Метод функции напряжений при изгибе

Метод функции напряжений при изгибе. [c.278]

В данном разделе будет рассмотрено несколько элементарных примеров поперечного изгиба для сечений различной формы, которые были решены еще Сен-Венаном [55]. При этом будет применяться указанный С. П. Тимошенко [56] метод построения решения, непосредственно использующий граничное условие на функцию напряжений при изгибе В(х,у) и приводящий к упрощению решения для определенных форм поперечного сечения. [c.184]

Функцию напряжений Ф х , дс ), минимизирующую функционал Т, можно приближенно найти одним из прямых методов вариационной задачи изгиба при выполнении граничного условия (8.9). [c.221]

Такое представление функции напряжений было, в частности, использовано в [146] при решении задач об изгибе пластинок переменной толщины. Там же доказана полнота этой системы функции, что для вариационных методов весьма существенно [97]. [c.153]

Аналогично можно рассматривать другие сечения, различные нагрузки и граничные условия. Двутавровое сечение при изгибе с точки зрения конструкций минимальной массы представляет наибольший интерес. Его также можно рассматривать изложенным методом, при котором оптимальное решение находят из решения некоторой прямой (но нелинейной) задачи, минуя анализ напряженного состояния и прогибов. Легко убедиться непосредственной проверкой, что функция h х) или / (х) для равнопрочной балки минимизирует общую массу балки по сравнению с другими наперед заданными функциями h (х) или f (х). [c.47]

Так же как и задача кручения, плоская задача может быть сформулирована несколькими способами — в виде задачи для функции напряжений, удовлетворяющей неоднородному бигармоническому уравнению [3], или при помощи уравнений равновесия Навье в перемещениях [3,4]. Ниже оба метода будут применены для решения задачи о брусе с краевым надрезом при чистом изгибе, [c.81]

В основу разработанного способа положен полуобратный метод Сен-Венана, согласно которому перемещения в направлении координатных осей нами представлены в виде явных функций координатного угла 0 (задача рассматривается в цилиндрических координатах г, 0, z ось 2 совмещена с осью модели). Принятое допущение находится в соответствии с известным решением Нейбера для случая изгиба гиперболоида вращения 161. Благодаря такому представлению переменные в выражениях для функций напряжений Папковича — Нейбера разделились, и, тем самым, объемная задача теории упругости об изгибе тела вращения свелась к двумерной. Вследствие этого напряжения выражаются через частные производные этих функций по независимым переменным гили далее — через величины порядков полос пг и пг и параметров изоклин "ф, полученные при просвечивании оптически чувствительного слоя модели в направлении нормали (прямое просвечивание) к его лицевой поверхности и под углом а (наклонное просвечивание) к нормали N — направление (рис. 1). [c.54]

Опыт работ- по применению электромоделирования к практическому решению задач теории упругости показывает его большую эффективность по сравнению с другими экспериментальными методами . В приведенной ниже табл. IV. 8 дается перечень более 100 задач по определению полей напряжений, решенных методом электромоделирования. При электромоделировании не требуется изготовления отдельных моделей и нагрузочных устройств. Заданная область весьма просто набирается на сетках интегратора, точное выполнение граничных условий, соответствующих заданным внешним силам, не составляет трудностей. Данные экспериментального решения на электрической модели в виде первых разностей функции в дискретных точках области дают возможность определить величины напряжений при плоском напряженном состоянии, а также прогибов, изгибающих и крутящих моментов и перерезывающих сил при исследовании тонких плит на изгиб. [c.333]

Глава II. Плоская задача. Общие формулы и простейшие приложения. Здесь на 100 страницах изложены как постановка плоской задачи, так и главные методы решения ее. Решение достигается при помощи функции напряжений и комплексного представления ее, причем сперва излагается общая теория методов, а затем они развиваются практически на ряде примеров. Из этих примеров отметим а) растяжение пластинки, ослабленной круговым отверстием б) действие сосредоточенной силы, приложенной в точке неограниченной плоскости в) действие сосредоточенной пары г) рассмотрение напряжений в кольце, вызываемых заданными силами д) изгиб кругового бруса е) общая теория температурных деформаций и вызываемых ими напряжений. [c.9]

