Форма равновесия системы

Исследуем на устойчивость сначала прямолинейную форму равновесия системы (ф = 0). Движение системы, выведенной из этого положения равновесия (рис. 18.10), описывается уравнением [c.297]

Статический анализ устойчивости системы. Выше, в разделе 2.2, устойчивость форм равновесия системы была оценена посредством аппарата, имеющего динамическую природу. Однако, что вытекает из приведенной в разделе 3.2 информации, в случае классического типа потери устойчивости для анализа может быть использован и статический аппарат. [c.308]

Возможные формы равновесия системы. Точки бифуркации. Воспользуемся приведенной в предыдущем разделе схемой анализа устойчивости применительно к системе с двумя степенями свободы (рис. 18.20). Это позволит нам продолжить исследование классического типа потери устойчивости как явления. [c.308]

Найденными значениями ф (у = 1, 2 / = 1, 2) определяются возможные формы равновесия системы (рис. 18.21, а, б). [c.311]

Рис. 18.21. Формы равновесия системы с двумя степенями свободы в отклоненном от прямолинейной формы положении а) две симметричные формы б) две косо-симметричные формы.

Исследуем на устойчивость сначала прямолинейную форму равновесия системы (ф1 == О, ф2 0). Составим систему урав- [c.312]

Решение (18.23) позволяет заключить, что в результате возмущения прямолинейной формы равновесия при р < 1 возникают гармонические незатухающие колебания. Если бы было учтено сопротивление, то колебания оказались бы затухающими. Таким образом, вертикальная форма равновесия системы устойчива, а если учитывать сопротивление, то асимптотически устойчива. [c.317]

Вывод об устойчивости рассматриваемой формы равновесия системы [c.321]

Полученный здесь вывод справедлив и для систем с любым числом степеней свободы, в том числе и для систем с бесконечным числом степеней свободы, а именно критическая точка совпадает с первой точкой бифуркации. При значениях нагрузки ниже соответствующей этой точке первоначальная форма равновесия системы устойчива. [c.325]

Корнями этого уравнения являются значения параметра нагрузки Р, при которых имеется нетривиальное решение для обобщенных координат, характеризующих форму равновесия системы, отклоненную от первоначального положения равновесия. Таким образом, задача отыскания Рь (1=1......к) в матема- [c.326]

Итак, вопрос об устойчивости первоначальной формы равновесия системы, в частности равновесия первоначальной прямолинейной формы сжатого стержня, сведен к решению задачи об отыскании наименьшего собственного значения некоторого дифференциального оператора. [c.331]

Итак, неустойчивость первоначальной формы равновесия системы на рис. 18.60, а с вертикальным положением стержня (ф = 0) устанавливается статическими методами и потому может быть названа статической. Так как по форме проявления [c.400]

Проанализировав знак второй производной полной потенциальной энергии по углу отклонения системы, можно установить, какие из ветвей полученного решения соответствуют устойчивым положениям равновесия. Для фп <я результат такого анализа изображен на рис. 1.13, 6. Как видим, поведение этой системы при Фо = О качественно отличается от поведения рассмотренной выше системы. При фо О критическая точка бифуркации второго типа трансформируется в критическую предельную точку l. При достижении этой предельной точки происходит потеря устойчивости исходной формы равновесия системы, причем поскольку в окрестности предельной точки нет новых устойчивых положений равновесия, система вынуждена скачком перейти в новое устойчивое положение, удаленное от исходного на конечное расстояние. [c.20]

Основная идея определения точек бифуркации с помощью однородных линеаризованных уравнений состоит в следующем. Предположим, что одна какая-то форма равновесия системы известна и нужно найти точки бифуркации этой формы равновесия. Для этого достаточно, не интересуясь поведением системы вдали от известной формы равновесия, найти условия существования других форм равновесия, отличных от исходной, но бесконечно к ней близких. Те точки, в окрестностях которых существуют такие формы равновесия, и будут точками бифуркации. [c.21]

Упругие системы обладают возможностью внезапного перехода во флаттер. Такая возможность возникает при определенных величинах неконсервативных нагрузок, при которых начальные формы равновесия системы перестают суш ествовать. [c.389]

