Уравнения поверхности полярные

Положение точки М определяем координатой г и полярными координатами г И ф в плоскости, перпендикулярной оси Ог уравнение поверхности конуса — 2 = 0. [c.232]

Примем ось вращения за ось г. Если уравнение меридиана в плоскости хг есть 2 = <р(х), то уравнение поверхности будет, очевидно, 2 = <р (г), где r Yx Prf- есть расстояние от точки до оси. Обозначим через гиб полярные координаты проекции Р движущейся точки на плоскость хОу. Для координат точки поверхности получим следующие выражения в функции двух параметров и 2- [c.428]

Здесь Sq — вертикальное перемещение штампа хз = -Ф(г) — уравнение поверхности штампа г = у/х + — полярный радиус. Из условия симметрии заключаем, что плотность распределения контактных давлений р также будет функцией только расстояния до оси штампа. [c.42]

В работе [64] дан вывод уравнения поверхности одинакового ската с ребром возврата на конусе. Вывод основывается на следующих положениях. Если развернуть поверхность конуса на плоскость и = 0 и принять характеристику последней за полярную ось, то уравнение ребра возврата (1.156) в полярных координатах примет вид [c.67]

Аналитические геометрические модели наиболее компактны и представляют собой описание ограничивающих контуров или поверхностей геометрической фигуры аналитическими уравнениями в полярной или прямоугольной системе координат. [c.243]

Мы получили уравнение в полярных координатах, определяющее поверхность вращения, которая ограничивает Сферу действия. Поверхность (VI. 89) действительно мало [c.309]

Характеристику направленности удобно изображать как поверхность, длина радиуса-вектора которой равна значению 0, соответствующему данному направлению. Очевидно, характеристика монополя — сфера единичного радиуса. Для двух синфазных монополей характеристика направленности дается уравнением (94.4). Это — поверхность вращения вокруг оси системы. Уравнение (94.4) можно рассматривать также как уравнение в полярных координатах меридионального сечения характеристики. [c.310]

Задавшись частотой и амплитудой прогрессивной волны, идущей на берег, мы не определяем тем не менее однозначно ни форму волны на всем протяжении бассейна, ни сопутствующее ей движение жидкости. В самом деле, для всякого числа т существует, с назначенными частотой и амплитудой, прогрессивная волна, движущаяся к берегу. Самое простое решение задачи получается при ттг = О, когда правая часть основного уравнения (1) 43 имеет наиболее простой вид и когда уравнение поверхности жидкости обладает не полярной, а логарифмической особенностью в начале координат. [c.202]

Перейдем к полярным координатам. Если уравнение поверхности выражается функцией р = р (а), то dli = [c.40]

Уравнение поверхности И, полученной вращением вокруг оси 0 инструмента заданной в полярных координатах произвольной кривой, записывается так [c.309]

Решение. Выбираем полярные координаты с началом в центре пластинки. Сила, действующая на единицу площади поверхности пластинки, равна Р = ()hg. Уравнение (12,5) приобретает вид [c.67]

Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности тонкой пластины, находящейся под действием поперечной нагрузки в полярных координатах, имеет вид [c.69]

Для определения наибольшего местного напряжения в точках А, следуя С, П. Тимошенко (1878—1972), используем мембранную аналогию. На рис. 7.30, б заштрихованные области представляют эпюры прогибов W мембраны. Поверхность мембраны по биссектрисе OOi выкружки приближенно можно считать поверхностью вращения с осью, перпендикулярной плоскости поперечного сечения и проходящей через точку О. Тогда уравнение (7,87) поверхности мембраны в зоне выкружки в полярных координатах имеет вид [c.189]

Пусть в преграду толщины к по нормали к свободной поверхности ударяется тело длины I и среднего диаметра к = 2г со скоростью Ос- В результате удара образуется отверстие. Экспериментально установлено, что при ударе тела длины /> 2/ о в преграду толщины /г > 2го отверстие имеет цилиндрическую форму [12], [27], поэтому можно пренебречь краевым эффектом и считать, что диаметр отверстия определяется только радиальным расширением. В этом случае расчет радиуса отверстия сводится к решению следующей задачи. В момент времени i = О в срединной поверхности преграды образуется отверстие й = 2го, в котором действует давление р , равное давлению за фронтом ударной волны в момент начала соударения и распространяющееся по срединной поверхности с образованием ударной волны. Требуется найти закон расширения отверстия и его диаметр по окончании процесса соударения, предполагая материал преграды за ударной волной жидким или идеально-пластическим. Плотность среды за ударной волной считается постоянной и определяется из условий, имеющих место на ударной волне в момент взаимодействия. Предполагается, что за время движения среда перед ударной волной находится в покое. Задача обладает цилиндрической симметрией и рассматривается в полярных координатах. Уравнения движения и неразрывности принимают вид [c.193]

