Предельная точка множества

Предельная точка множества 67 Предположение об идеальности среды 29 [c.313]

Пусть ро — предельная точка множества р (0 ) тогда ро Л и [c.388]

Точка X называется предельной точкой множества G, если в любой ее е-окрестности Up содержится бесконечное множество точек из G, граничной точкой множества G, если любая ее Е-окрестность содержит как точки, принадлежащие множеству G, так и не входящие в него точки, и внутренней точкой множества G, если существует ее е-окрестность f/g, все точки которой принадлежат О. [c.127]

Рассмотрим произвольную точку Р множества Mi — М[. Она является предельной точкой множества W. Поэтому существует последовательность Р , р2,. .. точек множества W, сходящаяся к Р. По теореме о непрерывной зависимости от начальных условий отсюда следует, что при всяком вещественном t последовательность Р/, РД. .. сходится к P . Так как точки Р/ также принадлежат W, ибо W состоит из кривых движения, то отсюда следует, что Pt есть предельная точка множества W. А так как Pt принадлежит Mi в силу того, что Р принадлежит Ml, то Pt принадлежит Mi — М[. [c.389]

Термин предельная точка употребляется и в теории множеств. Точка М называется в теории множеств предельной точкой множества АГ, если Б любой сколь угодно малой ее окрестности лежат точки множества ЛГ, отличные от М. Не следует смешивать эти два понятия. Например, состояние равновесия является предельной точкой для самого себя (в смысле определения, данного в тексте), но не является предельной точкой в теоретико-множественном смысле. В самом деле, в этом случае все множество ЛГ состоит из единственной точки (из состояния равновесия) и поэтому в любой окрестности состояния равновесия не содержится никаких отличных от него точек множества ЛГ. [c.398]

Пусть — подмножество J8. Элемент Ь g J8 называется точкой накопления или предельной точкой множества если в любой окрестности Ъ (т. е. в любом открытом множестве, содержащем Ъ) имеется точка множества отличная от Ъ. Иначе говоря, если Ъ — точка накопления для то любая окрестность Ъ содержит бесконечное число точек множества Множество, состоящее из и всех его точек накопления, называется замыканием Если и J8 — два таких множества, что замыкание содержит в себе J8, то говорят, что плотно в 8. Если же замыкание равно то говорят, что всюду плотно в J8. [c.38]

По одну сторону от нуля имеется открытое множество с предельной точкой О, состоящее из счетного объединения интервалов. Каждому значению е из этого множества соответствует лоле V семейства, имеющее странный аттрактор М . Этот аттрактор содержит счетное множество периодических траекторий и стремится к объединению при е- 0. [c.119]

Множество таких точек I называется положительным предельным множеством или множеством предельных точек для рассматриваемой траектории обозначим его через Л. Точки I множества Л называются Л-точками. Л-точки кривой С являются предельными точками (точками сгущения) этой кривой, но не все предельные точки С принадлежат к числу Л-точек. [c.387]

Результаты, изложенные выше, можно сформулировать в виде следующей теоремы. Пусть I — обыкновенная точка множества Л, которое является положительным предельным множеством траектории С, а S — отрезок без [c.391]

Отсюда следует, что множество характеристич. чисел непрерывного ядра не более чем счётно и не имеет конечных предельных точек. Из второй теоремы Фредгольма вытекает, что кратность каждого характеристич. числа конечна. [c.373]

Множество G называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, и ограниченным, если ограничены значения координат Xj, каждой его точки х = [c.127]

Ниже будет показано, что в предельных точках касательная к кривой К множества решений системы (В.2.1) в Rm+i становится нормальной к оси tB [c.18]

Таким образом, замкнутое множество — это такое множество, которое содержит все свои предельные точки. [c.17]

Нетрудно видеть, что множество предельных точек Z . ограниченной фазовой траектории x(i) не пусто и состоит из фазовых траекторий. Однако физически, т. е. с учетом неизбежных малых возмущений, приближение фазовой траектории к предельному множеству Ха будет наблюдаться лишь в том случае, когда — предельное множество не только для фазовой траектории x(i), но и для всех других фазовых траекторий, близких к Х . Если множество Ха обладает этим свойством асимптотической устойчивости, то оно является аттрактором. Простейшие аттракторы — это асимптотически устойчивые состояния равновесия и периодические движения. [c.124]

Теорема /./. Множество предельных точек всякой полутраектории инвариантно и замкнуто. [c.12]

Из принципа выбора Больцано — Вейерштрасса следует, что множество предельных точек устойчивой по Лагранжу полутраектории не пусто. [c.13]

