Круговые Уравнения в перемещениях

Круговые кольца 117. 287, 309 — Изгиб 288—297, 309—334 — Расчет — Методы 309, 310, 312. 318, 335 — Уравнения в перемещениях 289, 290 — Уравнения дифференциальные и их решение 288—297, 309— 312 [c.817]

Уравнения в перемещениях 289, 290 Круговые стержни гибкие — Влияние [c.817]

Для вывода уравнений колебаний кругового стержня в своей плоскости добавляем силы инерции, вызванные продольными, поперечными и угловыми перемещениями (плоский случай), в уравнения равновесия [c.177]

Уравнения (3.32) выражаем через продольное и поперечное перемещения оси стержня как и в п.2.5.1. Далее используем метод Фурье разделения переменных. Система дифференциальных уравнений колебаний кругового стержня в своей плоскости с учетом инерции вращения в амплитудном состоянии примет вид [c.177]

Наконец, при помощи (23.1.1), (23.1.5), (23.1.6) можно получить уравнения равновесия в перемещениях для круговой цилиндрической оболочки [c.335]

Аналогичный подход используется и для исследования задачи о вращении штампа круговой формы в плане (площадка контакта представляет собой круг радиуса Ь) на границе упругого изнашиваемого полупространства. Однако в этом случае, как следует из уравнения (7.42), перемещения в центре площадки контакта, обусловленные износом, равны нулю, что должно привести к росту давлений в этой точке. Этот процесс, в свою очередь, приведёт к необратимым пластическим деформациям в центре площадки контакта. Таким образом, для штампа круговой формы в плане решение задачи теории упругости будет справедливо во всей зоне контакта, за исключением малой области радиуса а вблизи центра площадки контакта. При этом собственные функции Un p) уравнения (7.51) могут быть найдены из анализа уравнения (7.47) с симметричным положительно определённым ядром (7.48) при а/Ь 1. [c.379]

После подстановки полученных выражений для обобщенных внутренних усилий и моментов в (6.8) получаем в перемещениях следующую систему дифференциальных уравнений равновесия для круговой трехслойной пластины [c.311]

Вторые производные для двух других составляющих перемещения V и ТП) можно получить круговой перестановкой в уравнениях [а] букв л , у г. [c.224]

Общие рещения получаются только для областей круговой формы, которые не содержат точку г = 0. Покажем, как при этом могут быть вычислены перемещения Ыг- Для плоского напряженного состояния справедлив закон Гука в форме (8.24), кинематические уравнения в случае осевой симметрии принимают вид [c.205]

Уравнения колебаний круговой цилиндрической оболочки в перемещениях имеют вид [c.423]

Эти выражения показывают, что собственные формы колебаний обеих масс описываются одной и той же гармонической функцией с круговой частотой р и фазовым углом ф. Буквами Л и В обозначены максимальные значения перемещений, или амплитуды, при колебательных движениях. Подставляя представления (д) и (е) в уравнения (в) и (г), получим следующую систему алгебраических уравнений [c.193]

Уравнение (т) является характеристическим, соответствующим однородным дифференциальным уравнениям движения в перемещениях, и его корни представляют обратные величины квадратов круговых частот. Корни можно определить по одной из следующих формул [c.218]

Воспользуемся теперь итерационным методом и определим собственное значение и собственный вектор, соответствующие основной форме колебаний системы с несколькими степенями свободы. Поскольку при использовании этого метода решение сходится к наибольшему собственному значению, здесь следует применять уравнения движения в перемещениях, где наибольшее собственное значение равно обратной величине квадрата наименьшей круговой частоты. Таким образом, из уравнения (4.9) имеем [c.291]

П. 4. Применение. методов теории потенциала к круговой цилиндрической оболочке с отверстием. Эффективный процесс решения сложных краевых задач для цилиндрической оболочки с произвольным вырезом предложен в работах Д. В. Вайнберга и А. А. Синявского [5.16, 5.17]. Следуя Н. А. Кильчевскому [5.67, 5.68], авторы исходят из формулы Грина для системы уравнений пологой круговой цилиндрической оболочки в перемещениях. В механической интерпретации формула Грина выражает теорему о взаимности [c.328]

