Интегралы общего положения

Интегралы общего положения [c.148]

По поводу различных задач, относящихся к движению системы материальных точек и рассмотренных до сего времени, можно сделать одно важное и интересное замечание Во всех случаях, когда силы являются функциями только координат движущихся точек и когда задачу удалось свести к интегрированию дифференциального уравнения первого порядка с двумя переменными, оказывается также возможным свести эту задачу к квадратурам. Мне удалось превратить это замечание в общее положение, которое, как мне кажется, дает новый принцип механики. Этот принцип, так же как и другие общие принципы механики, дает возможность получить интеграл, но с той разницей, что другие принципы дают только первые интегралы дифференциальных уравнений динамики, тогда как новый принцип приводит к последнему интегралу. Этот принцип обладает общностью, более высокой, нежели другие принципы, потому что он применим к случаям, когда аналитические выражения сил, а также уравнения, выражающие структуру системы, содержат координаты движущихся точек в любой форме. С другой стороны, принципы сохранения живых сил, сохранения площадей и сохранения центра тяжести во многих отнощениях имеют преимущество перед новым принципом. Прежде всего, эти принципы дают конечное уравнение между координатами движущихся точек и составляющими их скоростей, тогда как интеграл, получаемый на основании нового принципа, требует еще квадратур. Во-вторых, применение нового принципа предполагает, что уже найдены все интегралы, кроме одного, предположение, которое осуществляется лишь в очень небольшом количестве задач. Но это обстоятельство не может уменьшить- ценности нового принципа, в чем, я надеюсь, убедит применение его к нескольким примерам. [c.294]

Те общие положения, которыми мы желаем теперь заняться и которые носят название принципов, или начал, отличны от законов динамики. Конечно, и принципы выражают собой некоторые свойства движения системы, но ни один из них не даёт интегралов уравнений движения, хотя бы при частных свойствах сил системы, если все величины, входящие в выражение начала, сохраняют своё общее значение. Зато, с другой стороны, каждый принцип вполне характеризует движение системы и эквивалентен всей системе дифференциальных уравнений движения, т. е. из каждого принципа соответственные уравнения движения могут быть выведены как следствия. [c.347]

Теорема Пуанкаре о несуществовании аналитических интегралов была доказана впервые в знаменитом мемуаре О проблеме трех тел и об уравнениях динамики [13] с использованием невырожденных периодических решений. Другое доказательство неинтегрируемости, данное в пятой главе Новых методов небесной механики [1], отличается от первого, как замечает сам Пуанкаре, только формой. В том и другом случае используется по существу тот факт, что резонансные торы общего положения невозмущенной задачи распадаются при возмущении. [c.36]

Рассмотрим нули данной точной 2-формы общего положения. Первое условие общности положения требует, чтобы эти нули образовывали гладкую кривую (если форма записывается в виде Ьт, где г — элемент площади, то требование такое О не является критическим значением гладкой функции к). Компоненты зтой кривой делят сферу на области, в которых якобиан сохраняет знак. Второе условие общности положения требует, чтобы интегралы от формы по этим областям были нерезонансными (то есть они не должны удовлетворять конечному множеству линейных однородных уравнений с целыми коэффициентами). Достаточна, например, рациональная независимость этих интегралов. [c.148]

Задача интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 2л в случае общего положения эквивалентна задаче об отыскании 2л независимых первых интегралов. Если уравнения являются системой канонических уравнений Гамильтона, то достаточно знать л первых независимых интегралов в инволюции, чтобы. найти ее общее решение. [c.181]

Так как кинетическая энергия консервативной системы в общем случае зависит от скоростей точек системы и от ее положения, то время перехода системы из конфигурации А ь В для различных кинематически возможных движений не одинаково. В связи с этим предел t в интеграле (148.1) является переменным. [c.408]

