Эйлера определенный в переменных

Аналогичные представления справедливы для тензоров второго и высшего рангов. Векторы и тензоры, определенные компонентами в материальном отсчетном базисе (функции X), называем векторами и тензорами, определенными в переменных Лагранжа. Аналогично векторы и тензоры, определенные компонентами в пространственном базисе (функции х), называем векторами и тензорами, определенными в переменных Эйлера. Любой вектор или тензор, определенный в переменных Лагранжа, можно переопределить в переменных Эйлера и наоборот, в силу закона (1.7). Для тензоров второго ранга можно также использовать двойные [c.23]

Для обозначения оператора Гамильтона, действующего в актуальной конфигурации тела, можно использовать как знак V [9], так и V [36] в соответствии со второй формулой (1.12). В [38] используются оба обозначения, но это представляется нелогичным, так как V и V являются одним и тем же символическим вектором. В настоящей книге используется обозначение V в связи с тем, что оператор Гамильтона в актуальной конфигурации в основном используется для тензоров, определенных в переменных Эйлера. [c.24]

Вдоль главной диагонали матрицы тензора кинетических напряжений, определенного в переменных Эйлера, как видно из формулы (2.78), располагаются слагаемые, входящие в кинетическую энергию системы, а также плотность р и соответствующие реакции внутренних связей, введенные в состав как консервативные силы. Как известно из лагранжевой механики, кинетическая энергия системы является основной величиной, определяющей движение системы. По-видимому, этим и объясняется возможность составления уравнений движения без привлечения остальных компонент тензора Н1к к построению системы уравнений (4.13), определяющих обобщенные импульсы. [c.97]

Метод Эйлера заключается в определении состояния жидкости в какой-нибудь точке в произвольный момент времени. Состояние жидкости в точке (х, у, г) характеризуется значениями пяти функций в этой точке трех составляющих и, V, ча скорости, давления р и плотности р, рассматриваемых в этом случае как функции четырех независимых переменных х,у,г и I. [c.293]

Резюме. Если из условия стационарности определенного интеграла, содержащего не одну, а несколько неизвестных функций, требуется найти эти функции, то можно варьировать эти функции независимо друг от друга. Поэтому для каждой функции в отдельности можно написать дифференциальное уравнение Эйлера — Лагранжа. В результате получается система п дифференциальных уравнений второго порядка. Решение этой системы уравнений определяет п искомых функций, которые оказываются выраженными через независимую переменную (время t) и 2п констант интегрирования. [c.85]

Сложнее обстоит дело с векторами и тензорами, определенными компонентами в пространственном или материальном текущем базисе. Для произвольного тензора второго ранга h, определенного разложениями по пространственному базису (в переменных Эйлера), получаем [43] [c.28]

Обычно уравнения Эйлера приближенно примени.мы в условиях стационарного течения, когда р7 <1, но для этого не достаточно, чтобы v было мало. Это выразительно показано на фотографиях реальных следов. В частности, основной переменной, определяющей поведение реального следа, является безразмерное число Рейнольдса Re = vd/, определенное в 21. При этом дело сводится к выяснению природы реальных следов при Re >1. [c.111]

При определении скорости частицы среды в каждой точке пространства, с точки зрения Эйлера (в переменных Эйлера), следует иметь в виду, что имеет смысл рассматривать только очень малые (в пределе бесконечно малые) смещения Аг(г, t) частиц среды из данного положения. В методе Лагранжа смещения частиц среды (г — го) из данного положения рассматриваются как конечные. Поэтому в переменных Эйлера вектор скорости определяется следующим соотношением [c.17]

Формулировка вариационного принципа стационарности действия для нелинейно упругого тела в переменных Эйлера и вывод уравнения баланса импульса из него на основе канонического определения тензора напряжений Коши приводятся в [11, с. 190-195]. [c.679]

