Эргодическая классическая

В дальнейшем мы увидим, что при известных условиях справедливо и более сильное утверждение, а именно что величина ф Р) постоянна не только на траектории, но и во всей области Q. Это свойство инвариантных областей играет фундаментальную роль в статистической механике. Впервые оно было высказано в форме правдоподобной гипотезы в кинетической теории газов, где эргодическая теорема используется весьма широко. Нетрудно видеть, что это свойство (постоянство функции ф (Р) в области Q) не имеет места для уравнений Гамильтона в классической динамике Для того чтобы оно выполнялось, необходимо, чтобы система обладала некоторыми особыми свойствами, о которых речь будет ниже ( 22.15). [c.443]

Как уже говорилось в основной тексте, мы хотим отразить здесь современное состояние эргодической проблемы — классического вопроса, который традиционно связан со статистической механикой с самого ее зарождения. За последнее десятилетие в зтой области был достигнут весьма значительный прогресс, что привело к возникновению парадоксальной ситуации. С одной стороны, удалось пролить свет на невероятную сложность поведения динамических систем. Теперь ясно, что даже отдельная малая динамическая система проявляет в течение своей эволюции множество особенностей, которые прежде рассматривались как чисто статистические . С другой стороны, эргодическая теория в своем развитии все больше отделяется от статистической механики. В настоящее время представляется весьма затруднительным привлечение результатов эргодической теории для обоснования статистической механики. [c.354]

Бремени закон распределения вероятностей будет один п тот же, а именно эргодический. (Мы подразумеваем, конечно, под начальными состояниями не микросостояния в классическом смысле, не точки фазового пространства, а такие состояния, которые могут осуществляться и подбираться в действительности, см. гл. V.) Осуществление макроскопически заданных условий гарантирует нам — независимо от всяких возможностей подбора (совместимого с заданными макроскопическими условиями) осуществление после времени релаксации заранее определенного распределения результатов измерений. Последняя фраза выражает тот бесспорный факт, что вероятностные законы, описывающие статистические системы, дь й-ствительно существуют. И, кроме того, поскольку эти законы гарантируют нам определенные исходы испытаний и освобождают нас от необходимости проверять, нет ли ка-кого-нибудь специального п о д б о р. ч начальных состояний внутри заданных макроскопических условий, то эта фраза означает, что статистические законы действительно таковы, какими по 12 должны быть законы природы Выяснение того, каким образом возможно существование подобных, не поддающихся интерпретации в классической теории законов статистической физики, должно быть целью так называемого обоснования статистики (см. гл. V). [c.71]

Несмотря на то, что опубликовано уже много работ, посвященных выяснению связи физической статистики и квантовой механики, до сих пор не внесена ясность в вопрос о том, в какой мере решена эта задача. Во всяком случае, в этом отношении нет никакого единогласия. До сих пор никто не предложил полной программы тех вопросов, которые должны быть выяснены для решения проблемы обоснования статистики никто не показал, что предложенные схемы, в частности те квантовомеханические схемы, которые могут рассматриваться как доказательства jff-теоремы, эргодической теоремы и других, дают все, что необходимо для обоснования статистики. В частности, никто не установил, каким образом квантовомеханические понятия, фигурирующие в этих схемах, переходят в понятия макроскопических опытов, имеющие существенно классический характер (в том смысле, что для соответствующих величин размерности действия — постоянная h пренебрежимо мала). [c.134]

Статистическая гидромеханика широко использует результаты и методы классической гидромеханики и теории вероятностей. Поэтому знание указанных двух дисциплин сильно облегчит знакомство с настоящей книгой. Тем не менее мы надеемся, что наша книга будет доступной и для лиц, имеющих лишь общую математическую и физическую подготовку. Имея з виду таких читателей, мы включили в первые два раздела основные сведения из классической гидромеханики (начиная с уравнений неразрывности и движения) и из теории вероятностей (начиная с самого понятия вероятности). Уже в этих главах, как и во всех дальнейших, мы старались уделять основное внимание принципиальным вопросам, не задерживаясь на технических деталях. С этим стремлением связано то, что мы нигде не излагаем методов решения встретившихся дифференциальных уравнений или других стандартных математических задач, а сразу приводим ответ (который иногда совсем нелегко найти). В то же время мы сравнительно подробно останавливаемся на некоторых недостаточно широко известных, но важных математических вопросах, традиционно опускаемых во всех книгах и статьях, предназначенных для механиков или физиков (типа, например, вопроса об эргодических теоремах или спектральных разложениях случайных полей) этим объясняется то, что целых два раздела книги посвящены математической теории случайных полей. [c.25]

