Уравнения для п планет

Эти системы уравнений являются линейными и из них можно получить постоянные га и у. Действительно, индекс I может принимать га значений (ес.1и имеется га планет) для переменных Я, и 2га значений для и т)г индекс к может принимать га значений для п -а т" и 2га значений для у тя. ю. Таким образом, каждая из наших систем содержит Зга уравнений с Зга неизвестными. [c.243]

Если п о означает массу Солнца, / 1, тпг —массы двух планет, то для планетного случая справедливы уравнения (21) с функцией определяемой формулой (22). В этих координатах силовые функции для обеих планет одинаковы с точностью до множителе , зависящих от масс. Это форма, применявшаяся Якоби она дает возможность привести уравнения к канонической форме с единым гамильтонианом для всей системы. [c.237]

Уравнения (25.3.6) имеют форму, несколько отличающуюся от принятой среди астрономов. Они определяют изменение эллиптических элементов в зависимости от времени и не очень удобны для теории движения планет. Если функцию R представить в форме (25.3.8), то, учитывая, что п зависит от а, будем иметь [c.512]

В современных методах вычисления орбит космических аппаратов рассматривается только система дифференциальных уравнений шестого порядка и используются табулированные эфемериды других тел солнечной системы, что позволяет определить движение космического аппарата. В будущем, по мере того как станет доступным все большее число радиолокационных наблюдений за космическими зондами, искусственными спутниками Луны и планет и даже за самими планетами, можно будет также учитывать уравнения движения других объектов в системе п тел. В настоящее время довольно ограниченное количество информации от наблюдений и сравнительно короткие интервалы времени, в течение которых производятся радиолокационные измерения, не дают возможности получать полное совместное решение для нескольких тел солнечной системы. Однако ввиду все возрастающей интенсивности освоения космического пространства не следует ожидать, что такое положение долго останется неизменным. [c.103]

В общем виде данная задача была рассмотрена П. В. Воронцом, составившим методами классической дифференциальной геометрии общие уравнения движения тела с заданной поверхностью по поверхности другого тела. Данная задача не потеряла своего технического значения и в настоящее время как для машиностроения и приборостроения, так и для транспорта, в частности, для транспорта, приспособленного для уже начавшегося освоения поверхностей других планет. [c.9]

Сравнительная простота решения задачи п тел при описании движения планет (это достаточно сложная задача, изучением которой занимается небесная механика) связана с тем, что 1) масса одной точки - Солнца - в 1000 раз превосходит самую большую из остальных масс - Юпитер, 2) в процессе движения планеты не сближаются друг с другом. Оказывается, что при приближенном описании можно в правых частях уравнений движения к-й планеты учитывать только ее взаимодействие с Солнцем и пренебрегать влиянием на нее остальных планет. Тем самым в первом приближении задача сводится к задаче двух тел Солнце - планета, которую, как было отмечено, умеют решать аналитически. Так и делают. Но такое упрощение может дать лишь грубое описание движения. Для более точного решения задачи используют методы теории возмущений. В теории возмущений разработаны методы, с помощью которых последовательно уточняют решение задачи на ограниченных интервалах времени (порядка сотни лет). Сейчас мы можем предсказывать положение планет относительно Солнца с точностью порядка [c.49]

В первых параграфах этой главы мы изучали движения п малых масс относительно массы то, которая в теории движения больших планет представляет Солнце эти гелиоцентрические движения планет представляют наибольший интерес для практических приложений, но, как было уже отмечено в 4, не совсем удобны для теоретических исследований, так как гелиоцентрические уравнения движения не имеют канонической формы. [c.704]

Для наклонностей п долгот узлов планет из уравнений (е ) он получает следующие значения [c.309]

В важной работе Брауэра [3] показано, что при двукратном интегрировании вероятная ошибка равна 0,1124/г , где п — число шагов (величина ошибки выражена в единицах, соответствующих последней значащей цифре). Так, например, после 100 шагов численного интегрирования уравнений второго порядка, описывающих движение спутника, мы с вероятностью 50% можем ожидать, что ошибка округления будет меньше 112,4. В этой работе также показано, что средние ошибки оскулирующих элементов орбиты, полученных численным интегрированием уравнений движения планет в форме Лагранжа (уравнений первого порядка) или при помощи обычных формул по компонентам х, у, г) и х, у, 2), будут пропорциональны Исключением является средняя орбитальная долгота, для которой средняя ошибка опять-таки пропорциональна га . Правда, следует заметить, что она получается в результате двукратного интегрирования. [c.224]