Первый путь, называемый методом Эйлера, состоит в определении скорости в той или иной точке пространства, заполненного движущейся жидкостью. Это означает, что в методе Эйлера фиксируется не частица жидкости, а точка пространства с координатами X, у, Z и исследуется изменение скорости в этой точке с течением времени. Таким образом, метод Эйлера заключается в выражении скоростей частиц в функции от времени i и координат х, у, z точек пространства, т. е. в задании поля скоростей. Совокупность величин л , у, Z, t называют переменными Эйлера. Следовательно, движение жидкости по методу Эйлера задается следующим образом [c.32]

При определении проекций ускорения жидких частиц в переменных Эйлера [c.33]

Аксиома об освобождаемости от связей позволяет отказаться от определения уравнения неразрывности как уравнения связи. Уравнение неразрывности — четвертое уравнение, которое в сочетании с тремя уравнениями движения в переменных Эйлера составляет систему дифференциальных уравнений, связывающих компоненты четырехмерного тензора энергии-импульсов в четырехмерном пространственно-временном континууме [38]. Таким образом, создается впечатление о глубоком различии между методами Лагранжа и Эйлера изучения движения сплошной среды. Однако это различие в значительной степени кажущееся. В действительности метод множителей Лагранжа по существу эквивалентен аксиоме об освобождаемости от связей [40]. [c.9]

Наряду с переменными Эйлера часто пользуются переменными Лагранжа. В отличие от переменных Эйлера переменные Лагранжа связаны не с определенной точкой пространства, а с определенной частицей вещества. Наблюдение ведется не за точками физического пространства, а за фиксированными частицами среды. Газодинамические и тепловые величины, выраженные как функции лагранже-вых координат, характеризуют изменение плотности, давления, скорости и температуры каждой частицы вещества с течением времени. [c.15]

Из 2п уравнений Гамильтона половина, а именно ук = Ех , непосредственно получается из уравнений Эйлера-Лагранжа, в то время как другая половина может быть получена только с помощью подстановок (1), (5). Весьма интересен тот факт, что все 2п уравнений Гамильтона можно интерпретировать как уравнения Эйлера-Лагранжа. Чтобы показать это, возьмем вместо прежнего переменного а из 1 переменные а , у и рассмотрим функцию / от 4п + 1 независимых переменных Хк, Ук, Хк, Ук, t, определяемую равенством (10), причем переменные ук фактически явно в функцию / не входят согласно определению производных Лагранжа имеем [c.22]

В отличие от переменных Эйлера, переменные Лагранжа а, Ь, с связаны с определенными частицами среды. Трехмерные уравнения движения в переменных Лагранжа слишком громоздки и поэтому используются редко. Однако одномерные задачи часто целесообразнее решать в переменных Лагранжа. Дело в том, что в переменных Лагранжа в одномерном случае задача легко сводится к решению только одного уравнения. Оно не содержит характерный для переменных Эйлера нелинейный член (уУ)у. Кроме того, в переменных Лагранжа просто записывается граничное условие для смещения излучающей поверхности. В окончательных же формулах сравнительно легко перейти от переменных Лагранжа к переменным Эйлера. Здесь мы вначале приведем формулы перехода от одних переменных к другим, а затем и основное уравнение для одномерного плоского движения. [c.55]

Аналогично формуле (1.5) можно написать формулы для определения полной производной по времени проекций любой векторной величины, заданной в переменных Эйлера. Например, ускорение частицы сплошной среды в проекциях на оси декартовой системы координат имеет вид [c.7]

Подставляя выражения (16.4) в уравнение (16.1), для определения перемещения и получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами (уравнение Эйлера) [c.474]

По второму методу исследуется движение различных частиц, проходящих через намеченные точки пространства, заполненного жидкостью. При этом переменными являются скорости и ускорения, а координаты точек остаются постоянными. Таким образом, по методу Эйлера определяют скорости и ускорения частиц жидкости в определенных, зафиксированных, точках пространства, заполненных жидкостью. [c.38]