Функция I аВ) характеризует поле излучения на дефекте, а I (Вс) — поле приема (по А я С интегрирование уже выполнено). Интеграл от произведения этих двух функций определяет суммарное экранирование поля всей площадью дефекта Sf,. Если дефект находится посредине между излучателем и приемником, то I (аВ) = I (Вс) и интеграл в (2.15) идентичен (но с обратным знаком) интегралу,получаемому при вычислении амплитуды эхо-сигнала от дефекта при контроле совмещенным преобразователем. Таким образом, возмущение поля позади экрана р" равно возмущению поля перед экраном, т. е. отраженной волне р. Это положение называется принципом Бабине. Однако было бы неправильно понимать его так, что общее значение поля перед экраном и позади него совершенно одинаковы. Отраженная волна ни с чем не интерферирует, и амплитуда сигнала равна Р, а возмущение позади экрана интерферирует с падающей волной, что вызывает существенные различия и Р. Абсолютное значение разности ] Рд — р" I нельзя считать равным разности Рс I — р" I- Для общего случая можно записать [c.114]

Общие интегралы. Наиболее общим случаем является тот, когда сила F, отнесенная к единице длины, зависит от положения и направления в пространстве элемента ds и от его положения на [c.167]

Правые части L, М, N этих уравнений являются функциями переменных 9, ср, ( ), если заданные силы зависят только от положения тела, и они будут функциями переменных 9, ср, ф, р, д, г, если эти силы зависят также и от скоростей. Если бы потребовалось вычислить непосредственно 9, ср, с ), то исключение р, д, г приведет к трем уравнениям второго порядка относительно 9, ср, с ). Общие интегралы будут содержать шесть постоянных, которые можно определить, зная начальное положение тела и начальную мгновенную угловую скорость вращения, т. е. зная ср . с )о, р , д и Гу. [c.144]

Эти интегралы не дают ничего нового они выражают уже доказанное предложение, что общий центр тяжести вихревых нитей остается в одном и том же положении. [c.218]

Другие интегралы зависят от природы дифференциальных уравнений каждой задачи, и нет возможности дать общее правило для их нахождения. Есть, однако, один случай, имеющий весьма обширное применение, который всегда поддается полному решению в конечных выражениях а именно — это тот случай, когда система совершает лишь очень малые колебания около своего положения равновесия. Ввиду важности этой задачи мы ей посвятим особый отдел. [c.410]

Из общих теорем существования интегралов уравнений с частными производными следует, что для всякой системы дифференциальных уравнений (36) существует бесконечно много функций ji положения и времени, удовлетворяющих равенству (70), Такие функции называются множителями системы (36), потому что по отношению R этой системе они обладают свойствами, аналогичными тем, которые для одного обыкновенного дифференциального уравнения имеет интегрирующий множитель Эйлера. Понятие об этих множителях и название их принадлежит Якоби, который выявил их важность для интегрирования системы (36)jS мы не будем останавливаться здесь на этом и ограничимся лишь, следуя Пуанкаре i), замечанием, что функция под [c.293]

О задаче трех и более тел. Задача п тел (п 2) состоит в следующем. В пустоте находятся п материальных точек, взаимодействующих по закону всемирного тяготения Ньютона. Заданы начальные положения и скорости точек. Требуется найти положения всех точек как функции времени. Эта задача не решена до сих пор. Более того, показано, что даже в случае трех тел помимо классических интегралов, существование которых следует из общих теорем об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии, дифференциальные уравнения движения не имеют других интегралов, которые выражались бы через алгебраические или через однозначные трансцендентные функции координат и скоростей точек. [c.244]

Теорема Ляпунова дает достаточные условия устойчивости движения. Применение этой теоремы требует знания функции F, обладающей вполне определенными свойствами. Общих методов построения таких функций нет. Однако во многих практически важных случаях функцию V можно построить, если известны первые интегралы уравнений возмущенного движения. Например, при доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы в качестве функции V годилась полная механическая энергия системы Е. [c.518]