Когда аппарат достигнет расстояния р, на котором гравитационное поле планеты становится суи ственным, можно, зная гелиоцентрическую скорость аппарата V, угол фу, который она составляет с гелиоцентрическим радиусом-вектором длины г, долготу аппарата и соответствующие величины Ve, Фе> h = А + для планеты, вычислить планетоцентрические радиус-вектор п скорость аппарата. Затем, используя полученные значения и обычные уравнения гиперболического движения, можно найти половинный угол ij между асимптотами, долготу перицентра / , расстояние Ро и скорость Vh, после чего можно вычислить изменение скорости, необходимое для перевода аппарата с гиперболической орбиты сближения на круговую орбиту. [c.373]

Уравнения (11.21) п (11.22) можно применить для расчета требуемого приращения скорости V, подставляя величину орбитальной с1 сти Земли 29,8 км с вместо I ц/oi, когда целью полета является внешняя планета, или вместо У ц/02, когда цель полета — внутренняя планета. [c.405]

Первые четыре главы книги посвящены общим уравнениям движения тел, представляющих изолированную систему, известным интегралам, основным формулам эллиптического движения и разложению различных функций в гипергеометрические ряды и по функциям Бесселя. В гл. 5 достаточно подробно излагаются уравнения Лагранжа для оскулирующих элементов, чтобы читатель мог ознакомиться с основными процессами перехода от эллиптической орбиты к возмущениям планет. В гл. 6 рассматриваются различные классы неравенств —вековые, короткопериодические и долгопериодические. Гл. 7 посвящена разложению в ряд возмущающей функции, сначала в теории Луны, а затем в теории движения планет. В гл. 8 —о канонических уравнениях — шаг за шагом излагаются различные теоретические положения и приводятся простые примеры. В гл. 9 подробно рассматривается решение уравнений эллиптического движения при помощи метода Гамильтона — Якоби. В следующих двух главах излагаются элементы теории контактных преобразований. Гл. 12 посвящена теории Луны Делонэ в ней подробно описывается основная операция и дается практический метод получения решения п желаемой форме. В следующих двух главах рассматриваются вековые [c.7]

Уравнение (3.57) называется уравнением частот или вековым уравнением. Последнее наименование связано с тем, что в теоретической астрономии аналогичные уравнения служат для определения периодов вековых неравенств в движении планет ). Вековое уравнение (3.57) представляет собой уравнение п-й степени относительно р . При условии положительности потенциальной энергии оно определяет п положительных ), в общем случае различных значений квадратов собственных частот системы. [c.123]

Для п = —2 было бы поэтому М = onst. Но этот случай в природе не может встретиться, так как иначе сопротивление должно было бы быть тем меньше, чем быстрее двигается планета. Поэтому мы будем исследовать, можно ли, без этого предположения относительно п, превратить v также в полную производную. Теорема живой силы и теорема площадей для этой задачи не имеют больше места исследуем однако, какую форму здесь принимают соответствующие нм уравнения. Чтобы получить уравнение, аналогичное уравнению живой силы, мы должны три уравнения (1) умножить соответственно на х, у, г и сложить тогда получится [c.111]

Фундаментальное уравнение для определения величин gi и Ои по которым находятся средние движения перигелпев и узлов, является алгебраическим уравнением относительно g п а п-й степени, где п — число планет. Это алгебраическое уравнение дается в форме определителя с п элементами. Если этот определитель раскрыть обычным образом, то получим сумму п членов, где каждый член состоит из п сомножителей. Если число планет велико, то вычислительная работа, необходимая для раскрытия определителя, очень большая. Еслп вычислять вековые возмущения восьми больших планет ) планетной системы, то таким образом получили бы 8 = 40320 членов, каждый из которых состоит из восьми сомножителей. А так как некоторые из элементов определителя, а именно те, которые стоят на главной диагонали, состоят из двух слагаемых, то указанное число возрастет еще более, — вдвое, как отмечал Стокуелл. Уже только численные расчеты для этого уравнения с трудом можно было бы преодолеть в течение одной человеческой жизни (Стокуелл). [c.297]

Обычная форма уравнений движения в прямоугольных координатах для п.лаиетного случая трех тел дается уравнениями (4а), (46) этой главы. В этой форме для каждой планеты использовались ее гелиоцентрические координаты, и силовые функции для обеих планет были различны. [c.237]

