте мы попадаем в плен широко распространенного представления о том, что законы статистической механики становятся применимы при больших N. В действительности вопросительный знак переходит лишь в другое место какие N можно считать большими Чем число N = при котором законы статистической механики заведомо выполняются в доступных нашему вниманию объектах, отличается от числа N = 10 , при котором появлепие стохастичности становится далеко пе безусловным (как мы увидим ниже) [c.123]

В настоящей монографии рассматривается стохастическое, или хаотическое, движение нелинейных колебательных систем. Это — быстроразви-вающаяся область нелинейной механики с приложениями во многих областях науки и техники, включая астрономию, физику плазмы, статистическую механику и гидродинамику. Основное внимание уделяется динамической стохастичности в гамильтоновых системах, когда хаотическое движение обусловлено самой динамикой, а не внешним шумом. Вместе с тем рассматривается также и влияние шума на движение динамической системы. В последней главе подробно обсуждаются основные особенности хаотического движения диссипативных систем. [c.11]

Для слабо возмущенных систем с двумя степенями свободы тонкие стохастические слои отделены друг от друга инвариантными поверхностями, а стохастические колебания переменных действия внутри слоя оказываются экспоненциально малыми (по возмущению). С увеличением возмущения возможен переход, при котором изолирующие инвариантные поверхности разрушаются и стохастические слои сливаются, приводя к глобальному стохастическому движению. Фазовое пространство можно разделить при этом на три области. Одна из них содержит в основном стохастические траектории. Она связана ) со второй областью, значительную часть которой составляет по-прежнему стохастическая компонента движения, но внутри ее уже имеются большие острова регулярного движения. Третья область содержит главным образом регулярные траектории и отделена от первых двух инвариантными поверхностями. Классический пример, иллюстрирующий переход от почти регулярного к существенно стохастическому движению, был предложен Хеноном и Хейлесом [188] для моделирования динамики в задаче трех тел-). Численные эксперименты и связанные с ними эвристические теории, развитые за последние двадцать лет, прояснили основные процессы и позволили определить величину возмущения, при которой происходит такой переход. Эти результаты иллюстрируются в гл. 3 на примере ускорения Ферми, первоначально предложенного для объяснения происхождения космических лучей. Рассматривается модель, в которой упругий шарик колеблется между неподвижной и вибрирующей стенками. Далее, в гл. 4, определяются условия перехода от локализованной стохастичности к глобальной. При этом используются различные подходы к задаче (см., например, [70, 1651). [c.16]

Кажущаяся стохастичность движения в подобных сложных системах дает основание говорить о принципиально новом подходе к статистической. механике и поэтому привлекает, к себе все более широкий круг исследователей в этой области. Сложность движения вблизи неустойчивых периодических решений и тот факт, что эти неустойчивые траектории образуют в фазовом пространстве всюду плотное множество, служат серьезным доводом в пользу такой точки зрения. В последнее время значительные усилия были направлены на выяснение связи стохастического движения с по-казателялш Ляпунова, которые определяют скорость экспоненциальной расходимости близких траекторий. Это важно также и с практической точки зрения для вычисления усредненной по фазам скорости диффузии по переменным действия. В прошлом такие вычисления проводились в предположении о случайности фаз. Ясно, что это предположение несправедливо при наличии инвариантных кривых, ограничивающих область изменения фаз. Даже в случае полной эргодичности, когда движение охватывает всю энергетическую поверхность, необходимо еще определить масштаб времени, на котором фазы становятся случайными. Проведенные численные и аналитические исследования позволили глубже понять проблему убывания фазовых корреляций вблизи инвариантных поверхностей. Эти вопросы будут рассмотрены в гл. 5. [c.18]

Обратимся теперь к качественному описанию типичного случая таких гамильтоновых систем, которые можно рассматривать как возмущения интегрируемых систем. Мы будем называть такие системы близкими к интегрируемым. Рассмотрим сначала простой случай автономного гамильтониана с двумя степенями свободы, или, что эквивалентно, неавтономного (зависящего от времени) гамильтониана с одной степенью свободы. Как мы видели в п. 1.26, неавтономные системы можно свести к автономным путем увеличения числа степеней свободы на единицу. Отличительной чертой систем, близких к интегрируемым, является присутствие причудливо перемешанных друг с другом областей как регулярного, так и стохастического движения. При этом стохастические области отделены друг от друга областями с регулярными траекториями. Стохастические траектории естественно возникают в результате движения, задаваемого детерминированными уравнениями Гамильтона, которые не содержат никаких специальных стохастических сил. Мы проиллюстрируем это на двух примерах, широко обсуждавшихся в литературе модель Хенона—Хейлеса и ускорение Ферми. Для автономных систем с более чем двумя степенями свободы области стохастичности уже не разделяются регулярными траекториями, а образуют стохастическую паутину , что приводит к так называемой диффузии Арнольда, которая качественно описана в конце этого параграфа. [c.59]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...