Некоторые свойства 6-функции

Напомним некоторые свойства гауссовского распределения (см. приложение IV), которое играет центральную роль во многих физических задачах и в том числе в теории брауновского движения. Прежде всего, как легко убедиться, интегрирование распределения (5.6) по какой-либо переменной дает гауссово распределение меньшей размерности. Статистическая независимость Х и X] эквивалентна равенству Кц = 0. Характеристическая функция гауссова распределения [c.62]

Обобщенные координаты. Рассмотрим систему N материальных точек с s удерживающими голономными идеальными связями (некоторые ограничения на свойства связей могут быть в дальнейшем смягчены). Движение этой системы описывается уравнениями (6), число которых равно 3/V + s. Если при помощи уравнений связей удастся исключить из системы (6) все реакции связей и, кроме того, s координат материальных точек, то система (6) будет сведена к системе 3N — s дифференциальных уравнений относительно оставшихся координат. Уменьшение числа неизвестных до 3N — S может быть достигнуто и другим путем — введением некоторых взаимно однозначных функций координат материальных точек, определяющих в каждый момент времени положение системы в пространстве с учетом наложенных связей. Эти вновь введенные переменные, называемые обобщенными координатами системы, обозначают й (0. 2 (0. "ч Чы (О- Число обобщенных координат [c.36]

Уравнение (2.31) означает, что работа сил системы 1 (реальной системы) на перемещениях системы 2 (некоторой другой допустимой системы, которой соответствуют переменные, отмеченные звездочкой) равна работе сил системы 2 на перемещениях системы 1 (этот результат хорошо известен как теорема взаимности, принадлежащая Бетти [6]). Мы могли бы воспользоваться этой теоремой или принципом виртуальных перемещений в качестве отправной точки для получения нашего решения, однако более общий подход, остающийся одинаковым во всех рассматриваемых задачах, основан на использовании уравнений типа (2.27) и (2.29). Уравнение (2.31) с учетом (2.29) и основного интегрального свойства дельта-функции переходит в уравнение [c.46]

Оператор Q действует на скоростные аргументы функции /. Он описывает эффекты взаимодействий и в связи с этим называется оператором столкновений. Величина Q , /), т. е. интеграл (6.1), называется интегралом столкновений или просто столкновительным членом. В этом разделе мы изучим некоторые свойства интеграла Q, которые, несмотря на его сложную форму, позволяют выполнять различные преобразования во многих принципиально важных задачах. Фактически мы исследуем здесь несколько более общее выражение, а именно билинейное выражение [c.86]

Мы не будем проводить операции интегрирования, а постараемся выяснить характер движения, исходя из свойств функции / (и). Согласно равенству (14.38) функция f( )5sO. Поэтому в некоторой области значений и, заключенных между —1 и + 1 (так как и = os 6), функция f (и) должна быть положительна. Учитывая также, что i [c.332]

Упрощая полученное выражение и заменяя sin [(0i + 02)/2] == = sin 0ср, окончательно имеем А91 = V(A sin 0ср). (4.6) Из рис. (4.5) и (4.6) вытекает, что угловая ширина полос равного наклона неодинакова и зависит от угла интерференции 0. При 0ср = О наблюдается бесконечно широкая полоса нулевого порядка. Из (4.5) следует, что ширина полос разного наклона будет неодинакова по полю, т. к. sin 0 — нелинейная функция. Полосы равного наклона чаще всего имеют вид колец или гипербол. Рассмотрим теперь некоторые свойства полос равного хроматического порядка. Положим os 0 = 1. Тогда условие соседних максимумов для этих полос будет иметь следующий вид [c.35]

Система (5.6) представляет собой систему ЗЛ/ + й скалярных уравнений, содержащих 6Л/ неизвестных функций — проекций векторов г ( ) и Кг (О на координатные оси ( =1, 2,. .., М), причем наиболее интересным является случай, когда число связей к<ЗК, Действительно, если к = ЗК, то уравнения связей полностью определяют движение системы. С другой стороны, если к<ЗЫ, то рассматриваемая задача является определенной только в том случае, когда известны 6Л/ — ЗМ- -к)=ЗМ—к независимых соотношений между положениями точек и реакциями связей. Забегая вперед, скажем, что основная задача динамики несвободной системы является определенной для так называемых идеальных связей. Однако введение этого понятия требует знакомства с некоторыми свойствами связей. [c.201]