Имея дифференциальные уравнения, определяющие движение планеты в оскулирующей плоскости, мы можем затем рассмотреть движение самой этой плоскости, получая уравнения, которые дают широту планеты над неподвижной плоскостью п не завпсят от движения в оскулирующей плоскости. Наконец, путем преобразования координат можно показать, каким образом может быть получена долгота (отнесенная к неподвижному направлению в неподвижной плоскости) прибавлением двух очень малых поправок к долготе в оскулирующей орбите. Для большей ясности изложения мы предпочитаем, однако, изменить этот порядок и сначала рассмотреть преобразования координат. [c.360]

П и П. В первом приближении допустимо считать последние три величины постойнными, благодаря чему они легко получаются из начальных элементов обеих планет при помощи формул сферической тригонометрии для использования в уравнениях (138). Если для возмущений первого порядка применяются выражения (92), то вместо первого уравнения из (138) мы имеем уравнение для д 1д1, которое можно получить непосредственным. дифференцированием ряда, выражающего функцию . [c.389]

С такого рода затруднениями встретились астрономы XVIII в., когда пытались, решая при помощи рядов дифференциальные уравнения движения планет, получить периодические выражения для координат планеты. Тогда же в связи с этим были предложены некоторые специальные способы освобождения решений от вековых членов. Наиболее известные работы в этом направлении принадлежат П. Лапласу и Ж. Лагранжу. Однако способы, предложенные этими учеными, хотя и приводят в конце концов к цели, весьма сложны и связаны с громоздкими выкладками. [c.534]

Доказательство. Необходимость. Первый и второй законы Кеплера позволяют сделать вывод, что орбита каждой планеты есть плоская кривая, и для нее имеет место интеграл площадей относительно Солнца. Из теоремы 3.7.7 следует, что тогда сила взаимодействия планеты с Солнцем — центральная с центром в Солнце. Постоянная площадей для планет не равна нулю, и мы можем воспользоваться формулами Вине. Выберем по.пярные координаты с центром в Солнце и полярную ось направим в точку орбиты, ближайщую к Солнцу (перицентр орбиты). Полярный угол, полученный таким способом, обозначим п. Он называется истинной аномалией. Уравнение эллипса в полярных координатах имеет вид [c.256]

Для получения численной величины а следует воспользоваться феноменологической теорией Пуанкаре — Мин-ковского, упоминавшейся ранее в п. 8. Эта теория основана на специальной теории относительности. Она приспособила ньютоновы уравнения движения планет к требованиям этой теории с тем условием, чтобы в предельном случае малых Kopo Teii иолучпт[> старые результаты. Функция Гамильтона в этой теории имеет вид (9.8.8). В сферических координатах для ф = onst = - л имеем [c.377]

Пример. Орбитой планеты, движущейся под действием силы притяжения Солнца, является эллипс, причем Солнце находится в одном из фокусов С эллипса (рис. 268). Так как сила пртпяжения является центральной, то при движении имеет место закон площадей. Поэтому в ближайшей к Солнцу точке орбиты П (перигелий) скорость планеты будет наибольшей, а в наиболее удаленной от Солнца точке А (афелий) — скорость г д будет наименьшей. Этот результат следует из уравнения (46), которое для точек А и В дает [c.286]

НОВЫЙ качественный подход к анализу проблемы п тел. Позднее в гамильтоновой динамике зародились два различных направления ( ) исследование динамической сложности, возникающей в этой задаче из-за определенной гиперболичности (Алексеев, Конли), и Ш) анализ интегрируемых систем и их возмущений, который привел к КАМ-теории. Хотя и гиперболическая, и интегрируемая модели были известны еще со времен Пуанкаре, потребовался глубокий анализ Колмогорова, для того чтобы осознать, что многие качественные особенности (весьма специальных) интегрируемых систем в определенной степени сохраняются под действием возмущений, а также возникают в типичных ситуациях (например, вблизи неподвижной эллиптической точки). На развитие обоих этих направлений повлиял вопрос об устойчивости солнечной системы, который изучался в рамках гиперболического подхода в терминах устойчивости системы п тел и в рамках КАМ-теории посредством анализа возмущений, например, (интегрируемой) системы центральных сил без учета взаимодействий между планетами. В работе Конли и Цендера была установлена взаимосвязь топологических и вариационных методов, ставшая краеугольным камнем современной глобальной симплектической геометрии. Возрождение анализа вполне интегрируемых систем началось с работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры и открытия П. Лаксом новых методов построения интегрируемых систем. Это привело к быстрому увеличению числа новых интересных примеров конечномерных интегрируемых систем, а также к построению теории бесконечномерных гамильтоновых систем. Применение этой теории к изучению нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных стало крупным достижением впервые в ситуациях, когда асимптотическое поведение уже не может быть названо тривиальным, появились средства для законченного качественного анализа. [c.24]