Решение плоской задачи в полярных координатах в напряжениях заключается в отыскании трех функций 0,.(г, 0), т, (т, 0) и +д(/-, 0) с помощью трех уравнений двух уравнений равновесия (6.1) н уравнения сплошности (6.2), удовлетворяющих условиям на поверхности. [c.98]

В полярной системе координат прогиб пластинки и нагрузка будут функциями г и 0, т. е. w r, 0) и q r, 0). Тогда дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки (7.16) получит вид [c.146]

И тех двух уравнений, которые получим из него после замены г и с на эс и а или у и Ь, потому что определяемое из уравнения (6) V не получит разрыва на поверхности, элемент которой йз. Мы могли бы доказать непрерывность первых производных и на поверхности заполненного массами объема, вводя полярные координаты, как при доказательстве непрерывности самого и. Иначе обстоит дело со вторыми производными и. Из (5) и (9) следует, что [c.152]

Легко заметить, что оба уравнения (1) и (4) весовой линии гармонически связаны между собой. Комплекс весовых линий , проходящих через делительную точку d, образует в пространстве две конгруентные конические поверхности. В связи с этим параметр весовой линии может быть выражен через сопряженные радиусы г а R составляющих Н и Z. Исключая из уравнений (1) и (4) векторы Н а Z получим полярную зависимость [c.9]

Для диска постоянной толщины (круглая пластина) уравнение удобнее написать в полярных координатах. Если начало прямоугольной системы координат поместить в центре диска и обозначить радиус-вектор и полярный угол, определяющие положение некоторой точки срединной поверхности, через г и ф, то оператор Лапласа в полярных координатах будет иметь вид [c.6]

Влияние внеш. электрич. поля существенно зависит от наличия в поверхностном слое спонтанной поляризации (характерной для воды и полярных жидкостей) и поверхностного электрич. потенциала. Если радиус кривизны поверхности много больше эфф. толщины поверхностного слоя, П. н. практически не зависит от формы поверхности. При достаточном уменьшении размера фазы эта зависимость появляется, причём П. и. определяется знаком кривизны поверхности для капель чистой жидкости уменьшается, а для пузырьков — возрастает с уменьшением их радиуса. При наличии искривлённой поверхности П. н. оказывает влияние и на состояние внутр. объёмной фазы повышаются её давление и химические потенциалы, давление равновесного пара (см. Кельвина уравнение), растворимость, меняется темп-ра фазового перехода, [c.648]

Для практических расчетов целесообразно применить конформное отображение поверхности вращения на плоскость х, у. Чтобы получить соответствующее правило перехода, рассмотрим вновь уравнения (47.4) и (47.3), причем будем считать в них координату изменяющейся вдоль кривой пересечения осесимметричной поверхности тока меридианной плоскостью и, соответственно, координату изменяющейся вдоль окружности, иначе говоря, вернемся к координатной системе осесимметричного потока, принятой в гл. 8 (см. рис. 105), только с заменой q и q , соответственно, на q и —q (рис. 115). Примем, как и в гл. 8. за координату q , = — 9 полярный угол меридианной плоскости при этом//5 = г. Из рассмотрения уравнений (47.4) и (47.3), переписанных в виде [c.342]

Нагружение кругового бруса по поверхности. Предложенный в пп. 2.3—2.8 прием рассмотрения задачи о балке с прямолинейной осью можно применить и к случаю кругового бруса. Действительно, записав уравнение Лапласа в полярных координатах в форме обыкновенного уравнения типа Эйлера [c.506]

Таким образом, после задания параметра К, величина которого характеризует наклон прямолинейных образующих поверхности сильного разрыва к оси функция Ф находится как решение задачи Коши (3.7) для уравнения (3.5) и полностью определена. В уравнении для функции X и в начальных данных Коши для нее (1.18) и (1.25) перейдем к полярным координатам щ = г os ip, U2 = г sin ip получим [c.78]

Если деформации сферических поверхностей малы, то удобно воспользоваться уравнением профиля несферической поверхности в полярных координатах [c.239]

Полагая ось поверхности совпадающей с осью абсцисс, зададим профиль поверхности в полярной фюрме уравнением [c.276]