Основная идея излагаемого ниже метода [135] заключается в том, чтобы показать, как эргодические свойства квантовой Я-системы в классическом переделе приводят к быстрому затуханию [c.198]

Для иллюстрации современного состояния теории нелинейных колебаний и волн остановимся здесь кратко лишь на двух ее направлениях — исследовании когерентных состояний и сложных детерминированных структур и анализе случайного (стохастического) поведения детерминированных систем. Взаимосвязь динамики и статистики волнует физиков уже на протяжении столетия, и, конечно, главным всегда был вопрос можно ли строго получить статистическое описание из динамического До недавнего времени ответ был отрицательным. Возникновение случайности в классической (неквантовой) динамической системе (не подверженной действию шумов) связывалось исключительно с ее сложностью — чрезвычайно большим числом степеней свободы (например, газ в сосуде), когда детерминированное описание просто теряет смысл, хотя в принципе и возможно. При этом переход к вероятностному описанию основывался на какой-либо гипотезе (например, эргодической). Появившаяся сейчас строгая теория позволяет утверждать, что нелинейные динамические системы могут в прямом смысле [c.14]

Эргодические проблемы классической механики. — Ижевск Ижевская республиканская типография. — 1999, 284 стр. [c.4]

Книга представляет собой русский перевод ставшей уже классической монографии, написанной авторами на французском языке. В ней изложены основы эргодической теории без излишнего формализма, приводится ряд примеров из классической и небесной механики. [c.4]

Во всех известных примерах классических эргодических систем ранг дискретного спектра меньше или равен размерности пространства М. Естественно предположить, что этот ранг всегда конечен. Вот результат, полученный в этом смысле. [c.145]

Теорема П16.1. Пусть (М, ц, — классическая эргодическая динамическая система. Если собственные функции индуцированной унитарной группы Щ непрерывны, то [c.145]

Теорема П16.2. Пусть (М, //, (fit) — классическая эргодическая система, Ранг подгруппы дискретного спектра, образованного собственными значениями непрерывных собственных функций, меньше или равен Ьх- [c.145]

Эргодические проблемы классической механики [c.282]

Квазислучайные динамические системы. Теория классических динамических систем распадается на две большие ветви — топологическую эргодическую теорию . Последняя имеет дело с отображениями, сохраняющими некоторую меру. [c.146]

В заключение заметим, что наиболее интересная и важная задача в данной проблематике — это исследование эргодических свойств газа Лоренца со случайным расположением рассеивателей. Эта задача тесно связана с классической (но еще не решенной до конца) задачей о случайных блужданиях в [c.196]

Еще Больцман высказал эргодическую гипотезу — идею о равновероятности всех состояний изолированной системы [4]. Эта гипотеза с топологической точки зрения не может быть верна, и она была заменена квазиэргодической [56] фазовая траектория обязательно проходит через сколь угодно малую окрестность любой точки на эргодической поверхности. Эргодическая гипотеза дала начало больщому разделу математики — эргодической теории. Я. Г. Синай доказал ряд теорем по эргодичности систем, состоящих из твердых сфер [57]. Однако остается открытым вопрос относительно систем, состоящих из частиц, между которыми действуют силы притяжения. Кроме того, в классической эргодической теории не учитывается макроскопический [c.215]

В содержание книги включен не только традпционньп материал курсов аналитической механики. Значительное место удел-ено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о ра Дсляемости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашл свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. [c.2]

В содержание книги включен не только традиционный материал курсов аналитической механики. Значительное место уделено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о разделимости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашло свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. Книга заканчивается теорией периодических орбит. Использование здесь (и в некоторых других местах) простейших понятий и рассужденир теории множеств не может затруднить внимательного читателя. [c.10]

