Производная лагранжева

В принципе, формальное интегрирование этого уравнения с помощью оператора эволюции уже позволяет найти А ( ) как функционал от параметров Fn t). Но в таком случае последний член в (5.3.3) явно содержал бы производные dF t)/dt и уравнения эволюции имели бы не совсем привычную структуру. Как мы видели в параграфе 2.3, производные лагранжевых множителей по времени можно исключить с помощью операторов проектирования. Здесь мы воспользуемся тем же самым приемом. [c.373]

Принуждение 28 Производная лагранжева 22 Пространство Гельдера 197 [c.302]

Если мы хотим, чтобы при этом движение по-прежнему определялось из уравнений Лагранжа однозначно (по начальным данным), то мы не можем произвольным образом, без всяких ограничений, постулировать лагранжиан L как функцию q, q w t. Действительно, основная теорема лагранжева формализма была доказана в предположении, что кинетическая энергия, а значит и лагранжиан, имеет вполне определенную структуру. Если лагранжиан задается каким-либо иным образом и имеет другую структуру, основная теорема лагранжева формализма, вообще говоря, не выполняется. Следовательно, вообще говоря, уравнения Лагранжа, полученные при этой иной функции Лагранжа, могут оказаться неразрешимыми относительно старших производных, и для них уже не будет верна теорема о существовании и единственности решения при заданных начальных данных. Для того чтобы сохранить это важное свойство уравнений Лагранжа, надо ограничить выбор лагранжиана L при его аксиоматическом задании. Легко видеть, что это ограничение должно быть представлено в форме [c.165]

В некоторых случаях удобно выражать кинетическую энергию не с помощью квазикоординат, а непосредственно через производные от координат по времени. Тогда уравнения движения можно привести к специальной стандартной форме. Для конкретности обратимся к угловым координатам Эйлера <р, ф, гЗ. В этом случае имеем шесть координат, задающих положение тела в пространстве (лагранжевых координат, однозначно определяющих конфигурацию системы) [c.450]

Закон сохранения массы позволяет получить полезное для последующих преобразований соотношение. Вспомним сначала понятие субстанциональной производной. Это понятие соответствует методу описания движения сплошной среды по Лагранжу. Пусть индивидуальная дифференциально малая масса вещества в момент времени t находится вокруг точки x (t) пространства. В следующие моменты времени контрольная масса занимает другие области пространства, причем X/ (t) могут всюду рассматриваться как координаты контрольной массы. Если состояние вещества характеризуется величиной В (плотность, внутренняя энергия, температура и т.д.), то для лагранжевой контрольной массы [c.21]

Заметим, что здесь частная производная по времени d/dt берется при фиксированных лагранжевых координатах, т. е. вдоль траек- [c.141]

Если на фронте волны терпит разрыв функция, описывающая состояние среды, то говорят о разрыве нулевого порядка. Если функция и ее производные до (т—1)-го порядка непрерывны, а т-е производные испытывают разрыв, то говорят о разрыве /и-го порядка. Мы используем эйлеровы переменные х х , X и лагранжевы переменные a , а , а (беря в качестве них начальные координаты частицы). Как обычно, верхними индексами обозначаются контравариантные величины, нижними — ковариантные (при этом х = дгг). [c.6]

Эти уравнения полностью эквивалентны первоначальным лагранжевым уравнениям, являясь лишь их новой математической формулировкой. Однако новые уравнения обладают огромным преимуществом по сравнению с первоначальными производные по времени в них появляются лишь в левых частях уравнений, потому что функция Гамильтона не содержит производных q или р,- по времени t. [c.196]

Поэтому мы можем сказать также, что и лагранжевы составляющие являются производными от потенциала. [c.268]

Если, далее, силы являются производными от потенциала Uf где и есть функция декартовых координат точек системы в смысле, указанном в п. 28 гл. XV т. I, то этот потенциал, выраженный в лагранжевых координатах посредством параметрических уравнений (5), вообще говоря, будет функцией от q, а также и от времени, если связи зависят от времени. Во всяком случае мы знаем уже (упомянутое место), что bL = bU, где Ы1 [c.224]

