Связь инвариантов тензоров деформации и мер деформации

Связь инвариантов тензоров деформации и мер деформации. [c.18]

Существование упругого потенциала обеспечивается следующими связями между введенными величинами, рассматриваемыми как функции инвариантов тензора деформации [c.150]

Инварианты тензоров деформации и меры деформации Коши-Грина связаны формулами [c.18]

Следовательно, диссипация энергии при движении сплошной среды, например, вязкой жидкости, определяется квадратичным инвариантом тензора скоростей деформации. В связи с тем что квадратичный инвариант — величина положительная, Ф тоже всегда положительна. [c.11]

Величины If, Hf, Ulf называются инвариантами тензора конечных деформаций и связаны с главными деформациями соот-ношениями [c.233]

Предположим дополнительно, что гидростатическое давление (первый инвариант тензора напряжений) не влияет на зависимость между девиаторами напряжений и деформаций. Строго говоря, эта гипотеза неверна, но для многих металлов и сплавов она выполняется с достаточно большой точностью, введение же этой гипотезы позволяет намного упростить построение теории. Пусть, для простоты, отличны от нуля два компонента девиаторов. Тогда процесс нагружения в фиксированной точке тела будет изображаться кривой на плоскости а°, а°, процесс деформирования — кривой на плоскости е , Упомянутая выше зависимость связи напряжений с деформациями от истории нагружения означает, что деформированное состояние в данной точке тела зависит от всей кривой на плоскости а°, (т . Математически этот факт эквивалентен тому, что соотношения между напряжениями и деформациями в пластической области, вообще говоря, будут либо дифференциальными неинтегрируемыми, либо операторными зависимостями. Теории, использующие дифференциальные неинтегрируемые соотношения, известны как теории течения они, как правило, строятся с использованием введенного выше понятия поверхности текучести. Рассмотрим простейший класс операторных теорий, которые применяются только для специального вида процессов нагружения. [c.267]

Рассмотрим тело произвольной формы, считая, что начальные напряжения и деформации в нем отсутствуют. На начальном этапе нагружения такого тела возникают только упругие деформации и, следовательно, появление пластических деформаций однозначно определяется действующими напряжениями. В связи с этим условие пластичности можно записать в виде некоторой функции компонент тензора напряжений. Очевидно, что для изотропного материала условие появления пластических деформаций не должно зависеть от выбора координатной системы. Тогда указанная функция должна быть функцией трех инвариантов тензора напряжений, в качестве которых можно взять, например, три главных напряжения [c.293]

Так называемая деформационная теория пластичности представляет по существу распространение на пластическое тело того закона связи между напряжениями и деформациями, который устанавливается нелинейной теорией упругости. Пластический потенциал, который заменяет здесь упругий потенциал, для изотропного тела есть функция инвариантов тензора деформаций. Обычно нри этом применяются следующие гипотезы [c.533]

Поскольку связь между шаровыми частями тензоров деформаций еоЗ,у и напряжений афу считают известной и подчиняющейся закону Гука, то отыскивают связь между девиаторами еу=Еу- .фу и Уу—сУ1-афу. При этом принимают, что материал первоначально изотропный и влияние третьего инварианта девиаторов несуще- [c.90]

Связь между напряжениями и деформациями для изотропной среды. В соответствии с (1.91) первый инвариант шарового тензора [c.182]

Связь инвариантов Г, 1 с главными инвариантами / , /2, /з тензора деформации устанавливается с помощью формул (I. 11.6), (I. 11.7), а также (I. 11.14), (I. 11.15) с заменой обозначения Г на - Г [c.653]

На рис. 9.3d приведена характерная зависимость между первыми инвариантами тензоров напряжений и деформаций для горных пород и бетона, полученная в результате проведения испытаний на одноосное растяжение и сжатие [74, 249]. Особая точка 2-го рода на диаграмме в процессе сжатия достигается прежде прочих [239]. При сжатии объем уменьшается лишь при начальных деформациях, а затем он начинает возрастать, что связано с накоплением повреждений в материале. Аналогичный эффект смены знака объемной деформации [c.190]

