Закон Ляпунова

Если число составляющих погрешностей достаточно велико (практически т 5), то независимо от закона их распределения закон распределения суммарной погрешности можно считать нормальным. Этот вывод следует из так называемой центральной предельной теоремы Ляпунова, согласно которой сумма бесконечно большого числа бесконечно малых случайных величин с любыми распределениями дает нормальное распределение. [c.45]

Однако в пользу применения нормального распределения имеются очень серьезные основания. Его особое значение связано со следующими обстоятельствами в тех частых случаях, когда суммарная погрешность появляется в результате совместного действия ряда причин, каждая из которых вносит малую долю в общую погрешность, по какому бы закону ни были распределены погрешности, вызываемые каждой из причин, результат их суммарного действия приведет к гауссовому распределению погрешностей. Эта закономерность является следствием так называемой центральной предельной теоремы Ляпунова, [c.34]

Реальное распределение свойств металла в пределах переходной области испытывает влияние множества факторов, в том числе случайных и потому не поддающихся детерминированному учету. Статистическое распределение физико-механических свойств (а следовательно, и величины начального локального электродного потенциала) металла в переходной области может подчиняться различным законам распределения, которые, однако, в пределе при достаточно большом числе случайных факторов весьма быстро приближаются к нормальному закону распределения, как это установлено центральной предельной теоремой Ляпунова. [c.217]

Любой анализ по выявлению указанных зависимостей должен проводиться на основе методов математической статистики. Опыт показывает, что большая часть полученной в эксплуатационных хозяйствах информации подчиняется закону нормального распределения, т. е. плотность распределения признака может быть определена по формуле Ляпунова [6] [c.14]

Этот пример наводит на мысль, что и в общем случае асимптотическая устойчивость в орбитальном смысле влечет за собой устойчивость по Ляпунову. Эта точка зрения находит подтверждение в том, что скорость возрастания сдвига времени f — t ъ первом приближении пропорциональна величине <р (г о 6) — ф (г а) , которая в свою очередь убывает по экспоненциальному закону. [c.479]

Теоретической основой метода статистических испытаний является широко известный в теории вероятностей закон больших чисел, устанавливающий при определенных условиях предельное равенство среднего арифметического случайной величины математическому ожиданию этой случайной величины при бесконечном увеличении числа опытов. На основании количественной формы закона больших чисел и центральной предельной теоремы Ляпунова можно оценить точность метода статистических испытаний. [c.15]

Предельная теорема Ляпунова относится к распределению суммы независимых случайных величин, в пределе совпадающему с распределением по закону Гаусса, если при этом соблюдаются некоторые условия, накладываемые на случайные величины ( 54], стр 275 [55], стр 162 [56], стр. 407). Практически эти условия, ограничивают индивидуальную роль слагаемых в сумме, иными словами, среди слагаемых не должно быть таких, которые были бы значительно больше большинства остальных. [c.291]

Согласно теореме Ляпунова, на независимые слагаемые F, суммы (3.98) накладываются условия, физический смысл которых заключается в том, что в числе слагаемых не должно быть доминирующих над совокупностью остальных, иными словами, чтобы роль каждого из слагаемых в сумме была ограничена (слагаемые равномерно пренебрежимы в пределе). Отклонения слагаемых могут быть как в положительную, так и в отрицательную сторону. Ограничений на типы законов распределения слагаемых не накладывается. [c.81]

Условия Ляпунова или Бернштейна и предельный переход (устремление к бесконечности k, I п т) должны иметь место в отношении каждой из указанных выше трех сумм. В силу этого частные суммы Z, 5 и Q так же, как и общие X и F, имеют предельным теоретическим законом распределения закон Гаусса с соответственными параметрами а а (т Оу а . Параметры связаны следующими соотношениями [c.174]

Следует, однако, заметить, что системы обладают термодинамическим потенциалом лишь в исключительных случаях. Неравенство (3) не содержит полного дифференциала функции и не позволяет в общем виде определить функцию Ляпунова. Прежде чем мы снова вернемся к этому вопросу, я хочу обратить ваше внимание на тот факт, что через 150 лет после того, как второй закон был сформулирован, он все еще представляет собой скорее программу, чем четко очерченную теорию в обычном смысле этого понятия. Действительно, единственное, что второй закон говорит точно о производстве энтропии, — знак этой величины. Не определена даже область справедливости неравенства. Это обстоятельство — одна из главных причин того, почему применение термодинамики, по существу, ограничено анализом равновесных процессов. [c.127]