При увеличении силы Р сверх критического значения система становится динамически неустойчивой, и ее движение после малого начального отклонения Судет представлять собой колебания с неограниченно возрастающими амплитудами. Потеря устойчивости происходит в общем случае при значении Шкр ф О, поэтому отклоненной статической формы равновесия система не имеет. Но при очень большом моменте инерции концевой массы, когда р-> оо, значение Юкр О, и в этом случае динами-0 [c.413]

Во многих случаях действия тепловых напряжений (если рассматриваемая система является консервативной) для расчета критических напряжений или критических температур могут быть использованы методы классической теории устойчивости. Расчет критических температур в этом случае сводится к вычислению температурных напряжений и последующему исследованию устойчивости возможных форм равновесия системы под действием сил, вызванных температурным полем. Критические температуры оказываются тем выше, чем меньше соответствующие перепады температур и чем меньше деформированы конструкции. Таким образом, повышение степени термической устойчивости конструкции может быть достигнуто путем применения способов, подобных тем, которые используются для уменьшения опасного воздействия термических напряжений при других видах нарушения прочности. [c.214]

Полоса, заделанная одним концом, нагружена на свободном конце сосредоточенной силой (рис. 8). Интегрально-дифференциальные уравнения новой формы равновесия системы [c.283]

В статической теории устойчивости упругих систем рассматриваются качественные методы определения числа форм равновесия упругой системы при заданной нагрузке и методы оценки степени реальности каждой из этих форм. В современной теории устойчивости упругих систем определенное развитие получила первая проблема — качественное исследование числа форм равновесия системы. Оценка степени реальности каждой формы равновесия производится, как правило, сравнением уровней потенциальной энергии системы. [c.257]

При решении проблемы числа форм равновесия системы в основном стараются выяснить пределы изменения параметров нагрузки, при которых данная упругая система имеет единственную форму равновесия. Можно было бы предполагать, что эти пределы определяются первой точкой ветвления решений тех нелинейных уравнений, которые описывают деформацию упругой системы, а сама первая точка ветвления определяется как наименьшее собственное значение соответствующей линеаризованной краевой задачи. На пути отождествления этих трех понятий точки, определяющей область существования единственной формы равновесия упругой системы точки ветвления решений уравнений деформированного состояния упругой системы и наименьшего собственного числа линеаризованной задачи — и решались задачи устойчивости еще со времени Эйлера [27]. В некоторых случаях такая концепция получила теоретическое обоснование. Эти вопросы рассматривались в известной работе Ф. С. Ясинского [28] и окончательно решены для шарнирно-опертого стержня в работе [1]. Вместе с этим совершенно очевидно, что отождествление всех трех указанных понятий далеко не всегда правомерно, и этот вопрос должен быть рассмотрен в первую очередь. [c.257]

Полное решение первой проблемы устойчивости — определение числа форм равновесия системы можно представить себе на примере задачи х следующим образом [6, 7, 10, 11]. В 16 были уста- [c.257]

Для определения неизвестных сил при равновесии более предпочтительным является использование условий равновесия системы сходящихся сил в аналитической форме. Так Рис. 15 как при равновесии системы сходящихся сил [c.20]

Условия равновесия системы сил в векторной форме [c.45]

Для равновесия системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая, а следовательно, и главный вектор этих сил (см. 4) были равны нулю. Условия, которым при этом должны удовлетворять сами силы, можно выразить в геометрической или в аналитической форме. [c.23]

Положим, что стержень (рис. 512) сжат силой Р, меньшей критического значения, В этом случае он находится и устойчивом положении равновесия. Его можно изогнуть, прикладывая к нему поперечную нагрузку (сила Р ). При переходе стержня от прямолинейной формы равновесия к криволинейной силы Р и Р совершат работу, и результате чего увеличится потенциальная энергия изгиба стержня. Энергетический баланс системы можно выразить в виде следующего уравнения [c.441]

В отличие от статического можно говорить и о динамическом подходе. В этом случае при анализе устойчивости рассматриваются не формы равновесия, мало отличающиеся от заданной, а изучаются законы движения системы после тою, как ей было сообщено некоторое отклонение от исходного состояния. Если движение происходит так, что исходное положение равновесия восстанавливается, то это положение считается устойчивым. [c.452]

Уравнения (12) выражают условия равновесия системы сходящихся сил в аналитической форме. [c.23]

Следовательно, замкнутый силовой многоугольник выражает в гео.метрической форме необходимое и достаточное условие равновесия системы сходящихся сил система сходящихся сил уравновешена тогда и только тогда, когда силовой многоугольник замкнут. [c.21]

