Методы минимума потенциальной

Расчет валов и шпинделей осуществляется блоками 15—18 и 23—26. Предусмотрен расчет валов с числом опор не более четырех, причем учитывается нелинейная зависимость деформации опор от нагрузки. В основу расчета положен метод минимума потенциальной энергии нелинейные уравнения решаются методом Ньютона. [c.112]

Принцип минимума потенциальной энергии. Один из наиболее распространенных приближенных методов решения задач статики упругих систем основан на принципе, утверждающем, что из всех возможных равновесных состояний, которые может принять упругая система под действием внешних статически приложенных сил, она принимает такое состояние равновесия, в котором ее потенциальная энергия имеет минимальное значение, т. е. [c.177]

Полученное из принципа минимума потенциальной энергии условие Ji = U—2А = т п является очень эффективным для приближенных решений задач статики стержней. Дифференциальные уравнения, получающиеся при исследовании вариационных задач (например, уравнение равновесия стержня), интегрируются в конечном виде лишь в частных случаях. Поэтому возникает необходимость в разработке методов приближенного решения вариационных задач с использованием исходных функционалов [например, (4.217)], не переходя к дифференциальным уравнениям. Такие методы решения вариационных задач принято называть прямыми методами. [c.180]

Приближенное решение с использованием множителей Лагранжа. Рассмотрим метод решения с использованием принципа минимума потенциальной энергии, когда аппроксимирующие функции удовлетворяют не всем геометрическим краевым условиям. Например, для стержня, показанного на рис. 4.13, ищем приближенное решение в виде ряда [c.181]

Вариационная постановка плоской задачи, основанная на принципе минимума потенциальной энергии, обстоятельно рассмотрена в книге [35]. Отметим, что при определении температурных напряже ний во многих случаях также эф ктивно применение вариационных методов (И, 30]. [c.328]

Следовательно, метод конечных элементов представляет собой определение минимума потенциальной энергии системы среди возможных перемеш,ений заданной формы внутри конечных элементов. Система уравнений метода конечных элементов (9.474), отражаюш,ая, по существу, тот факт, что варьирование перемещений осуществляется по конечному числу параметров uo , может быть записана в виде [c.335]

Для исследования гармонических упругих волн в композиционной среде Кон с соавторами [37] использовали методы, основанные на теории Флоке и Блоха. Этот подход весьма подробно рассмотрен также в статье Ли [40]. Основная идея всех этих работ состоит в применении вариационных принципов в интегральной форме к отдельной ячейке композита. Эти вариационные принципы дают способ определения фазовых скоростей и распределения напряжений в волнах Флоке, распространяющихся в композиционной среде без изменения формы при переходе от ячейки к ячейке. Различные авторы использовали как принцип минимума потенциальной энергии деформации, так и принцип максимума дополнительной работы. [c.382]

Необходимо здесь отметить, что формулировка законов механики в форме принципа Гамильтона имеет и то значение, что он позволяет установить, как нужно описывать немеханические системы с той же математической строгостью, которая характерна для классической механики. Принцип Гамильтона нельзя рассматривать как чисто механический принцип. Здесь интересно отметить, что есть закон, который во многом аналогичен принципу Гамильтона и который имеет очень общий характер. Этот закон часто служит физику трамплином для перепрыгивания провалов в экспериментальных данных. Он гласит, что всякая система стремится к состоянию с минимумом потенциальной энергии. Такое состояние, вообще говоря, будет равновесным, хотя и не обязательно. Это — важный эвристический метод физики. Например, в теории Бора мы говорим, что электрон спонтанно переходит из возбужденного в нормальное состояние, так как он стремится к состоянию с минимумом энергии. Впрочем, аналогичную формулировку можно дать и второму началу термодинамики, особенно в его вероятностной трактовке. Важен следующий факт если задано исходное состояние физической системы и ее энергетический баланс, то можно указать, в общем, направление, в котором будет происходить изменение состояния системы. Таким образом, этот, по сути дела, вариационный принцип минимума потенциальной энергии лежит в основе исследования задач устойчивого равно- [c.865]