Резюме. Задача минимизации определенного интеграла, содержащего неизвестную функцию и ее производную, может быть сведена к элементарной задаче минимизации функции многих переменных. Для этого интеграл заменяется суммой, а производная — отношением приращений. Условия, при выполнении которых первая вариация обращается в нуль, принимают форму разностного уравнения, которое в пределе переходит в дифференциальное уравнение Эйлера — Лагранжа. [c.76]

Рассмотрим систему, состоящую из балки, опирающейся на три пружины, работающие на кручение, и три пружины, работающие на растяжение (рис. 4.27). Один из классических подходов к исследованию этой системы состоит в том, что используются дифференциальные уравнения и задаются переменные, определяющие решение для каждого пролета балки, после чего из условий, реализующихся в точках присоединения каждой из пружин, определяются произвольные постоянные. Например, для определения собственных частот и нормальных форм свободных колебаний однородное уравнение Бернулли — Эйлера имеет вид [c.173]

Пример 12.3. Рассмотрим устойчивость стержня постоянного сечения под действием собственного веса. Эта задача сводится к определению критического значения интенсивности q равномерно распределенной сжимающей продольной нагрузки (рис. 12.19). Решение этой задачи методом Эйлера приводит к дифференциальному уравнению с переменными коэффициентами, которое можно проинтегрировать с помощью бесселевых функций. В результате придем к решению [c.392]

В предыдущих задачах мы всегда предполагали сечение балки постоянным по длине. В технических вопросах иногда приходится иметь дело с более сложным случаем, когда сечение балки, лежащей на сплошном упругом основании, переменное. Такую задачу мы будем иметь, например, при определении напряжений, возникающих в корпусе судна, при постановке его в док, при расчете цилиндрических резервуаров, стенки которых имеют переменную толщину, при расчете фундаментных плит переменной толщины и т. д. Мы уже условились для балки переменного сечения сохранять в силе допущение Бернулли — Эйлера и потому при вычислении прогибов будем и в этом случае исходить из [c.202]

Понятие о текущих координатах по существу тождественно понятию о переменных Эйлера в механике сплошных масс, а понятие о начальных координатах может быть отождествлено с понятием о переменных Лагранжа. Любому заданному положению материальной точки в теле до деформации соответствует вполне определенное положение ее в деформируемом теле в данной текущей стадии процесса его деформации. [c.70]

Пуанкаре принадлежит важное замечание о том, что в некоторых канонических переменных I, ср гамильтониан свободного вращения твердого тела имеет вид 3 1х, /2). Им же введена функция а(25 // А, В, С) отношения а/27г суть числа вращения [опять-таки определенные впервые Пуанкаре) на двумерных торах интегрируемого случая Эйлера-Пуансо. Пуанкаре первым указал вид разложения возмущающей функции в кратный ряд Фурье по угловым переменным ср, ср2- Ссы- [c.53]

Для численного интегрирования полученной системы уравнений разобьем выделенный объем среды точками г = г,- (t = l, 2,. ... .п) пап материальных частиц значения всех искомых функций будем определять в точках г = г, (t = l, 2,. .., п). Тогда четыре последних дифференциальных уравнения в частных производных по времени от переменных ссг, а, w, рг перейдут в 4п обыкновенных дифференциальных уравнения но времени, для численного интегрирования которых удобно использовать модифицированный метод Эйлера — Коши. Для определения значений давления Pi в точках f = r, в каждый фиксированный момент времени необходимо решать линейную (для pi ) краевую задачу для первого дифференциального (по г) уравнения второго порядка с краевыми условиями (6.7.17). [c.85]

Простые выражения компонент конвективных производных Олдройда, Коттера — Ривлина и Яуманна имеют тензоры, определенные в переменных Эйлера. Пусть система отсчета — декартова система координат. Тогда с учетом (1.29) выпишем компоненты производных ЬР и [c.32]