Мы сможем считать еще одним подтверждением нащих собственных общих интегральных уравнений доказательство того, что они заключают в себе не только известный закон живой силы, но также шесть других известных интегралов первого порядка закон движения центра тяжести и закон площадей. Для этой цели необходимо только отметить, что из концепции нашей характеристической функции V с очевидностью следует, что эта функция зависит от начальных и конечных положений притягивающихся или отталкивающихся точек системы, не как отнесенных к какому-либо внешнему стандарту, а только как сравниваемых друг с другом следовательно, эта функция не будет меняться, если мы, не делая никаких реальных изменений ни в начальной, ни в конечной конфигурации, ни в их отношении друг к другу, сразу изменим все начальные и все конечные положения точек системы при помощи какого-нибудь общего движения, будь то перенос или вращение р]. Теперь, рассматривая три координатных переноса, мы получим три следующих уравнения в частных производных первого порядка, которым должна удовлетворять функция V [c.184]

Данный результат не может быть, однако, использован для исследования спектральных полос, так как ниже выяснится то своеобразное обстоятельство, что теория ротатора со свободной осью приводит к совершенно другим выводам. Подобное положение имеет место в общем случае. При применении волновой механики нельзя считать для упрощения вычислений число степеней свободы меньшим действительного даже тогда, когда из интегралов механических уравнений следует, что при некоторых движениях системы определенные степени свободы не проявляются. В микромеханике система основных механических уравнений становится совершенно непригодной, и определяемые этой системой траектории самостоятельно не существуют. Волновой процесс заполняет все фазовое пространство. Известно, что для волнового процесса существенно даже число измерений, в которых он протекает. [c.699]

Распределения Гиббса. Проведённые до сих пор рассуждения носили формальный характер, т. к. нахождение ф-ции распределения, согласно (1), требует знания всех X и р во все моменты времени, т. е. решения ур-ник движения с соответствующими нач. условиями. Осн. положением С. ф. является утверждение о возможности из общих соображений определить эту ф-цию для системы, находящейся в состоянии термодинамич. равновесия. Прежде всего, исходя из сохранения числа частиц при движении, можно показать, что ф-ция распределения является интегралом движения системы (см. Лиувилля теорема). [c.666]

Все сформулированные до сих пор уравнения позволяют ставить и решать задачи в том случае, когда положение фронта трещины известно. Для вывода дополнительных граничных условий на фронте трещины расслаивания привлечем инвариантные Г-интегралы и общую теорию, изложенную в 1 первой главы книги. [c.268]

Внеся выражения (54) и (64) в общую формулу (63), вычислив входящие в них интегралы для заданного очертания арки, получим распор при произвольном положении вертикальной силы Р. [c.481]

В этом параграфе осталось сказать несколько слов о задаче трех и более тел. В общей задаче п тел считается, что п материальных точек взаимно притягиваются друг к другу по закону всемирного тяготения Ньютона. Лля заданных начальных положений и скоростей этих точек требуется найти их местоположение как функций времени. Решение этой задачи не найдено до сих пор. Известно, что интегралы движения точек не выражаются в алгебраических или трансцендентных функциях их координат и скоростей. [c.415]

Координаты Ql, .. участвующие в понижении порядка гамильтоновой системы, определены конечно неоднозначно к ним можно добавить произвольные первые интегралы уравнения (3.9). Гамильтониан пониженной системы в общем случае зависит от выбора решения Qn уравнения (3.9). Если же постоянная линейного интеграла Г равна нулю, то функция Г амильтона приведенной системы однозначно определена на кокасательном расслоении локального приведенного пространства положений, точки которого являются орбитами действия группы д. Иногда такое приведение при = О можно осуществить не только локально, но и в целом. [c.37]

Шестая глава посвящена важнейшему разделу механики — гамильтонову формализму. Основная цель этого раздела — представить математические аспекты гамильтоновой динамики как мощный аппарат решения широкого круга задач механики, физики и прикладной математики. В лагранжевом подходе проблема решения уравнений лежит вне рамок лагранжева формализма. Положение меняется в гамильтоновом подходе, который позволяет получить решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. Вся информация об эволюции системы содержится в одной функции — гамильтониане в результате канонического преобразования можно получить новый гамильтониан, который в определенном смысле мал . Более того, поскольку все операции ограничены рамками группы движения кососимметричной метрики, то удается создать универсальные алгоритмы построения приближенных решений. В рамках гамильтонова подхода изложены теория специальных функций, каноническая теория возмущений, метод усреднения нелинейных систем, методы анализа движения системы в быстропеременном внешнем поле и т.д. Особый интерес представляет лекция 30, в которой развит метод Дирака удвоения переменных, позволяющий представить в гамильтоновой форме систему нелинейных уравнений общего вида и получить решения уравнений, описывающих сингулярно-возмущенные системы, решения алгебраических и трансцендентных уравнений, разрешить проблему обращения интегралов и т.д. В лекции 32 приведено решение задачи о движении релятивистской частицы в гиперболическом волноводе, представляющей интерес для проблемы сепарации частиц по энергии и удельному заряду. В рамках канонического формализма рассмотрена задача о движении протонов в синхрофазотроне. [c.8]

