Инварианты тензоров конечной деформации

Инварианты тензоров конечной деформации. Они вычисляются по инвариантам мер деформации и с помощью соотношений [c.85]

Более сложный вид имеют формулы, связывающие инварианты тензоров конечной деформации. По (5.6.3) и (5.4.3) получим [c.87]

Jl — первый инвариант тензора конечной деформации, выражающийся через компоненты деформации по формуле [c.204]

Величины If, Hf, Ulf называются инвариантами тензора конечных деформаций и связаны с главными деформациями соот-ношениями [c.233]

Здесь П — область в трехмерном пространстве, а /д, II — инварианты тензора конечных деформаций (9.1.6). Условие несжимаемости резины представим в виде (см. 9.1) [c.281]

Теорию конечной плоской деформации изотропных гиперупругих тел можно трактовать как частный случай обсуждавшейся в предыдущем пункте теории для осесимметричных тел. Рассмотрим однородное твердое тело в условиях плоской деформации, параллельной плоскости х . Кроме того, тело может быть подвергнуто равномерному растяжению в направлении оси ж , характеризуемому относительным удлинением %. Тогда 70,3 определяются формулами (18.48а), 70,3 = О и 7,3 = - X — 1), где теперь % — известная постоянная. Главные инварианты тензора меры деформации имеют вид [c.375]

С. Ривлиным[33] предложена теория конечных равновесных упругих деформаций. В основе теории лежит развитое им представление об упругом потенциале W, зависящем от инвариантов тензора деформаций. Для случая простого сдвига теория предсказывает следующее распределение нормальных напряжений [c.30]

Вместе с тем использование интегральных соотношений между напряжениями и скоростями деформации, записанных в матричной форме, позволяет решить другую проблему — линеаризовать краевую задачу. Действительно, в общем случае ядра R i, т) и Ro t т)— функции инвариантов тензоров (девиаторов) напряжений, скоростей деформаций, температуры, степени деформации. Однако, организовав итерационный процесс при численном решении краевой задачи на ЭВМ, можно в каждой очередной итерации считать, что эти величины определены предыдущим приближением. В этом случае определяющие уравнения становятся линейными. Применяя проекционно-сеточные методы решения краевых задач, в конечном счете приходим к линейной системе алгебраических уравнений для определения искомых параметров. [c.259]

Соотношения (3.132) представляют собой обычный закон Гука, записанный в скоростях напряжений и деформаций. Очевидно, что таким образом можно записать закон бесконечно малого деформирования в окрестности произвольной конечной деформации любого несжимаемого упругого тела, однако модуль Юнга будет, вообще говоря, зависеть от величины конечной деформации (точнее говоря, от трех инвариантов тензора деформации, так как тело считается изотропным). Предположение о постоянстве Е означает, что реакция выбранной модели упругого тела на малые возмущения не зависит от величины конечной деформации. [c.105]

Несжимаемые шела. Известно, что многие упругие при конечных деформациях материалы деформируются без заметного-изменения объема. Такие материалы относятся к несжимаемым упругим материалам. Практически все решения задач теории упругости при конечных деформациях получены именно для таких материалов. Кроме того что все движения несжимаемых материалов происходят без изменения объема, их характерной особенностью-является то, что тензор напряжений не полностью определяется деформацией. Действительно, ясно, что к напряжениям в деформированном несжимаемом материале можно добавить с любым множителем напряжения, которые обычно связаны с изменением объема, т. е. произвольное гидростатическое давление. При этом деформация тела не изменяется. Другими словами, дополнительное приложение гидростатического давления к несжимаемому упругому телу изменяет напряжения в нем, но не влияет на деформации или, для гиперупругих материалов, энергию деформации. Поскольку изохорическим движениям соответствует равенство единице третьего главного инварианта /д, уравнение состояния для несжимаемых материалов имеет вид [c.249]

В линейной теории упругости, напомним, распространен вариант полуобратного метода, в котором исходным этапом служит задание статически возможного, иначе говоря, удовлетворяющего уравнениям статики в объеме и на поверхности, напряженного состояния. Далее проверяется, что это состояние согласуется с уравнениями Бельтрами — Мичелла этим гарантируется, что линейный тензор деформации, вычисляемый по принятому тензору напряжений, допускает определение вектора перемещения и. Перенесение этого приема в нелинейную теорию затруднено тем, что обращение уравнения состояния — разыскание меры деформации по тензору напряжений из нелинейного уравнения состояния практически неосуществимо (И, 8) и неоднозначно. Аналог уравнений Бельтрами —Мичелла в нелинейной теории может быть использован лишь в исключительных случаях ( 17). Поэтому вторым вариантом полуобратного метода здесь может служить исходное задание меры деформации, удовлетворяющее условиям обращения в нуль тензора Риччи (П1.10.21). По этой мере и по уравнению состояния составляется тензор напряжений. Он должен быть статически возможным его дивергенция должна быть нулем, если не учитываются массовые силы, а по его произведению на вектор нормали определяются поверхностные силы. Конечно, нет оснований ожидать, что такая процедура не потребует при выполнении уравнений статики в объеме конкретизации задания коэффициентов определяющего уравнения, как функций инвариантов меры деформаций (скажем, коэффициентов фг(/1, 2, /з) в (4.3.4)). Значит и формы представления поверхностных сил зависят от выражений этих коэффициентов, иначе говоря, их нельзя представить в единой записи, независящей от того, какой принят закон зависимости удельной потенциальной энергии э(/,, /2, /3) от ее аргументов. [c.135]

Дли тензоров конечных (нелинейных) деформаций такой наглядной иптерпретации первого инварианта не существует. [c.41]

Учитывая (5.9.18), будем считать, что всегда выполняется 1>—1 это означает конечную (положительную) плотность. Разумеется, величина 0 должна быть строго положительной. Следует, однако, отметить, что величина е зависит от компонент f только через тензор деформаций Е- В частности, если среда изотропная, то е зависит от f только через три главных инварианта тензора Е. Следуя работе [Bland, 1969], несложно показать, что в этом случае зависимость e(f, т]) необходимо принимает вид [c.294]

Как видим, гипотеза макро скопической определимости существенно конкретизирована закон связи ( И, 12) является тензоряо линейным и коэффициенты в нем зависят только от S, к (конечно, ещ е. Г, р), т. е. зависят только от первого (3е=0) и второго = инвариантов (но не от третьего инварианта) тензора деформации, так как только е и /ге являются [c.196]

Вторая форма записи часто предпочтительнее первой, поскольку введение мер деформации упрощает запись формул. Переход к тензору деформации, конечно, не составит труда. Наличие формул (5.2.3) — (5.2.5) гл. II, связываюпдих инварианты мер деформации Коши и Альманзи, а также обратных им тензоров позволяет рассматривать А и как функцию инвариантов меры или тензора деформации Альманзи [c.632]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...