Конечно, это условие не всегда выполнимо. Для простых динамических систем, движущихся согласно периодическому закону, ни при их классическом, ни при квантовом рассмотрении функция Ляпунова существовать не может, ибо такие системы через некоторое время возвращаются в исходное состояние. Возможность существования оператора М определяется типом спектра оператора Лиувилля. В рамках классической эргодической теории этот вопрос недавно изучил Мисра [23]. Я постараюсь рассмотреть здесь некоторые следствия возможности существования оператора М уравнения (36), который можно рассматривать как энтропию систем, анализируемых на микроскопическом уровне. Поскольку М — величина положительная, то согласно общей теореме ее можно представить в виде произведения оператора, скажем, и сопряженного эрмитова оператора (Л" )" " (эта операция означает извлечение из положительного оператора квадратного корня) [c.148]

Все сказанйое до сих пор в этом параграфе относилось к характеристике принципиальных возможностей, предоставляемых классической механикой для интерпретации статистики. Отметим сейчас один хорошо известный недостаток, присущий всем проводившимся до сих пор многочисленным исследованиям по эргодическим системам отсутствие эффективного критерия, который позволил бы судить, принадлежит ли физическая система к тому или иному из математически определяемых классов динамических систем. Это, конечно, не принципиальный недостаток классической механики, а недостаток того направления, в котором до сих пор развивались такие исследования. Даже после исследований Биркгофа в 1931 г. [11] и появления многих замечательных работ, указанный недостаток продолжает сохраняться. В частности, существующие исследования не дают возможности установить не только точную, но и приближенную, качественную связь между теми или иными свойствами эргодичности динамических систем (например, свойствами спектра унитарного оператора движения) и типом гамильтониана. [c.42]

Таким образом, либо мы должны отказаться от основанной целиком на классической механике теории статистических систем, либо, в противоречии с возникшим из опыта убеждением в полной применимости вероятностного описания, считать, что эти явления не подчиняются никакой вероятностной схеме, имеют алгорифм, и лишь имитируют некоторые свойства вероятностных рядов (Мизес [13], стр. 530). Исходя из вероятностного характера изменения энтропии, Мизес пришел к заключению, что дифференциальные уравнения механики (в частности, эргодическая гипотеза) не могут рассматриваться как основа для построения статистической физики [8J. Мизес предложил чисто вероятностную схему описания процессов в статистических системах (схему типа цепей Маркова [14 ), но совершенно не ставил вопрос о связи этой схемы с принципами микромеханики. [c.54]

Последнее заключение уже может быть непосредственно сопоставлено с опытом. Чтобы представить себе результат сравнения, достаточно учесть, что именно установление равномерного распределения на поверхности заданной энергии (при эргодическом мероопределении) характеризует произошедшую в системе релаксацию. Если бы в действительности— в полном реальном ансамбле — системы были бы равномерно распределены на поверхности заданной энергии, то практически возможность встретить систему в неравновесном состоянии была бы совершенно исключена это было бы столь же мало вероятно, как и возможность встретить систему в неравновесном состоянии после времени релаксации. (Мы говорим здесь о вероятностном распределении систем в реальном ансамбле, забывая о том, что, согласно 13, это незаконно указанный вероятностный закон следует себе представить, например, подобно вероятностному закону в реальном ансамбле, образованном колодой карт, в примере 13 в настоящем параграфе мы ставим себе целью, следуя за обычным ходом рассуждений в классической теории, выяснить возможности, предоставляемые использованием понятия реального ансамбля, независимо от аргументации 12 и 13.) В действительности мы находим сколько угодно систем, не находящихся в состоянии равновесия констатируем наличие разностей температур частей тела или различных тел, наличие разностей давлений и концентраций и т. д., одним словом,— наличие всевозможных кинетических процессов, свидетельствующих об отсутствии термодинамического равновесия в тех системах, в которых они происходят. Таким образом, сделанные нами предположения приводят нас к выводу о практической невозможности (ничтожно малой вероятности) явлений, наблюдаемых в действительности. Следовательно, наши предположения должны быть отвергнуты. [c.76]