Дополнительно в курс включено изложение основ механики сплошной среды, чтобы подготовить условия для последующего внесения части из основ в курс теоретической механики (особенно определения поля ускорений в переменных Эйлера но известному полю скорсютей в Кинематике и теории напряжений в Динамике ), Основы кинематики сплошной среды даны в разделе ((Кинематика (гл. 7). Введение в динамику сплошной среды приведено в разделе Динамика (гл. 13). [c.3]

В 37 уже было дано понятие о векторе-гда цднге скалярной функции. Для понимания основ кинематики сплошной среды, в частности для определения ускорения в переменных Эйлера, необходимо углубить представление о градиенте скалярной функции, связав его с понятием о производной в пространстве [c.332]

Иной подход для определения кривой холодного сжатия был предложен Берчем [12] на основании феноменологической теории конечных деформаций Мурнагана [13]. Если деформации описываются в переменных Эйлера, то разложение свободной энергии в ряд по степеням деформации с точностью до членов третьего порядка, дает следующее выражение для давления [c.30]

При рассмогрснии движения сплошной среды и применении перемен[п>1х Эйлера используется понятие линий тока, т. е. линий, в каждой точке которых в рассматриваемый моменг времени векторы скоростей параллельны касательным этих линий. Если вектор в какой-либо точке линии тока направлен по касательной к этой линии, то, по определению линии гока, он должен быть параллельным вектору скоросги v в этой точке. Два параллельных вектора отличаются друг от друга только скалярным множителем к (положительным или отрицательным). Следовательно, [c.282]

Как уже сказано, уравнение Эйлера — Трикоми приходится обычно применять для исследования свойств решения в окрестности начала координат в плоскости т], 0. В физически иктерес-пых случаях эта точка представляет собой особую точку решения. В связи с этим особое значение приобретает семейство частных интегралов уравнения Эйлера — Трикоми, обладающих определенными свойствами однородности. Именно, речь идет о решениях, однородных по отношению к переменным 6 и т) такие решения должны существовать, поскольку преобразование 0 ->а02, г ->-ац оставляет инвариантным уравнение (118,2). Будем искать эти решения в виде [c.616]

Принцип Эйлера — Лагранжа позволяет определять реакции связей. Действительно, если к заданным активным силам, действующим на механическую систему, добавим все реакции связей, то из принципа Эйлера — Лагранжа получим уравнения Ньютона для системы совершенно свободных точек. Однако практически более интересным является метод определения отдельных реакций. Идея этого метода заключается в том, что заданные активные силы дополняют одной интересующей нас реакцией, но зато систему понимают свободной от связи, порождающей одну и именно эту интересующую пас реакцию. Для освобожденной таким образом механической системы, имеющей на одну степень свободы больше, определяют дополнительную голоноыную координату q, изменение которой дает освобожденное перемещение в системе вычисляют новые Г, обобщенную силу Qq в освобожденном движении, подставляют значения переменных для действительного движения в уравнение Лагранжа [c.171]

Немецкий ученый Ф. Энгессер, работая над границами применения формулы Эйлера, пришел к выводу, что можно расширить эти границы, если заменить в ней постоянный модуль упругости переменной величиной, которую он назвал касательным модулем упругости. Эта величина, в свою очередь, выражала отношение напряжения материала к относительной его деформации, т. е. изменению длины стерншя по сравнению с его первоначальными размерами [40, с. 351, 352, 356—359]. Касательный модуль дал Энгессеру возможность вычислять критические напряжения для стержней из материалов, не подчиняющихся закону Гука, а также из строительной стали при напряжениях выше предела упругости. В связи с этим предложением у Энгессера возникла дискуссия с Ясинским, который утверждал, что сжимающие напряжения на выпуклой стороне стержня при его выпучивании уменьшаются и что испытания, проведенныеБаушингером, доказывают необходимость пользоваться в этой области поперечного сечения постоянным модулем упругости, а вовсе не касательным модулем [43, с. 214]. Этот спор закончился тем, что Энгессер признал правоту Ясинского, переработал свою теорию и ввел для двух областей поперечного сечения два различных модуля. Исследуя влияние поперечной силы на величину критической нагрузки в стойках, он нашел, что эта величина для сплошных и сквозных решений различна. В сплошных ее влияние мало и им можно пренебречь, а в сквозных оно может оказаться значительным. Энгессер вывел формулы для определения того отношения, при котором [c.254]