Поэтому Q в том виде, как эта величина определена уравнениями (33) и (34), не является функцией Ляпунова. Это означает, что, исходя из законов классической или квантовой механики, функционал Ляпунова, который играл бы роль энтропии, по-видимому, вывести нельзя. По этой причине часто утверждают, что понятие необратимости можно [c.146]

В 1829 г. Пуассон отметил, что результаты Лежандра и Лапласа также оставляют желать много лучшего, поскольку не был исследован вопрос, будут ли сходящимися ряды, к которым приводят их методы. Создавшаяся ситуация и побудила Ляпунова продолжить исследования. Ляпунов в отличие от Лежандра, Лапласа и Пуассона не пользовался разложением в ряд, а рассмотрел уравнения задачи (из которых первое является уравнением Клеро) при весьма общих предположениях о законе распределения плотности вращающейся жидкой массы. [c.265]

При таких условиях в теории вероятности доказывается центральная предельная теорема Ляпунова, в соответствии с которой распределение суммы большого числа независимых случайных величин (с произвольными законами распределения ) подчиняется нормальному закону. В практике нормальное распределение встречается очень часто погрешности изготовления и измерения деталей, рассеяние механических свойств материалов, распределение различного рода случайных воздействий и т. п. Нормальный закон распределения обладает устойчивостью, линейные функции нормальных случайных величин также следуют этому закону. Во многих задачах с помощью нормального закона или его модификаций можно приближенно представить другие распределения. Плотность распределения при нормальном законе выражается следующим равенством [c.218]

Центральная теорема теории вероятностей Ляпунова дает теоретическое обоснование тому факту, что при устойчивом процессе обработки заготовок на настроенных станках и при отсутствии изменяющихся во времени систематических погрешностей действительные размеры деталей часто подчиняются закону нормального распределения, так как результирующая погрешность обработки представляет собой сумму большого числа погрешностей, зависящих от станка, приспособления, инструмента и заготовки. [c.45]

Это объясняется тем, что, согласно закону больших чисе.ч в его простой форме — в первом случае и согласно обобщенной предельной теореме Ляпунова (которая, как уже говорилось, применима к рассматриваемой схеме) — во втором,— пределы частостей переходов из фиксированной области в некоторую другую заданную область равны пределам частости переходов, ]гри которых система, попавшая в фиксированную область, перешла в нее из заданной области (понятно, что это заключение может быть сделано не только по отношению к областям, состоящим из группы ячеек, но и по отношению к самим ячейкам). Это свойство, называемое обычно симметрией флюктуаций относительно прошедшего и будущего или обратимостью флюктуаций, показывает, в частности, что всякая неравновесная область с подавляющей вероятностью происходит из той более равновесной области, в которую она с подавляющей вероятностью переходит. Это свойство основано лишь на зависимостях, характеризующих цепи Маркова. [c.142]

В 11.3 и 11.4 рассматриваются задачи адаптивной оптимальной стабилизации для линейных управляемых систем ядерной (зарядной) кинетики С интегральными функционалами А.М. Ляпунова и H.H. Красовского в детерминированном и стохастическом (по быстродействию) вариантах. Решения исследуемых задач определяются С помощью метода корректируемых параметров [331, 333, 440]. Нри синтезе регулируемых ядерных устройств в атомной энергетике крайне важно обеспечить надежное и точное функционирование оптимально-стабилизационных систем управления в условиях параметрической неопределенности и при наличии случайных возмущений. Материал двух последних параграфов посвящен определению точных аналитических законов управления и алгоритмов оценивания неизвестных параметров, гарантирующих обеспечение системой управления целевых условий с заданной степенью точности и на конечном промежутке времени. [c.328]

При проектировании технологического процесса обработки партии деталей необходимо, чтобы величина рассеивания размеров была не больше величины допуска. Исследование кривых распределения для разнообразных операций, выполняемых на настроенных станках методом автоматического получения размеров, показывают, что рассеивание размеров подчиняется закону нормального распределения — Ляпунова — Гаусса. Мерой рассеивания считают среднее квадратичное отклонение а и размах варьирования И . [c.47]