Известно, что все коэффициенты реальной аберрации сильно зависят от увеличения, так как увеличение оказывает непосредственное влияние на положения объекта и изображения, которые появляются в начальных условиях и пределах интегралов аберраций. Эта зависимость является достаточно сложной и в общем случае для каждого значения увеличения интеграл аберрации следует вычислять отдельно. [c.313]

Положение и скорость тела определяются точкой шестимерного многообразия Т 80 (3) — касательного расслоения конфигурационного многообразия 80(3). Первые интегралы М , Му, М , Е суть четыре функции на многообразии Т 80(3) размерности 6. Можно проверить, что в общем случае (если тело не обладает особой симметрией) эти четыре функции независимы. Позтому четыре уравнения [c.120]

Рассмотренный частный случай был положен Гильбертом в основу выводов законов сохранения в теории тяготения. Следуя Гильберту, мы в следующей главе, при выводе законов сохранения для тензорных полей, будем исходить из инвариантных интегралов типа (5,93), а при выводе законов сохранения для спинорных полей — из инвариантных интегралов более общего типа (5,80). [c.129]

Дифференциальные уравнения для оскулирующих элементов, положенные в основу теории вековых возмущений Лагранжа (см. ч. IV, 8.03), которые получаются из общих уравнений для оскулирующих элементов в результате замены возмущающей функции ее вековой частью (см. ч. IV, 6.04) с точностью до величин второго порядка малости (относительно эксцентриситетов и наклонов), имеют первые интегралы [c.839]

Некоторые общие положения. В [9—11] был рассмотрен вопрос о существовании линейных интегралов относительно обобщенных импульсов. В данной статье уточняются и обобщаются результаты этих статей, исходя из теоремы Нётер [2, 3], где в качестве г-параметрической группы будем рассматривать группу Сг, порожденную инфинитезималь-ным преобразованием, символом которой является [c.92]

Таким образом, кроме интеграла энергии задача Якоби имеет еще п—1 первых интегралов. Ими являются номера софокус-ных квадрик, о которых идет речь в теореме Якоби — Шаля. Можно показать, что они находятся в инволюции и в общем положении независимы. Геометрическое доказательство первого факта можно найти в статье [4, гл. 3L а второй факт проверяется прямым вычислением с использованием эллиптических координат. Итак, гамильтонова система, описывающая движение точки по п-мерному эллипсоиду, имеет ровно п независимых инволютивных интегралов и поэтому вполне интегрируема согласно теореме Лиувилля. [c.105]

В предыдущем параграфе мы рассмотрели частный случай сверхзвукового стационарного двухмерного течения (простую волну), характерный тем, что в нем величина скорости является функцией только ее направления и = у(0). Это решение не могло бы быть получено из уравнения Чаплыгпна для него тождественно 1/Д = 0, и оно теряется, когда при преобразованни к плоскости годографа приходится умножать уравнение движения (уравнение непрерывности) на якобиан Д. Положение здесь аналогично тому, что мы имели в теории одномерного нестационарного движения. Все сказанное в 105 о взаимоотношении между простой волной и общим интегралом уравнения (105,2) полностью относится и ко взаимоотношению между стационарной простой волной и общим интегралом уравнения Чаплыгина, [c.610]