Взяв производную по времени, получим отсюда выражения для скоростей (возможных) D отдельных точек Р,- (в функциях от координат q, лагранжевых скоростей q и времени t) [c.233]

Для получения этого интеграла удобно установить сначала тождество, действительное для всех лагранжевых систем, которое и само по себе оказывается полезным в некоторых случаях. Для этого начнем с замечания, что если возьмем производную по t от SЧ 10. то получим [c.299]

Так как р, q, г связаны с лагранжевыми координатами 6, <р, и с их производными известными соотношениями (т. I, гл. III, п. 32, 33) [c.250]

Для этой цели удобно прежде всего по отношению к нашей лагранжевой системе снова применить способ, которым мы пользовались в п, 61 гл. V для оценки степени произвола совокупности траекторий любой нормальной системы дифференциальных уравнений второго порядка (41). Все сводится к тому, что в качестве независимой переменной вместо t выбирается одна из переменных q, которая, конечно, должна обладать тем свойством, что она не остается постоянной во время движения (в силу чего мы вынуждены, как мы это видели в упомянутом выше пункте, исключить возможные статические решения, которые, очевидно, не представляют интереса для рассматриваемого здесь вопроса). Если есть новая независимая переменная и если обозначим штрихами производные по этой переменной, то преобразованная лагранжева система будет состоять из /г — 1 уравнений вида [c.429]

Следует заметить, что исторически указанный выше путь для вывода уравнений (50 ), (50") является в существенных чертах тем, которым Гамильтон пришел к установлению связи между задачей интегрирования уравнений динамики и задачей интегрирования уравнений в частных производных, показав, что если известна главная функция S ( 119°), то можно определить посредством одних только операций вида (50 ), (50") общее решение лагранжевой системы (31) или, лучше, соответствующей гамильтоновой системы (31 ), [c.440]

Разделение переменных. Некоторые механические системы, описываемые определенной системой лагранжевых координат, допускают разделение переменных. Иными словами, написанное для такой системы модифицированное уравнение в частных производных (16.5.4) имеет полный интеграл в виде суммы п функций, каждая из которых зависит от одной из п координат. Подобные системы обладают рядом важных и интересных свойств, изучение которых составит предмет этой главы. Возможность разделения переменных зависит как от самой изучаемой системы, так и от выбранной для ее описания системы координат. Естественно, возникает вопрос каковы условия, при которых возможно разделение переменных, и каковы свойства систем, допускающих это разделение Б дальнейшем мы ограничимся рассмотрением натуральных систем с п степенями свободы, для описания которых используются п лагранжевых координат. [c.303]

Так как лагранжевы выражения дивергенции тождественно исчезают, то обращение показывает еще следующее если I допускает группу е, то каждый интеграл, который отличается от I только на интеграл по границе, т. е. интеграл от дивергенции, также допускает группу е с теми же самыми группу, бесконечно малые преобразования которой, вообще говоря, будут содержать производные от и. Так, например, в соответствии с вышеприведенным примером [c.619]

Теорема Нетер гласит, что всякому непрерывному преобразованию координат, обращающему в нуль вариацию действия, при котором задан также закон преобразования функций поля, соответствует определенный инвариант, т. е. сохраняющаяся комбинация функций поля и их производных ). Так, инвариантности лагранжевой функции относительно смещения начала отсчета в пространстве (однородности пространства) соответствует закон сохранения количества движения инвариантности лагранжевой функции относительно смещения начала отсчета времени (однородности времени) соответствует закон сохранения энергии инвариантности относительно пространственных поворотов (изотропности пространства) соответствует закон сохранения момента количества движения. Инвариантность относительно преобразований Лоренца ), т. е. вращений в плоскостях (х,/), (у,/), (2,0, приводит к обобщенному закону сохранения движения центра тяжести. Таким образом, в четырехмерном пространстве времени имеем всего десять фундаментальных законов сохранения. [c.863]

Наконец, необходимо указать, что вне классической механики, особенно там, где отыскиваются уравнения поля, а не уравнения движения в точном смысле слова, теряет смысл характерное для классического принципа Гамильтона разделение на кинетическую и потенциальную энергию. Здесь речь может идти о лагранжевой функции, зависящей от некоторых координат , их первых производных и времени. Возможность разделения лагранжевой функции на две функции Т = Т(д, ( ) и V = У(д, I) отнюдь не является существенной и не имеет общего значения в физике. [c.867]