Подобно тому, как это было сделано ранее, применительно к расчету подкрепляющих пластин, работающих в условиях плоского напряженного состояния, можно совершенно аналогичным образом изложить методику расчета подкрепленных пластин при изгибе. В частности, для пластины, подкрепленной по противоположным краям у = О и у = h ребрами произвольных плоскостей на изгиб и на кручение и загруженной по краю у = h, преобразование по методу начальных функций при переходе с края у = О на край у = h определился прежним соотношением (7), где матрицы Z, и Л и векторы Fq и. Р теперь соответствуют задаче изгиба пластины. Последнее означает, что при переходе от плоского напряженного состояния к случаю изгиба необходимо в соотношениях (5), (6) компоненты вектора основных расчетных величин и индексы в коэффициентах матрицы начальных функций и, V, Y, X соответственно заменить на W, Ф, Л1 и Q. Что касается матриц Ль и Л2, то они останутся прежнего вида за исключением лишь того, что знаки при коэффициентах жесткости с и для принятого правила знаков, рис. 13, следует взять обратными. [c.164]

Метод определения работы распространения трещин. Исследуется процесс перехода покоящейся трещины в трещину, которая распространяется нестабильно (без подвода энергии извне). Образцы с трещиной (надрезом) для испытаний на растяжение или изгиб, доводимые до разрушения. Определяют напряжение, необходимое для самопроизвольного развития трещины (разрушения), являющееся функцией температуры температура, при которой не происходит уже нестабильного распространения трещин, соответствует температуре, при которой можно вводить (наносить) трещину в образец до испытаний на разрушение. [c.102]

На рис. 77, а представлена одна из конструкций несущих платформ. Основными конструктивными элементами платформы являются пол, усиленный продольными ребрами замкнутого сечения, боковые борта, имеющие наклонный участок при переходе к полу, обвязки переднего борта, обвязки боковых бортов и задняя обвязка. Все обвязки имеют замкнутое сечение. Таким образом, платформа представляет собой пространственную тонкостенную конструкцию, которая эквивалентна открытой призматической (складчатой) системе. Расчет такой конструкции можно вести методом конечных элементов (МКЭ) с использованием балочного и оболочечного элементов. Для расчета автомобильных конструкций в настоящее время наиболее часто используют плоский треугольный симплекс-элемент. Например, таким элементом можно моделировать борта платформы. Однако функция, характеризующая перемещения в плоскости такого элемента, представляет собой полином первой степени, поэтому распределение деформаций и напряжений по стороне элемента постоянно, в то время как при закручивании открытых призматических (складчатых) систем каждая складка-пласти-на работает на изгиб в своей плоскости, что приводит к неравномерному распределению деформаций по ширине пластины. На рис. 77, б приведено характерное распределение деформаций по контуру призматической оболочки при кручении, соответствующее эпюре секториальных координат. По ширине наклонной пластины происходит резкое изменение продольных деформаций. Если этот участок моделировать треугольным элементом, то распределение деформаций будет равномерным, что приведет к большим ошибкам [c.135]

Для ЭТОЙ цели указанная сумма (3.30) конечного числа членов подставлялась в определенные интегралы (3.25) и (3.26), выражающие энергии и внутренних и внешних сил. Прежде чем вычислять суммы интегралов, находились их частные производные по неизвестным постоянным С, . .., Затем использовалось вариационное условие 6(1 г+1 ) =0, приводившее к системе п линейных уравнений для определения постоянных Си. .., Сп. Эта система получалась после вычисления интегралов, которые появляются в этих уравнениях (при заданном распределении давления р по пластинке) в качестве коэффициентов этой системы. Можно добавить, что, как показали Ритц, а потом и другие авторы, при надлежащем выборе функций йУ ,(л , у) в представлении (3.30) рассмотренный метод дает очень быструю сходимость и его можно также использовать (после вычисления частных производных второго порядка от ге ) для нахождения действующих в пластинках напряжений изгиба или моментов. В случае пластинки с жестко заделанными краями Ритц и Стодола ) заметили, что вариация части интеграла, определяемого соотношением (3.25), [c.152]

