Приближенный способ решения. Пример

ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ, пример 343 [c.343]

Приближенный способ решения. Пример [c.343]

ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ. ПРИМЕР [c.345]

Из практики проектирования можно легко указать примеры, когда неоднородность 1 з(г) имеет более сложный вид, чем (22.8) или (23.7), и точное решение уравнения (23.5) оказывается невозможным. В этих случаях необходимо перейти к использованию тех или иных приближенных способов решения задачи. [c.114]

В заключение приведем пример исследования устойчивости сложной системы. В этом примере наглядно выявляется простота и степень точности предложенных в настоящей работе приближенных способов решения задач устойчивости. [c.292]

Применение приближенного способа решения задач, относящихся к устойчивости арки, имеется уже в названной работе Г. Генки. В случае кривого бруса ход вычислений остается таким же, какой мы показали на примере прямого бруса, с тем лишь отличием, что вычисления, необходимые для получения приближенного значения ,Р критической силы, становятся значительно длиннее, f Особо мы должны указать на рассмотренный в указан- [c.358]

Способ Бубнова — Галеркина. Способ, разработанный Н. Г. Бубновым и Б. Г. Галеркиным, получил широкое распространение для приближенного решения различных задач статики н динамики упругих тел. Для большей наглядности рассмотрим применение этого способа на примере решения задачи о поперечных колебаниях стержня переменного сечения, описываемых дифференциальным уравнением [c.586]

Что касается точности результатов, получаемых приближенным способом, то она будет зависеть от числа интервалов, на которые мы подразделим время удара, и от точности, с которой будут выполнены промежуточные вычисления. Для первого из приведенных нами примеров повторные вычисления с меньшим числом интервалов (т= = (1/12)-10 се/с) дали для давлений Я отклонения, не превосходящие 1%. Вообще в тех случаях, когда не приходится иметь дело с повторными ударами, сравнительно небольшое число интервалов дает достаточную для практики точность и вычисление наибольшего прогиба не представляет никаких затруднений. При повторных ударах приходится рассматривать большое число интервалов, сильно возрастает количество вычислений и точность результатов понижается. Некоторые указания на необходимое число интервалов можно получить, применяя приближенный способ вычислений к рассмотрению явления удара шара и плоскости. Случай этот допускает точное решение и позволяет оценить погрешности приближенного способа. [c.232]

Решение уравнений (10.1) — (10.2) составляет задачу исключительной сложности, и общих рецептов здесь в настоящее время дать нельзя. В этом параграфе мы изложим простейший приближенный способ вычисления функций Грина [16], [17], основанный на разложении массового и поляризационного операторов в ряды по степеням константы связи с последующим улучшением сходимости с помощью группы перенормировки. (Предполагается, что с помощью введения той или иной системы единиц константа связи g сделана безразмерной.) Подчеркнем сразу же, что этот прием — даже при достаточно малой константе связи — имеет лишь ограниченную область применимости, ибо исключает из рассмотрения зависимости, не аналитические по g при >0 (важнейший пример задач последнего типа составляет теория [c.94]

Итерационный способ (метод последовательных приближений), представляющий собой разновидность численного метода, является универсальным методом решения алгебраических и трансцендентных уравнений, а также их систем. Разумеется, не всегда этот способ является единственным и наиболее рациональным, однако на его примере удобно иллюстрировать общие принципы построения любого численного метода. [c.56]

Результаты многочисленных точных и приближенных решений убеждают в том, что фактический способ приложения силы и момента к концу стержня сказывается лишь в непосредственной близости к этому концу. В данном случае это означает, что если нас интересуют прогибы и удлинение балки в целом, нам нет необходимости детально анализировать реальную ситуацию, изображенную на рис. 1.5.3, а, при расчетах достаточно исходить из упрощенной схемы, представленной на рис. 1.5.3, б, которая носит совершенно условный характер, поскольку ни сосредоточенных сил, ни сосредоточенных моментов не существует. Область, в которой сказывается фактический способ приложения нагрузки, заштрихована на рисунке, границы этой области тоже условны вне ее состояния, соответствующие статически эквивалентным нагрузкам, отличаются достаточно мало. Что значат слова достаточно мало , мы пока не уточняем. Высказанное правило носит название принципа Сен-Венана, довольно расплывчатая формулировка связана с тем, что этот принцип не доказывается для общего случая, а иллюстрируется многочисленными примерами. [c.27]