Из ЭТИХ выкладок можно заключить, что в случае изгиба пластинки, приводящего к плоскому распределению напряжения, прогибы ее w [см. уравнение (п)] строго удовлетворяют уравнению (103), а также уравнениям (101) и (102), определяющим изгибающие и крутящий моменты. Если решение уравнения (к) принимается в виде функции второй степени от л и у, то изогнутая поверхность (п) получится второго порядка, также в соответствии со случаем чистого изгиба. Вообще мы можем заключить из уравнения (к), что прогиб пластинки в случае плоского напряженного состояния будет тот же, что и для равномерно растянутой, равномерно нагруженной мембраны. Пластинка, изображенная на рис. 57, представляет собой частный случай такого изгиба, а именно случай, для которого решение уравнения (к) имеет в полярных координатах следующий вид [c.120]

Задачу симметричного обтекания сфероида, мало отличающегося по форме от сферы, можно рассматривать, следуя Сэмпсону [32], при помощи общих методов разд. 4.23. Дальнейшее обобщение осесимметричных течений обсуждается в разд. 5.9. Зададим уравнение поверхности в полярной форме г = с I + / (9) . Из соотношений ортогональности (4.23.27) и (4.23.38) следует, что / (Э) при довольно общих предположениях можно представить в форме [c.165]

Проблеме установления законов связи между напряжениями и деформациями при сложных напряженных состояниях и сложных нагружениях посвящены фундаментальные исследования Мелана [1], А. А. Ильюшина [2—4], Прагера [5], Драккера [6,7], А. Ю. Ишлинского [8] и др. Эти йсследования носят макроскопический характер, В них формулируются определенные, не противоречащие опыту, общие принципы, на основании которых может быть установлена форма связи между напряжениями и деформациями. Например, в работе [3] сформулированы следующие общие принципы I) условие однозначности, 2) постулат изотропии, 3) гипотеза о разгрузке, 4) постулат пластичности. Из постулата изотропии и гипотезы о разгрузке вытекает общая тензорно-линейная форма связи между напряжениями и деформациями и полярное уравнение поверхности текучести, выражающее длину вектора деформации Э в виде неопределенной функции его кова-риантных составляющих, а из постулата пластичности вытекает уточненный А. А. Ильюшиным принцип градиентальности [9]. Эти общие принципы позволяют установить некоторые свойства после- [c.4]

Последний интеграл отличен от нуля только для искривленной вихревой нити. Прямое его вычисление весьма трудоемко. Поэтому применим способ, описанный в работе Moore, Saffman [1972]. Полагается, что с точностью 0(1/р) элемент ядра вихревой нити можно рассматривать как часть покоящегося вихревого кольца, обтекаемого однородным потоком. Выберем цилиндрическую полярную систему, как показано на рис. 5.18, с компонентами скорости U, Ul, w). В первом приближечгии уравнение поверхности кольца [c.294]

Итак, предположим, что начало координат лелсит на поверхности, определенной уравнением (j). Уравнение (j) не налагает каких-либо ограничений на полярный радиус р. Следовательно, поверхность, определенная уравнением (j), может быть замкнутой и незамкнутой. При условии (j) нельзя обратить ряд (d) радиус сходимости ряда (li) при этом равен нулю, а функция V не будет знакоопределенной и даже может не быть знакопостоянной. Знак V в точках, лежащих на поверхности (j) достаточно близко от начала координат, зависит от знака Уз- Следовательно, в малой окрестности начала координат функция V может иметь как положительное, так и отрицательное значение. [c.223]

Таким образом, величина К в выражении для У4 (48) в зависимости от характера протекания анодной реакции растворения металла и значений кинетических параметров изменяется в пределах от 3,3 до 11,0, а показатели степени в уравнениях (45) и (46), определяющих 71 и 72,— от /4 до Уа и от до /4 соответственно. Поэтому очевидно, что кинетический эффект (частные коэффициенты торможения 71 и 7з) может играть заметную роль лишь при низких концентрациях добавок, т. е. в области малых заполнений поверхности, когда токи обмена сильнее всего изменяются с ростом заполнения вследствие исключения наиболее активных центров, вытеснения катализатора и т. д. При дальнейшем повышении содержания ингибитора вклад кинетических коэффициентов торможения уменьшается, так как отношение токов обмена входит в степени, меньшие единицы. Так, например, если ток обмена по металлу в присутствии ингибитора уменьшается в 1000 раз по сравнению с исходным раствором, то величина 71 (показатель степени равен Уд) составит 10. Примерно то же можно сказать и о величине 72. Напротив, роль 74 с ростом поверхностной концентрации, которая при полярных или заряженных частицах почти линейно связана с Аф1, возрастает и уже при относительно малых значениях Дф] может в 10 раз и более превосходить величины 71 и 72. При наибольших заполнениях существенным становится вклад 73= (1 — 0) . Поэтому величину коэффициента торможения в довольно широком интервале концентраций ингибитора можно с достаточным приближением (пока действует предполагаемый механизм ингибирования) приравнять произведе- [c.25]