Оказалось, что принцип виртуальной работы и связанные с ним вариационные принципы являются очень эффективными для анализа таких упрощенных конструкций. Подход, основанный на принципе минимума потенциальной энергии, обычно называется методом перемещений, а подход, использующий принцип минимума дополнительной энергии, называется методом сил ). Эти два метода являются главными методами анализа конструкций. Из-за недостатка места мы в основном остановимся на анализе ферм и рам, выдвигая на первый план вариационные формулировки. Для более подробного ознакомления с численными примерами и другими видами конструкций читатель отсылается к работам П—14], [c.290]

Заканчивая эту главу, сделаем два замечания. Первое замечание касается метода Галеркина. Как указано во введении к части А, приближенный метод решения, основанный на принципе виртуальной работы и называемый методом Галеркина, может рассматриваться как вариант метода взвешенных невязок. В задачах линейной статической теории упругости этот метод приводит к конечно-элементной формулировке, эквивалентной формулировке, получаемой при помощи принципа минимума потенциальной энергии. Однако в задачах, более сложных, чем задачи линейной теории упругости, предпочтительнее использовать принцип виртуальной работы или его эквивалент. Можно провести аналогичные рассуждения, связанные с методами конечных элементов, основанными на принципе дополнительной виртуальной работы, модифицированном принципе виртуальной работы и модифицированном принципе дополнительной виртуальной работы. [c.358]

В теории упругости- большое значение имеют энергетические методы, основанные на использовании принципа минимума потенциальной энергии и принципа Кастильяно. В настоящем параграфе устанавливаются аналогичные теоремы в теории упруго-пластических деформаций. [c.64]

Этот принцип является в известной степени аналогом принципа минимума потенциальной энергии деформаций, широко используемого в теории упругости. Принцип Гельмгольца в гидродинамике вязкой жидкости, так же как принцип минимума потенциальной энергии в теории упругости, может быть положен в основу применения прямых методов вариационного исчисления для решения задач о медленном движении, в частности для задач гидродинамической теории смазки. [c.430]

Во многих ранних работах стабильные конфигурации кластеров находили из условия минимума потенциальной энергии. Это справедливо лишь при Г = О К, когда атомы предполагаются покоящимися. Более реальные подходы на основе метода МС [169] и модифицирован- [c.182]

Ряд составлен так, что каждый его член удовлетворяет граничному условию и содержит неизвестный множитель а . Далее составим соответствующее выражение для V, и наконец, определим а,, из условия минимума потенциальной энергии V. Последовательность действий нашего метода близка к последовательности действий в процессе применения второй теоремы Кастилиано к статически неопределимым фермам (гл. III). [c.474]

Итак, уравнения (11.63) можно рассматривать как математическую формулировку принципа стационарности потенциальной энергии. Этот принцип гласит, что если потенциальная энергия упругой конструкции (линейной или нелинейной) представляется функцией от неизвестных перемещений узлов, то конструкция будет находиться в состоянии равновесия, когда перемещения имеют такие значения, при которых полная потенциальная энергия принимает стационарное значение. Обычно конструкция находится в состоянии устойчивого равновесия, и тогда полная потенциальная энергия минимальна. При этих условиях уравнения (11.63) представляют собой запись принципа минимума потенциальной энергии. Для неустойчивых конструкций потенциальная энергия может иметь либо максимальное, либо нейтральное значение. При линейном поведении конструкции уравнения (11.63) соответствуют уравнениям равновесия метода жесткостей, который можно считать частным вариантом метода перемещений ). [c.503]

При исследовании и решении задач теории упругости широко применяются энергетические (вариационные) методы. В их основе лежит использование тех или иных энергетических теорем (вариационных принципов, а в задачах с краевыми условиями в форме альтернативных равенств и неравенств и вариационных неравенств). Подробное изложение энергетических теорем с анализом класса задач, для которых та или иная из них наиболее эффективна, содержится, например в [19, 90,93, 123, 134, 135, 138, 225]. В дальнейшем понадобится главным образом теорема о минимуме потенциальной энергии, а также теорема о минимуме дополнительной работы. Приведем необходимые определения и формулировки. [c.94]