Так же, как и во всех предыдущих случаях, наименьший параметр будем определять способом попыток. Попыток, очевидно, будет тем меньше, чем более близким к истинному окажется число, принятое для первой попытки обращения уравнения устойчивости в тождество. Весьма важно поэтому располагать достаточно точным приемом приближенного определения и несложным способом последующего уточнения наименьшего параметра критической системы сил. Изложим предлагаемое решение вопроса на конкретном примере. [c.264]

Заметим, что при взятом нами числе знаков в выражениях для прогибов перекрестных балок третий знак в числах, полученных для моментов, является сомнительным. Конечно, можно было бы получить и более точные выражения для моментов, но такой расчет не имел бы практического значения, так как все решение задачи является по существу лишь приближенным. Мы, например, совершенно не принимали во внимание закона распределения давлений, получаемых балками главного направления от пластины плоского перекрытия, и приняли эти давления равномерно распределенными по плоскости покрытия. На самом деле этого нет, и получаемые вследствие этого погрешности будут в рассмотренном численном примере, вероятно, не меньше тех погрешностей, которые являются следствием неточного определения прогибов перекрестных балок. Выясненный на численном примере способ расчета перекрестных балок легко может быть распространен на тот случай, когда нагрузка неравномерная, а, например, меняется вдоль оси у по линейному закону. Если по концам перекрестных балок приложены моменты, то можно пользоваться тем же приемом расчета нужно только к работе нагрузки присоединить работу опорных пар. [c.388]

В рамках метода эволюции по константе связи, использовавшегося ранее для описания лишь упругих процессов, предлагается новый способ рассмотрения неупругих многоканальных процессов обш его типа. Дифференциальные по константе связи уравнения для амплитуд упругих каналов дополняются простыми алгебраическими уравнениями для неупругих переходов, что в совокупности дает полное и однозначное решение задачи с соблюдением условия унитарности на каждом этапе последовательных приближений. Метод иллюстрируется на примере задачи о рассеянии частицы на связанном комплексе, имеюш ем несколько уровней возбуждения. [c.310]

Гранично-контактные задачи статики. Способы приближенного решения, описанные в предыдуш,их параграфах, распространяются для гра-нично-контактных задач в неоднородных средах. Рассмотрим несколько типичных примеров (см. гл. I, 14, п. 4). [c.521]

Для иллюстрации практической эффективности описанных способов приближенного решения рассмотрим несколько численных примеров. Найдем гармоническую в области D, ограниченной эллипсом [c.532]

Возвращаясь к вопросу вычисления корней характеристического уравнения с необходимой степенью приближения, мы уже видели, что для этой цели могут быть использованы различные приемы. Рассмотренный выше пример был решен одним из способов, хотя, конечно, можно было применить и любой другой способ. Но во всех случаях на определенном этапе вычислений мы обязательно столкнемся с необходимостью определения двух десятичных дробей XI и Х2 с одинаковым числом десятичных знаков т, отличающихся только на одну единицу последнего разряда и при которых / ( 1) и (ха) имеют различные знаки. Тогда истинное значение корня х лежит между х, и Ха, и погрешность в определении х при этом не превосходит Ю ". [c.96]

Из содержания этой части и примера,, рассмотренного выше, следует, что прямая задача, т. е. нахождение переходного процесса в виде кривой у (О по заданным свойствам системы объект-регулятор при заданном характере возмущения на входе,-имеет определенное решение, и способы получения (с приемлемым для практики приближением) ординат искомой кривой У (/) вполне достаточны. [c.150]

