Некоторые свойства сферических функций

V. Некоторые свойства сферических функций [c.224]

Недостатком такой теории является, однако, то, что, будучи громоздкой, она в то же время недостаточно обща. Объясняется это тем, что возможности асимптотического метода ограничены и находятся (как видно из приведенного выше элементарного примера) в существенной зависимости от свойств коэффициентов дифференциальных уравнений (а для уравнений в частных производных и от свойств тех границ, на которых задаются краевые условия). Надо добавить также, что принятие быстроизменяющейся части решения в экспоненциальной форме (как это делает А. Л. Гольденвейзер) не исчерпывает всех возможностей асимптотического метода. Иногда удается строить асимптотические решения на базе других быстроизменяющихся функций (например, при расчете торообразных оболочек и решении некоторых задач сферической оболочки для этой цели успешно можно применить Бесселевы функции). [c.81]

Постановка задачи. Некоторые свойства объёмных сферических функций [c.441]

Установим некоторые важные свойства функции Р. Будем считать, что имеет место принцип детального равновесия. С квантовомеханической точки зрения это значит, что мы либо рассматриваем газ бес-спиновых частиц, либо проводим усреднение по спинам начального и конечного состояний. С точки зрения классической механики это означает предположение о сферической симметрии частиц газа. Еще самим Больцманом было отмечено, что для частиц несферической формы принцип детального равновесия несправедлив. Нетрудно видеть, что если хотя бы одна из сталкивающихся частиц не имеет сферической формы, то столкновение с обращенными скоростями до удара не приводит в общем случае к обращению скоростей после удара. [c.469]

Чтобы осуществить это обобщение, надо ввести небольшое изменение в предыдущее рассуждение. Лемма 1 остается справедливой, если в члене формулы (3.8) и в связанных с ним уравнениях заменить модулем проекции вектора на соответствующую ось или плоскость. Лемма 2 остается тогда справедливой для упругих сферических молекул и потенциалов с угловым обрезанием, но доказательство нужно изменить и явно использовать полную непрерывность оператора Поскольку не известно, выполняется ли последнее свойство при потенциалах с конечным радиусом взаимодействия (без углового обрезания), для таких потенциалов нужны дальнейшие видоизменения. Можно заменить ы ( ) некоторой степенью функции V (Н) так, чтобы оператор был вполне непрерывен (см. 4 гл. 3), а остальные свойства сохранялись. При этих изменениях по-прежнему справедливы две основные леммы, а следовательно, и основные теоремы 1 и 6. [c.159]

Если А — некоторая случайная величина с функцией распределения Р А), а I t) — независимый от А гауссовский стационарный случайный процесс с 7г = ]У1 ( ) = О и (т) = = (т), то процесс г ( ) = А t) называется сферически инвариантным случайным процессом [115, 148]. Свойства непрерывности и дифференцируемости для такого процесса г) ( ) при условии Р (Л = 0 = О полностью определяются аналогичными свойствами гауссовского процесса ( ), а среднее число пересечений [148] нулевого уровня (Я = 0) траекторией г] t), г е [О, Т. [c.140]

Установим теперь, что следует из равенства (9.7) относительно свойств функции /(/). Для этого нужно получить вначале некоторые тождества для полиномов Лежандра. Из сферической тригонометрии известно, что если О, ф и О, ф — полярные координаты некоторых двух направлений в пространстве и — угол между этими двумя направлениями, то [c.127]

Однако до обсуждения различных опытов, в которых особенно ярко наблюдаются свойства указанного типа, установим некоторые простые факты и общие формулы, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем. Предположим, что на атом или, лучше, па атомное ядро (потому что практически всегда нейтроны рассеивают только ядро) падает нейтрон нейтрон будет рассеян на известный угол (рис. 1, а). Это — схема столкновения в корпускулярном представлении в волновом представлении имеется группа падающих волн, рассеивающихся подобно свету, т. е. в виде группы сферических волн, исходящих из центра рассеяния (рис. 1, б). Плоская падающая волна, распространяющаяся вдоль положительного направления оси х, представляется экспоненциальной функцией [c.114]

В п. 1 для описания состояния частицы в центральном поле мы использовали решения уравнения (13.1), которые преобразуются по однозначным представлениям группы вращений. Вопрос о том, насколько хороши такие решения (а также и само уравнение) для описания реальной физической частицы, должен решаться сравнением с экспериментом. Как показывает опыт, уравнение (13.1) не может объяснить некоторых наблюдаемых свойств электрона. В частности, было обнаружено, что нарушение сферической симметрии в результате включения внешнего магнитного поля приводит к расщеплению основного уровня энергии Ео I = 0), который согласно развитой в п. 1 теории должен быть невырожденным. Однако это противоречие снимается, если предположить, что волновая функция электрона преобразуется при вращениях по двузначному представлению группы 0+(3). [c.153]