Уравнение (24) или эквивалентное ему (25) допускает энергетическое истолкование, данное в общем случае уравнению (22) в п. 29. Это истолкование, как и в случае одной материальной точки, можно выразить здесь в более специальной, особенно замечательной по своему внутреннему содержанию форме. Если количество — и, зависящее исключительно от конфигурации системы, рассматривается как форма энергии (потенциальной), которой обладает система в зависимости от своего положения, то уравнение (24) или эквивалентное ему уравнение (25) выражает, что при движении сумма Т — и кинетической и потенциальной энергии системы не изменяется. Следовательно, имеет место принцип сохранения энергии в наиболее узком смысле, поскольку материальная система рассматривается изолированной от всего остального мира и обладает только двумя основными формами механической энергии (кинетической и потенциальной энергией или энергией положения), которые в течение движения могут только преобразовыватьси одна в другую, причем исключается возможность возникновения новой или исчезновения наличной энергии. По этой причине соотношение (25) называется также интегралом энергии. [c.284]

Тогда эти центробарические компоненты будут теми же функциями времени и новых переменных элементов, которые могли быть выведены иначе посредством исключения из интегралов (Q2). Они будут строго представлять (путем распространения теории на эти ранее упоминавшиеся интегралы) компоненты скорости возмущенной планеты т относительно центра тяжести всей солнечной системы. Мы предпочли (и это вполне соответствует общему направлению нашего метода), чтобы эти центробарические компоненты скорости были вспомогательньши переменньши, объединяемыми с гелиоцентрическими координатами. Их возмущенные эначения были в этом случае строго выражены формулами невозмущенного движения. Этот выбор сделал необходимым видоизменить эти последние формулы и определить орбиту, существенно отличающуюся теоретически (хотя мало отличающуюся практически) от орбиты, так блестяще разработанной Лагранжем. Орбита, которую он себе представлял, была более просто связана с гелиоцентрическим движением единственной планеты, следовательно, она давала для такого гелиоцентрического движения как скорость, так и положение (планеты). Орбита, которую мы избрали, быть может, более тесно связана с концепцией множественной системы, движущейся относительно ее общего центра тяжести и подверженной в каждой ее части влиянию со стороны всех остальных. Какая бы орбита ни была в будущем принята астрономами, следует помнить, что обе они одинаково пригодны для описания небесных явлений, если числовые злементы каждой системы будут соответствующим образом определены при наблюдениях, а элементы другой системы орбит будут выведены из результатов наблюдения в процессе вычисления. Тем временем математики решат пожертвовать ли частично простотой той геометрической концепции, исходя из которой выведены теории Лагранжа и Пуассона для простоты другого рода (которая хотя еще не введена, но была бы желательна для этих превосходных теорий), получаемой благодаря нашим достижениям в строгом выражении дифференциалов всех наших собственных новых переменных элементов через посредство единственной функции (поскольку до сих пор казалось необходимым употреблять одну функцию для Земли, возмущенной Венерой, и другую функцию для Венеры, возмущенной Землей). [c.281]

Это — общее условие канонического преобразования, причем любая функция и Q может быть выбрана как производящая функция канонического преобразования. В добавление к этой функции могут быть заданы некоторые условия между и Qi (число условий может изменяться от 1 до п). Формулы канонического преобразования имеют ту особенность, что они не выражают это преобразование в явном виде. Вместо определения новых переменных только через старые, или наоборот, обычно применяется смешанное представление, в котором старые обобщенные импульсы выражаются через старые и новые координаты положения. Как известно, если ввести риманово мероопределение, то гамильтонова характеристическая функция в оптике и основная функция в динамике определяют расстояние в римано-вом пространстве, выраженное в функции координат конечных точек этого расстояния. Эта функция, которая тесно связана с вариационным интегралом, является производящей функцией некоторого частного канонического преобразования. [c.877]