Согласно этим теоремам задача об устойчивости равновесия или стационарного движения твердого тела с жидкостью приводится к задаче минимума потенциальной энергии V или измененной потенциальной энергии W системы. В случае полного заполнения жидкостью полости выражения V ш W являются функциями конечного числа переменных qj. В случае частичного заполнения полости V и W представляют собой функционалы, зависящие от формы объема т и свободной поверхности жидкости, а также от положения тела. Так как свойство минимума является локальным, то для строгого решения задачи минимума, за исключением особых случаев, можно ограничиться рассмотрением величин второго порядка малости. Поэтому для решения этой задачи можно использовать методы теории малых колебаний, если смещение свободной поверхности от положения равновесия представить в виде ряда пф системе собственных функций соответствующей краевой задачи. Таким методом был решен ряд конкретных задач о минимуме V и W (Н. Н. Моисеев, 1952 Г. С. Нариманов, 1956 В. В. Румянцев, 1962). Однако вычисления при [c.33]

Приближенный метод расчета полых (и сплошных) цилиндров при осесимметричном их нагружении был предложен В. Л. Бидерманом (1946, 1950) представляя касательное напряжение в виде суммы произведений осевых и радиальных функций, Бидерман задавался подходящими функциями радиуса, а для осевых функций получал вытекающие из принципа минимума потенциальной энергии обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие в правых частях функции, зависящие от приложенных по боковым поверхностям цилиндра нормальных нагрузок распространение метода на случай наличия касательных сил было осуществлено впоследствии В. Г. Горским (1963). [c.21]

Дальнейшее развитие метода конечных элементов связано с так называемым гибридным методом напряжений. Для каждого элемента применяются формулы для напряжений, которые удовлетворяют уравнениям равновесия элемента. Независимо от этого выбираются формулы для перемещений, обеспечивающие совместность перемещений на границах элементов, причем распределение перемещений на границах должно однозначно устанавливаться по перемещениям узловых точек. При вариационной формулировке оперируют принципами минимума потенциальной энергии и минимума дополнительной энергии деформации или расширенным вариационным принципом (привлекается модифицированный принцип дополнительной энергии Пиана [44, 45]). [c.140]

Второй метод является обобщением известного способа доказательства теоремы Лагранжа — Дирихле об устойчивости равновесия при условии существования минимума потенциальной энергии в положении равновесия. [c.332]

Таким образом, метод Ритца—Тимошенко позволяет заменить задачу о нахождении решения дифференциального уравнения (7.17) задачей о нахождении минимума потенциальной энергии. Такая замена возможна в связи с тем, что как дифференциальное уравнение изгиба пластинки (7.17), так и вариационное уравнение (з) являются уравнениями равновесия упругого тела. Покажем, что вариационное уравнение (з) включает в себя дифференциальные уравнения равновесия и условия на поверхности. Рассматривая вариационное уравнение (з) в форме [c.157]

Статический метод формировался в большом количестве работ по мере совершенствования ЭВМ. Широкое развитие он получил в работах Днсопсона [53, 54, 73 — 76]. При статическом подходе вообгце не исследуется дви-зкение атомов, а определяется лишь их равновесная конфигурация, соответствующая минимуму потенциальной энергии системы. При этом атомы решетки, окружающие кристаллит, обычно рассматриваются как помещенные в упругую среду. Методы машинного моделирования широко применялись в ряде работ для изучения как отдельных точечных дефектов, так и их комплексов. [c.90]

Решение осуществляется методом Ритца, сущность которого пояснена в главе XV. Вследствие однородности полей напряжений, деформаций, перемещений по координате, измеряемой в плоскости оси трубы, достаточно рассмотреть задачу о минимуме потенциальной энергии деформации, накапливаемой в трубчатом секторе. [c.419]

Таким образом, поставленная задача может считаться решенной, если будет найдена функция ilin (х). Раскрытие статической неопределимости производится энергетическим методом с иопользованием условия минимума потенциальной энергии системы. Уравнение Эйлера вариационной задачи приводит к разрешающему линейному неоднородному дифференциальному уравнению четвертого порядка относительно искомой величины -фп (х) [c.56]