Получить уравнения равновесия в связанной системе координат для кругового (плоского) консольного стержня, нагруженного сосредоточенной мертвой силой Р<>) и следящей распределенной нагрузкой q (рис. 1.20). Силы Р "ис лежат в плоскости чертежа сечение стержня круглое, т. е. осевая линия стержня при нагружении будет плоской кривой. Перемещения точек осевой линии стержня можно считать малыми (ограничиться уравнениями нулевого приближения). [c.60]

Рассмотрим геометрическую картину волновых фронтов в области л О (рис. 52). Выражения и и У] — вклад от продольной волны Р с уравнением фронта г = т, а выражения 2 и Уг дает поперечная волна 5, которая содержит волну с круговым фронтом г = ту и головную поперечную волну с прямолинейным фронтом т — X — У 1у — 1 = = 0. Головная поперечная волна 5 порождается бегущей продольной волной Р при ее взаимодействии со свободной поверхностью. Фронт головной поперечной волны касается окружности г = ту в точке 9 = 0о, в которой соз 00 = У . Следовательно, головная поперечная волна существует при 0 < 00- Отметим, что вектор перемещения имеет особенности порядка —1/г на фронтах продольной (г = т) и поперечной (г = ту ) волн. При этом на фронте поперечной волны г — ту , идущей за головной поперечной волной (т. е. при 0 <С 0о), эта особенность появляется при подходе к фронту с любой стороны. Необходимо отметить также наличие особенности на свободной поверхности в точке х = т/р, бегущей со скоростью волн Релея. Эта особенность имеет порядок —1 и присутствует только на свободной поверхности. Ее появление связано с наличием нуля з = р в выражении Р(з) в знаменателях функций и и у. [c.482]

В обоих случаях система приводится к дифференциальному уравнению с переменными коэффициентами 6-го порядка относительно перемещений или ы,. В частном случае круговой оси бруса (р = а) уравнение будет содержать постоянные коэффициенты. Для прямого стержня (9о = 0 Р= эо с1ф = 0, ds = pd9 = d2) получим [c.73]

Мы получили геометрические уравнения теории круговой цилиндрической оболочки. Они устанавливают связь между деформациями в произвольной точке оболочки и перемещениями соответствующей точки срединной поверхности. [c.222]

С увеличением нагрузки при испытании х-колец обнаруживается перелом в диаграмме радиальных перемещений точек внутренней поверхности кольца, лежащих на осях. х и. х. В направлении. х, как и в случае линейного деформирования, радиальное перемещение наибольшее, в направлении X — наименьшее. Круговая форма внутренней поверхности кольца при нагружении выше предела текучести переходит в деформированный квадрат [21], контур которого, как и в линейном случае, может быть описан с помощью уравнения (6.12). Повторное нагружение сопровождается увеличением перемещений практически вдоль того же линейного участка разгрузки, затем в конце его вновь происходит перелом в диаграмме перемещений. [c.197]

Пусть имеется бесконечная плоскость с круговым отверстием радиуса о- В некоторый момент, который принят за начало отсчета времени, к плоскости прикладывается на бесконечности равномерно распределенная радиальная нагрузка до, которая для определенности считается растягивающей. Эта нагрузка изменяется в дальнейшем по закону д (1), д (0) = до. При этом внутри полости действует давление Р ( ), Р (0) = Ро, и радиус полости растет по закону а ), а (0) = ао- Обозначим символом р (г) возраст слоя,радиуса г в момент начала отсчета времени. Радиальное перемещение t, г) и компоненты деформации и напряжения в рассматриваемой плоскости с круговым отверстием должны удовлетворять следующим уравнениям уравнение равновесия [c.123]

Круговая частота низшей или основной моды, называемая основной частотой, равна соо = пс// рад/сек в герцах основная частота равна 1 = j 21). Частоты высших мод равны соответственно f2 = 2 l(2l) герц, /з = Зс/(2/) герц и т. д. Высшие частоты называются обертонами. В случае одномерного упругого тела с нулевыми перемещениями на концах высшие частоты кратны основной. Обертоны с такой простой связью с основной частотой называются гармониками. Лишь для простейших колебательных систем, описываемых одним волновым уравнением, моды колебаний оказываются такими простыми, как рассмотренные в настоящем разделе. [c.392]