Действительно, Цермело исходит из предположения, что существует некоторое безусловное (в противоположность условному, возникающему при условии, что предварительный опыт выделил область ДГ ) и инвариантное относительно движения, т. е. стационарное, распределение вероятностей. Приняв, несколько произвольно, за меру вероятности меру по Лиувил-лю (т. е. на поверхности заданной энергии эргодическую меру), Цермело пришел к равномерному распределению вероятностей иа поверхности заданной энергии. Между тем, ни предположение безусловных вероятностей, ни предположение стационарности закона распределения вероятностей не являются в классической теории непосредственно необходимыми. Поэтому ответ, который, по существу, давался в статистической физике на аргументы Цермело, заключался в том, что, отказываясь от этих предположений, принимали существование условных вероятностей и нестационарного распределения вероятностей принимали существование вероятностей в условиях того, что опыт [c.78]

Мы видели, что последняя трудность, связанная с конкретным видом вероятностной схемы, так же как и неудовлетворительность описания состояния релаксации (неприменимость флюктуационной формулы), не являются логически необходимыми следствиями классического характера теории их можно из-бел ать, если при интерпретации Я-теоремы итти по пути, охарактеризованному в 4 и 8. Мы указали здесь, тем не менее, на эти добавочные недостатки интерпретации Я-теоремы с помощью ступенчатой -кривой, так как эта интерпретация очень распространена, благодаря ее мнимой простоте и кажущейся возможности получить ее при помощи эргодической гипотезы или даже при помощи менее точного качественного динамического утверждения. Кроме того, переход от интегральной Я-теоремы к локальной существенен для одной из основанных на квантовой механике трактовок вопроса о необратимости работы Неймана [21], Паули и Фирца [22]), где присущих такому переходу недостатков уже нельзя избежать способом, подобным тому, который может быть использован в классической теории. [c.119]

Сразу после возникновения квантовой механики стали появляться работы, целью которых было вновь рассмотреть вопрос об обоснованди статистики. В самом появлении этих работ, в возобновлении интереса к этому старому вопросу, в самой надежде найти его репхение, исходящее из квантовой теории, отразилось, как уже говорилось в 3 главы I, скрытое сознание того, что этот вопрос не получил достаточно удовлетворительного решения на основе классической механики. Действительно, никто не стал бы утверждать, что целью этих работ был просто перевод на квантовый язык решения вопроса, уже существующего в классической теории, и, в частности, распространения его на случай квантовых статистик. Очевидно, что с появлением квантовой механики возникла надежда на то, что удастся избежать различных предположений, делавшихся в классической теории, в особенности различных усреднений или, говоря точнее, различных предположений равновероятности (вроде предположения равновероятности фаз молекул в конфигурационном пространстве, позволившего Больцману доказать ZT-теорему для идеального газа), или удастся избежать эргодической гипотезы и т. д. и, по крайней мере, удастся придать выводам теории более общий смысл. [c.134]

Цель, которая должна быть поставлена перед квантовыми теориями, посвященными обоснованию статистики, по существу совпадает с той, которая ставилась в работах, исходивших из классических представлений. Эта цель заключается в том, чтобы дать интерпретацию не только некоторым частным проблемам — эргодичности илп ZT-теоремы, как обычно ставилась задача, но и всей совокупности принципов, лежащих в основании физической статистики. Эти принципы — эргодический характер временных средних, равномерная (относительно начальных состояний и относительно выбора той или иной величины заданной группы величин) сходимость к пределу временных средних, существование релаксации п /f-теорема — были охарактеризованы нами в 1 главы I. До сих пор обычно оставлялись в стороне утверждения о равномерной сходимости и о релаксации (в том смысле, что после некоторого времени — времени релаксации — вероятности состояний должны определяться флюктуационной формулой). Мы будем различать в дальнейшем две части проблемы необратимости проблему монотонного возрастания энтропии, которую будем называть ЛГ-теоремой, и проблему релаксации, имеющую только что определенный смысл. Совокупность указанных принципов лежит в основании как классической, так и квантовых статистик. В квантовых статистиках эти утверждения выражаются лишь на квантовом языке, так же как и понятия состояний системы, вероятностных распределешш, эргодических средних и т. д. [c.135]