Теорема 1.2. Если полутраектория устойчива по Лагранжу, то множество ее предельных точек связно. [c.13]

Следствие 1.1. Если полутраектория устойчива в смысле Лагранжа, то множество ее предельных точек содержит минимальное множество. [c.15]

Но точка 8 1 лежит в s-окрестности точки Oq. Так как S есть произвольное достаточно малое число, то отсюда следует, что точка Oq—предельная для Р, S-q — произвольная точка Р следовательно, любая точка Р есть предельная точка этого множества, т. е. РсР. Таким образом, мнр-жество Р плотно в себе так как оно замкнуто, то оно совершенно. [c.164]

Случаи молекул — твердых сфер также изучен довольно подробно. Для него полезная информация получается из теоремы Вейля о возмущении спектра самосопряженного оператора V при добавлении достаточно регулярного интегрального оператора /С, так что получается оператор W — V К. Согласно теореме Вейля [2—4], если К — вполне непрерывный оператор, т. е. переводит ограниченную последовательность функций gk в сходящуюся последовательность Kgk (сходимость понимается в подходящем функциональном пространстве, в данном случае в гильбертовом пространстве Ж, где норма дается формулой (1.9)), то непрерывные спектры XV и V совпадают. Таким образом, влияние К сводится к изменению дискретного спектра. Точнее говоря, остается неизменным так называемый существенный спектр (т. е. множество предельных точек спектра). [c.208]

Теорема 2.4 Множество собственных значений вполне непрерывного оператора в Н не более чем счетно с единственной возможной предельной точкой в нуле. [c.59]

Операторы с дискретным спектром. Рассмотрим неограниченный замкнутый оператор L в со всюду плотной областью определения D(L). Такой оператор называют оператором с дискретным спектром, или оператором со вполне непрерывной резольвентой, если резольвента Ri( i) = L — и-/) существует и является вполне непрерывным оператором хотя бы при одном г = Iq. Доказывается (см., например, [8], гл. III, 6), что тогда спектр 2(L) состоит из не более чем счетного множества собственных значений с единственной возможной предельной точкой оо (а не О, как у вполне непрерывного оператора) каждому собственному значению отвечает конечномерное корневое подпространство й(р,) = ( х) резольвента Ri(n) вполне непрерывна при p,s2(L). [c.303]

Предположим, что е е (У "). В теории эллиптических граничных задач доказывается, что тогда всякое обобщенное решение такой задачи является классическим ее решением (см., например, 12], гл. 2, 9). Таким образом, рассматриваемое условие выполнено, если задача (39.11) не имеет нетривиальных классических решений. Используя результаты из [29], можно показать, что при заданном е значения к, для которых это условие нарушается, образуют не более чем счетное множество без конечных предельных точек. [c.387]

В метрическом пространстве можно определить шар с центром в точке Xf, и радиусом р как множество точек х, удовлетворяющих неравенству р (х, л о) < ро ввести понятие е-окрестности точки л о Р (х, Ха) е и вообще воспользоваться терминологией (е, б), с помощью которой в математическом анализе строится теория пределов. В частности, вводится понятие предельной точки множества. как точки, в любой е-окрестности которой содержатся точки множества. Предельная точка множества может принадле [c.67]

В главе 1 построены обобщенные формы метода, обеспечивающие единообразие процесса продолжения решения в регулярных и предельных точках множества решений. Показано, что проблема выбора параметра связана с решением линеаризованных (жстем зфавнений традиционным методом исключения и что она не возникает при использсжании для этого метода ортогонализации. Показано также, как строить процесс продолжения решения, чтобы линеартзованные (жстемы были максимально обусловленными, и как выбирать оптимальный в этом смысле параметр продолжения. Здесь, рассмотрены примеры применения метода к таким модельным задачам, как пологая арка и трехстержневая ферма. [c.5]

В этой главе рассмотрены формы метода продолжения решения, основанные на требовании о равноправии неизвестных Х, Хг,..., Х и входящего в уравнения параметра задачи Р. Такое предложение высказывалось ранее в работах [245,493-495]. Но его практическая реализация бьша связана с решением линеаризованных уравнений методами типа исключения. А это, как будет показано ниже, равносильно фактическому отказу от равноправия неизвестных и параметра и отданию предпочтения какому-либо из неизвестных или некоторой их комбинации. Действительная реализация равноправия неизвестных и параметра может быть обеспечена только на основе таких методов решения линеаризованных систем, которые не отдают преимущества ни неизвестным, ни параметру. Одним из таких методов является метод орюгонализации. Оказывается, его использование позволяет не определять параметр продолжения решения и равносильно такому процессу продолжения решения, когда в качестве параметра продолжения выбрана длина дуги множества решений К в Rm+i Более того, процесс продолжения обеспечивает максимальную обусловленность решения линеаризованных систем и становится единым в регулярных и предельных точках множества решений. С этой точки зрения введение понятия предельной точки становится лишним. [c.24]