Вариньон, инициирована Лейбницем, попросившим автора продолжить развитие его теории центральных сил, очень важной для изучения движения планет. Здесь рассматривается движение точки L по кривой Ы (рис. 4.3.4) под действием сил, исходящих из центров А, В, С,... и пересекающихся в точке L. Вариньон составляет дифференциальное уравнение движения точки в проекции суммы всех сил и ускорения на касательную к траектории LI. Он пишет, что аналогичным образом поступал Германн ( A ta eruditorum , ноябрь 1702). Обозначив / — центральная сила, ds — элемент дуги траектории, п — ее радиус кривизны — Вариньон записывает уравнение [c.194]

Кеплер пришел к своей теории эллиптического движепия путем анализа наблюдений Марса — единственной планеты с достаточно большим эксцентриситетом и быстрым движением, нуждавшейся в его эпоху более чем п одном эпицикле для представления эксцентриситета. Его знамепитому уравнению было посвящено в аст1)оно-мии больше внимания, чем какому-нибудь другому. [c.57]

В солнечной системе орбиты больших планет, за исключением Плутона, имеют малые наклонности относительно общей плоскости, за которую можно выбрать такую плоскость, в которой момент количества движения системы достигает максимума. Это так называемая неизменяемая плоскость Лапласа. Если пренебречь координатами, перпендикулярными к этой плоскости, то уравнения движения относятся к задаче га тел, движущихся в общей плоскости. Такая система имеет порядок 4га, Число общих интегралов теперь равно 4 + 1-)-1 = 6, и порядок может быть понижен до 4га —6. Для задачи трех тел в плоскости понижением порядка приходим к системе шестого порядка. Как и в трехмерной задаче, возможно еще одно понижение порядка этой системы на две единицы. Следовательно, для задачи трех тел в плоскостп окончательное понижение порядка приводит к системе четвертого порядка, для задачи п тел в плоскости —к системе порядка 4га-8. [c.222]

Непосредственное применение уравнений (1) для определения положения планеты потребовало бы вычисления сначала / п 0 по методу вариации произвольных постоянных подстановка этих величин в (2) дала бы а. Таким образом, вместе с v и г потребовалось бы пять величин для определения трех 1 оординат. Однако можно уменьшить это количество путем соответствующего преобразования. Подставим вместо / и о величины /ц и сГо —значения / и о в начальный момент времени. Тогда / и о могут быть найдены прибавлением к / и ад. определенных величин порядка возмущающих сил. Пусть s означает поправку к правой части третьего уравнения из системы (1), и пусть iXsina и —ideosa означают поправки к первому и второму уравнениям, где Айш пока остаются неопределенными. Кроме того, допустим, что в левых частях уравнений (1) мы можем вместо 0 подставить [c.361]

Численные методы небесной механики, разработанные Клеро (1713—1765), в течение XVIII в. применялись исключительно к кометам в течение XIX в. эти методы получили дальнейшее развитие и нашли широкое применение для вычисления возмущений малых планет и, наконец, в середине XX в. появление быстродействующих электронных вычислительных машин позволило применить численные методы в теории движения больших планет, а затем и в задачах астродинамики. Принципиальным недостатком численных методов является быстрое накопление ошибок округления на каждом шаге интегрирования уравнений движения. Этот вопрос детально изучался в Институте теоретической астрономии в работах В. Ф. Мячина. После того как сделано л шагов численного интегрирования, ошибки в полученных координатах оказываются пропорциональными п иными словами, после 100 шагов интегрирования ошибки округления в исходных значениях координат увеличиваются в ЮОО раз, т. е. три последних вычислительных знака в результатах будут ошибочны. Систематическое накопление ошибки в процессе интегрирования ограничивает возможности численных методов по сравнению с аналитическими методами, которые свободны от этого недостатка. [c.297]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...