Пользуясь соотношениями (6.23), устанавливаем связь между инвариантами (6.19) правого тензора деформаций Коши — Грина и инвариантами (6.24) тензора деформаций Грина — Лагранжа [c.201]

Представление (1.5.1) потенциальной энергии деформации как функции инвариантов меры деформации Коши-Грина (или Фингера, что одно и то же) и использование связи (1.3.4) между тензорами Пиола и Кирхгофа позволяет задать закон состояния выраженный через тензор Кирхгофа [c.24]

Анализ эффективного уравнения состояния твердой фазы осложняется фактическим наличием двух систем напряжений, определяющих гидростатическое сжатие сплошного материала под воздействием порового давления в жидкости и деформацию всего скелета в целом из-за фиктивных напряжений. В связи с этим введем в рассмотрение первый 0 инвариант тензора истинных средних напряжений в твердой фазе, связанный с первым инвариантом тензора фиктивных напряжений 0 = 0(1 - - 0 3 соотношением ( /д)0 = [c.38]

Механические свойства в каждой точке тела аналитически выражаются вполне определенной связью между тензором напряжений и тензором деформаций (или скоростей деформаций), содержащей некоторые величины (модули), не зависящие от напряженного и деформированного состояний. Наибольшее число исследований относится к неоднородным телам, для которых определяющие законы принимаются одинаковыми для различных точек, но модули считаются различными. Модули задаются в виде некоторых известных скалярных или тензорных полей, инварианты которых являются функциями координат точек тела. [c.137]

Связь между первыми инвариантами тензоров напряжений и пластических деформаций формулируются независимо. Обычно предполагают, что материал не приобретает объемных остаточных деформаций [c.142]

Следует отметить принципиальное отличие требований постулата изотропии от определения изотропии материала. Согласно последнему, связь между тензорами напряжений и деформаций не должна зависеть от ориентации системы координат в евклидовом пространстве и априори может выражаться их любой тензорной комбинацией другими словами, эта связь может быть нелинейной и зависеть не только от вторых, но и от первых и третьих инвариантов рассматриваемых тензоров в их тензорных комбинациях. [c.164]

Припишем, как обычно, девиаторам соответствующих тензоров штрих наверху будем считать для простоты материал несжимаемым (связь между первыми инвариантами может быть сформулирована независимо) более того, будем считать все тензоры внутренних деформаций девиаторами. Тогда, согласно (2.9.2), будем иметь [c.334]

В условиях плоской деформации в связи с несжимаемостью идеального жесткопластического тела только один инвариант тензора Е является независимым (например, Ех) и он может быть принят за характеристику величины деформации частицы. Е1 является монотонной функцией и величина У также может характеризовать величину деформации частицы нри пересечении линии разрыва скоростей перемеш,ений. [c.765]

Вопросу о выборе оптимальной системы инвариантов, вычислению механического смысла инвариантов и связи между ними уделялось большое внимание (К. 3. Галимов, 1946—1955 И. И. Гольденблат, 1950, 1955 В. В. Новожилов, 1948, 1958). Так, было отмечено (В. В. Новожилов, 1952), что с точностью до постоянного множителя интенсивность касательных напряжений совпадает со средним значением касательного напряжения в рассматриваемой точке тела. Далее, было использовано тригонометрическое представление главных значений тензоров деформации и напряжений (В. В. Новожилов, 1951). Основными инвариантами при этом являются линейный инвариант, интенсивность девиатора и угол вида тензора (девиатора). Связь между тензорами деформации и напряжения характеризуют обобщенный модуль объемного расширения, обобщенный модуль сдвига и фаза подобия девиаторов (равная разности углов вида рассматриваемых тензоров). Из требования существования потенциалов напряжений и деформаций устанавливаются дифференциальные связи между введенными обобщенными модулями. [c.73]