В случае ограниченного моря С не обращается в нуль и имеет во всякий момент времени определенное значение, зависящее от положения возмущающего тела по отношению к Земле. Это значение может быть легко выведено из уравнений (10) и (11). Оно равно сумме сферических функций второго порядка от и а с постоянными коэфициентами в форме интегралов по поверхности, значения которых зависят от распределения суши и воды на земном шаре. Колебания значения С, зависящие от относительного движения возмущающего тела, вызывают общее повышение и падение свободной поверхности с четырнадцатисуточным (для случая Луны), суточным и полусуточным периодами. Это уточнение статической теории, приведенное в обычной форме, было исследовано впервые полностью Томсоном и [c.451]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Уиттекер, Черри и Биркгоф получили впоследствии (1916-1927 гг.) аналогичные результаты для гамильтоновых систем в окрестности положений равновесия и периодических траекторий. Они показали, что в общем случае существует каноническое преобразование, задаваемое формальными степенными рядами, после которого уравнение Г амильтона просто интегрируется. Г амильто-новы системы со сходящимся преобразованием Биркгофа иногда называются интегрируемыми по Биркгофу. В этом случае также существует полный набор независимых коммутирующих интегралов специального вида. [c.15]

При 71 = 2 и о О (ограниченная задача трех тел) подобное утверждение не доказано. Более того, известна гипотеза Шази об интегрируемости задачи трех тел при положительных значениях полной энергии [5]. Эта гипотеза связана с более общей концепцией в задаче рассеяния частиц с некомпактным пространством положений данные на бесконечности (скажем, импульсы частиц) являются кандидатами на роль первых интегралов. Однако реализация этой идеи сталкивается с рядом затруднений принципиального характера, связанных с областью определения и гладкостью интегралов рассеяния . Одна из таких трудностей — возможность захвата в задаче многих взаимодействующих частиц. [c.147]

Выходом из положения является приём разбиения рядов на совокупность рядов, медленно сходящихся, и на сравнительно хорошо сходящийся остаток. Дело заключается в том, что эти медленно сходящиеся ряды можно выделить так, чтобы они допускали представление в замкнутом виде. В общем случае это будет представление в форме определённого интеграла, аналогичного интегралу Пуассона, с помощью которого строится решение задачи Дирихле для сферы. Для некоторых же частных загружений суммирование этой медленно сходящейся части оказывается возможным в конечном виде. [c.352]

Влияние резонанса Ферми. Как упоминалось выше, в общем случае интенсивность обертонов и состав1 ых частот очень быстро падаед с ростом суммы I v ((за исключением случаев, когда эта интенсивность тождественно равна нулю вследствие симметрии). Однако положение существенно изменяется, если имеет место резонанс Ферми (см. гл. II, раздел 5в), например, когда при возбуждении двук квантов одного колебания, скажем V,., получается энергия, приблизительно равная энергии возбуждения одного кванта другого колебания Как мы видели ранее, если состояния 2 , - и имеют одинаковую симметрию, то происходит возмущение уровней энергии и одновременно изменение собственных функций..Если при отсутствии резонанса колебания 2у,. активны в инфракрасном или комбинационном спектре, то основная частота будет иметь, вообще говоря, значительно ббльшую интенсивность, чем обертон 2у,. Однако при учете взаимодействия (резонанса) интенсивности обеих полос будут не так сильно различаться, так как в данном случае в интегралах [c.288]

В общем случае интегралы j Qi и j SQn не равны друг другу, так как Q не является функцией состояния. Но если процесс перехода системы обратим, то, просуммироЕав теплоты, деленные на соответствующие температуры, для любого пути из состояния 1 в состояние 2 получим одну и ту же величину, а взяв интеграл по всему контуру, т. е. вернув систему в исходное положение, увидим, что этот интеграл равен нулю [c.169]

Однако вернемся к основному интегралу (28) теории дифракции. Когда точка ( , 1- ) пробегает область интегрирования, функции /(g, т]) изменяется на очень много длин волп поэтому вещественная и мнимая части подынтегрального выражения многократно изменяют знак. В общем случае вклады от различных элементов фактически уничтожают друг друга (деструктивная интерференция). По для элементарного участка, окружающего точку (назовем ее критинеской тошюй или полюсом), где /( , т ) постоянна, положение другое. Здесь подынтегральное выражение изменяется значительно медленнее, и можно ожидать, что его вклад станет заметным. Поэтому, если длина волны достаточно мала, величина интеграла, по существу, определяется поведением f вблизи точек, где f постоянно. Это является основой метода стационарной фазы, позволяющего определить асимптотическое поведение ннге1 рялов определенного класса (более подробно он разбирается в приложении 3). Ниже мы [c.355]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...