Невырожденность задачи Эйлера-Пуансо

Невырожденность задачи Эйлера-Пуансо 49 [c.49]

Невырожденность задачи Эйлера - Пуансо [c.49]

Согласно теореме 3 вековое множество совпадает с множеством 9 резонансных торов задачи Эйлера-Пуансо, которые удовлетворяют условиям теоремы Пуанкаре о рождении изолированных периодических решений. Ниже будет показано, что как раз рождение большого числа невырожденных периодических решений уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела с неподвижной точкой несовместимо с интегрируемостью этой задачи. [c.97]

Обозначим матрицу размером 2 х 3 в правой части равенства (3.3) через R. Заметим, что дЖо/дрх = dS o/dipi = 0. Это вытекает из невырожденности задачи Эйлера-Пуансо и леммы Пуанкаре (см. 1 гл. 1). Пусть (Д, /г) 6 П Д°. Тогда ранг матрицы R равен 1. Значит, при фиксированном значении переменной I2, па инвариантных кривых отображения S кольца К на себя ( 1 настоящей главы), составляющих множество SSflD, матрица R тоже имеет ранг 1. Согласно лемме 1 множество 5S П D является ключевым для класса A D). Так как все миноры второго порядка матрицы Якоби R при любом фиксированном значении I2 являются аналитическими функциями в области D, то в области D х (ai, аг) ранг R равен 1, то есть функции Ж и зависимы. [c.65]

Покажем, что функция не зависит от угловой переменной g. Так как функция — первый интеграл невозмущенной задачи, то она постоянна вдоль траекторий невозмущенной системы уравнений. На нерезонансных инвариантных торах интегрируемой задачи траектории всюду плотны [4], следовательно, непрерывная функция постоянна на каждом нерезонансном торе. Хорошо известно [4], что в невырожденной интегрируемой гамильтоновой системе нерезонансные торы всюду плотно заполняют фазовое пространство. Так как задача Эйлера-Пуансо невырождена (теорема 3 гл. III) и функция 0 непрерывна, то постоянна на всех инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо. Очевидно, что для всех g G R точки (Х°, Р, G , g) лежат на одном и том же инвариантном торе (см. 1). Следовательно, [c.64]

Действительно, периодические решения Г(/х), рождающиеся из состава периодических решений, расположенных на произвольном резонансном торе Тд С задачи Эйлера-Пуансо, невырождены, поэтому, как доказано в 1, функции Ж и зависимы во всех точках траектории Г(/х). Устремим /X к нулю. Периодическое решение Г(/х) перейдет в периодическое решение Г(0) невозмущенной задачи, лежащее на Тд, а функции Ж ш перейдут соответственно в Ж и По непрерывности функции Жо и о будут зависимы во всех точках траектории периодического решения Г(0). В некоторой окрестности тора Тд, на котором лежит Г(0), введем переменные действие-угол задачи Эйлера-Пуансо /1, /2, приведенной задачи Эйлера-Пуансо). Так как функции Жо и о зависимы на Г(0), [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...