Примеры приближенных решений

Рассмотрим простейшие примеры приближенного решения краевых задач для деформируемого твердого тела методом конечных разностей. [c.477]

Примеры приближенных решений [c.410]

Таким образом, в рассматриваемом примере приближенное решение дает завышенную величину скорости максимального прогиба, причем погрешность его составляет 44%. [c.195]

Результаты теории многократного рассеяния для высших моментов поля пока еще довольно ограничены. Наибольший интерес при этом представляют четвертые моменты, так как через них определяются флуктуационные характеристики интенсивности в рассеивающей среде. Приведем здесь один из примеров приближенного решения задачи для четвертого момента поля (для второго момента интенсивности), полученного в [29] для схемы наблюдения флуктуаций интенсивности во фраунгоферовой зоне. [c.220]

Численные примеры. Приближенное решение функционального уравнения Гаусса. Простейшим, но достаточно типичным функциональным уравнением канонического типа является уравнение [c.364]

Численный пример. Приближенное решение первой основной задачи для изотропного упругого круга. Рассмотрим случай (в = 0. Пусть в точках у окружности 5 (у 5) заданы значения составляющих смещения (/(у)) [c.383]

Рассмотрим более сложный пример приближенного решения задачи о течении в плоском канале с прямолинейными стенками, показанном на рис. 1.2. [c.24]

Способ Бубнова — Галеркина. Способ, разработанный Н. Г. Бубновым и Б. Г. Галеркиным, получил широкое распространение для приближенного решения различных задач статики н динамики упругих тел. Для большей наглядности рассмотрим применение этого способа на примере решения задачи о поперечных колебаниях стержня переменного сечения, описываемых дифференциальным уравнением [c.586]

При получении приближенного решения использовалось выражение (4.183) с известными функциями Vi(s). Естественно возникает вопрос, как эти функции получить. Очень эффективными для получения приближенных решений являются степенные функции, удовлетворяющие краевым условиям и условиям ортогональности. Изложим метод получения таких функций на примере стержня, показанного на рис. 4.11,а. Чтобы получить отличное от нуля выражение для безразмерного прогиба v, надо взять число слагаемых степенного ряда на единицу больше числа граничных условий [c.171]

Возвратимся к рассмотренному примеру разностного решения уравнения (7.7). Обозначим разность между точным и приближенным решениями задачи через б Хп) и назовем ее погрешностью. Для разностного уравнения (7.8) погрешность представится в виде [c.231]

Дивергентные схемы. При сквозном расчете разрывных решений уравнений газовой динамики с помощью искусственной вязкости или метода сглаживания сеточная аппроксимация, вообще говоря, может быть произвольной (но, конечно, устойчивой), так как в результате действия вязкости или сглаживания разрывное решение становится непрерывным и гладким (с формально математической точки зрения). Однако сглаженное решение обладает узкими переходными зонами, где велики производные и где погрешности аппроксимации при умеренна густой сетке могут быть значительными. Величина погрешности приближенного решения, обусловленная такими погрешностями, локализованными в узких переходных зонах, зависит от свойств используемой сеточной схемы. Наиболее выгодными оказываются дивергентные схемы. Опишем этот важный класс схем на примере модельного уравнения (6.5). Напомним, что при переходе от дифференциального уравнения (6.5) к интегральному соотношению (6.6) было использовано то обстоятельство, что левая часть уравнения (6.5), представляет собой дивергенцию некоторого векторного поля. Поэтому интеграл по двумерной области превратился в интеграл по одномерному контуру, ограничивающему область. Сеточные схемы, обладающие аналогичным свойством, называют дивергентными или консервативными. Суммируя дивергентные сеточные уравнения по двумерной сеточной области, получаем сеточную аппроксимацию контурного интеграла. [c.157]