Диффузия. Изучение подвижности атомов методом ЯМР основано на том, что движение отдельных ядер усредняет локальные внутренние поля, оужая спектр ЯМР и изменяя его форму. При достаточно низких температурах позиции, занимаемые резонирующим ядром в структуре металла или сплава, отвечают минимуму потенциальной энергии. Повышение температуры, приложенной к образцу, вызывает рост собственной энергии ядра до величины, сравнимой с потенциальным барьером, переход через который обеспечивает диффузионное движение. Средняя частота диффузионных перескоков между двумя соседними позициями V пропорциональна числу ядер, способных преодолеть потенциальный барьер и , определяющий энергию активации процесса диффузии V = [c.179]

Метод Ритца. Вариационная формулировка задачи о равновесии, заключающаяся в принципе минимума потенциальной энергии системы, подсказывает возможность применения для решения задач теории упругости прямых методов вариационного исчисления. [c.153]

Вариационные методы наиболее плодотворно применяются в теории малых деформаций упругого тела. В случае когда существует функция энергии деформации и при вариациях перемещений внешние силы остаются неизменными, принцип виртуальной работы приводит к установлению принципа минимума потенциальной энергии. Этот вариационный принцип с помощью введения множителей Лагранжа дает семейство вариационных принципов, включающее принцип Хеллингера — Рейсснера, принцип минимума дополнительной энергии и т. д. [c.18]

Принцип минимума дополнительной энергии был выведен в 2.2 из принципа Дополнительной виртуальной работы. Легко проверить, что принцип минимума потенциальной энергии можно вывести из принципа минимума дополнительной энергии, проводя в обратном порядке рассуждения этого и предыдущего параграфов. Эквивалентноегь этих двух подходов очевидна, так как речь идет о теории упругости при малых перемещениях. Однако особо отметим тот путь, который ведет от принципа виртуальной работы к принципу минимума потенциальной энергии и другим связанным с ним вариационным принципам, потому что этот метод имеет больше преимуществ при систематическом решении задач в механике твердого тела. [c.59]

Выведенные выше вариационные принципы можно применить к решению задач об изгибе пластин. Принцип минимума потенциальной энергии (8.51) в сочетании с методом Релея—Ритца успешно применялся для получения приближенных решений задач о прогибе пластин при изгибе (см., например, [2, 9, 10J). [c.230]

С учетом этих предварительных замечаний анализ полумоно-коковой конструкции с использованием метода матрицы жесткости проводится следующим образом прежде всего от координат, связанных с элементами, переходят к абсолютным координатам для того, чтобы выразить матрицы жесткости в абсолютных координатах. Затем с использованием этих матриц условия равновесия всех узлов выражаются через компоненты перемещений узлов. Поскольку в силу линейной зависимости перемещений узлов условия непрерывности перемещений смежных элементов выполняются, полученные таким образом уравнения равновесия эквивалентны уравнениям, полученным из принципа минимума потенциальной энергии. Решая эти уравнения, определяют перемещения всех узлов. Тогда можно вычислить напряжения [c.310]

Диффузия. Изучение подвижности атомов методом ЯМР основано на том, что перемещение отдельных атомов усредняет локальные внутренние поля вокруг резонирующего ядра, сужая спектр ЯМР и изменяя его форму (см. рис. 13.4). При достаточно низких температурах позиции, занимаемые резонирующим ядром в структуре металла или сплава, отвечают минимуму потенциальной энергии. Повышение температуры образца вызывает рост собственной энергии ядра до величины, сравнимой с потенциальным барьером, переход через который обеспечивает диффузионное движение. Средняя частота диффузионных перескоков между двумя соседними позициями пропорциональна числу ядер, способных преодолеть барьер U, определяющий процесс диффузии Vg = Vo exp (—UjkT). Если > Av, где Av = уН/2п — ширина линии для жесткой решетки, то по температурному сужению линии можно найти величины потенциального барьера и параметров диффузии [13.35]. [c.197]