У следующего элемента 3Li появляется третий электрон, которому нет места в полностью застроенной первой электронной оболочке (принцип Паули). Поэтому с лития начинается заполнение второй оболочки с главным квантовым числом л = 2, т. е. начинается второй период в таблице Менделеева. Во второй оболочке имеются 4(s—р) квантовых ячеек, содержащих восемь вакантных мест для валентных электронов. В атоме водорода энергии электронов в s- и р-ячейках одной электронной группы одинаковы. В атоме лития имеется двухэлектронный остов, экранирующий заряд ядра до.7 = 1. Вследствие просачивания части электронной плотности 25-состояния внутрь остова ( ныряющая боровская орбита) энергия связи 25-электрона с ядром оказывается меньше энергии 2р-электрр-йа (2s<2p), и электронное строение атома лития будет ls 2s . У 4Ве заполняется 2х -ячейка, а у следующего элемента 5В впервые появляются р-электроны. Далее заполнение р-ячеек, так же как и ячеек следующих d и f электронных подгрупп, идет в соответствии с эмпирическим правилом Хунда, согласно которому конфигурация электронов должна обладать максимальным суммарным спином 5. Это означает преимуществен-ность параллельной ориентации спинов. Возможность параллельной ориентации спинов исчерпывается у седьмого элемента азота, имеющего замкнутую сферически симметричную р-под-группу, что проявляется в некотором повышении первого потенциала ионизации атома азота по сравнению с атомами соседних элементов. Далее с увеличением порядкового номера элемента электроны начинают размещаться в ячейках попарно с антипараллельными спинами. Этот процесс завершается у десятого элемента неона, атомы которого имеют замкнутую валентную оболочку с полностью компенсированными механическими и магнитными моментами и сферически симметричным распределением электронной плотности. Последнее является следствием свойств суммы квадратов сферических функций для заполненных подгрупп. Атомы неона, как и гелия, имеют высокий потенциал ионизации и химически инертны. [c.13]

Вра1цеиие около оси полости. Вращение около оси, перпендикулярпой к оси полости. Потенциал скоростей. Дифференциальные уравнения линий тока и ояенты инерции эквивалентных тел. Уравнения для присоединенных сферических функций первого рода и их некоторые свойства. Легко видеть, что вращательное движение около оси полости, имеющей форму тела вращения, не вызывает никакого абсолютного движения жидкости. Действительно, если направим ось Ог по оси вращения полости, то найдем [c.220]

БГК-модель сохраняет большинство основных свойств интеграла столкновений Больцмана, однако она обладает определенными недостатками. От некоторых из них можно избавиться путем соответствующих видоизменений за счет, правда, простоты модели. Первое видоизменение можно ввести так, чтобы частота столкновений оказалась зависящей от скорости молекулы, а не была просто локально постоянной. Это видоизменение связано с тем, что для упругих сферических молекул, всех потенциалов с конечным радиусом действия и степенных потенциалов с угловым обрезанием (за исключением максвелловских молекул) частота столкновений зависит от скорости молекул. Можно ожидать, что это изменение при больших Скоростях молекул будет существенным. С формальной точки зрения видоизменение очень просто достаточно предположить, что в формуле (1.2) V зависит от I (точнее, от с), но условия (1.1) должны по-преячнему выполняться. Все основные формальные свойства (в том числе и Н-тео-рема) сохраняются, но плотность, скорость и температура, входящие в максвелловскую функцию Ф, теперь уже не локальные плотность, скорость и температура, а некоторые фиктивные локальные параметры, связанньге с пятью моментами функции / с весом V (с). Это следует из того, что в этом случае условия (1.1) дают [c.103]

Свойства симметрии вращательных уровней. В томе 11 ([23], стр. 477) дана классификация вращательных уровней сферического волчка в соответствии с вращательной подгруппой рассматриваемой точечной группы. Хоуген [573] считает, что, как п в случае молекул типа симметричного волчка, можно, а для некоторых задач и необходимо классифицировать эти уровни в соответствии с полной симметриехг точечной группы. Хоуген нашел, что вращательные волновые функции сферического волчка ведут себя подобно четным типам DJg непрерывной вращательно-инверсионной группы-Кл (табл. 55, приложение I). Эти типы (2/- -1)-кратно вырождены. Их надо подразделить на типы точечной группы рассматриваел10Й молекулы. Здесь будут рассмотрены только тетраэдрические молекулы точечной группы Тй, которая имеет типы Ах, А2, Е, Ех, Е2- Это возможные типы вращательных уровней. Корреляция тинов DJg и типов при небольших значениях / приведена в табл. 58 (приложение IV). Самый нижний уровень / = О имеет тин Ах, следующий уровень / = 1 имеет тин Ех, т. е. в любом приближении ни один из этих уровней не может расщепляться. При / = 2 получаем Е + а при / — 3 получаем А Л- Ех -Н Ео, т. е. здесь возможны расщепления (см. ниже). [c.101]

С точки зрения космогонии важно как можно дета.пьнее описать такой путь развития. Было бы интересно, конечно, представить эту эволюционную проблему как можно полнее, но литература по этому предмету очень разнообразна и, к тому же, носит в основном исследовательский характер. Поэтому едва ли в одном отдельном издании можно осветить эту задачу во всей полноте. П всё-таки имеет смысл дать полное математическое описание тех частей предмета, которые необходимы для обоснования достоверности упомянутой выше эволюции. Для этого сначала мы рассмотрим проблему устойчивости с главным акцентом на вращающиеся системы. За этим следует обсуждение сферических, сфероидальных и эллипсоидальных фигур равновесия и тех их свойств, которые можно вывести с помощью простых методов динамической теории. Далее мы излагаем элементы эллипсоидального гармонического анализа и доказываем некоторые важнейшие свойства функций Ламэ. Затем, используя этот математический аппарат, перейдём к изложению результатов исследования Пуанкаре вековой устойчивости последовательностей Маклорена и Якоби. После этого мы уделим внимание исследованию Картаном обыкновенной устойчивости эллипсоидов Якоби. В заключении рассматриваются этапы эволюции системы и обсуждаются возможные применения в космогонии. [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...