Результаты многочисленных точных и приближенных решений убеждают в том, что фактический способ приложения силы и момента к концу стержня сказывается лишь в непосредственной близости к этому концу. В данном случае это означает, что если нас интересуют прогибы и удлинение балки в целом, нам нет необходимости детально анализировать реальную ситуацию, изображенную на рис. 1.5.3, а, при расчетах достаточно исходить из упрощенной схемы, представленной на рис. 1.5.3, б, которая носит совершенно условный характер, поскольку ни сосредоточенных сил, ни сосредоточенных моментов не существует. Область, в которой сказывается фактический способ приложения нагрузки, заштрихована на рисунке, границы этой области тоже условны вне ее состояния, соответствующие статически эквивалентным нагрузкам, отличаются достаточно мало. Что значат слова достаточно мало , мы пока не уточняем. Высказанное правило носит название принципа Сен-Венана, довольно расплывчатая формулировка связана с тем, что этот принцип не доказывается для общего случая, а иллюстрируется многочисленными примерами. [c.27]

В работе [10] приведены результаты расчетов по изложенной выше схеме, а также выполнено исследование сходимости приближенных решений на примерах систем линейных уравнений с десятью и двадцатью неизвестными. Результаты исследования позволяют сделать заключение о хорошей сходимости приближенных решений уравнения (III.5.7), за исключением некоторой узкой области параметров [. [c.154]

Сравнение приближенного решения с точным показало хорошее соответствие. Подход, близкий к этому, был применен для приближенного решения задачи сильного взрыва в неоднородной атмосфере. На этом примере видно, что для описания явлений, происходящих при реальном взрыве заряда конденсированного ВВ с учетом нестационарных процессов, можно с успехом применять приближенные методы, допущения в которых основаны на реальных физических процессах. [c.126]

Пример. Нелинейное уравнение, приближенное решение ко-торого разыскивается, имеет вид [c.193]

Рассмотренный пример является упрощенным вариантом задачи расчета деформаций автомобильной шины под действием веса машины, если предположить (а для резины это предположение достаточно точно), что поведение материала является линейно упругим. Для численных значений физических параметров, соответствующих состоянию шины при нормальном эксплуатационном давлении, было найдено, что даже в том случае, когда отношение толщины стенки шины к радиусу не мало, точное решение не слишком отличается от приближенного решения, получаемого из рассмотрения шипы как мембраны. При низких давлениях, соответствующих ненакачанной шине, протектор сжимается и работает как балка при чистом сдвиге, подобно тому как это происходит с (искривленной) консолью, рассмотренной в разд. Ill, 3. Слои концентрации напряжений возникают на внутренней и внешней границах шины, откуда следует, что наибольшую нагрузку испытывают самый внутренний и самый внешний слои протектора. [c.328]

Эта книга является инженерным учебником, и общая теория изложена в ней довольно элементарно. Однако колебания систем с двумя и тремя степенями свободы изложены подробно, и многие из рассмотренных примеров полностью решены. Эти сравнительно простые системы дают ясное представление о таких понятиях, как главные колебания, резонанс и т. д., что часто остается менее ясным при абстрактном изложении. В книге рассмотрены также некоторые специальные вопросы, такие, как приближенное решение векового уравнения, или теория малых колебаний системы вблизи установившегося режима движения. [c.376]

Так как эта формула выведена в предположении, что ди-ференциальное уравнение имеет вид (3), то нужно помнить, что для применимости простого гармонического решения в каждом отдельном случае начальные условия должны быть совместимы с принятым приближением. Таким образом, если начальное перемещение будет Xq, а начальная скорость и , то, как в 5, примере 3, в качестве приближенного решения мы будем иметь [c.31]

В предыдущих главах решено несколько частных задач устойчивости прямых стержней. В этом параграфе дан вывод обш,его линеаризованного уравнения для произвольно нагруженного упругого прямого стержня переменного поперечного сечения, сформулированы граничные условия и приведены примеры точного и приближенного решения этого уравнения. [c.78]

В качестве примера рассмотрим решение задачи устойчивости шарнирно-опертой прямоугольной пластины, сжатой сосредоточенными силами (рис. 5,5, а). Приближенное решение задачи получим с помощью энергетического критерия устойчивости, выраженного через статически возможные начальные усилия (см. 26). Изменение полной потенциальной энергии пластины равно [c.209]