Равенства (19) представляют собой известные из элементарной статики условия равновесия свободного абсолютно твердого тела в векторной форме. Заметим, что условия (19) необходимы для равновесия всякой системы материальных точек, потому что, предполагая эту систему отвердевшей, мы налагаем добавочные связи и не нарушаем равновесия системы, но достаточными эти условия будут только для абсолютно твердого тела. [c.302]

Для равновесия системы схо- ческой форме. Как было показано в 3, [c.43]

Условия равновесия пучка сил в аналитической форме. Как было только что показано, при равновесии системы сходящихся сил ее равнодействующая равна нулю. [c.220]

Основная задача статики состоит в том, чтобы сформулировать условия, обеспечивающие равновесие системы материальных точек, а также найти все положения равновесия системы. Аналитическая статика предполагает такую форму условий равновесия, в которой не используются неизвестные реакции связей. При этом существенным оказывается понятие множества виртуальных перемещений точек системы, соответствующего связям. Тем самым учение о связях играет фундаментальную роль в теоретической механике. [c.305]

Эти условия в векторной форме можно сформулировать следующим образом для равновесия системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил равнялся нулю. В аналитической форме для равновесия системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил этой системы на каждую из осей координат равнялась нулю. [c.17]

При различных X зависимость р от ф носит различный характер. На рис. 465 показана эта зависимость для значений X = 0,5, 1,0 и 1,2 при о ф < л. Полученные кривые соответствуют формам равновесия системы в отклоненном от вертикали положении. Кроме того, существует форма равновесия для вертикально расположенного стержня (уравнение (1) удовлетворяется всегда при ф = 0). На рис. 465 эта форма равновесия отображается точками, лежащими на оси ординат. При X = 0,5 и вообще для всех значений 0 < < 1 кривые р = р (ф) пересекают ось орди- [c.392]

Рис 18.11. К исследованию устойчивости формы равновесия системы при наличии излома в очертании оси в узле В а) форма равновесия с изломом в оси в узле В и возмущеХйе этой формы 6) к составлению дифференциального уравнении движения системы, возникающего вследствие возмущения, внесенного в отклоненную (с изломом в оси в узле В) форму равновесия. [c.300]

Линии 1 и 2 — это ветви диаграммы, возникающие в точках бифуркации соответственно и В2, им отвечают возможные формы равновесия системы с изломами в шарнирах В и С. Линия / — равновесие формы, изображенной на рис. 18.21, а линия 2 — равновесие формы, изобралсенной на рис 18.21,6. [c.311]

I равен О, Полагая коэффициенты жесткости пружин равными С1 = сз = 10О//, определить устойчивость равновесия системы, а также чз9тоты и формы fl и /а главных колебаний системы. /Час-сой пружин пренебречь /1 = /г = /. [c.426]

Для равновесия системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, замыкающая сюювого многоугольника, изображающая равнодейсгвующую силу, должна обратиться в точку, I. е. конец последней силы в многоугольнике должен совпасть с началом первой силы. Такой силовой многоугольник называют замкнутым (рис. 15). Получено условие равновесия сходящихся сил в геометрической форме для равновесия системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы силовой [c.19]

Проводя расчеты на прочность и жесткость при различных деформациях, мы полагали, что во время деформации любой системы имеет место единственная заранее известная форма равновесия. В действительности же в деформированном состоянии равновесие между внешними и вызываемыми ими внутреннил(н силами упругости может быть не только устойчивым, но и неустойчивым. [c.501]

Наконец, так как при i = 0 силовой многоугольник замкнется, т. е. конец последней силы совпадает с началом первой (см. рис. 183), получаем следующее условие равновесия сходящихся сил в геометри-чеасой форме для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы векторный (силовой) многоугольник, построенный из сил системы, был замкнутым. [c.192]

Аналитическая статика и динамика опираются на учение о связях. Вопрос о голономности связей имеет принципиальное значение для выбора того или иного математического аппарата исс.педования свойств движения и равновесия системы материальных точек. В книгу включены элементы теории пфаффовых форм в объеме,. цостаточ-ном для получения критериев голономности системы связей [44, 59]. Для большей доступности это дополнение осуществлено обычными средствами математического анализа. В итоге сформулирован простой конечный алгоритм, позволяющий выделить максимальное число голономных из заданной совокупности дифференциальных связей. [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...