Найдены два приближения решения этого уравнения в виде бесконечных рядов по полиномам Чебышева и указан способ нахождения следующих приближений. На конкретном числовом примере проиллюстрирована степень влияния инерционных сил и вязкоупругих эффектов. [c.406]

Генрих Генки (Heinri h Непску) в своей диссертации (Дармштадт 1920 дал приближенный способ решения задач, относящихся к устойчивости упругого равновесия этот способ мы покажем здесь на одном примере, чтобы ознакомить читателя как с самим способом, так и с теми возможностями, которые он может дать. Прогресс, получаемый при применении этого способа, заключается в том, что представляется возможность перейти от прямого стержня, для которого мы здесь дадим пример, к любому кривому брусу, для которого найти решение задачи об устойчивости упругого равновесия другим путем еще не удалось. Впрочем, для непосредственного определения критической нагрузки способ, рассматриваемый здесь, уже был применен Г. Г. Роде (Н. Н. Rode) [c.354]

Полный расчет пограничного слоя для заданного тела путем решения дифференциальных уравнений требует во многих случаях столь обширной вычи лIiтeльнoй работы, что может быть выполнен только на электронных вычислительных машинах. Это особенно ясно будет видно из примеров которые будут рассмотрены в главе IX (см., в частности, 11). Поэтому в тех случаях, когда точное решение уравнений пограничного слоя невозможно при умеренной затрате времени, возникает необходимость применения приближенных способов, и притом иногда даже таких, которые оставляют желать лучшего в смысле точности. Для получения приближенных способов необходимо отказаться от требования, чтобы дифференциальные уравнения пограничного слоя удовлетворялись для каждой частицы жидкости, и ограничиться, во-первых, выполнением граничных условий и контурных связей на стенке и при переходе к внешнему течению и, во-вторых, выполнением только суммарного соотношения, получаемого из дифференциальных уравнений пограничного слоя как некоторое среднее по толщине слоя. Такое среднее дает уравнение импульсов, получающееся из уравнения движения посредством интегрирования по толщине пограничного слоя. В дальнейшем, излагая приближенные способы решения уравнений пограничного слоя, мы неоднократно будем пользоваться уравнением импульсов, которое часто называется также интегральным соотношением Кармана [ ]. [c.152]

Приведенные численные примеры подтверждают высказанные здесь соображения о возможности определения наименьшего параметра критической системы сил одноярусных стержневых систем с неподвижными узлами предлагаемым приближенным способом. По данному способу критическая сила определяется отдельно для каждой стойки с примыкающими к ней ригелями. Наименьшая из всех определенных таким образол критических сил может быть принята за наименьший параметр критической системы сил. Точность такого решения вполне достаточна для целей практики. [c.237]

В разд. 1.2 описаны исходные допущения модели и дана постановка задачи. Б разд. 1.3 дан вывод основных уравнений, исходя из принципа возможных перемещений Лагранжа, а также сформулированы граничные условия задачи. Указан способ преобразования исходной системы уравнений к разрешающей системе, основанный на введении функций напряжений с помощью соотношения (1.21). Такой анализ несколько отличается, судя по литературе, от наиболее распространенных подходов и, в частности, от подхода, изложенного в статье [8]. В разд. 1.4 решается задача для пластины с двумя ребрами и различными граничными условиями. Даны численные расчеты. В разд. 1.5 содержится решение системы разрешающих уравнений для случая, когда число ребер произвольное. Использован известный способ решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, приспособленный к специфике данной системы. В разд. 1.6 рассмотрены частные случаи пластин с пятью и шестью ребрами. Приведены подробные численные расчеты и дан анализ влияния параметров пластины и ребер иа характер напряжений. В разд. 1.7 рассмотрена задача оптимального подкрепления пласти-пы произвольным числом ребер переменного сечения. Закон изменения сечения ребер по их длине определяется из условия, что напряжения в ребрах не меняются по длине каждого ребра. В разд. 1.8 и 1.9 описан метод конечных разностей Лля приближенного расчета напряжений в пластине с ребрами, сечение которых лроизвольно изменяется по длине. Точность метода иллюстрируется а примере. В последнем разделе излагается способ приближенного учета поперечной сжимаемости пластины между ребрами, который улучшает картину напряжений в окрестности угловых точек пластины. [c.7]