В качестве примера рассмотрим чистое кручение тонкой упругой полосы, ширина которой 2Н во много раз превышает ее толщину 2h. Такое соотношение размеров поперечного сечения позволяет получить простое приближенное решение задачи Сен-Ве-нана, рассматривая поперечное сечение полосы как часть бесконечной области 1Z1 h. Ввиду малой толщины полосы и в силу условия (5.52) в этом случае можно считать, что касательные напряжения равны нулю не только при z = h, но и при всех значениях z. Отсюда, используя выражения (5.50), получаем y,z) — —yz- - . Постоянная С равна нулю ввиду выполнения равенства (5.54). Таким образом, функция кручения тонкой полосы, равная депланации единицы ос длины при закручивании на единицу угла, приближенно выражается формулой [c.157]

В качестве примера приближенного приема преобразования случайных чисел рассмотрим получение последовательности случайных чисел, распределенных по нормальному закону. В этом случае приближенным решением уравнения (1.50) относительно можно полагать выражение [c.38]

Такой же результат получим, решив данную задачу методом догрузки [37]. Как показано в цитируемой работе, данное решение отвечает статически допустимым распределениям напряжений на всех этапах нагружения и поэтому является полным. Сопоставление с результатами приближенного решения, данного в 11, обнаружило бы качественно такое же отличие, какое было проиллюстрировано на примере сферы (см. рис. 49). Нужно, однако, учитывать, что рассматриваемые решения для трубы получены на основе различных условий текучести (приближенное— Мизеса, точное — Треска) для сферы это не имело значения вследствие совпадения обоих условий при наличии центральной симметрии. [c.135]

Одно из важнейших применений доказательств существования решения состоит в том, что с их помощью можно найти численные методы решения краевых задач [67], так как по существу в них содержится указание на алгоритм построения решения. Однако этот алгоритм в общем случае содержит бесконечное множество операций и практически.трудно реализуем. Путем замены исходной задачи другой, содержащей уже конечное число операций, в принципе можно получить приближенное решение, точность которого повышается с увеличением числа операций. Примеры такого подхода можно найти в [67]. [c.38]

Проиллюстрируем эффективность приближенного решения на примере. Пусть неоднородность описывается выражением (22.8) и / г = 0. Тогда в первом приближении [c.117]

Сопоставление приведенного упрощенного решения, полученного для несжимаемого материала, с точным, выполненным с учетом сжимаемости материала по теории течения, показывает, что приближенное решение имеет достаточную для практических расчетов степень точности. Такое сопоставление выполнено на примере толстостенной трубы при гз/г, = 2 и r /ri = = 1,5, для материала которой ц = 0,3, =0,003. В этом случае для [c.212]

Для иллюстрации различия между этими методами рассмотрим следующий пример приближенного решения. Определяя критическую силу шарнирно-опертого стержня по методу Рэлея—Ритца, в первом приближении можно взять аппроксимирующую функцию в виде квадратичной параболы, удовлетворяющей геометрическим граничным условиям задачи [c.76]

Численный пример. Приближенное решение задачи Дирихле для эллипса. Рассмотрим решение задачи Дирихле для эллипса, которая достаточно типична для иллюстрации обсуждаемого метода. [c.369]

Начальные условия. Так как в теоретических примерах начальными условиями являются X = 0, Р = Т = Тр = 1,0, и Ыр о, то площадь сечения стремится к бесконечности. Эти условия можно также использовать и в приложениях теории к реальным случаям. Очевидно, численное решение нельзя начинать с а = 0. Поэтому необходимо использовать приближеЕШое решение до тех пор, пока все параметры не достигнут величин, соответствующих возможностям машинного счета. Для этой цели вполне применимо решение для постоянного ускорения газовой фазы. Оно используется в качестве приближенного решения от а = о до х = 0,03. [c.316]