Широко известно, что одним из первых математиков, принимавших участие в становлении МКЭ, был Курант. Он представил приближенный метод решения задачи кручения Сен-Венана с помощью принципа минимума дополнительной энергии, используя линейную аппроксимацию функции напряжений внутри каждого из совокупности треугольных элементов [1]. С другой стороны, наиболее важными и исторически первыми среди пионерских работ по МКЭ в задачах расчета конструкций считаются статьи Тёрнера, Клафа, Мартина и Топпа [2] и Аргириса и Келси [3]. После появления этих статей вариационный метод стал интенсивно использоваться в математических формулировках МКЭ. И обратно, быстрое развитие МКЭ сообщило мощный стимул к разработке вариационных методов за последнее десятилетие появились новые вариационные принципы, такие, как вариационные принципы со смягченными условиями непрерывности [4—8], принцип Геррмана для несжимаемых или почти несжимаемых материалов [9, 10] и для задач изгиба пластин [11, 12] и т. д. Цель части В состоит в том, чтобы дать краткий обзор достижений в области вариационных принципов, которые служат основой МКЭ в теории упругости и теории пластичности. С практическим использованием этих принципов при формулировке МКЭ читатель может ознакомиться по работам [5—7]. [c.340]

Исследование вязкоупругих свойств. При проектировании конструкций из термопластиков необходимо учитывать ползучесть этих материалов, заключающуюся в постепенном нарастании деформаций при действии постоянно приложенной нагрузки. В связи с этим деформации не могут быть представлены однозначно в виде функции напряжения, за исключением ограниченного по времени периода нагружения, для которого возможно приближенное описание реального поведения материала. Однако при малых деформациях определенные пластики можно рассматривать как обладающие линейной вязкоупругостью. Например, можно принять, что прогиб при изгибе невесомой балки длиной L под действием нагрузки W, приложенной в середине пролета балки, равен WL I48E,L, где Et — модуль упругости при ползучести, который зависит от длительности нагружения. Модуль Et можно подобрать для каждого вида деформации методом последовательных приближений. Из рис. 6.21 видно, что такой подход правомерен и для трехслойной балки при длительности действия нагрузки до 350 ч, когда имеется точное совпадение расчетных и экспериментальных данных. [c.157]

Подставляя эти значения в выражение (f), находим функцию напряжений, которой можем воспользоваться для приближенного вычисления напряжений. С помощью этого метода была решена задача ) о распределении напряжений в полках широкополочных двутавровых балок при их изгибе (т. е. найдена эффективная ширина полок). Этот же способ позволил исследовать идепланацию в тонкостенных конструкциях ). [c.479]

В первой части курса излагается общ ая теория напряженного и деформированного состояния. Выводятся дифференциальные уравнения равновесия в напряжениях и перемещениях для трехмерной изотропной среды. Принцип возможных перемещений применяется для изотропного зшру-гого тела. При помощи методов, применяемых в курсе сопротивления материалов, исследуются растяжение, кручение и изгиб стержней. Как частный случай общей теории приводятся общие соотношения для плоской деформации и плоского напряженного состояния. Дано решение дифференциальных уравнений плоской задачи в целых полиномах, а также в гиперболотригонометрических функциях применительно к изгибу тонкой полосы. Разбирается случай полярных координат. Описано применение энергетического метода к плоской задаче. [c.5]

Тимошенко С. П., Применение функции напряжений к исследованию изгиба и кручения призматических стержней. Сб. Спб ин-та инженеров путей сообщения, Спб, 1913, вып. 82, стр. 1—24 отд. оттиск Спб, 1913, 22 стр. (Замечание. В этой статье была найдена такая точка в поперечном сечении балки, к которой следовало бы приложить сосредоточенную силу, чтобы устранить кручение. Таким образом, эта работа оказывается первой, где определялся центр сдвига балки. Рассмотренная балка имела сплошное поперечное сечение в форме полукруга [8.2]. В 1909 г. К- Бах провел испытания швеллерных балок и кащел, что, когда нагрузка прикладывается параллельно плоскости стенки, в балке возникает кручение (см. [8.3] и [8.4]). Он также обнаружил, что закручивание изменяется при боковом смещении нагрузки, но, по-видимому, центр сдвига им не был определен. В 1917 г. А. А. Гриффитс и Дж. Тейлор использовали для исследования изгиба метод мыльной пленки для некоторых типов конструкционных профилей они определили центр сдвига, который был ими назван центром изгиба [8.5]. Общее приближенное решение задачи определения центра сдвига тонкостенного стержня незамкнутого профиля было получено Р. Майяром, который объяснил практическое значение определения центра сдвига в конструкционных профилях [8.6] и ввел термин центр сдвига . Дальнейшее развитие концепции центра сдвига содержалось в работах [8.7—8.16], Всестороннее обсуждение центра сдвига, а также задачи изгиба и кручения балок в общей постановке проведено в работе [8.17] некоторые исторические замечания, относящиеся к центру сдвига, можно найти в работах [8.18] и [8.19].) [c.555]