Оценим, какие размеры должен иметь волновой пакет (12.4), чтобы его ширина по волновым векторам была мала по сравнению с размерами зоны Бриллюэна. Рассмотрим волновой пакет в двух точках, отстоящих друг от друга на расстояние, равное некоторому вектору решетки Бравэ. Полагая г = Го -Ь R и используя основное свойство блоховской функции (8.6), можно записать (12.4) в виде [c.219]

Рассмотрим некоторые свойства выписанных выражений. Функция Я (О, ф) регулярна при й л/2, ф- л/2. Хотя каждое пз слагаемых в квадратных скобках второго члена в (6.23) имеет полюсы при 0 = л/2 и ф = л/2, эти полюсы взаимно сокращаются. [c.215]

Однако, самое важное для нас свойство ведущих функций заключается в правиле композиции, которому они подчиняются, т. е. том законе, согласно которому ведущая функция некоторой системы составляется из ведущих функций ее компонент. Пусть система О распадается на компоненты 6 1, и 6 2 со структурными функциями Г 1(ж) и 2 х) и ведущими функциями Ф1(а) и Ф2(а). Так как в силу формулы (20) 8 гл. II (стр. 31) [c.54]

Рассмотрим квазистационарное течение несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью л, в зазоре, окружающем поверхность цилиндрического жесткого катетера радиусом / и длиной о, когда на катетер надета упругая трубка длины L о (фиг. 4). Трубка, свободная от нагрузок, имеет внутренний радиус р, < / , т.е. надевается с некоторым натягом (состояние А на фиг. 4). Свойства трубки и действующее на нее внешнее давление неизменны по длине. Ось катетера совместим с осью координат х. В катетере есть система отверстий, расположенных по периметру некоторого поперечного сечения, отстоящего от левого конца на расстояние /о и принимаемого за х = 0. Жидкость нагнетается через полость катетера, сквозь отверстия поступает в образующийся зазор и по нему вытекает наружу в полости с давлениями р , соответственно слева и справа (состояние В на фиг. 4). Зазор шириной / - / между катетером и трубкой определяется трансмуральным давлением р - р , которое, в свою очередь, зависит от нагнетаемого расхода 2 и положения отверстий катетера относительно концов трубки. Здесь / >/ - внутренний радиус трубки во время прокачивания жидкости. Ради простоты отверстия в катетере считаются равномерно распределенными по периметру и заменяются линейным источником (радиальная скорость описывается 6-функцией). Это дает возможность рассматривать далее осесимметричную задачу. Кроме того, для упрощения длина трубки вначале считается неизменной и равной Взаимное расположение отверстий и упругой трубки задается расстоя- [c.97]

Зададим в Я некоторую точку р и построим шар радиусом е с центром в этой точке. Обозначим шар через Ое, а его поверхность через Применим теперь формулу (6.7), полагая функцию и по-прежнему произвольной, а функцию V — фундаментальным решением (6.1) (или (6.3) в случае двух измерений), с особенностью в той же точке р. За область интегрирования примем П Пе- Тогда учитывая свойства функций (6.1), получаем [c.90]

I у I означает малость q , а также малость 5 .) В некоторых случаях можно воспользоваться этим же методом и установить устойчивость по Ляпунову невозмущенного движения, составляя интеграл уравнений (23.7.6), который представляет собой либо определенно-положительную квадратичную форму от переменных г/i, 1/2,. . ., Ут-, либо функцию, обладающую основными свойствами такой формы. Можно также распространить эту теорию на случай, когда функции, кроме переменных z/j, г/2,. . ., г/ , содержат еще t, а также на случай, когда функции не являются интегралами уравнений [c.472]