Почти все работы А. М. Ляпунова относятся к двум труднейшим задачам механики 1) к задаче об отыскании тех форм, какие может принимать однородная жидкость, равномерно вращающаяся вокруг некоторой постоянной оси, если частицы этой жидкости притягиваются по закону Ньютона, и 2) к задаче об устойчивости движения механических систем. [c.25]

В этом случае уравнения движения системы одинаковы с уравнениями движения твердого тела с присоединенным к нему гироскопом, вращение которого происходит по определенному закону. Задача устойчивости для подобной системы решена построением функций Ляпунова (В. В. Румянцев, 1956-1957). [c.31]

Определить случайную погрешность результатов измерения можно лишь вероятностным способом, так как случайные погрешности подчиняются вероятностным законам распределения. Случайные погрешности измерений образуются в результате совместного влияния ряда независимых факторов, среди которых нет преобладающих. Рассеивание таких случайных величин, согласно теореме Ляпунова, подчиняется нормальному закону распределения (закону Гаусса). [c.130]

Из приведенных соотношений следует, что для нормального закона равен нулю первый момент, а коэффициенты асимметрии (третий момент) и эксцесса (четвертый момент) равны нулю и трем соответственно. Действительно, первые измерения пульсаций скорости в турбулентном потоке за решеткой, являющимся хорошим аналогом однородной турбулентности, показали, что экспериментальные точки хорошо согласуются с кривой нормального закона распределения, а измеренные Таунсендом [102] коэффициенты асимметрии и эксцесса дали в согласии с теорией значения = = О и Ш4 = 3, 0. Эти результаты были получены для компонент скорости 1, 2, 3 на различных стадиях вырождения и при различных числах Рейнольдса. Полученные результаты имели ясный физический смысл. Поле турбулентных пульсаций связано уравнениями Навье-Стокса. Следовательно, скорость в любой точке потока обусловлена всем полем случайных скоростей в пространстве, окружающем эту точку. Другими словами, пульсация скорости в данной точке есть результат совместного влияния на нее множества случайных пульсаций во всех прочих областях поля. А это ситуация, при которой справедлива центральная предельная теорема Ляпунова, согласно которой случайные процессы, формирующиеся под воздействием большого или бесконечно большого числа независимых или линейно связанных факторов, имеют нормальный закон распределения. Однако более детальный анализ обнаружил, что эта похожесть на нормальный процесс не полная, а применимость центральной предельной теоремы возможна лишь с определенными оговорками. Так, дальнейшее изучение механизма турбулентности показало, что случайные воздействия, [c.124]

Законы распределения замыкающих звеньев размерных цепей. В соответствии с теоремой Чебышева—Ляпунова при достаточно большом числе (множестве) составляющих звеньев размерной цепи (независимо от законов их распределения) и отсутствии доминирующих звеньев по их допускам распределение замыкающего звена размерной цепи может быть принято по нормальному закону. Действительно, очень часто при размерных расчетах для замыкающих звеньев размерной цепи принимают симметричный нормальный закон распределения, т.е. Я,д = ад = 0. При этом необходимо уточнить условия принятия такого решения. Принятие нормального закона для замыкающих звеньев размерной цепи может быть признано обоснованным при выполнении одного из следующих условий [c.101]

Рассмотрим уравнения задачи трех тел в переменных Ляпунова, т. е. уравнения (8.42) и (8.43). Мы знаем из многих курсов по небесной механике, что в случае, когда все действующие силы подчиняются закону Ньютона, уравнения движения допускают всегда частное решение, в котором все три тела образуют равносторонний треугольник, вращающийся с постоянной угловой скоростью в некоторой неизменной плоскости вокруг одной из его вершин или, что то же, вокруг общего центра масс. [c.357]

Для нахождения решения (8.115) нужно проделать вычисления, совершенно аналогичные тем, которые были необходимы в предыдущем разделе, а затем таким же образом, как и ранее, составить характеристичное уравнение и вывести условия устойчивости. Все эти вычисления п выкладки проделаны в мемуаре Ляпунова для общего случая, когда закон притяжения остается произвольным, а затем из полученных условий выведены условия для интересующего нас случая. [c.396]