Напомним, что во всех приведенных выражениях начальные усилия Т , Т°у, 5 считались найденными из решения уравнений безмоментной теории оболочек (6.35). Воспользовавшись записью энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко (см. 10), можно избежать определения начальных усилий в оболочке, но для этого необходимо найти перемещения точек срединной поверхности оболочки второго порядка малости, как это сделано для кругового кольца и пластин. [c.249]

Искажение круговой формы сечения , характеризуемое перемещением ы и первым слагаемым в формуле для ы , связано только с деформацией Постоянные С, и j определяют перемещения оболочки как жесткой — поворот ее относительно оси у ( j) и поступательное перемещение вдоль оси х ( g). При k > общие интегралы уравнений (6.7) и (6.8) могут быть получены только при некоторых формах меридиана оболочки. В частности, они могут быть найдены для оболочек, срединная поверхность которых получена вращением кривой второго порядка относительно оси симметрии [40 j. [c.297]

Уравнения (4) дают возможность найти законы щ, ф изменения всех обобщенных координат системы (законы управления) для любых заданных функций fj, При прямолинейных перемещениях захвата = f (х) os 0, х = j (t) sin 0 уравнения (4) интегрируются в явном виде [3]. Можно показать, что в этом случае законы управления обладают свойством повторяемости при возвращении захвата в исходную точку координаты Wj, щ, ф принимают первоначальные значения. Другими простейшими (наряду с возвратно-поступательными) движениями захвата являются периодические круговые (г = Га) или эллиптические (г г ), когда [c.10]

Для построения соотношений МГЭ кругового стержня принимаем левовинтовую систему координат с направлением оси ОУ вниз . На рисунке 2.24 показаны положительные направления нагрузки и статических параметров. Положительные направления кинематических параметров принимаем такими же, как и для прямолинейных стержней, т.е. линейные перемещения в направлении осей ОХ, ОУ считаются положительными. Угловые перемещения положительны, если они направлены по часовой стрелке со стороны оси OZ. Равновесие элемента dS (рисунок 2.24) приводит к следующим уравнениям [c.89]

Статические и кинематические параметры напряженно-деформированного состояния кругового стержня удобно представить через начальные параметры. Для этого выразим перемещения v(a), и(а) через начальные параметры в соответствии с выражениями (2.32). Затем перемещения и их производные подставим в зависимости (2.26), (2.28), (2.29). Матричное уравнение МГЭ для кругового стержня примет вид [c.93]

Данный пример показывает, что уравнение МГЭ (2.33) может быть использовано как эталонное решение задачи плоского деформирования жесткого кругового стержня. Практическое применение оно может найти и в расчетах стержневых систем, имеющих криволинейные стержни. Особенности расчета таких систем будут заключаться в составлении уравнений равновесия и совместности перемещений узлов, где сходятся криволинейные и прямолинейные стержни. Уравнения связи граничных параметров будут иметь более сложный вид, чем такие же уравнения прямолинейных стержней. [c.98]

Е. Н. Kennard [3.118—3.121] (1953—1958) рассматривает задачу о малых упругих колебаниях круговой цилиндрической оболочки в развитии статьи [3.84]. Считая, что искомые функции являются аналитическими по z, автор разлагает в ряды по степеням z компоненты тензора напряжений и вектора перемещений. Пользуясь граничными условиями и общими соотношениями теории упругости, автор исключает слагаемые, содержащие производные от искомых величин по переменной г. Это позволяет вывести уравнения движения без привлечения гипотез о неизменяемости нормального элемента и получать уравнения с любой степенью точности, которая оценивается степенью h. Получены уравнения в перемещениях с точностью до включительно. В приближении тонких оболочек предполагается, что hIR очень мало и изменение любой функции вдоль срединной поверхности на расстояниях порядка h тоже мало. В этом случае, как полагает автор статьи, метод степенных рядов справедлив и законно усечение рядов. Показано, что несоблюдение второго условия может приводить к паразитным решениям. Проверкой служит предельный переход h 0. Если в этом случае мембранные уравнения имеют решение и притом единственное, то построенное приближенное решение действительно [c.189]