В ряде работ Д. И. Шермана (см., например, 1947, 1951) был разработан эффективный способ решения плоской задачи для определенного класса (конечных и бесконечных) двухсвязных областей, ограниченных двумя замкнутыми кривыми. Основной чертой метода, определяющей класс допустимых областей, служит требование, чтобы плоская задача для односвязной области (внешней либо внутренней по отношению к одному из ограничивающих область замкнутых контуров) допускала решение в замкнутом виде. Таким образом, границей области могут служить окружности, эллипсы, правильные многоугольники с округлёнными вершинами и т. п. Пример бесконечной области — плоскость с двумя отверстиями требуемого вида. В рассмотрение можно включить и полуплоскость с двумя отверстиями (трехсвязная область), если считать отверстия расположенными далеко от прямолинейной ее границы, а на этой последней требовать удовлетворения граничным условиям лишь приближенно. Задачи этого типа особо важны для приложений в горном деле. При изложении сущности метода будем для определенности считать область 8 конечной, ограниченной кривыми (внутренней) и (внешней). [c.51]

Рассмотренные в предыдутцих параграфах примеры показывают, что аналитический расчет пограничного слоя в большей части случаев очень трудоемок и обычно вообще не может быть выполнен с практически допустимой затратой времени. В связи с этим в тех случаях, когда аналитический расчет не ведет к цели, возникает настоятельная необходимость найти другие способы расчета. Для этой цели пригодны, во-первых, приближенные способы, использующие вместо дифференциальных уравнений интегральные соотношения, получаемые из теоремы импульсов и теоремы энергии. Однако такие способы (они будут подробно рассмот )ены в главах X и XI), хотя и ведут обычно очень быстро к цели, ограничены в своей ТОЧНОСТИ. Другим способом, заменяющим аналитический расчет, является так называемый метод продолжения. Он заключается в следующем профиль скоростей и xQ, у), заданный в сечении XQ, аналитическим или численным путем продолжается на последующие сечения, расположенные ВНИЗ ПО течению. Приемы аналитического или численного продолжения ИСХОДНОГО профиля основаны, как и все ранее рассмотренные решения на дифференциальных уравнениях пограничного слоя, и поэтому в отношении своей ТОЧНОСТИ они равноценны аналитическим решениям. [c.184]

Следует отметить, что в связи с аналогией между принципом наименьшего действия Гаусса и методом наименьших квадратов теории ошибок вариационный принцип может быть успешно применен для разработки приближенных методов решения задач механики сплошной среды, в частности, термоупругости. Как видно из рассмотренного выше примера, принцип наименьшего принуждения может быть применен для приближенного решения связанных задач термоупругости при конечной скорости распространения тепла. Особенно перспективным представляется применение доказанной в гл. 3 теоремы о принуждении системы-модели [50] для оценки, например, различных способов приведения трехмерных задач термоупруТости к двумерным задачам теории оболочек и пластин при учете всевозможных усложняющих факторов, в частности, конечной ско рости распространения тепла [c.145]