С , р] R 4-1 В регуля1 1ых и предельных точках множества решений нелинейной краевой задачи (3.1.1), (3.1 2) rang(/) =/, поэтому подпространство в R/+1, которому принадлежат решения уравнения (3.1.15), одно-мерто. В дальнейшем под с будем понимать орт этого подпространства. Как было показано в 1.1, определение с из уравнений (3.1.15) методом ортогонализации устраняет различия между регулярными и предельными точками и равносильно использованию на каждом шаге продолжения решения такого параметра, который обеспечивает максимальную обусло в-ленность систем уравнений (3.1.15). Для операции нахояоденияединичного вектора с,, ортогонального векторам-строкам матрицы /, воспользуемся обозначением (1.1.24) [c.86]

Пусть Z) С — произвольное множеств - Точка леС называется предельной точкой множества D, если существует такая последовательнрсть точек J nSZ), среди-которых имеется бесконечное множество рамичнта, что x =lim Хп.. [c.17]

Таким образом, и принадлежит ограниченному множеству в W (т.е. предкомпактному в слабой топологии множеству в 1Г). Покажем, что любая предельная точка множества и есть и°. Пусть и - такая предельная точка, т.е. [c.241]

Теорема ([6], [8], [9], [15], [16]). Пусть замкнутая поверхность М либо ориентируема, либо неориентируема и рода 3. Тогда гладкая динамическая система на М, обладающая следующими свойствами 1) квазиобщая 2) не имеющая сепг-ратрис седел, содержащих в множестве своих предельных точек петли сепаратрис других седел (или того же самого седла) [c.103]

Структура множества Л. Предположим снова, что предельное множество Л положительной полухарактеристики С не сводится к особой точке. Теперь мы знаем, что траектория, начинающаяся в точке множества Л, целиком принадлежит этому множеству. Предположим, что множество Л содержит траекторию С, предельное множество которой (положительное или отрицательное) не сводится к одной особой точке. Тогда траектория С является циклической и А = С. [c.391]

Докажем теперь, что С = А. Предположим противное пусть Е — множество точек, принадлежащих Л и не лежащих на С. Множества Л и С замкнуты, а множество Е открыто поэтому существует предельная точка q множества Е, которая не лежит в Е. Но точка q лежит в Л, так как это множество замкнуто, следовательно, q С. Рассмотрим теперь отрезок без контакта S, проходящий через точку q (которая является обыкновенной точкой и лежит на С). Пусть р — точка множества Е, лежащая достаточно близко от точки q. Тогда р будет обыкновенной точкой и проходящая через нее характеристика будет пересекать отрезок S в точке q, которая будет отлична от q, так как характеристики не пересекаются. Но q Л, так как р 6 А, и, следовательно, вся характеристика, проходящая через точку р, принадлежит множеству Л. Таким образом, отрезок S содержит две различные точки q ж q, принадленсащие множеству Л, а это, как мы видели, невозможно. Следовательно, множество Е должно быть пустым и С = А. Множество Л сводится к циклической траектории. [c.391]

Вввду того что det(7k) Ф О, при интегрировании этих уравнений вбпиэт предельной тйчки устраняются трудности, связанные с неограниченным ростом решения. Последнее уравнение в (В.2.11) как раз и показьшает, что в предельной точке касательная к кривой К множества решений нормальна к оси Р. Действительно, представим касательную к К в виде вектора в [c.19]

Переход от уравнений продолжения по параметру Р (В.2.4) к уравнениям продолжения по параметру Х в окрестности предельной точки и лежит в основе известного приема, называемого сменой параметра продолжения. Было высказано много предложений по выбору такого параметра продолжения решения, который позволил бы избежать, смены параметра. Часть из них обсуждена в обзоре [111]. Обратим внимание на предложение И.И. Воровича и В.Ф. Зипаловой [69] использовать в качестве параметра продолжения длину а кривой К множества решений системы (В.2.1) в R +i, где [c.19]

Здесь мы рассмотрим примеры применения разработанных в 1.1, 1.2 обобщенных форм метода продолжения решения. Наиболее эффективно эти формы работают, когда множество К решений нелинейной задачи является петлеобразной к1Жвой. Как видно из рис. 1.9, при построении кривой К продолжением по параметру Р мы столкнемся с трудностями при приближении к предельной точке В. /> [c.43]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...