Геометрическая и силовая схемы должны быть доведены до такой степени идеализации, чтобы условия равновесия описывались системой однородных уравнений. В частности, если рассматривается сжатый стержень, то предполагается, что он имеет совершенно прямолинейную форму, материал однороден и сжимающая сила приложена строго центрально. Если рассматривается сжатое кольцо, то считается, что оно имеет идеальную круговую форйу, а нагрузка распределена по кругу равномерно. Короче говоря, принимается, что влияние начальных отклонений от номнпала несущественно. Возмущения, которые налагаются на систему, являются сколь угодно малыми, и по отношению к этим малым возмущениям и рассматривается поведение системы. Перемещения предполагаются происходящими настолько медленно, что инерционные эффекты, связанные с наличием масс, являются несущественными. [c.107]

Круговая цилиндрическая оболочка представляет собой частный случай оболочки вращения, поэтому теория, изложенная в 26, полностью для нее применима. В частности, может быть проведен числовой расчет произвольно нагруженной оболочки (в том числе и переменной вдоль образующей толщины) путем численного интегрирования уравнений (5.78). Эти уравнения, однако, существенно упрощаются, так как для цилиндрической оболочки os 0 = = 0 sin 0 = 1 г = = R = onst Ri = oo. В отличие от других оболочек вращения, для круговой цилиндрической оболочки с постоянной толщиной стенки дифференциальные уравнения представляют собой систему уравнений с постоянными коэффициентами. Поэтому можно проанализировать их решения в общем виде. Выведем уравнения равновесия цилиндрической оболочки в перемещениях. [c.277]

Дифференциальные уравнения равновесия кругового цилиндра. В последующем ограничиваемся рассмотрением случаев аксиально-симметричной и изгибной деформаций цилиндра. В первом случае осевое w, радиальное и и кольцевое v (перпендикулярное меридиональным плоскостям) перемещения являются функциями цилиндрических координат г, z. Для деформации, названной изгибной, первые две компоненты w п и вектора перемещения принимаются пропорциональными косинусу, а о—> синусу азимутального угла ф. Общий случай (пропорциональность созпф и соответственно sin Пф) здесь не рассматривается. Вместо г, г вводятся безразмерные переменные х, [c.331]

В четвертое и пятое уравнения (3.19.11) усилия Ni и входят алгебраически (это свойство сохраняется и в том случае, когда срединная поверхность отнесена к произвольной системе координат). Пользуясь этим, можнб в первых трех уравнениях (3.19.11) исключить N i, и получить три уравнения относительно усилий и моментов Т , Т , S i, Gi, Gg, которые в свою очередь выражаются через компоненты деформации е,, е , (О, Ki, К2, т с помощью уравнений состояния (5.34.11) или какого-либо другого варианта этих уравнений. Наконец, формулами (4.26.2), (4.26.5) компоненты деформации выражаются через перемещения, что и приводит нас к трем уравнениям равновесия в перемещениях и , и , w. Эти уравнения очень громоздки и в расчетах используются редко. Они, конечно, зависят от того, какой вариант уравнений состояния был использован при их выводе. Для общего случая мы не будем приводить эти уравнения. Пример их применения будет дан в части V при рассмотрении задачи р круговой цилиндрической Оболочке. [c.75]

Ллойд Гамильтон Доннелл — известный в США и у нас в стране специалист по теории оболочек. Он завершил в 1930 г. в Мичиганском университете докторскую диссертацию, посвященную распространению продольных, волн и удару, под руководством С. П. Тимошенко. В 1933 г. он решил задачу об устойчивости тонкой упругой круговой цилиндрической оболочки крнечной длины при кручении ее концевыми парами. Эта работа связала имя Л. Г. Доннелла с уравнениями линейной теории пологих оболочек. Л. Г. Доннелл записал для нелинейной теории пологих оболочек уравнение совместности деформации, являющееся обобщением известного уравнения Максвелла. Специальная форма дифференциальных уравнений устойчивости круговых цилиндрических оболочек в перемещениях носит название уравнений Доннелла, а уравнения устойчивости пологих оболочек общего вида именуются ныне как уравнения Доннелла — Муштари. Работы Л. Г. Доннелла по оценке влияния несовершенств формы срединной поверхности оболочек на критическую нагрузку в рамках нелинейной теории не прошли незамеченными для специалистов. [c.5]

Рассматриваем сферический сегмент, подкрепленный шпангоутом, к которому приложена произвольная нагрузка. Общее решение для сферической оболочки, нагруженной краевой нагрузкой, может быть получено путем наложения двух решений безмоментного решения и краевого эффекта. Основные соотношенйя для оболочки и кругового кольца и условия их сопряжения рассмотрены в гл. 1, разд. 1.3. Уравнение в векторной форме, связывающее перемещения оси шпангоута и усилия, действующие на шпангоут с учетом реактивных усилий со стороны оболочки, имеет вид [c.202]