В. В. Москвитиным предложена модель нелинейной вязкоупругой среды наследственного типа, учитывающая влияние вида напряженного состояния [ПО] (см. п. 1.4). В этой модели связь между девиаторными величинами содержит наряду со вторыми инвариантами также и первые инварианты тензоров напряжений и деформаций, В свою очередь, соотношение между первыми инвариантами содержит и вторые инварианты девиаторов. Интегральные соотношения теории уравнения (1.40) и (1.41)] записываются следующим образом [c.193]

При формулировании законов деформирования учитывается влияние накопленных пластических деформаций на ползучесть и температурно-временной предыстории на упругопластические свойства. Хотя постулирование положения о том, что в зависимость между приращениями деформаций и напряжений входит только второй инвариант тензора напряжений, является лишь частным случаем зависимостей, рекомендуемых для описания сложного напряженного состояния тел [78], такой подход в настоящее время является традиционным. Его обоснованность связана с тем, что при сравнительно небольших пластических деформациях он дает, как правило, достаточно хорошее совпадение с результатами экспериментов и для многих деталей в зонах, где начинаются пластические деформации, имеет место напряженное состояние, не очень отличающееся от одноосного. [c.124]

Несжимаемые шела. Известно, что многие упругие при конечных деформациях материалы деформируются без заметного-изменения объема. Такие материалы относятся к несжимаемым упругим материалам. Практически все решения задач теории упругости при конечных деформациях получены именно для таких материалов. Кроме того что все движения несжимаемых материалов происходят без изменения объема, их характерной особенностью-является то, что тензор напряжений не полностью определяется деформацией. Действительно, ясно, что к напряжениям в деформированном несжимаемом материале можно добавить с любым множителем напряжения, которые обычно связаны с изменением объема, т. е. произвольное гидростатическое давление. При этом деформация тела не изменяется. Другими словами, дополнительное приложение гидростатического давления к несжимаемому упругому телу изменяет напряжения в нем, но не влияет на деформации или, для гиперупругих материалов, энергию деформации. Поскольку изохорическим движениям соответствует равенство единице третьего главного инварианта /д, уравнение состояния для несжимаемых материалов имеет вид [c.249]

В частном случае, когда поведение изотропного материала описывается функциями < (ie ), ЧТО Нб противоре-чит условиям потенциальности, для их определения достаточно двух независимых экспериментов. Например, по результатам испытаний на кручение тонких трубчатых образцов может быть получена зависимость И построены функции Знание зависимости азз 33, обнаруженной в результате испытаний на одноосное растяжение, позволяет вычислить связь первых инвариантов , определив значение по напряжениям 0-33 и о-ц = 0-22 = = О, получив значение второго инварианта тензора деформаций с использованием функции T(j h и найдя деформации ц = 22 соот-ветствующие вычисленной величине ji . На основании зависимости 3 строятся функции < (ie ) и т.е. для них выбирается вид аналитических зависимостей и определяются все константы. [c.108]

Грунты и другие физические среды изменяют необратимым образом свой объем при всестороннем сжатии это обстоятельство учитывалось, например, в [2]. В заметке [3] рассматривалось видоизменение теоремы Мизеса, согласно которому удалось определить соотношения между первыми инвариантами тензоров деформаций и напряжений независимо от вида поверхности текучести. Однако соотношения закона связи между напряжениями и деформациями, предложенные в 3], обладают сугцественным недостатком характеристические многообразия уравнений, определяюгцих напряженное и деформированное состояния, оказываются в обгцем случае различными и, следовательно, граничные условия, заданные на данной части поверхности тела, определяют различные области сугцествования решений для напряжений и скоростей перемегцения. Эти области, согласно [3], совпадают лишь для материалов, условие текучести которых не зависит от пер- [c.138]