Основным способом оптимизации является изменение толщины пористой стенки и ее проницаемости - вбпизи лобовой точки толщина минимальна, а проницаемость - максимальна. Выбор оптимальных распределений толщины и проницаемости стенки обычно осуществляется методом последовательных приближений на основе решения всей замкнутой системы уравнений тепломассопереноса. На рис. 3.24 показан пример двухмерного распределения давления, массового расхода охладителя и температуры матрицы в такой стенке [ 29, 30]. Охладитель (вода) полностью испаряется на внешней поверхности, а ее температура равна температуре насыщения охладителя и изменяется в соответствии с заданным законом распределения внешнего давления. Наружная поверхность имеет форму полусферы, сопряженной с конусом, внутренняя — полусферы, сопряженной с цилиндром. Проницаемость матрицы уменьшается в направлении от лобовой точки по экспоненте. Для таких условий расход охладителя вблизи лобовой точки остается почти постоянным, ниже изобары 035 он монотонно падает. Увеличением толщины стенки с одновременным уменьшением ее проницаемости удается скомпенсировать резкое падение давления вдоль внешней поверхности. Оптимальное сочетание толщины и проницаемости стенки достигается только для фиксированных внешних условий. [c.76]

Представленный,пример показывает лишь один из возможных способов применения алгоритмов вероятностного анализа. Крюме того, они находят применение и для решения других задач. Так, выявление параметров, наиболее влияющих на разброс рабочих показателей ЭМУ, позволяет наметить направления основных усилий по формированию заданного урювня качества объектов, рационализации технологических процессов, обеспечению необходимых условий эксплуатации. Это может быть выполнено на основе стохастической модели при поочередном изменении каждого параметра в отдельности или приближенно с помощью коэффициентов влияния. [c.263]

Приближенное решение задачи кручения. Далее рассмотрены два примера применения способа Галеркииа к решению задач кручения стержней прямоугольного и трапецеидального сечений. [c.416]

Как было показано ранее, задачу теории упругости для малых перемещений можно сформулировать вариационными методами, предположив существование трех функций Л, Ф, Y. Точные дифференциальные уравнения и граничные условия тогда получаются из условий стационарности общей потенциальной энергии или родственных функционалов. Однако одно из основных преимуществ вариационного исчисления — это его применимость для получения приближенных решений. Так называемый метод Релея — Ритца — один из лучших способов получения приближенных решений путем использования вариационното метода [2, 3, 12—17]. Проиллюстрируем метод Релея—Ритца двумя примерами. [c.61]

Пример 1шименения метода асимптотического интегрирования приводится в статье С. П. Тимошенко см. Бюллетень Об-ва инженеров-техноло-гов, СПб., 1913. В вышеуказанных работах Блюменталя указываются способы дальнейшего уточнения приближенного решения. [c.603]

Всем требованиям статики, которые предъявляются как к точному, так и приближенному решению, мы удовлетворим, выбрав произвольную функцию напряжений F, которая, во-первых, во всех точках, расположенных на контуре, принимает одно и то же значение и в которую, во-вторых, входит одинаковый для всех членов множитель последний и должен быть определен таким образом, чтобы напряжения, дзЯствую-щие в сечении, уравновешивались, крутящим моментом М. В отдельных случаях вряд ли представит затруднение составление подходящего выражения для функции F, удовлетворяющей этим требованиям и одновременно содержащей одну или несколько произвольных постоянных. Для прямоугольного сечения, взятого нами в качестве основного примера применения рассматриваемого метода, это сделать во всяком случае легко, и притом это можно сделать различными способами. В других случаях при составлении подходящего выражения для функции F также не может встретиться никаких принципиальных затруднений, однако, вычисления могут оказаться столь сложными, что их будет трудно преодолеть, и по этой причине метод может оказаться непригодным. [c.62]