Однако впервые, если не считать частного случая [173], такая задача была поставлена и решена И. Я. Штаерманом [258]. Воспользовавшись известным решением о сжатии цилиндра двумя диаметрально противоположными силами [234] и решением аналогичной задачи для внешности кругового отверстия в упругой среде, он применил принцип суперпозиции и нашел радиальиые перемещения, создаваемые распределенной по дуге и нагрузкой р(-0 ). Поскольку сумма этих перемещений легко находится из геометрии соприкасающихся тел, И. Я- Штаерман получил для p f ) интегральное уравнение Фредгольма второго рода и показал, что оно может быть сведено к интегродифференциальному уравнению типа Прандтля [71]. [c.139]

Впервые задача о контакте цилиндрических тел, оба из которых упругие, была рассмотрена в работе П. 3. Лифшица [160]. Здесь решена задача о контакте бесконечной ллиты с круговым отверстием, посаженной с натягом на бесконечный упругий сплошной круговой цилиндр. В зоне контакта предполагается наличие трения Кулона. Построив выражение для радиальных перемещений соответственно в плите и цилиндре и учитывая, что разность между ними равна половине натяга, автор сводит задачу об определении напряжений к определению коэф-фщиептов разложения в выражении для давлений из бесконечной системы алгебраических уравнений, приближенное решение которой затем получено. [c.223]

W. Wallis h 12.212] (1956) исследовал влияние деформаций поперечного сдвига на свободные поперечные колебания пластин. Вводится поправочный коэффициент сдвига, характеризующий деформации сдвига компоненты вектора перемещений представляются в виде рядов по полиномам Бернулли. Задача приводится к решению бесконечной системы дифференциальных уравнений в частных производных. Для круговой пластины при малых относительных толщинах /г/г определены асимптотические значения собственных частот. [c.165]

После решения уравнения (3.117) перемещение определяют прямым интегрированием последнего уравнения (3.114). Для кругового стержня (р=- а) постоянного сечения при ,=<7 = onst уравнение (3.114) переходит в известное уравнение Ламба [28] [c.98]

Получить уравнения равновесия для кругового консольного стержня, (рис. 1.21), находящегося на ускоренно движущемся объекте (считая перемещения точек осевой линии стержня малыми), для случая, когда вектор ускорения объекта а параллелен плоскости xi0x2 (ограничиться уравнениями нулевого приближения). На стержне имеется сосредоточенная масса т, которую можно считать точечной. Масса единицы длины стержня равна Шо. В естественном состоянии осевая линия стержня есть плоская кривая, лежащая в плоскости чертежа (в плоскости XiOXi). [c.60]

В качестве примера изложенного метода рассмотрим результаты восстановления (рис. 3.9) вектора нормальных усилий Рг(>") на торце полого кругового цилиндра с теми же геометрическими размерами поперечного сечения, что и в приведенном выше примере. Высота цилиндра -100 мм. Исходная информация бралась в виде радиальной компоненты вектора перемещений на наружной поверхности цилиндра. Внутренняя и наружная поверхности цилиндра свободны от нагрузок, нижний торец закреплен от осевых перемещений. Расчеты проводились вариационноразностным методом на регулярной сетке Аг = 10 мм, Дг = 5 мм. Вначале решалась прямая задача по заданному вектору нормальных усилий на горце р (г) находился вектор перемещений на внешней грани цилиндра затем обратная задача. На выбранной сетке строились матричные аналоги интегральных операторов уравнений (3.16) и (3.17), по которым находился матричный оператор уравнения (3.18). Методом последовательных приближений решалась разностная задача для уравнения (3.18). На рисунке приведены точное решение — пунктирная линия нерегуляризованное решение, соответствующее решению интегрального уравнения первого рода (3.9) и не имеющее ничего общего с искомым решением - кружки с крестиками решение уравнения (3.18), полученное методом последовательных приближений при различных начальных приближениях вектора р°(г) (осциллирующая функция — квадраты, сосредоточенная сила - треугольник. Из рисунка видно, что метод дает устойчивое приближение к искомой функции и мало чувствителен к выбору начального приближения. [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...