Пример. Нелинейные эффекты. Теперь мы рассмотрим маятник, который колеблется с амплитудой настолько большой, что мы не можем пренебрегать членом, содержащим 0 в разложении в ряд sin 0, как мы это делали выше в (22). Какое влияние на движение маятника оказывает член, содержащий 03 Это элементарный пример ангармонического осциллятора. Ангармонические, или нелинейные, задачи обычно с трудом поддаются точному решению (за исключением тех случаев, когда используются электронновычислительные машины), однако во многих случаях приближенные решения дают нам достаточно ясное представление о рассматриваемом явлении. Разложение sin 0 в ряд с сохранением членов, содержащих 0 , обычно называемое разложением до порядка 0 , имеет вид [c.211]

Дополнение. Несмотря на то что построенные в примерах 4.6 —4.7 конечные элементы не позволяют обеспечить непрерывность первых производных приближенных решений (в английской и американской литературе используется термин поп onforming — несовместные элементы), они широко применяются дл5г решения конкретных задач об изгибе тонких пластин, ибо, как было выяснено в численных экспериментах, данные элементы дают хорошие результаты. Теоретическое объяснение этого обстоятельства выходит за рамки настояш,его пособия (см., например, работы Си-арле [40], [43]). [c.179]

В качестве примера рассмотрим колебания шарнирно закрепленного прямолинейного участка трубопровода (см. рис. 9.1) при ао=0, ограничившись двучленным приближением. Функции ф( >(е), входящие в приближенное решение, при шарнирном закреплении равны ф( > = 5шяе. ф(2)=5ш 2ле. [c.274]

Элементы матриц А < ) Д(2) ц компоненты вектора ДФ есть периодические функции времени. Они зависят от Ш и Р (9.32), которые считаются периодическими функциями. Например, Ш и Р периодические гармонические функции Ш1 = щю81па)т, Р1 = Рю(е) соз (йт. Приближенное решение уравнения (9.63) ищем в виде (ограничившись в качестве примера одночленным приближением) 2=2с" (е)/< )(х). Воспользовавшись принципом возможных перемещений (полагая б2о< )=6б1Ео2сО)), после преобразований из (9.63) получим [c.275]

Вариационные принципы чаще всего используются для получения приближенного решения задач вязкоупругости. В частности, из вариационного принципа Лагранжа следует метод Ритца. Суть его поясним на примере тела с однородными кинематическими (геометрическими) граничными условиями. [c.358]

Для тел более общей формы описанная здесь в общих чертах процедура решения приводит к зависимостям между разностью перемещений и на двух концах каждой нормальной линии и разностью перемещений v на двух концах каждого волокна. В рассмотренном выше простом примере необходимо было найти значения двух разностей, и это можно было сделать с помощью простых алгебраических действий. Некоторые нетривиальные задачи, в которых разности перемещений нельзя -определить чисто алгебраическим путем, решены Ингландом [7]. Существование решений для тел достаточно произвольной формы было доказано в работе Пипкина и Санчеса [25] при помощи метода, который одновременно может быть использован для построения приближенных решений. Это частично подтверждает высказанное выше предположение о том, что краевые условия корректно поставленной задачи теории упругости приводят также к корректно поставленным задачам теории идеальных композитов. [c.297]

Выше мы показали возможность вывода основных уравнени й теории пластин исходя из вариационного принципа Лагранжа. Однако главное значение вариационных принципов в расчете пластин состоит в том, что с их помощью можно получить приближенные решения сложных задач, не прибегая к составлению и решению дифференциальных уравнений в частных производных. Некоторые примеры расчетов с использованием прямых методов вариационного исчисления рассмотрены в 8. Точное аналитическое решение общих уравнений изгиба пластины может быть выполнено лишь в частных случаях — для прямоугольных и круглых пластин постоянной толщины, а также для пластин, [c.67]