С конца бО-х годов наряду с методом характеристик для расчета сверхзвуковых течений в ЛАБОРАТОРИИ интенсивно развивались методы расчета нестационарных течений, а на их основе с использованием процесса установления - стационарных смешанных (с переходом через скорость звука) течений. Для таких расчетов в качестве базовой была взята монотонная разностная схема, предложенная С. К. Годуновым в 1959 г. [15] для расчета нестационарных течений. В основе численной реализации этой схемы (далее схемы Годунова -СГ) лежит решение задачи о распаде произвольного разрыва, в силу чего СГ получила название раснадной . К концу бО-х годов в аэро- и газодинамических приложениях были известны лишь единичные примеры ее применения. К тому же полученные в них результаты не отличались высоким качеством по сравнению с результатами, полученными в те годы другими методами. В противоположность этому первая же выполненная в ЛАБОРАТОРИИ работа по применению СГ ([16, 17] и Глава 7.2) к решению прямой задачи теории сопла Лаваля продемонстрировала несомненные достоинства указанной схемы. Существенным моментом для успеха применения СГ для расчета смешанных течений стало обнаружение ситуаций, при которых в задаче о распаде разрыва граница разностной ячейки попадает в волну разрежения. Такие ситуации неизбежно возникают вблизи звуковых линий при расчете смешанных течений методом установления. Однако в двумерных задачах они, снижая точность результатов, оставались незамеченными. Указанная возможность была обнаружена при решении в одномерном приближении задачи о запуске ударной трубы переменной площади поперечного сечения ([18] и Глава 7.3). Предложенный тогда же элементарный способ учета подобных ситуаций стал неотъемлемой принадлежностью любых реализаций раснадных схем. [c.115]

Нелинейные уравнения, содержащие тригонометрические функции или другие специальные функции, например lgл или е , называются трансцендентными. Методы решения нелинейных уравнений такого типа делятся на прямые и итерационные. Первые позволяют найти решение непосредственно с помощью формул и всегда обеспечивают получение точного решения. Известным примером такого рода является формула корней квадратного уравнения. В итерационных методах задается процедура зешения в виде многократного применения некоторого алгоритма. Лолученное решение всегда является приближенным, хотя может быть сколь угодно близким к точному. Итерационные методы наиболее удобны для реализации на ЭВМ и поэтому подробно рассматриваются в этой главе. В каждом из излагаемых методов считается, что решаемая задача состоит в отыскании действительных корней (нулей) уравнения / (л ) = 0. Хотя подобные уравнения также могут иметь комплексные корни, способы их отыскания обычно рассматриваются только для алгебраических уравнений. [c.18]

То что мы установили в этом параграфе для задачи Дирихле, легко распространяется на все другие задачи, рассмотренные в предыдущих параграфах. Однако так как эти результаты не решают в общем случае вопрос о сходимости процесса приближения, применяемого в этом методе, мы не будем рассматривать другие задачи, и снова, сославшись на хорошие результаты, обнаруженные на численных примерах, свидетельствующие о возможности получения общего доказательства сходимости, дадим в следующих параграфах еще один способ приближенного решения интересующих нас задач, родственный первому и для которого удается доказать сходимость. [c.394]

Метод обобщенных рядов Фурье. Вводные замечания. Рассмотренные в предыдущих параграфах численные примеры показывают, что метод канонических функциональных уравнений может быть использован для получения приближенных решений граничных задач. Однако общего доказательства сходимости процесса приближения, применяемого в этом методе, мы не имеем, и теоремы 19 дают доказательство сходимости лишь в частных случаях. Теперь мы укажем другой способ приближенного решения граничных задач, в котором нам удалось доказать сходимость. Этот метод позволит получить решения в виде р.чдов по некоторым полным системам ортогональных функций и конечные их отрезки представляют приближения к точным решениям, [c.394]

Для односкоростной задачи в предположении, что а/ = О для / > 2, уравнения двойного Рл/-приближения могут быть получены в таком же виде, как и малогрупповые диффузионные уравнения (см. разд. 4.3.2), и решены таким же способом [23]. Другой метод решения очень похожих уравнений приводится в разд. 5.2.4. В некоторых примерах, приведенных в гл. 5, показано, что для плоской геометрии двойное Pi-приближение дает очень хорошие результаты, по крайней мере не худшие, чем Рд-приближение, и значительно лучшие, чем простое Pi-приближение. Установлено, что двойное Рл/-приближение оказывается очень полезным при изучении решеток, которые часто рассматриваются в плоской геометрии. Двойное Рл/-приближение используется также и в сферической геометрии [24], однако здесь оно не имеет особых преимуществ (см. разд. 5.3.2). [c.126]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...