Подставляя в лагранжевы уравнения (46.18) значения частных производных функций L из (46.31), получаем [c.127]

Эти уравнения эквивалентны системе (65.3). Появляющееся здесь выражение называют лагранжевой производной функции L. [c.216]

Следующее обсуждение тесно связано с вопросами, рассмотренными в 103. Однако здесь мы будем употреблять скорее гамильтоновы методы, чем лагранжевы. В методе Лагранжа мы ограничены преобразованиями координат (д), а преобразование импульсов (р) является производным преобразованием. В методе Гамильтона, мы можем применять канонические преобразования (КП). [c.380]

Уравнения движения Якоби для консервативной системы. Пусть данная материальная система без неинтегрируемых дифференциальных связей консервативна пусть связи её не зависят явно от времени, а активные силы имеют однозначную силовую функцию U, зависящую только от координат. При выполнении первого условия, как мы видели ( 189), систему можно отнести к таким независимым координатам, чтобы кинетическая энергия системы представилась однородной функцией второй степени от скоростей с коэффициентами, не зависящими явно от времени. Обобщённые силы, являющиеся частными производными от силовой функции, тоже в нашем случае не содержат явно времени. Следовательно, время явно не войдёт и в выражение лагранжевой функции, а также в уравнения движения (33.42) или (32.48) и в те функции, которые мы в предыдущем параграфе обозначили Р . Поэтому, когда систему уравнений (32.48) мы заменим системой уравнений первого порядка [c.335]

Для теорий с высшими производными, когда L L q, д, q, ( " ), переход от лагранжева к Г. ф. осуществляв 1 я введением новых координат = k— , n, и связей Оа-1 — = [c.402]

Запишем систему дифференциальных уравнений (1.10.14) в лаграижевых координатах вместе с уравнениями для девиатора (1.10.18), (1.10.20) для одномерного плоского (v = l) движения с одноосной деформацией (е = е = 0, т = т = — Дт, переходя к переменным Pi, Ра, v, Т, зависящим от лагранжевой координаты в направлении движения г и времени t, нричем в левых частях уравнений выделим члены, содержащие производные по времени [c.264]

Интегрирование по частям интеграла (2.15.3) преобразует первый член подинтегрального выражения в —иу. Теперь мы имеем обычную лагранжеву задачу с переменными I/ и и, которая может быть преобразована в гамильтонову форму, что даст две пары канонических уравнений для четырех переменных у, и, pi, р , они заменяют собой одно первоначальное дифференциальное уравнение четвертого порядка для у. Показать эквивалентность канонической системы и первоначального дифференциального уравнения. Очевидно, что этот метод перехода от вторых производных к первым производным применим при любом количестве переменных. В общем случае при наличии производных m-ro порядка следует начать с выших производных, сводя их к производным т — 1)-го порядка затем процесс повторяется до тех пор, пока в подинтегральном выражении останутся одни лишь первые производные. Это и означает, что под-интегральное выражение приведено при помощи преобразования Гамильтона к каноническому виду. [c.200]

С уравнениями Лагранжа. В лагранжевой механике существенной является функция L, представляющая собой разность между кинетической и потенциальной энергией. При попытке упростить выражение для потенциальной энергии кинетическая энергия может приобрести слишком сложный вид, и наоборот. Одновременное упрощение выражений и для потенциальной и для кинетической энергий является довольно трудной задачей. В гамильтоновой механике положение более благоприятное, потому что основная функция, функция Гамильтона Н, зависит лишь от самих переменных и не содержит каких бы то ни было производных. Поэтому ее можно сравнить с потенциальной энергией в лагранжевой задаче. Кинетическая же энергия приводится к нормальному виду piqi и не участвует в задаче преобразования. Ею определяется общий класс преобразовании, которые могут применяться. Оставаясь внутри этого класса, мы можем полностью сконцентрировать свое внимание на функции Гамильтона Н. [c.226]