Арнольд в. И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. [c.117]

В классической механике используются весьма разнообразные математические методы и понятия дифференциальные уравнения и фазовые потоки, гладкие отображения и многообразия, группы и алгебры Ли, симплектическая геометрия и эргодическая теория. Многие современные математические теории возникли из проблем механики и лишь впоследствии приняли тот аксиоматически-абстрактный вид, который так затрудняет их изучение. [c.9]

Книга представляет собой сборник переводов недавних работ известного американского математика. В них исследуются топологические и метрические свойства классических динамических систем, удовлетворяющих условию гиперболичности (пернолические траектории, энтропия, инвариантные меры). Исследование проводится методами символической динамики, иитенсивно развивающимися в последнее десятилетие. Теория, излагаемая в книге, интересна своими связями с различными задачами дифференциальных уравнений, эргодической теории, статистической физики. [c.4]

Каждая из четырех частей книги может служить в качестве основы курса, приблизительно соответствующего тоовню аспиранта второго года. Этот курс может быть односеместровым или более длинным. Данная книга может служить источником множества специализированных курсов, посвященных таким, например, темам, как вариационные методы в классической механике, гиперболические динамические системы, закручивающие отображения и их приложения, введение в эргодическую теорию и гладкую эргодическую теорию и математическая теория энтропии. Для того чтобы облегчить выбор материала для курса как студентам, так и преподавателям, мы изобразили основные взаимозависимости между главами в виде диаграммы на рис. 1. Сплошная стрелка А —> В показывает, что основная часть материала из главы А используется в главе В (это отношение является транзитивным). Пунктирная стрелка А — — В показывает, что материал из главы А используется в некоторых частях главы В. [c.14]

Противоположный вгляд на механические системы со многими степенями свободы был выдвинут Больцманом при попытке понять поведение разреженных газов. Он считал, что движение молекул следует рассматривать как случайное, причем каждой молекуле доступна вся энергетически разрешенная область фазового пространства. Эта точка зрения известна как эргодическая гипотеза, ставшая основой классической статистической механики. Она была с успехом использована при объяснении многих наблюдаемых свойств вещества. [c.14]

Это глубокое противоречие между существованием интегрируемых систем, с одной стороны, и эргодических, с другой, было симптомом некоторой фундаментальной нерешенной проблемы классической механики. Определенный вклад в разрешение этого противоречия внес Пуанкаре он продемонстрировал, что в окрестности неустойчивых неподвижных точек движение имеет чрезвычайно сложный характер. Это был первый намек на то, что регулярные силы могут порождать стохастическое движение в нелинейных колебательных системах. Впоследствии ]Зиркгоф [29] показал, что при рациональном отношении частот для двух степеней свободы (резонанс) всегда существуют как устойчивые, так и неустойчивые неподвижные точки. Резонансы все более высокого порядка и более мелкого масштаба последовательно изменяют топологию фазовых траекторий и приводят к образованию цепочки островов . Было установлено, что ряды теории возмущений не описывают такие резонансы. [c.14]

Максвелл, Больцман, Гиббс и Пуанкаре впервые предложили статистическое изучение сложных динамических систем, которое известно сейчас как эргодическая теория . Однако математические определения и первые важные теоремы появились благодаря Дж. фон Нейману, Дж. Д. Биркгофу, Э.Хопфу и П.Р. Халмошу, да и то в тридцатых годах нашего столетия. В последние годы появилось новое направление, основанное на теории информации Шеннона. Основной результат, полученный Колмогоровым, Рохлиным, Синаем и Аносовым основан на глубоком исследовании класса сильно стохастических динамических систем. В этот класс включаются все достаточно неустойчивые классические системы. Среди этих систем особую роль играют геодезические потоки на пространствах отрицательной кривизны. Этот случай изучался Ада-маром, Морсом, Хедлундом, Хопфом, Гельфандом, Фоминым. С другой стороны. Синай доказал, что модель Больцмана-Гиббса, которая является системой жестких сфер с упругими столкновениями, принадлежит также к этому классу, что доказывает эргодическую гипотезу . [c.9]