Важную роль в развитии теории упругости сыграли работы русских ученых. Фундаментальные результаты в развитии принципа возможных перемещений, теории удара, а также интегрирования уравнений динамики принадлежат Остроградскому ). Генерал от артиллерии Гадолин ) исследовал напряжения в многослойных цилиндрах, построив тем самым основы проектирования стволов артиллерийских орудий. Журавский изложил современную теорию изгиба балок. Он широко применял методы сопротивления материалов при проектировании многочисленных мостов железных дорог. Существенное продвижение в решении плоской задачи теории упругости связано с трудами Колосова ) и Мусхелишвили ), которые впервые применили метод, основанный на использовании функций комплексного переменного. Бубновым ) решен ряд задач об изгибе пластин. [c.12]

Функции напряжения хможно построить также для трехмерной теории упругости, теории изгиба пластин и других отдельных случаев упругого деформирования. Так, при расчете изгиба пластин методом конечных элементов, особенно полезно знание функций, называемых функциями напряжения Саусвелла. Эти функции рассматриваются в гл. 12. Основные трудности, связанные с введением функций напряжения, заключаются в том, что последние не имеют четко выраженного физического смысла. Это усложняет задание граничных условий и исследование других ключевых аспектов в процессе решения любой практической задачи. [c.110]

Обсудите формулировку матрицы жесткости при изгибе для прямоугольного изгибиого элемента с использованием гибридного метода на основе предполагаемых полей напряжений. Выберите подходящие функции для внутренних полей напряжений и граничных смещений [c.388]

Далее задача сводится к построению кривой измерения податливости образца в функции длины трещины и измерению наклона касательной к этой кривой в точке, соответствующей начальной длине трещины (рис. 51) [9]. Метод оказывается наиболее полезным при испытании относительно небольших образцов, на которых можно точно измерить податливость в лабораторных условиях. При испытаниях в условиях постоянства нагрузки важно определить лишь перемещение точек приложения силы, например при трехточечном изгибе величина плеча изгибающего момента не входит в экспериментальную калибровочную кривую для конкретной геометрии образца и нужна только в случае теоретической калибровки податливости образцов разных размеров. На практике более удобным оказывается измерение смещений вблизи трещины, при этом необходимо определить упругую деформацию образца перед использованием податливого смещения для расчета G. В образцах малого размера метод податливости является наиболее простым, позволяющим учесть свободные поверхности и дополнительные концентраторы напряжений, 100 [c.100]

Хотя данные на рис. 4.71 указывают, что из методов экспериментальной оценки свойств композита потребуются только методы, реализуемые деформированием типа II, по-видимому, все же необходимы дополнительные исследования более близких к действительным конфигураций расслоения. Например, типичное расслоение, наблюдаемое при эксплуатации изделий из слоистых композитов, по форме часто приближается к окружности или эллипсу. Для подобных двумерных расслоений распределение скоростей высвобождения энергии деформирования представляет собой функцию положения на границе трещины [69]. Было показано, что трещина может расти и перпендикулярно направлению нагружения, что не предусмотрено в одномерной модели [67]. Более того, не учитывались такие эффекты, как изгиб невыпученной основной части слоистого композита и отслоенных зон с несимметричной укладкой. Если плоскость расслоения проходит между смежными косоугольно ориентированными слоями, то сильное влияние на рост расслоения могут оказать напряжения, связанные с деформированием типа III. [c.293]

Следующий раздел книги Клебш посвящает задаче Сен-Ве-нана. Он опускает соображения физического характера, введенные Сен-Венаном при использовании им здесь полуобратного метода, и ставит проблему в чисто математической формулировке найти силы, которые должны быть приложены к торцам призматического бруса, если объемные силы отсутствуют, по боковой поверхности бруса не приложено никаких сил, но между продольными волокнами действуют лишь касательные напряжения в осевом направлении. Таким путем Клебш получает возможность задачи осевого растяжения, кручения и изгиба рассматривать и решать как единую задачу. Подобная трактовка вопроса принимает более сложный вид, чем у Сен-Венана, поскольку при этом подходе опускается физическая сторона явления и решение получается слишком абстрактным, чтобы заинтересовать инженера. Клебш проходит мимо тех многочисленных приложений, на которых останавливается Сен-Венан, демонстрирующий эффективность своего метода на балках различных поперечных сечений. В качестве примеров Клебш приводит случаи сплошного эллиптического бруса и полого бруса, поперечное сечение которого образовано двумя конфокальными эллипсами. Почти никакого практического интереса эти задачи не представляют, но Клебш обращается к ним для того, чтобы впервые ввести новый прием математической трактовки, а именно, использовать сопряженные функции в решении задачи Сен-Венана. [c.310]