Но если рассматривать только ньютонов закон притяжения, как мы и предполагаем, то общие выкладки Ляпунова оказываются здесь ненужными и окончательны результат можно получить совершенно элементарным путем. [c.396]

Примером, в котором обнаруживается устойчивость при помощи первой теоремы Ляпунова, может служить случай, когда законы сил таковы, что каждая из функций [c.450]

Закон был открыт Лагранн<ем (1788 r. i и в отношении устойчивости равновесия при максимуме силовой функции строго доказан Лежсн Дирихле (1846 р.) в отношении же неустойчивости равновесия, при котором условие максимума силовой функции не выполнено, доказан для шнрокоро класса случаев А. М. Ляпуновым (1892 и 1897 г.), но пока еще никем не доказан в общ,ем виде. [c.401]

Принцип устойчивости требовался в основных космогонических задачах Лагранжем, Лапласом, Пуассоном, Пуанкаре, Ляпуновым. Наиболее широкое употребление он получил через применение теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия при существованни силовой функции для описания развития равновесий медленно изменяющихся механических систем. Основные законы физики, как-то законы Гука, энтропии, закон всемирного тяготения Ньютона, сила Лоренца — удовлетворяют необходимым условиям принципа устойчивости ). [c.247]

При отсутствии доминирующих факторов, т. е. равномерной пренебрегаемости слагаемых в пределе и устремлении числа слагаемых к бесконечности, распределение значений х величины X точно соответствует закону Гаусса (математически строго определяется условиями предельной теоремы Ляпунова). [c.31]

Случайные ошибки измерений вызываются многочисленными факторами, малыми по своему индивидуальному влиянию на результат и не могущими быть учтёнными при проведении опыта. Наличие случайных ошибок измерения обнаруживается при многократных повторных измерениях одной и той же неслучайной величины в том, что результаты измерения оказываются различньши. Рассеяние результатов измерения обычно подчиняется закону Гаусса (см. Сведения из теории вероятностей" о теореме Ляпунова и об условиях возникновения распределений по закону Гаусса). [c.301]

Условия возникновения производственных погрешностей в значительном числе практических случаев таковы, что в качестве предельного теоретического закона распределения (ft x) (.мгновенного распределения) им вполне соответствует, на основании известной предельной теоремы А. М. Ляпунова, закон распределения Гаусса. В других практических случаях столь же обоснованными могут быть и негауссовы законы распределения [c.600]

При большом количестве стандартных деталей и узлов, из которых формируется машина, каждую деталь или узел можно рассматривать как случайную величину, а машину в целом как сумму большого числа независимых случайных величин. Слагаемые этой суммы подчиняются самым разнообразным законам распределения. Но если выполняются именно эти условия, то в соответствии с формулировкой известной теоремы Ляпунова (при неограниченном увеллче-нии числа слагаемых случайных величин плотность вероятности суммы подчиняется нормальному закону распределения) следует ожидать, что габаритные пропорции гаммы станков могут быть близки друг к другу. А если вкусам коллектива конструкторов в действительности отвечает золотое сечение, то с большой долей вероятности можно ожидать проявления и закрепления в этих пропорциях золотого сечения. [c.77]

Распределение по закону Гаусса было впервые подробно исследовано в конце XVIII и начале XIX века Гауссом применительно к ошибкам наблюдений и Лапласом при рассмотрении предельных распределений при повторении испытаний. Однако исчерпывающее теоретико-вероятностное обоснование этого распределения было получено позднее в работах русских ученых П. Л. Чебышева, А. А. Маркова и А. М. Ляпунова, установивших условия возникновения распределения по закону Гаусса. Завершением этих работ явилась предельная теорема Ляпунова о распределении суммы независимых случайных слагаемых. С. Н. Бернштейном эта теорема обобщена на сумму слабо зависимых случайных слагаемых. [c.80]