Однородная цепь лежит на гладком круглом конусе с вертикальной осью. Доказать, что при развертывании боковой поверхности конуса на плоскость тангенциальное полярное уравнение криюй изгиба нити имеет вид [c.60]

Поверхность, нзаимно полярную с 5l, можно теперь найти, исключив из этих уравнений отношения z . .. /v+i-Однако сравнивая этот вывод с уравнениями (71.7), видим, что это — тот же путь, каким мы получили уравнение энергии Q = 0. Поверхностью, взаимно полярной с является поэтому поверхность Точно так же нахождение поверхности, взаимно полярной с iSh, даст Si . [c.233]

Анализ отклонения текущего размера. №менение текущего размера р(ф) дает правильное представление об изменениях отклонений радиуса диаметра поверхности детали по окружности в стыковом соединении. В качестве основного математического приема принимается аппроксимация точности разложением функционального допуска профиля в поперечном сечении в тригонометрический ряд Фурье для получения начальных (элементарных) со-ставляюпщх. Принимается номинальный профиль поперечного сечения цилиндрического корпуса, имеющего окружность с периметром Ь, истинным диаметром (1=2г с центром в точке О. В действительном профиле появляются отклонения (эксцентриситет, от круглости, волнистость), формирующие рельеф поверхности. Рассмотрим полярную систему координат с центром О", близким к О. Допустим, что отклонение профиля определяется при и значениях полярного угла (р = 2пт1п т=1, 2,. .., и значением радиуса р =р((р ). Полярное уравнение действительного профиля р = р(ср) представим тригонометрическим полиномом ряда Фурье [c.156]

П. с э в и к. Автор получил решение, по-видимому, очень хорошо согласующееся с некоторыми наблюдаемыми фактами поверхностного кипения. Пытаясь понять механизм процесса на поверхности, охлаждаемой посредством падающих капель, мы разработали теорию роста пузыря на основе математической модели, подобной используемой автором обсуждаемой статьи, если не. считать первоначального распределения температуры, которое мы рассматриваем как целиком радиальное, т. е. предполагающее независимость температуры от полярного угла ф. Аналитическое рещение, полученное этим путем, применимо только для случая больших значений параметра с. Это означает пренебрежение величиной (2/г/) (дЫду) по сравнению с другими величинами в уравнении (13) из обсуждаемой статьи. Более того, мы переменную координату г заменили радиальной координатой г, начинающейся от поверхности пузыря, т. е. удовлетворяющей равенству [c.295]

Основы теории. До сих пор рассматривались только пластины прямоугольной формы с использованием прямоугольной системы координат и методов, основанных на рассмотрении уравнений равновесия или энергии. Хотя это не только простейший, но также и наиболее важный тип пластин, приведенное обсуждение было бы не полным без, по крайней мере, беглого рассмотрения других типов пластин. Кроме прямоугольной, наиболее важной системой координат, используемой в теории пластин, является полярная система координат, удобная главным образом для круговых пластин. Для простоты здесь будем рассматривать случай-осесимметричных деформаций, вызываемых осесимметричным нагружением, круговых пластин или их осесимметричных форм пот тери истойчивости, а также колебаний общий случай может быть выведен из общих теорий оболочек, приведенных в главе 6. Случай осесимметричной пластины проще случая прямоугольной пластины тем, что решения изменяются только вдоль одного направления — вдоль радиуса. Расстояние, измеряемое от срединной поверхности, и перемещение, но.рмальное к этой поверхности, будем обозначать так же, как и в прямоугольных координатах. [c.280]

В 1850 г. в Эдинбургском королевском обществе Максвеллом был прочитан доклад О равновесии упругих тел ( Оп the equilibrium of elasti solids ). Автор начинает в нем с критики теории малого числа упругих постоянных, ссылаясь при этом на работу Стокса ), и выводит уравнения равновесия изотропных тел, применяя две упругие постоянные. Он использует затем уравнения для рассмотрения некоторых частных задач. Большая часть их была уже решена раньше другими авторами, но никто из них до сих пор еще не уделял такого внимания опытной проверке теоретических результатов. Он останавливается на случае полого цилиндра, наружная поверхность которого неподвижна, внутренняя же поверхность приводится во вращательное движение на малый угол ой парой, момент которой равен р. . Используя уравнения равновесия в полярных координатах, он без труда показывает, что в этих условиях возникают касательные напряжения и что их величина обратно пропорциональна квадрату расстояния рассматриваемой точки от оси цилиндра. [c.323]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...