Резольвента сингулярная

Элементы теории резольвенты. Результаты, установленные в предыдущих параграфах, позволяют развить для резольвенты сингулярной системы (5.12) теорию канонических ядер и главных функций, аналогичную теории Гурса для резольвенты уравнений Фредгольма для одного уравнения это показал Жиро [10а, б]. [c.155]

Для применения методики определения параметров сингулярных ядра и резольвенты, а также модуля упругости, коэффициента Пуассона необходимо иметь достаточное количество кривых [c.239]

Класс компактных операторов оказывается слишком узким, чтобы описать все физически интересные случаи. Он не описывает унитарные операторы (т. е. операторы, сохраняющие норму все С. з. таких операторов представляются в виде с , <р IR), а также дифференциальные операторы, к-рые, как правило, не ограничены. Обобщением понятия С. з. для таких операторов служит понятие спектра а А) оператора А. Число А. принадлежит спектру. оператора, если резольвента оператора А, Л(Я) = (Я/ — А)- , будет сингулярным оператором. Все С. з. А будут принадлежать о(А) [они будут изолированными (дискретными) точками а(.4)1. Однако помимо этих точек а А) обычно содержит непрерывную часть, состоящую из таких точек Я, для к-рых оператор Д(Я) определён, но не ограничен. В обычном смысле таким Я не соответствует никакая собств. ф-ция, тем не менее аналог разложения по базису собств. ф-ций задаётся спектральным разложением. [c.568]

Из (16.1.15) следует, что это уравнение должно иметь место при любых значениях z, принадлежащих контуру С однако контур С можно свободно деформировать при условии, что он обходит сингулярности резольвенты М (z). Следовательно, уравнение [c.173]

Так как оператор Лиувилля эрмитов, сингулярности резольвенты лежат на действительной оси комплексной плоскости 2 . Поэтому оператор R z) = -iz- -iL) можно аналитически продолжить и в нижнюю полуплоскость комплексной переменной 2 . [c.192]

В 7 развита теория сингулярной резольвенты и заново доказаны теоремы Фредгольма для интегральных уравнений первой и второй граничных задач классической теории упругости. [c.123]

Сингулярная резольвента. Свойства и применения [c.178]

СИНГУЛЯРНАЯ РЕЗОЛЬВЕНТА. СВОЙСТВА И ПРИМЕНЕНИЯ [c.179]

Функциональные уравнения резольвенты. Первая теорема Фредгольма. Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение с оператором (7.2) [c.187]

Мы получили теорему, аналогичную первой теореме Фредгольма существует сингулярная резольвента N (х, у х), мероморфная функция параметра х(5 П, удовлетворяюш ая функциональным уравнениям (7.55) и (7.56) и такая, что для УС и отличных от полюсов N (х, у х), уравнение (7.37) имеет решение, единственное и представимое формулой [c.190]

Таким образом, задача сводится к решению уравнений (7.87) и (7.88). Уравнение (7.88) есть уравнение с сингулярным ядром А (х, у 0), и его резольвентой, согласно (7.76), является А (х, у х) поэтому не является характеристическим числом для уравнения (7.88), и его решение находится по первой теореме Фредгольма, уже доказанной выше. [c.195]

С помощью теории резольвенты установить свойства дифференцируемости решений сингулярных интегральных уравнений и доказать теоремы вложения. [c.199]

Теоремы о простоте полюсов резольвенты. В 4 главы VI было доказано, что характеристические числа сингулярных интегральных урав нений основных задач (первой и второй) статики являются простыми полюсами резольвент. [c.297]

Из формул, установленных в этом параграфе, так же. как это делается для обычных уравнений Фредгольма. можно получить теорию главных функций и канонических ядер для наших сингулярных уравнений. На этом мы не будем останавливаться в общем случае, когда х = Хо есть кратный полюс резольвенты, и рассмотрим детально только случай простого полюса. С точки зрения приложений в теории упругости именно этот случай представляет наибольший интерес задачи теории упругости, как будет показано в 1 и 2 гл. VI, приводят к таким уравнениям, которые допускают только простые полюсы соответствующих резольвент. [c.157]

Уравнение (5.83) есть уравнение с сингулярным ядром А(х, у 0) его резольвентой, согласно (5.69), является А х, у х), поэтому х = у.ц пе является собственным числом для уравнения (5.83), и решение этого уравнения находится по первой теореме Фредгольма. доказанной для сингулярных уравнений в 9. [c.159]

Ядра интегральных уравнений (9.125 ) и (9.126 ), очевидно, от параметров 1 не зависят, а зависят только от параметров Х , 1 . Считая эти последние фиксированными, можем утверждать, что рассматриваемые ядра не зависят от х. Согласно теореме 4 2 гл. VII для того, чтобы иметь решения функциональных уравнений (9.125) и (9.126), достаточно найти решения интегральных уравнений (9.125 ) и (9.126 ). Эти сингулярные уравнения, как следует из гл. V, допускают решения в общем случае лишь для тех значений х, которые не являются полюсами резольвенты. Резольвента представляется в виде отношения двух сходящихся всюду степенных относительно рядов, и полюсом резольвенты может быть только нуль степенного ряда, стоящего в знаменателе. По теореме 2 1 гл. VI и по теореме 2 2 гл. VII характеристические числа уравнений (9.125 ) и (9.126 ), т. е. нули знаменателя резольвенты, не могут быть по модулю меньше единицы, и, так как согласно равенству (9.127) х < 1, они не могут быть характеристический числами. Поэтому резольвенты уравнений (9.125 ) и (9.126 ) представляют собою степенные ряды относительно х, сходя- [c.316]

