Бильярдного шара, проблема

Бильярдного шара, проблема 175. 182 [c.405]

Проблема бильярдного шара.................17о [c.7]

В проблеме бильярдного шара можно прийти к некоторым периодическим движениям прямым применением методов максимума — минимума. Так как это представляет интерес само по себе, я укажу здесь, как это можно сделать. Результаты, полученные Морсом (см. главу V, 8), показывают, что область применения этих методов, уже развитая до известной степени Пуанкаре, Адамаром, Уиттекером и мною, может быть еще расширена. Таким образом, легко может оказаться, что значение метода минимума-максимума в проблеме бильярдного шара типично для общего случая. [c.176]

Соответствующее преобразование Г. Мы намерены теперь определить преобразование кольца Г, связанное с проблемой бильярдного шара, и показать, как геометрическая теорема Пуанкаре в своей первоначальной форме приводит к выведенным в предыдущем параграфе заключениям. Приведение задачи к вопросу о преобразованиях кольца имеет большое значение, даже не принимая во внимание его связь с вопросом о периодических движениях. Нужно отметить также, что в наиболее интересных случаях, как, например, ограниченная задача трех тел, метод приведения к преобразованиям кольца и применения геометрической теоремы Пуанкаре вполне приложим к изучению периодических движений, в то время как метод максимума и минимума до сих пор не мог быть приложен к этим задачам. [c.177]

Таким путем отыскание гармонических многоугольников и связанных с ними периодических движений в задаче бильярдного шара приводится к определению систем различных точек Рх,. .., Р , перемещаемых циклически при преобразовании Т, так что Т (Р ) = Р . Вообще же говоря, решительно всякое интересное свойство движения бильярдного шара отражается в соответствующем свойстве преобразования Т. Таким образом, динамическая проблема может быть сведена к задаче некоторого специального преобразования кругового кольца в себя. [c.179]

Интегрируемый случай. Проблема геодезических линий на выпуклом эллипсоиде, исследованная Якоби, является общеизвестным примером интегрируемой задачи . Если мы сплющим этот эллипсоид, превратив его в плоский эллипс, то получим в пределе специальный интегрируемый случай проблемы бильярдного шара (см. главу VI, 6). Этот пример является еще болсс конкретным, так как геодезические линии превращаются в обыкновенные ломаные с вершинами, лежащими на эллипсе, и сторонами, образующими равные углы с нормалью к эллипсу в любой вершине. [c.249]

Геодезические линии на эллипсоиде с полуосями а, Ь, с а > Ь > > с > 0) известны со времен Якоби. Они появляются также в качестве общего решения интегрируемой гамильтоновой проблемы, так как частица, движущаяся по гладкому эллипсоиду без воздействия внешних сил, должна следовать по геодезической линии. Если теперь меньшая полуось с будет стремиться к нулю, в то время как остальные полуоси будут оставаться постоянными, то эллипсоид перейдет в эллипс. Геодезические линии будут состоять из прямолинейных отрезков, и два таких отрезка, принадлежащие одной и той же геодезической линии и следующие друг за другом, должны встречать эллипс под одинаковыми углами. Но такие ломаные линии суть идеализированные пути бильярдного шара на эллипсе. Разумеется, и эта проблема должна быть интегрируемой . [c.319]

История с парксайном дошла до Соединенных Штатов Америки, где проблема нехватки слоновой кости для бильярдных шаров приобрела такую остроту, что одна компания предложила награду в 10 тыс. долларов изобретателю заменителя. [c.15]

Проблема бильярдного шара . Для того, чтобы дать пример, иллюстрирующий применение теоремы Пуанкаре и ее обобщений, мы рассмотрим прежде всего специальную, но весьма типическую задачу этого рода, а именно задачу о движении бильярдного шара на ограниченном выпуклой кривой бильярдном столе. Эта система представляет очень большой интерес по следующим основаниям. Всякая ла-гранжева система с двумя степенями свободы изоморфна с движением материальной частицы па гладкой поверхпости, равномерно вращающейся около постоянной оси и носящей па себе консервативное поле [c.175]

Прежде чем мы перейдем к совершенно элементарному доказательству этого утверждения, мы укажем на одно его немедленное приложение, подтверждающее сделанное нами выше утверждение о большой теоретической важности преобразований кольца. Так как интеграл, написанный выше, вычисленный на площадях сто, (Тх, стг,..., (ст = Тсгг 1), имеет одно и то же значение и так как значение его па всем кольце конечно и равно 4тг, то какие-нибудь два образа (ц и (т (г > j) должпы налегать друг на друга. Применяя обратное преобразование Т , получим, что (Тг 1 и (т 1 налегают друг на друга и, наконец, что ai-j и (т налегают друг на друга также. Но в переводе на язык проблемы бильярдного шара это значит, что можно послать шар с координатами (положением и направлением), сколь угодно близкими к любым данным так, чтобы он в конце концов вернулся сколь угодно близко к тому же положению и направлению. Пуанкаре, развив подробнее эту цепь рассуждений, показал , что вероятность того, что произвольное движение возвращается бесконечно много раз в окрестность своего [c.179]

Приложения теоремы Пуанкаре к проблеме бильярдного шара. Как было у ке указано, нет точки кольца, не лежащей на его границе, которая была бы инвариантна относительно преобразования Т. С другой стороны, рассмотрим преобразование и присоединим к нему вращение плоскости д, ip около начала, координат на угол —2тг, которое мы обозначим через В.-х- Преобразование оставляет инвариантным интеграл JJ sin i9d dip и передвигает точки внешней окружности на угол 2тг, а точки внутренней окружности на угол —2тг, следовательно, в противоположном направлении. Таким образом, преобразование удовлетворяет всем условиям, необходимым для примспспия гсомстричсской теоремы Пуанкаре. Следовательно, сложное преобразование T" R-i имеет по крайней мере две инвариантные точки. Но это значит, что имеет две геометрически различные инвариантные точки с индексами разных знаков , хотя для обеих этих точек ip увеличивается на величину 2тг. [c.182]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...