При применении этого уравнения следует иметь в виду различие между обратимыми и необратимыми процессами. Только необратимые процессы приводят к производству энтропии. Очевидно, второй закон термодинамики выражает тот факт, что необратимые процессы ведут I однонаправленности времени. Положительное направление времени связано с возрастанием энтропии S. Я хочу подчеркнуть особую форму, в которой однонаправленность проявляется во втором законе. Этот закон означает существование функции, обладающей весьма специфическими свойствами. Эта специфичность проявляется в том факте, что для изолированных систем эта функция может только возрастать во времени. Такие функции играют важную роль в современной теории устойчивости систем, начало которой положила классическая работа Ляпунова. Именно поэтому эти функции были названы функциями или функционалами Ляпунова. [c.126]

Именно из уравнений и неравенств (9) и (11) следует, что является функцией Ляпунова. Это означает, что любые флуктуации, возникающие в системах, подчиняющихся этим уравнениям, обязательно будут затухать. Именно поэтому для характеристики больших систем, находящихся вблизи состояния равновесия, достаточно описания их на макроскопическом уровне. В поведении таких систем флуктуации могут играть только подчиненную роль, характеризуемую поправками к законам, описывающим поведение системы на макроскопическом уровне, почему в случае больших систем ятими поправками можно пренебречь (рис. 2). [c.132]

Конечно, это условие не всегда выполнимо. Для простых динамических систем, движущихся согласно периодическому закону, ни при их классическом, ни при квантовом рассмотрении функция Ляпунова существовать не может, ибо такие системы через некоторое время возвращаются в исходное состояние. Возможность существования оператора М определяется типом спектра оператора Лиувилля. В рамках классической эргодической теории этот вопрос недавно изучил Мисра [23]. Я постараюсь рассмотреть здесь некоторые следствия возможности существования оператора М уравнения (36), который можно рассматривать как энтропию систем, анализируемых на микроскопическом уровне. Поскольку М — величина положительная, то согласно общей теореме ее можно представить в виде произведения оператора, скажем, и сопряженного эрмитова оператора (Л" )" " (эта операция означает извлечение из положительного оператора квадратного корня) [c.148]

Чтобы при помощи преобраловапия Л получить функцию Ляпунова (уравнение (36)), необходимо тщательно исследовать сингулярности резольвенты, соответствующей оператору Лиувилля (21). Можно показать, как это недавно сделали Теодосопулу и др. [24], что при небольших отклонениях от термодинамического равновесия функционал Ляпунова И (уравнение (36)) сводится к макроскопической величине S" S (уравнение (9)). Кроме того, при этом во времени эволюционируют только величины, удовлетворяющие закону сохранения. Это означает, что нам удалось в самой общей форме, по крайней мере для онзагеров-ской области, установить взаимосвязь между термодинамикой необратимых процессов и статистической механикой. Следует подчеркнуть, что, по существу, это означает дальнейшее расширение применимости результатов, давно полученных в рамках теории Больцмана, справедливой для разреженных газов (25). [c.152]

Математическое понятие устойчивости было введено А.М. Ляпуновым более 100 лет назад, определившее термин устойчивость траектории , как признак неизменности системы по определенному критерию. В соответствии с определением А.М. Ляпунова траектория называется устойчивой, есяи для сколь угодно малого предельного отклонения, определяющего коридор устойчивости, можно указать такие ограничения для возмущений, при которых система не выйдет из этого коридора. В противном случае, динамическая система переходит к хаотическому поведению, при котором траектории разбегаются по разным направлениям, по разным законам. [c.22]