Для Проверки работоспособности разработанного метода проводили коррозионно-усталостные испытания образцов 280 X 20 X 10 мм на долговечность при циклическом отнуле-вом консольном изгибе с частотой 4,36 герца в водном растворе хлорида натрия (5 %), уксусной кислоты (0,5 %) и се )оводорода (3,4 г/л) при 20- 5 °С. Испытывая материал при стационарных уровнях нагрузки, заведомо превышавших пороговый, оценивали адекватность закона (Ю) опытным данным (табл. 3). Сопоставление дисперсий неадекватности и воспроизводимости свидетельствуют об адекватности модели (10) опытным данным при уровне значимости 0,05. О соблюдении линейного закона суммирования повреждений свидетельствует близкое совпадение результатов испытаний с возрастающей нагрузкой с графиком функции, построенным по расчетным точкам с учетом параметров модели (Ю) (рис. 14), а также независимость разрушающих нагрузок при Испытании от напряжений более низких, чем пороговые (в табл. 3 стали 20, 17Г20Ф, ЗОХМА). Окончательным подтверждением работоспособности предлагаемого метода является совпадение результатов оценки пороговых напряжений, полу- [c.67]

Аналитическое определение местных напряжений изгиба в опасном сечении прямого зуба, выполненное этими методами, является наиболее точным. Попытки вычислить напряжение изгиба методами теории упругости известны уже давно (см. например [79, 123] и др.), однако пригодным для инженерных расчетов можно считать лишь решение, данное В. Л. Устиненко [151 и 152]. Последнему удалось найти удачный прием конформного отображения на полуплоскость функции, описывающей зубообразный выступ, близко совпадающий с действительной формой зуба. Единственное отклонение заключается в том, что вершина выступа получается скругленной, что не оказывает заметного влияния на напряжение в опасном сечении Решение В. А. Устиненко дает хорошие результаты при любом числе зубьев и любом смещении исходного контура. Подсчитанные напряжения во всех случаях хорошо совпадают с определенным методом фотоупругости на моделях из прозрачного изотропного материала при распределении нагрузки, обеспечивающем плоское напряженное состояние зуба. Предварительная большая вычислительная работа способствовала тому, что трудоемкость нового, более точного метода расчета осталась на уровне методов, основанных на сопротивлении материалов. [c.174]

Здесь p — коэффициент, учитывающий характер распределения касательных напряжений по сечению 1 — (IJIy) остальные обозначения общепринятые. Сравнительная оценка порядка членов, входящих В уравнение (5.8), показывает, что влияние сдвига, инерции вращения и поперечного расширения существенно лищь в сравнительно небольшой области вблизи волнового фронта. Длина этой области имеет порядок поперечного размера балки. Вне указанной области движение балки В1Полне удовлетворительно описывается дифференциальным уравнением, основанным на элементарной теории изгиба. Предлагается следующий приближенный метод решения. Поперечное перемещение оси балки, а также функция времени — расстояние от начала координат до волнового фронта аппроксимируется при помощи подходящих выражений, удовлетворяющих граничным условиям. Коэффициенты Находятся из вариационных уравнений (типа уравнений мето- [c.46]

При рассмотрении прямоугольных плоско-напряженных элементов вначале изучаются формулировки, полученные с полющью межэлементно согласованных полей перемещений. Для этих элементов приводятся результаты расчетов, откуда становится ясно, что задачи, которые должны описывать состояние изгиба, лучше моделируются с помощью элементов, содержащих дополнительные функции перемещений. Изучению указанных функций отводится специальный раздел. При формулировке элементов гибридный метод напряжений имеет определенные преимущества в отдельных задачах плоско-напряженного анализа. Этот подход к построению элементов описывается в заключительном разделе главы. [c.266]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...