Это последнее уравнение представляет собой линейную зависимость (неоднородную, если связь зависит от времени) между производными д,,, т. е. так называемыми скоростями системы в отношении лагранжевых координат. Вообще, можно сказать, что каждая голономная связь налагает па систему также связь подвижности. Это замечание ведет к новому обобщению, которое имеет не только теоретическое оначенпе, но и реализуется на практике, как мы это увидим ниже (рубр. 12). Обобщение это заключается в том, что можно вводить также связи подвижности, непосредственно выражаемые уравнениями типа [c.280]

Подставляя в уравнение (10) вместо тс и у их выражения (11), мы получаем два линейных однородных уравнения, связывающих производные а, р, О, лагранжевых координат мы можем поэтому сказать, что случай, рассмотренный в предыдущей рубрике, представляет собою пример однородной неголоном-ной связи. [c.284]

Теперь легко проверить, что они образуют систему из п дифференциальных (независимых) уравнений второго порядка от п неизвестных функций переменной t, приводимую к нормальному виду, т. е. разрешимую относительно вторых производных. Действительно, заметим, что как это вытекает из их выражений (37), наравне с F , представляют собой известные функции от параметров, определяющих в любой момент конфигурацию системы, скоростей отдельных точек и, возможно, времени, т. е. функции от q, q к t. Что же касается выражений для т , определяемых равенствами (38), то следует обратить внимание, что, в то время как векторы dPJdqf зависят исключительно от q (и, возможно, от t), ускорения а,-, которые получаются последовательным дифференцированием равенств (33), представляют собой известные функции от q, q, q (и, возможно, t), линейные относительно лагранжевых ускорений д. [c.289]

Остальные п — т уравнений, которые по предположению уже не содержат q , можно сделать независимыми также и от подставляя вместо этих производных их выражения через qf , q , h h ni) и С , которые получатся из уравнений (55). Таким образом мы придем к системе дифференциальных уравнений второго порядка, заключающей в себе только п — т неизвестных qf (h — m- - 1,. .., я). Докажем теперь одно замечательное свойство, которое, конечно, нельзя было предвидеть а priori, а именно, что эта новая система Нее еще сохраняет лагранжеву форму, но уже, естественно, не по отношению к первоначальной функции S, а по отношению к приведенной лагранжевой функции [c.303]

Случай не нормальной лагранжевой системы. Задача о геодезических линиях. Только что доказанная эквивалентность, как это следует из формального способа, которым она была установлена, имеет место, какова бы ни была лагранжева система (31). Она, в частности, будет иметь место также и тогда, когда функцйя й не будет зависеть от / и будет однородной первой степени относительно 9. В п. 41 гл. V мы видели, что в этом случае соотшетству-ющая система Лагранжа (31) не будет нормальной (т. е. не будет разрешимой относительно я вторых производных от q), так как между левыми частями уравнений (31) существует тождественное линейное соотношение [c.423]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Можно сделать попытку обозреть основные этапы развития аналитической динамики до середины XIX в. Первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжева теория вариации произвольных постоянных, а также теория Пуассона. Следующим этапом явились во-первых, представление Гамильтоном интегральных уравнений посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или посредством условия, что она одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных производных, и, во-вторых, установление канонических уравнений движения. Вслед за тем Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений к проблеме нахождения полного интеграла единственного уравнения в частных производных и дал общую теорию связи интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения в частных производных первого порядка. Наконец, была разработана теория систем канонических интегралов. [c.910]

Соответственно сказанному и основные динамические величины, количество движения К, кинетический момент О и кинетическая энергия Т тела, могут быть отнесены как к неподвижным, так и к подвижным осям, г. е. могут быть соответственно выражены через величины (45. 3) и (45. 4), Кииетнческую энергию Т тела часто, кроме того, выражают через обобщённые координаты и их производные по времени, т. е. в форме (32. 35) на стр. 329. За независимые координаты свободного твёрдого тела могут быть приняты координаты полюса х , у , и три эйлеровых угла (р, ф, ( 55). Кинетическую энергию неизменяемой системы, представленную в указанной форме, мы будем называть лагранжевой формой кинетической энергии. [c.490]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...