Данная книга в основном представляет собой перевод с немецкого книги К. Л. Зигеля Лекции по небесной механике . Потребность в новом издании и переводе на английский язык привели к появлению этого труда, который, однако, представляет собой нечто большее, чем просто перевод. Для того чтобы учесть последние работы в этой области науки в книгу были добавлены несколько параграфов, особенно в третью главу, посвягценную теории устойчивости. Тем не менее, мы не пытались представить полный обзор этой области, и, в основном, следовали структуре оригинальной книги Зигеля. В книге особо выделены результаты и аналитические методы, основанные на идеях А. Пуанкаре, Дж. Д. Биркгофа, А. Ляпунова, и, что касается первой главы, на работе К. Ф. Зундмана и К. Л. Зигеля. В последние годы вновь возник интерес к разделам механики, связанным с теорией меры, что привело к ряду новых результатов, которые не будут здесь обсуждаются. В связи с этой тематикой мы особо рекомендуем интереснейшую книгу В. И. Арнольда и А.Авеца Эргодические проблемы классической механики , которая посвягцена взаимосвязи механики и эргодической теории. [c.11]

Ценность алгебраического подхода подтверждается также достигнутыми им успехами, позволившими существенно расширить общность некоторых замечаний, сделанных относительно моделей Ван Хова и БКШ. Например, в п. 5 мы видели, что при снятии обрезания с взаимодействия из пространства Фока свободного поля исчезает физический вакуум, и это обстоятельство позволяет строить новое представление взаимодействующих полей. Подобная ситуация свойственна не только модели Ван Хова, а встречается также в конструктивных теориях поля Глимма и Джаффе. В п. 6 мы видели, что в модели БКШ вырождение основного состояния связано со спонтанным нарушением калибровочной симметрии. Это обстоятельство наводит на мысль об использовании алгебраического подхода к решению общей проблемы спонтанного нарушения симметрии, и, действительно, в указанном направлении удалось достичь известных успехов. Алгебраический подход позволил также продвинуть решение родственной проблемы — добиться более глубокого понимания механизма фазовых переходов. Различные алгебраические методы успешно использовались при решении многих задач классической и квантовой статистической механики от эргодической теории до исследования конденсации Бозе — Эйнштейна и интерпретации данных по спонтанному намагничению в модели Изинга и способствовали выяснению того, как система приближается к равновесному состоянию. Из других областей физики следовало бы упомянуть исследование оптической когерентности (методом пространства Баргмана). Алгебраический подход позволяет понять, где именно и в каком направлении формализм Баргмана выходит за пределы обычного формализма пространства Фока. [c.49]

Чтобы подготовить себя к последующему изучению систем, допускающих топологические группы симметрии, мы построим козариантную теорию представлений. При этом мы будем обращать особое внимание на представления, ассоциированные с инвариантными состояниями. С одной стороны, такая теория ведет к квантовым обобщениям классической эргодической теории, а с другой стороны, дает нам основу для анализа (в после- [c.195]

Введение. Под эргодической теорией для общих групп (иначе — под теорией динамических систем с общим временем ) понимают изучение произвольных групп преобразований с инвариантной или квазиинвариантной мерой. Классическая эргодическая теория изучает случай групп 2 и R . На первых порах переход к более общим группам мотивировался пользой для изучения классического случая. Один из наиболее ранних и интересных примеров такого рода принадлежит И. М. Гель-фанду и С. В. Фомину [14] геодезический поток на замкнутой поверхности постоянной отрицательной кривизны можно рассматривать как действие однопараметрической (гиперболи- [c.78]

Основные результаты, описывающие топологические и эргодические свойства геодезических потоков с гиперболическим поведением траекторий (и многообразиях без сопряженных или без фокальных точек, или отрицательной кривизны), а также их связь с римановой геометрией и классической механикой приведены в обзоре [33]. Там же имеется обширная библиография по этой теме, а также рассмотрены другие динамические системы геометрического происхождения (потоки реперов и потоки орициклов). [c.227]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...