Зазоры нарушают линейность рассматриваемой колебательной системы (см. [13, 56, 99] и т. 2 справочника). Однако при > 6 10 переход через зазор обычно происходит лишь несколько раз на протяжении кинематического цикла — в зоне смены знака функции ЦХ тогда, за исключением малых зон переключения, система сохраняет линейные свойства, реагируя на зазор как на некоторое импульсное возмущение. [c.95]

В этом приложении излагаются основные свойства индексных обозначений и соглашение о суммировании Эйнштейна, что позволяет обращаться с наборами величин идеально приспособленным к вычислениям на ЭВМ способом. Некоторые фундаментальные идеи, связанные с тензорной алгеброй в криволинейных координатах, приводятся в А.6. 2h-0T последний вопрос находится довольно далеко от того, что нам обычно требуется, однако поскольку концепция МГЭ основывается на геометрическом описании границ и внутренних ячеек, а также распределении по ним некоторых функций, то для дальнейшего продвижения на этом пути требуется анализ в криволинейных координатах, для которого тензорный аппарат оказывается удобным. Возможно, некоторые читатели найдут простоту и красоту этого представления привлекательными и будут изучать его дальше, что позволит им значительно усовершенствовать метод нашего анализа. [c.460]

Заметим, что функция, обозначенная через 6, является частным случаем функции, обозначенной через 6. Система произвольных постоянных а, Ь, с,. .., h имеет некоторые, замечательные по своей простоте, свойства. Если мы напишем / вместо Ь в (77) и сравним результат с (78), то мы получим [c.40]

Если предполагать, что частота ш, равная двойной частоте оборотов двигателя, может изменяться в процессе функционирования системы, то параметр 7 может настраиваться в функции величины ш, т. е. 7 = = 7(0 ). За счет выбора структуры функции 7(0 ) можно обеспечить некоторые дополнительные полезные свойства системы (6.29). В частности, можно обеспечить постоянство амплитудного значения коэффициента передачи усилия (6.30) при изменении ш. Пусть n j, со) = п — заданное постоянное значение. Тогда из (6.30) получим уравнение относительно 7 [c.112]

Введем понятие обобщенного решения уравнения (6.5) и рассмотрим некоторые свойства разрывных решений. При этом будем рассматривать класс К кусочно-непрерывных и кусочногладких функций. К этому классу принадлежит любая функция u(t,. t), удовлетворяющая следующим условиям [c.150]

Остановимся на уравнении (20.6.10) оно имеет ряд простых свойств. Во-первых, отметим, что в него не входит Fi. Такое расцепление очень удобно его обеспечило соотношение (20.6.4). Во-вторых, уравнение однородно [в силу свойства (20.6.9)], В-третьих, можно показать, что у этого уравнения существует единственное решение, если функция ф (а) удовлетворяет некоторому условию ). Доказательство последнего утверждения основано на довольно тонких соображениях и использует некоторые свойства сингулярных интегральных уравнений. Однако этО увело бы нас слишком далеко в сторону от основного нашег предмета. Примем на веру эту теорему, отметив только, что дополнительное условие автоматически выполняется, если состояние системы не слишком далеко от равновесного. [c.297]

Проблеме установления законов связи между напряжениями и деформациями при сложных напряженных состояниях и сложных нагружениях посвящены фундаментальные исследования Мелана [1], А. А. Ильюшина [2—4], Прагера [5], Драккера [6,7], А. Ю. Ишлинского [8] и др. Эти йсследования носят макроскопический характер, В них формулируются определенные, не противоречащие опыту, общие принципы, на основании которых может быть установлена форма связи между напряжениями и деформациями. Например, в работе [3] сформулированы следующие общие принципы I) условие однозначности, 2) постулат изотропии, 3) гипотеза о разгрузке, 4) постулат пластичности. Из постулата изотропии и гипотезы о разгрузке вытекает общая тензорно-линейная форма связи между напряжениями и деформациями и полярное уравнение поверхности текучести, выражающее длину вектора деформации Э в виде неопределенной функции его кова-риантных составляющих, а из постулата пластичности вытекает уточненный А. А. Ильюшиным принцип градиентальности [9]. Эти общие принципы позволяют установить некоторые свойства после- [c.4]