Прежде чем говорить о физических основаниях, придающих этой схеме реальность, отметим результаты, которые можно получить, исходя из нее. Если мы будем производить измерения через определенные заданные интервалы времени, то с вероятностной точки зрения эта схема оказывается схемой цепи Маркова. Действительно, так как ячейки соответствуют здесь максимально полно определенным состояниям, то вероятности перехода а следовательно, и вероятности исходов последующего опыта однозначно определяются исходом настоящего опыта. Так как коэффициенты р. удовлетворяют соотношению симметрии Pii, = Pki, то, как известно из теории цепей Маркова, существует стационарное распределение, представляемое равномерным распределением вероятностей между ячейками. Если мы будем считать, что все коэффициенты РгТс (что, как будет видно в 3, можно предположить без существенного сужения физической постановки задачи), то стационарное распределение вероятностей единственно кроме того, это стационарное распределение является предельным при любом начальном состоянии системы или при любом распределении вероятностей начальных состояний. Условие Pik является достаточным для того, чтобы выполнялся закон больших чисел, согласно которому, для любого заданного начального состояния, при многократном воспроизведении начального состояния частость осуществления заданной ячейки в опыте, проводимом в некоторый заданный, достаточно удаленный момент, будет иметь пределом вероятность осуществления этой ячейки при стацирнарном (т. е. равномерном) распределении. Если выполняется условие справедлива также обобщенная предельная теорема Ляпунова [31]. Согласно этой теореме, частость осуществления заданной ячейки в данном процессе, для любого заданного начального состояния, при возрастании числа последовательных во времени опытов будет иметь пределом среднюю вероятность осуществления этой ячейки для того же процесса или (ввиду существования предельного распределения) вероятность осуществления этой ячейки при стационарном распределении. Первый из этих результатов является некоторым аналогом появления — независимо от начального состояния — равномерного распределения вероятностей на поверхности заданной энергии после [c.139]

Скажем еш,е несколько слов о так называемом качественном исследовании движения. Очень часто нас не так интересует точный или приближенный закон движения точки, как некоторые обилие свойства этого движения — будет ли оно колебательным или нет если будет колебательным, то будут ли размахи возрастать с течением времени или убывать будет ли движение устойчивым или нет и т. п. Так называемая качественная теория дифференциальных уравнений, созданная А. М. Ляпуновым и А. Пуанкаре, позволяет не интегрируя дифференицальных уравнений движения указать его качественную характеристику ) — а именно это и важно в очень многих случаях. Например, если маятник отклонить из положения равновесия и сообщить ему некоторую начальную скорость, то, не интегрируя уравнения его движения, мы можем сказать, будет ли он колебаться или будет двигаться, совершая полные обороты и т. п. Знаменитые диаграммы И. А. Вышнеградского в теории автоматического регулирования позволяют исследовать качественный характер изменения угловой скорости регулятора ). [c.40]

В ряде случаев удастся доказать и обратное утверждение — что линейная устойчивость гарантирует устойчивость по Ляпунову. Так, для уравнения (2.15) справедлива следующая теорема (Л. А. Дикий (1976)) двумерное плоскопарал-лву >ьное течение с монотонным профилем скорости и (г), О г к, в котором и (0) и и (к) не являются собственными значениями уравнения Рэлея, может быть неустойчивым лишь при наличии в дискретном спектре невещественных и.т кратных вещественных собственных значений. Доказательство основано на решении задачи Коши для уравнения (2.15) (при зависимости г] от лг по закону e ) при произвольном 1ачальном значении (2 , 0) = фо(<2) с помощью преобразования Лапласа по времени. Полагая [c.83]

Состояние данного вопроса сейчас таково, что наиболее важные специфические для гидроэлектростанций с уравнительными резервуарами задачи устойчивости либо уже решены, либо (в сложных специальных случаях) могут быть решены при помош,и хорошо разработанных приемов линейной теории колебаний (при исследовании устойчивости в малом ) и получившей развитие в работах Я. К. Любимцева методики выявления достаточных условий устойчивости в большом на основании теорем Ляпунова. Здесь, как и в теории гидравлического удара, существенным и еш е нерешенным является вопрос о законе гидравлических сопротивлений при неустановившемся режиме. [c.725]

Предполагая, что в общей ограниченной задаче выполняются условия, обеспечивающие существование лагранжевых или эйлеровых решений, представляющихся в координатах Нехвила точками либрации, мы можем теперь поставить задачу об устойчивости этих решений в смысле Ляпунова. Решение этой задачи (когда это возможно) дает представление о характере решений уравнений возмущенного движения (5.47), близких к какому-либо либрационному решению, соответствующему какой-либо из возможных точек либрации, координаты которой обращают в нуль правые части уравнений (5.47) при любом значении независимой переменной v. Однако задача об устойчивости точек либрации, т. е. задача об устойчивости нулевого решения системы (5.47), вообще чрезвычайно сложна и решение ее в самом общем виде, т. е. при любых законах действующих сил, вряд ли может быть выполнено и доведено до конца. [c.249]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...