Как видим, гипотеза макро скопической определимости существенно конкретизирована закон связи ( И, 12) является тензоряо линейным и коэффициенты в нем зависят только от S, к (конечно, ещ е. Г, р), т. е. зависят только от первого (3е=0) и второго = инвариантов (но не от третьего инварианта) тензора деформации, так как только е и /ге являются [c.196]

Установим связь между объемной деформацией и суммой нормальных напрял.-ений 5 = о + щ + щ. Объемной деформацией называют отношение изменения бесконечно малого объема тела Дс и, вызванного деформацией, к первоначальному объему до, т. е. А = Айи/ди. Пренебрегая бесконечно малыми более высокого порядка, молаю получить для А вы-рангение А = е,+ е + ег. Таким образом, объемная деформация есть первый инвариант тензора деформации. Она не зависит от выбора направления осей координат. [c.41]

На основании общих физических представлений о поведении материала под нагрузкой его сопротивление деформированию определяется мгновенными условиями нагружения (температурой, скоростью деформации и другими ее производными в момент регистрации), а также структурой материала, сформированной в процессе предшествующего деформирования, который в п-мерном пространстве характеризуется траекторией точки, проекции радиуса-вектора которой — составляющие тензора напряжений (или деформаций) и время (начальная температура является параметром, характеризующим исходное состояние материала, и изменяется в соответствии с адиабатическим характером процесса деформирования). Специфической особенностью процессов импульсного нагружения является сложный характер нагружения (составляющие тензора напряжений меняются непропорционально единому параметру) и влияние времени. Невозможность экспериментального исследования материала при различных процессах нагружения (траекториях точки указанного выше л-мерного пространства) вынуждает исследователей использовать упрощенные модели механического поведения материала. Это обусловило развитие исследований по разработке теорий пластичности, учитывающих температурновременные эффекты [49, 213, 218] наряду с изучением физических процессов скоростной пластической деформации [5, 82, 175, 309]. Так, для первоначально изотропного материала исходя из гипотезы изотропного упрочнения связь тензоров напряжений и деформаций полностью определяется связью их инвариантов соответственно Ei, Ег, Ез и Ii, h, h- С учетом упругого характера связи средних напряжений и объемной деформации для металлических материалов (а следовательно, независимость от истории нагружения первых инвариантов тензоров напряжений и деформаций Ei, А) процесс нагружения определяется связью четырех оставшихся инвариантов и величины среднего давления. В классической теории пластичности [c.11]

Согласно В. Ольшаку понятие механические свойства среды включает два элемента — закон, определяющий связь между тензорами напряжений и деформаций и их скоростями, а также некоторые величины, называемые модулями или параметрами, входящие в этот закон. -Модули, или параметры, могут быть действительными физическими постоянными, зависящими от температуры и энтропии (упругая, линейно-релаксирующая или вязкая среда), или они являются функциями инвариантов тензоров напряжений, деформаций и скоростей деформаций (пластические и вязко-пластические среды) [107]. [c.10]

При больших деформациях используют нелинейный згжон связи напряжений с деформациями — нелинейная упругость. Обычно задают удельную потенциальную энергию — упругий потенциал как функцию трех инвариантов тензора деформаций. Предложено множество различных потенциалов, большинство из них используют гипотезу несжимаемости материала. Потенциалов, учитывающих сжимаемость, значительно меньше. Подробнее с данным вопросом можно ознакомиться в работах [9, 54, 55, 59, 104, 183, 190, 191, 194, 195, 201, 203, 220, 229, 234]. [c.13]

Отметим, что полученное соотношение отражает лишь одну сторону связи между тензорами А и С — их соосность. Для установления полно11 фундаментально связи необходимо задать зависимости между инвариантами тензоров. Так, В. В. Новожилов, рассматривая в качестве первого тензора (А) тензор малой деформации Е, а в качестве второго (С)—тензор напряжений 2, ввел (в наших обозначениях) три инвариантные характеристики [c.150]