Следующие простые примеры иллюстрируют аналитические функции, которые регулярны всюду, за исключением некоторых особых точек. Функция w = z -bz дифференцируема и имеет производную dwldz = 2z+b. Функция становится бесконечной при г= ОО, что соответствует ее особой точке. Она имеет точку разветвления при 2=6/2, когда w z) регулярна и однозначна но обратная функция z w) не обладает этими свойствами. Разделение на действительную и мнимую части дает [c.141]

Если для некоторых переменных показатели квазиоднородности равны нулю, а для других — одинаковы, то функция со свойством (6) является однородной по соответствующей части переменных. [c.233]

Известно, что любое распределение / является пределом некоторой последовательности гладких функций. Этот факт легко доказывается для распределений из пространства. В самом деле, можно взять гладкую функцию ( ) = / фк, где функция фк определена выгие. Последовательность фк, к = 1,2,..., стремится к импульсу Дирака 6 при к оо. Из свойства непрерывности свертки вытекает, [c.202]

Решение приведенных краевых задач достигается различными способами. В случае, когда уравнения (6.12) линеаризованы, решения задач Коши и Римана можно представить в замкнутом виде посредством функции Римана [224]. Однако использование указанных решений связано с большим объемом вычислений. Решение краевых задач можно представить в аналитической форме с помощью аппарата так называемых метацилиндрических функций, рассмотренных Л. С. Агамирзяном [I]. Однако более простыми методами решения краевых задач являются приближенные методы построения полей скольжения, основанные на переходе к конечно-разностным соотношениям и использовании некоторых свойств линий скольжения [77, 155, 200, 212, 224]. Рассмотрим некоторые методы численного решения приведенных основных уравнений. [c.168]

Модифицируйте конструкцию таким образом, чтобы на некоторых множествах производная функции была очень близка к заданному набору чисел. Затем произведите последующие возмущения, столь малые по мере, что указанное выще свойство не нарущнтся. [c.748]

Теперь изучим вопрос о существовании и единственности функции и . Сделаем это с помощью преобразования Лапласа. Напомним, что (В) обозначает класс функций, име ющих преобразование Лапласа в смысле 6 гл. IV (где указаны некоторые свойства преобразования Лацласа). [c.134]

Лроизводные сопряженных аппроксимации. Один из наиболее распространенных линейных операторов — оператор частного дифференцирования. Рассмотрим некоторые свойства производных аппроксимационных функций. Пусть (X) обозначают частную производную функции Р (X) 6 Будем предполагать, что (X) существует и что производные базисных функций Фд (X) тоже принадлежат подпространству Ф, т. е. 5цФд 6 Ф (это последнее предположение, конечно, не всегда справедливо). Введем в рассмотрение массив [c.82]

Таким образом, в однофазных жидкостях, пспользуемых в практике, всегда имеются частицы ириыеси, размеры которых лежат в некотором диапазоне О < а < втак- Распределение их по размерам описывается функцией распределения V(a), зависящей от вида жидкости и способа ее приготовления. Центрами парообразования могут быть только надкритические частицы а > где определяется формулой (1.7.6) и зависит от физических свойств жидкости и степени метастабильности, поэтому общее число центров парообразования, на которых происходит испарение и образоваипе пузырьков, можно представить в виде [c.132]

Таким образом, проблема отыскания потенциала взаимодействия и невозможность вычисления старших вириальных коэффициентов делают ограниченным применение уравнения состояния в вириальной форме. В связи с этим наметились пути создания эмпирических уравнений состояния, когда в определенной математической форме подбирается некоторая аналитическая функция двух переменных вида (6-1) или (6-2), спосеб-ная правильно описать имеющиеся экспериментальные данные по термическим свойствам газа (жидкости). [c.105]

При торможении по пути ни одна из форм, показанных на табл. 1, не дает точного воспроизведения функций (8), у которых вогнутость обращена вниз. Аналогичным свойством обладают осуществляемые функции при коническом золотнике (форма 5) и при дисковых канавках (форма 6). Поэтому формы 5 н 6 дают лучшее приближение к закону постоянного ускорения, чем формы 2 или 3 и тем более форма 4. Формы 2, 3 и 4 при торможении по пути и г = onst более пригодны для осуществления законов, при которых модуль ускорения в начальной стадии (при подходе кромки золотника к выступу втулки) быстро возрастает до какой-либо величины, затем на некоторой части хода увеличивается более медленно до максимума, а потом до конца хода монотонно убывает. [c.303]