Чтобы при помощи преобраловапия Л получить функцию Ляпунова (уравнение (36)), необходимо тщательно исследовать сингулярности резольвенты, соответствующей оператору Лиувилля (21). Можно показать, как это недавно сделали Теодосопулу и др. [24], что при небольших отклонениях от термодинамического равновесия функционал Ляпунова И (уравнение (36)) сводится к макроскопической величине S" S (уравнение (9)). Кроме того, при этом во времени эволюционируют только величины, удовлетворяющие закону сохранения. Это означает, что нам удалось в самой общей форме, по крайней мере для онзагеров-ской области, установить взаимосвязь между термодинамикой необратимых процессов и статистической механикой. Следует подчеркнуть, что, по существу, это означает дальнейшее расширение применимости результатов, давно полученных в рамках теории Больцмана, справедливой для разреженных газов (25). [c.152]

Недостаток уравнений (16.4.8), (16.4.11) состоит в том, чтО они устанавливают связь между компонентами резольвенты 31 (z) и компонентами оператора П> по определению не зависящими от z. Было бы удобнее вместо них получить соотношения, в которые входили бы только не зависящие от z операторы. Способ построения зтих соотношений подсказывается самой структурой оператора резольвенты. С первого взгляда видно, что значение z = О играет совершенно особую роль все члены наших уравнений (кроме одного) имеют явно выраженную сингулярность (полюс) в точке Z = 0. Разумеется, априори нам ничего не известно относительно поведения других зависящих от z операторов в уравнениях, в частности относительно их сингулярностей. Поэтов1у на данном этапе мы вынуждены сделать дополнительные предположения о характере их поведения. На первый взгляд эти предположения кажутся произвольными, поэтому постараемся успокоить встревоженного читателя. То утверждение, которое вводится здесь как жесткий постулат, в действительности является квинтэссенцией опыта, накопленного в течение многих лет работы с такими операторами. Позже будет показано, что существуют нетривиальные физические системы, удовлетворяюпще этим предположениям. [c.174]

С помощью ядра (6.1) А. П. Бронский описывал процессы последействия в резине. Резольвенту ядра типа (6.1) найти не удалось, но А. П. Бронский показал, что приближенно в качестве резольвенты можно принимать функцию того же вида. А. Р. Ржаницын (1946) сформулировал условие ограниченности ядра и предложил новое сингулярное ядро, более простое по сравнению с (6.1) и обладающее сходными свойствами [c.150]

Р. Я. Ивановой [23] была рассмотрена задача о качении вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала. Задача решалась в плоской постановке при исходных физических интегральных зависимостях наследственного типа. Предполагалось, что движение катка начинается в момент времени —оо и продолжается с постоянной скоростью объемное последер вие отсутствует. Путем привлечения принципа Вольтерра задача решалась в рамках теории упругости с помощью метода Н. И. Мусхелишвили [38]. Полученные при этом два сингулярных уравнения типа Фредгольма содержат реологический оператор, который выражается через резольвенту ядра наследственности при сдвиге. После введения подвижной системы координат и замены дуги окружности катка дугой параболы одно из этих интегральных уравнений, которое соответствует мнимой части соотношения Мусхелишвили, удалось привести к форме, даюшей возможность решить его по методу Карлемана. Для конкретности резольвента ядра наследственности была взята в внде совокупности простых экспоненциальных ядер. Даже в этом случае получение численного результата было связано со значительными вычислительными трудностями. Решение выписано в квадратурах вычисление их осуществлялось приближенно применительно к материалам, обладающим достаточно большим временем релаксации. [c.403]

Теоремы существования, которые мы доказали выше, опираясь на теорему о простоте полюсов резольвенты, могут быть доказаны и в том случае, когда полюс резольвенты не предполагается простым. Для интегральных уравнений Фредгольма и для задач о колебании мембраны и об упругих колебаниях это было показано автором в работах [13а, д.]. Позже (1952 г.) к тем же результатам в частном случае задачи Дирихле и только для уравнения мембраны пришел Вейль в работе [46]. Для того чтобы указанный метод распространить на системы сингулярных интегральных уравнений, необходимо теорию этих уравнений, изложенную в гл. V, дополнить теорией главных функций и канонических ядер Гурса [7], что, конечно, нетрудно сделать. Мы, однако, на этом не останавливаемся, так как в теории упругости, как мы видели, случаи полюсов высших порядков не встречаются. [c.205]

Ясно, что сингулярная часть К г) действует из РВ в РВ, а регулярная - из Ц- Р) В в I - Р) В. Более того, из классических свойств ряда Лорана следует, что сингулярная часть сходится для любого к следовательно, - единственная особенность резольвенты оператора, суженного на РВ. Если РВ конечномерно, то Р- проектор на жорданову клетку, соответствующую собственному значению Далее легко видеть, что если РВ конечномерно, то собственное значение, и главная часть в (1.7) конечна, т.а. особенность - полюс. Размерность РВ называется алгебраической кратностью собственного значения Геометрическая кратность есть размерность подпространства, натянутого на собственные векторы, соответствующие она не превосходит алгебраической кратности. [c.274]

Спектральные возмущеннп операторов, резольвенты которых сходятся по норме. Приложения к усредиеиию и сингулярным возмущениям [c.278]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...