К. Формула (4.7.20) впервые была получена в 1864 г. Д. Максвеллом, который широко известен как создатель уравнений электромагнитного поля. Она была получена из геометрических соображений. Работа Д. Максвелла, в которой был сформулирован метод расчета ферм, была написана в абстрактной форме без чертежей и примеров и, видимо, по этой причине, осталась незамеченной инженерами. Десять лет спустя эту формулу заново открыл О. Мор. В основу своих рассуждений О. Мор положил принцип возможных перемещении и на его основе пришел к равенству (4.7.24). Приведенный нами вывод формулы (4.7.20) близок к данному О. Мором. В нем также использовано понятие потенциальной энергии деформации фермы, которое стало широко применяться после работ Л. Менабреа и А. Касти-лиано. Последний в 1879 г. получил формулу (4.7.20) из условия минимума потенциальной энергии деформаций. Подробнее этот подход будет рассмотрен в гл. 9. [c.106]

Второе направление, тесно связанное с первым, представлено работами по теории возмущений небесной механики. Наибольшее значение здесь имели исследования Ж. Лагранжа и П. С. Лапласа. Математический аппарат и методы теоретического исследования тут по сути те же, что и в теории малых колебаний. Однако в идейном отношении существенно то, что рассматривается устойчивость некоторого состояния движения и что само содержание понятия устойчивости в связи с этим изменялось. Сдвиг в сторону динамики демонстрирует нам и еще один важный результат, полученный механикой XVIII в.,— теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия механической системы, соответствующего максимуму силовой (или минимуму потенциальной) функции. Доказательство теоремы, логически проведенное небезупречно, основано на применении интеграла живых сил. [c.119]

Здесь ст — параметр соударения, е — глубина, а — положение минимума потенциальной ямы. Однако эти потенциальные функции не допускают аналитического решения волнового уравнения, а применение трудоемких численных методов, как показывают результаты V- ], представляется неоправданным из-за невысокой точности, с которой известны их параметры. Поэтому в настояш ей работе в качестве потенциальной функции межмолекулярпого взаимодействия был использован потенциал Морзе [c.208]

Символический метод Лурье в приложении к теории плит был затем использован Е. М. Кругом (1955), И. Г. Терегуловым (1961), Т. Т. Хачатуряном (1963), У. К. Нигулом (1963) в монографии В. А. Агарева (1963) расширяется область приложения символического метода к теории плит дальнейшее приложение символического метода к теории плит в сочетании с принципом минимума потенциальной энергии дано В. К. Прокоповым [c.18]

Если задача решается энергетическим методом Ритца, то используется свойство минимума потенциальной энергии системы, находящейся в равновесии. В этом случае можно не рассматривать дифференциальное уравнение равновесия в перемещениях и краевые условия на границах О , где не заданы перемещения . Решение задачи заключается в выборе компонент перемещения и, V, гр в виде [c.120]

Принципиально стабильность молекулярного электронного состояния может быть установлена теоретически расчетом значений электронной энергии для ряда межъядерных расстояний с последующим выяснением, будет ли получаться при этом минимум потенциальной энергии (после добавления ядерного отталкивания). Практически же оказывается, что подобные расчеты настолько трудны, что даже для простейшей многоатомной системы Нд они пока не проведены с высокой точностью. С достаточной точностью проведен лишь расчет для двухатомных систем и Нз, для которых было получено исключительно хорошее согласие с экспериментальными данными (см. [22], стр. 351 и 360 русский перевод, стр. 258 и 264, а также работы Колоса и Роотхаана [685] и Герцберга и Монфилса [535]). Хотя таким же способом были проведены (с гораздо меньшей точностью) расчеты небольшого числа других молекул, однако для качественного понимания возможности образования молекулы и стабильности молекулярных электронных состояний необходимо ввести определенные допущения, позволяющие существенно упростить подход. Как уже говорилось в работе [22], в этом направлении были развиты два различных метода, которые широко использовались для понимания вопросов стабильности молекулярных электронных состояний метод валентных связей (метод валентных схем), или метод электронных пар, являющийся развитием первоначальной теории Гайтлера — Лондона для молекулы Нз, и метод молекулярных орбиталей, [c.360]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...