Интегральные методы (ротационные и капиллярные вискозиметры, метод падения шара и т. д,), применяемые обычными вискозиметри-ческими способами, не дают возможности сделать какие-либо определенные заключения о свойствах консистентных смазок второго и третьего типа. Для этих целей следует применять дифференциальные методы, которые позволяют установить непосредственно градиент скорости в функции напряжения сдвига т в различных участках смазки во время ее течения. Такие кривые г = / (т) можно назвать реологическими характеристиками смазки. Распределение скоростей в ротационном вискозиметре для некоторых пластичных материалов (глин и т. д.) наблюдали М. П. Воларович и Д. М. Толстой [6]. Б. В. Дерягин, М. М. Кусаков и К. Крым [7] по методу сдувания получали реологические характеристики масел и смазок в тонких слоях. М. П. Воларович с сотрудниками [8] устанавливал профили скоростей при течении торфяной гидромассы по трубам. [c.119]

Смазывающая спссобность рабочей жидкости характеризует прочность масляной пленки на поверхности металлов и других твердых тел. Смазывающая способность должна проявляться, во-первых, в обеспечении наименьшего граничного трения и из юса, во-вторых, в предотвращении возможного задира трущихся пар при высоких нагрузках. Между этими двумя функциями есть некоторая разница. Смазывающие свойства масел обусловливаются способностью молекул полимеров образовывать во взаимодействии с поверхностью металлов граничные адсорбционные пленки, обладающие высокой механической прочностью и относительно малым сопротивлением поперечному скольжению [6]. [c.106]

Функция 6/(1, т]) (рис. П-1), полученная как решение частной задачи, описывает протекание многих физических процессов (теплообмена,, массообме-на, раапространсния электромагнитных волн и волн давления и т. д.). Знание основных свойств функции (/l(g, т ) необхо-дн.чо как для решения исходных уравнений при других видах и формах возмущающих ВОЗД0ЙСТВ.ИЙ, так и для нахождения наиболее удобного способа определения ее числовых значеиий. Некоторые из свойств, установленные в (Л, 40, 96, 115], будут приведены ниже. [c.360]

Теплоемкость газообразного фреона-10 была измерена в 40-х годах (см. табл. 6), но в узком интервале температур. В некоторых случаях измерения оказались неточными (рис. 3). Поэтому при расчетах термодинамических свойств ССЦ предпочтение следует отдать калорическим данным, полученньш на основании обработки спектроскопических измерений. Термодинамические функции фреона-10 в идеально-газовом состоянии табулировали в нескольких работах [0.28 0.29 0.42 0.45 0.50 1 88 2.43]. В большинстве их расчет выполнен в приближении к модели жесткий ротатор — гармонический осциллятор, при- [c.28]

Оценка работоспособности по механическим свойствам. Коэффициент работоспособности. В реальных изделиях часто наблюдается случайность в распределении прочности конструкции и действующей нагрузки. Случайность в распределении прочности обусловлена допусками на физико-механические свойства материала и геометрические параметры конструкции. Случайность в распределении нагрузки вызвана нестабильностью эксплуатационной ситуации (окружающей среды). Расчет сводится к оценке истинных гипотез коь инированных событий и нахождению случайности в распределении событий параметрического прогнозирования. Оба события (распределение нагрузки и прочности конструкции) являются истинными, и совместность их проявления оценивается коэф-фшщентом работоспособности. Если принять, что наблюдается нормальное распределение, то в критическом случае выбора показателя работоспособности происходит наложение площадей, ограниченных кривыми рассеяния нагрузки и прочности полученная ситуация отображена на рис. 6.9. Область наложения площадей кривых 5 соответствует вероятности отказа. Показанная на рис. 6.9, а ситуация с использованием вероятностей значительно отличается от случая, когда учитывается лишь запас прочности. Вероятность отказа может быть совершенно различной при одном и том же запасе прочности, при разных формах кривых (или разных средних квадратических отклонениях), нагрузки и прочности материала. Существенно новый подход к формированию качества изделий с учетом надежности требует учитывать вероятностное распределение свойств нагрузки и конструкций. Гарантией надежной работы изделия служит тот случай, когда математическое ожидание прочности превьинает математическое ожидание нагрузки при этом допускается некоторое наложение площадей кривых распределения, вычисляемых с помощью нормальной функции распределения Ф ( ) ис. 6.9, б). Известно, что [c.246]