Весьма перспективным для изучения трибологаческих процессов является разработка и изучение математических моделей процесса трения, износа и смазки твердых тел (деталей, механизмов и машин) с помощью электронно-вычислительных машин. Для формулировки математических моделей могут быть использованы уравнения, характеризующие процесс течения смазки, контактную и общую деформацию трущихся тел и всего узла трения, тепловые процессы - образование и распространение теплоты, а также явления, связанные с физическими, химическими и механическими фактороми, определяющие в главном процесс поверхностного разрушения деталей при трении. Известно, что широко распространенные методы классической математики часто используют принцип суперпозиции и пригодны в основном для решения линейных задач. Характерная особенность теоретических задач в области трибологии деталей машин заключается в их существенной нелинейности. В качестве примера можно сослаться на систему уравнений, указанных в данной главе. Совместное решение системы нелинейных уравнений представляет значительную математическую трудность, а если учесть также возможность возникновения качественных (и количественных) скачков исследуемых характеристик, например при возникновении процесса заедания при малых и средних скоростях, характеризующихся резким увеличением коэффициента трения скольжения и скорости изнашивания тел, то становятся ясными сложность и необходимость детального исследования адекватных математических моделей с помощью численных методов. В результате получается приближенное решение сложной научно-технической задачи с необходимой точностью. [c.169]

В механизмах с одними вращательными или с вращательными и поступательными парами для получения сложного относительного движения двух каких-либо звеньев приходится вводить между ними промежуточные звенья. При помощи рассматриваемых механизмов точно воспроизвести заданное относительное движение двух звеньев в общем случае невозможно, и приходится удовлетворяться приближенным решением задзчи. Обычно на относительное движение интересующих нас звеньев налагается лишь некоторое конечное число условий. Примером последних может служить требование, чтобы в своем движении звенья проходили через несколько заданных относительных положений. Чем точнее требуется воспроизвести заданное движение звеньев или чем большее число условий приходится налагать на их движение, тем большее число звеньев и пар должен иметь механизм, тем более сложным он получается. Поэтому достаточно точное решение сложных кинематических задач при помощи механизмов второго типа может привести к механизмам с большим числом звеньев. [c.465]

В качестве примера, дающего возможность оценить решение, был выбран вариант, приведенный в [2], где приближенное решение построено методом коллокаций с удержанием 30 членов в решении для компоненты trz- Исходные данные для расчета р = = 0,25 1 = 2,0-, 60 = 3,9X10-3 Е = 70 кг/см [х = = 0,5 a=, WQ- 1/град = 0,3 Е = 2,1Х = 10в кг/сл2 а = 1,06X10- 1/град 0 = 02 — 01 = = —44° С 01 и 02 — начальное и конечное значение температуры. Сравнение результатов расчета (сплошные линии) с данными ра ты [2] (пунктирные линии) показано на рисунке. В решении (4) было взято п = 2. [c.17]

Решение проведем также на примере трансмиссии ходовой части рудничного электровоза 10КРМ, для которой авторы располагают достаточным количеством экспериментального материала [4, 5]. Будем полагать, что условия трения на крайнихMa aiX одинаковы, то есть коэффициенты уравнения (1) для крайних масс равны hi = Ьз Ii = I3. Определение коэффициентов уравнения (1), hi и Ьг по экспериментальным данным описано в [1]. Поскольку колебания одноузловые, почти синусоидальные i[3,4], то влияние гармоник невелико и в качестве приближенного решения системы дифференциальных уравнений можно взять [1] [c.69]

ТОЧНО воспроизвести заданное относительное движение двух звеньев в общем случае невозможно, и приходится удовлетворяться приближенным решением задачи. Обычно на относительное движение интересующих нас звеньев накладывается лишь некоторое конечное число условий. Примером последе1их мо>кет служить требование, чтобы в своем движении звенья проходили через несколько заданных относительных положений. Чем точнее требуется воспроизвести заданное движ иие звеньев или чем большее число условий приходится налагать на их движение, тем большее число звеньев и пар должен иметь механизм, тем более сложным он получается. Поэтому достаточно точное решение сложных кинематических задач при помощи механизмов второго типа может привести к механизмам с довольно большим числом звеньев. [c.448]

В инженерно-физических приложениях для решения обратных задач часто используется метод подбора [3]. Проиллюстрируем его на примере задачи измерения. Метод подбора для обратной задачи такого типа состоит в том, что вычисляется левая часть уравнения (1.1) для некоторого подмножества (набора) На эле-метов Q H2. Другими слорами, многократно решается прямая задача, и в качестве искомого приближенного решения обратной задачи подбирается такая функция Q из Н2, для которой функционал невязки [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...