В статье В. М. Карагодина Некоторые вопросы механики тела переменной массы (1956) и в его монографии Теоретические основы механики тела переменного состава (1963) дано обобщение теоремы Кенига на случай тела переменной массы, центр инерции которого и процессе движения самого тела перемещается с некоторой скоростью по отношению к точкам тела, и сформулирована для этого случая теорема о кинетической энергии тела переменной массы. Там же дано обобщение уравнений Эйлера на случай тела переменной массы с переменными моментами инерции, когда центр масс перемещается внутри тела, а центральная система осей координат вращается по отпошению к телу с определенной угловой скоростью. [c.305]

Для определения свойств преобразования этих функций под действием операций группы МС необходимо знать свойства преобразования вращательных и колебательных координат 0, ф, %, Qb Qi, Qs и а под действием операций Е н Е группы МС. Определение свойств преобразования координат 0, Ф, Q, Q2 и Qs не представляет труда. Случай % и более сложен, так как отсутствует условие Эккарта для определения %, и поэтому невозможно определить направление осей х, у и величины х и 2> полученные после действия операций Е и Е. Однако свойства преобразования угла а = а2 + % хорошо определены, так как он не зависит от ориентации осей х, у. Следовательно, вращательные и колебательные функции H N в отдельности не имеют определенной четности. Такая же ситуация имеет место для всех линейных молекул, так как угол вращения % и вибронпые переменные а и пе имеют определенных свойств преобразования под действием перестановки ядер или перестановки с инверсией. С другой стороны, угол Эйлера j имеет хорошо [c.372]

Согласно принятому здесь определению элементы молекулярной точечной группы преобразуют только вибро11ные переменные [включая электронные спины в случае (а) Гунда], но не действуют на углы Эйлера и ядерные спины. Это определение соответствует определению, данному в разд. 5.5 книги [121] см. также [20], стр. 21. [c.413]

При такой пос гановке вопроса сразу возникает дилемма, полностью спогветствующая обоим методам представления — Эйлера и Лагранжа. Можно спрашивать или о том, как изменяется рассматриваемая величина, например скорость в определенной точке г заполненного жидкостью пространства, или о том, как изменяется скорость некоторой двигающейся в пространстве частицы 5. В первом случае (при фиксированной пространственной точке Г) говорит о л о к а л ь н о й п р о и з в о д н о й, во втором же случае (при фиксиронанной частице жидкости 5)--о субстанциальной производной. Если за переменную величину, зависящую от времени (а в общем случае и от места), взять, например, температуру 7, то в эйлеровом представлении лля локальной производной получается [c.87]

Гораздо более удачно принятое в большинстве учебников определение гироскопического момента как мо мента Я сил инерции гироскопа, определяемого по приведенной выше формуле и приложенного к тому телу, которое, воздействуя на гироскоп, заставляет его прецессир 01вать. В рамках приближенной (элементарной) теории этот момент равен и направлен противоположно моменту внешних сил, приложенных к гироскопу. Но следует обратить внимание на то, что это равенство именно приближенное. Последнее можно пояснить решением следующей задачи, которая послужит также упражнением на составление динамических уравнений Эйлера. Ось тироскопа х поворачивается в пространстве с переменной угловой скоростью r t). Вычислить момент внешних сил, которые нужно приложить к гироскопу, чтобы сообщить ему такое движение. [c.64]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...