Важнейшей функцией смазки является уменьшение сил внешнего трения (коэффициента трения). Под эффективностью смазки чаще всего понимают именно ее антифрикционную эффективность. В некоторых случаях снижение сил трения ограничено устойчивостью процесса или другими причинами, например, условиями захвата при прокатке. Таким образом, смазка должна обеспечить оптимальную величину силы трения, которая не всегда является минимальной. Помимо функциональных, смазка должна удовлетворять ряду других требований технического, экономического и санитарно-гигиенического характера. Основные из них следующие 1) стабильность состава и свойств 2) удобство подачи ее па инструмент и заготовку 3) простота приготовления и возможность регенерации 4) простота удаления с поверхности изделий 5) способность ее накапливаться на поверхности инструмента 6) отсутствие вредного воздействия на металл и оборудование (коррозия и проч.) 7) нетоксичность, отсутствие неприятного запаха 8) минимальное загрязнение рабочих мест 9) отсутствие отрицательного воздействия на окружающую среду, в частности простота очистки сточных вод 10) малая стоимость и недефицитность (для смазок массового потребления). [c.118]

В предыдущем разделе мы рассматривали некоторые общие свойства мод диэлектрического волновода и, в частности, получили решения для локализованных мод, распространяющихся в волноводном слое. Волноводные моды могут быть возбуждены и распространяться вдоль оси (г) диэлектрического волновода независимо друг от друга при условии, что диэлектрическая проницаемость е(х, у) = е п (х, у) сохраняется постоянной вдоль оси z. В случае когда имеется возмущение диэлектрической проницаемости Де(г, v, z), обусловленное несочершенствами волновода, искривлением оси, наличием гофра на поверхности и т. п., собственные моды оказываются связанными между собой. Иными словами, если на входе волновода возбуждается чистая мода, то некоторая часть ее мощности может перейти в другие моды. Существует большое число экспериментов и устройств, в которых намеренно создают взаимодействие между такими модами [2—5, 7]. Два типичных примера относятся к преобразованию мод ТЕ ТМ электрооптическими методами [4, 5], с помощью акустооптического эффекта [2] или взаимодействия прямой и обратной мод из-за наличия гофра на одной из границ волновода. В данном разделе для описания такого взаимодействия мод мы используем теорию связанных мод, развитую в гл. 6. Некоторые из важных результатов можно кратко описать следующим образом. Возмущение диэлектрической постоянной представляется небольшим возмущающим членом Ле(х, у, г). Тогда тензор диэлектрической проницаемости как функция пространственных координат запишется в виде [c.459]

Однако рассмотренные выше свойства трехмерной голограммы, позволяющие моделировать некоторые функции головного мозга, пока не нашли практического применения в основном из-за отсутствия светочувствительного материала, обладающего необходимыми качествами. Первоначально глубокие трехмерные голограммы пытались регистрировать на щелочно-галогенидиых кристаллах [6, 33], а затем на кристаллах ниобата лития [341. Однако следует заметить, что в том и другом случае запись не фиксируется, поэтому при считывании голограммы записанная на ней информация быстро стирается под действием считывающего излучения. [c.715]

Из сделанных предположений относительно поведения решений системы (13.30) следует, что система эта диссипативна. Так как правые части этой системы не зависят от времени, то из теоремы 2.6 вытекает, что существует фу1 к-ция v x, у) со следующими свойствами. Функция V задана и непрерывно дифференцируема по обоим аргументам при x - -y a (где а — некоторое положителыЕое число), у) > О при дг2 у2 у)->00 прИ [c.218]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...