В основе деформационной теории пластичности лежат гипотезы, предложенные Хубером [397], Мизесом [423], Хенки [395 и обобщенные на случай материала с упрочнением Надаи [200]. Она предполагает, что для упругопластических тел можно установить зависимости между напряжениями и деформациями, подобно закону Гука для упругих тел. Развитие и обоснование теории малых упругопластических деформаций связано с работами Ильюшина, поэтому часто теорию малых упругопластических деформаций называют теорией пластичности Ильюшина. Здесь принимается, что при простой активной деформации первоначально изотропного материала, свойства которого не зависят от третьего инварианта тензора напряжений, справедливы следующие три гипотезы. [c.42]

Вязкопластические уплотняемые тела (9]. Как показывают эксперименты, сопротивление металлических порошковых материалов и пористых тел при повышенных температурах существенно зависит от скорости деформирования [19], что свидетельствует о вязком характере течения. Вместе с тем течение этих материалов носит пороговый характер, т. е. необратимые деформации возникают только после того, как напряжения достигают некоторого уровня. В связи с этим для описания деформации таких материалов предлагается использовать известную модель вязкопластического тела Малверна—Соколовского, обобщенную на случай необратимо уплотняемых сред. При этом достаточно предположить, что функция нагружения зависит от первого инварианта тензора напряжений (ст), [c.122]

Эти уравнения устанавливают связь между инвариантами тензоров Альманси е, и скоростей деформаций 7 и их главными направлениями д, ф вдоль траектории движения частицы материала. [c.768]

Мотивация для включения в модельное уравнение слагаемых, содержащих Ащ + N2, связана с рассмотрением осесимметричных течений. Известно [15], что осесимметричные течения отличаются от плоских структурой крупномасштабных вихрей. Если в плоской струе доминирует антисимметричная мода колебаний, то в осесимметричной - первая азимутальная мода. Поэтому важно найти безразмерные критерии, описывающие отличательные особенности осесимметричных течений. Одна из попыток введения критерия такого рода предпринята в [16], где с целью модификации двухпараметрической модели турбулентности предложено использовать один из инвариантов (детерминант) тензора скоростей деформаций. Попытки использовать этот прием для улучшения однопараметрической модели для турбулентной вязкости оказались неудачными. [c.444]

Обстоятельное рассмотрение вопроса о связи между инвариантами, с привлечением сведений из теории алгебраических инвариантов и теории групп, произведено И. И. Гольденблатом (1950, 1955). Была выяснена возможность введения инвариантов, позволяющих раздельно рассматривать изменение объема элемента и его формоизменение (Л. А. Толоконников, 1956). Там же были предложены соотношения, обобщающие закон подобия девиаторов напряжений и деформаций. На основании этого Л. А. Толоконников (1957) развил вариант квадратичной теории (с четырьмя константами), основанный на следующих предположениях всестороннее давление зависит только от относительного изменения объема, интенсивность касательных напряжений — только от интенсивности деформации сдвига, углы вида тензоров истинных напряжений и логарифмических деформаций равны между собой. [c.73]

Особо изучено распространение волн сильного и слабого разрывов при плоском деформированном состоянии идеально пластической среды в предположении линейной связи между первыми инвариантами тензоров напряжений и скоростей деформаций (М. И. Эстрин, 1961), а также распространение волн слабого разрыва при плоском напряженном состоянии (М. И. Эстрин,. 1962 А. Д. Чернышев, 1966). Изучено также распространение сильных разрывов в среде, обладающей нелинейной жесткой ) [c.305]

При аффинном преобразовании отсчетной конфигурации в актуальную тензор напряжений постоянен и представйм в единой для всех материалов форме записи уравнения состояния. Явное задание его коэффициентов или представление удельной потенциальной энергии через инварианты деформации требовалось на этапе количественного разыскания связей между деформациями и напряжениями в конкретном материале. [c.206]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...