Вычисление сингулярных интегралов

Таким образом, фактическое вычисление сингулярного интеграла на поверхности требует введения определенной дискретизации поверхности (определяемой каждый раз в зависимости от положения точки до) так, чтобы элементарные области описывали поверхности ere- Следовательно, при необходимости вычисления интегралов в совокупности точек до надо вводить соответствующее количество различных дискретизаций. В дальнейшем (в 3 гл. VII) приводятся приемы вычисления сингулярных интегралов, присутствующих в интегральных уравнениях пространственной задачи теории упругости, основывающиеся на специальных свойствах их ядер. [c.63]

Явное вычисление сингулярных интегралов. Если элементарная область интегрирования есть плоский многоугольник, то интегралы могут быть вычислены в явном виде, при этом поверхность тела заменяется полиэдром. В настоящее время применяются и более высокие степени аппроксимации поверхности и искомой функции. [c.103]

ВЫЧИСЛЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПО ЭЛЕМЕНТАМ КОНТУРА [c.35]

Бойков И.В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Изд-во Саратовского ун-та. 1983.210 с. [c.192]

Воспользуемся приведенными выше соотношениями для вычисления сингулярных интегралов вида [c.15]

Вычисление сингулярных интегралов [c.417]

Перлин П. И. Об одном методе вычисления сингулярных интегралов и его применении к решению сингулярных интегральных уравнений пространственной теории упругости. — Всес. школа по теорет. исследованиям методом механики сплошных сред. Тезисы докладов, 1973. [c.279]

Квадратурные формулы для вычисления сингулярных интегралов. Приведем некоторые квадратурные формулы интерполяционного типа для вычисления интегралов [c.26]

Формулы (4.75) и (4.76) дают альтернативные алгоритмы вычисления напряжений на границе. Формула (4,75) привлекает своим локальным характером и связанным с ним малым объемом вычислений. Однако необходимость численного дифференцирования перемещений при численной реализации формулы (4.75) приводит к понижению точности вычисления напряжений по сравнению с перемещениями. Формула (4.76) требует значительно большего объема вычислений, чем формула (4.75), однако при наличии эффективных алгоритмов вычисления сингулярных интегралов может обеспечить более высокую точность вычисления граничных напряжений. [c.61]

Рещение уравнения (27) можно проводить численно при вычислении сингулярных интегралов в правой части уравнения (27) следует использовать формулу ([8], 3.228.5 [15]) [c.248]

Если особенность ядра интегрального уравнения совпадает с размерностью области интегрирования, то интегральные уравнения называются сингулярными. Вопросы, связанные с теоретическим обоснованием разрешимости таких уравнений, рассмотрены в работах [113, 145, 246, 266, 306, 356]. При численном решении таких уравнений возникают трудности, связанные с тем, что сингулярные интегралы следует рассматривать в смысле главного значения по Коши. Эти трудности успешно преодолены и разработаны эффективные квадратурные формулы вычисления сингулярных интегралов. Различные методы решения сингулярных интегральных уравнений рассмотрены в работах [28, 63, 147, 218,219, 234, 468 и др.]. Сингулярные интегральные уравнения находят широкое применение при решении статических и динамических задач теории упругости [44, 203—206, 266, 289, 299, 373 и др.], а также механики разрушения [168, 171, 288, 329, 330 и др.]. [c.104]

В случае осевой симметрии задача об определении напряжений на границе сводится (если осуществить аналитическое интегрирование по углу) к вычислению одномерных сингулярных интегралов, которые можно вычислить без затруднений (см. 3 гл. I). [c.581]

Перлин П. И. Об одном методе вычисления двумерных сингулярных интегралов и его применении к решению сингулярных интегральных уравнений пространственной задачи теории упругости. — В кн. Всес. школа по теор. исследованию численных методов механики сплошных сред. Тезисы докладов. — Звенигород ИПМ АН СССР, 1973. [c.681]

О вычислении интегралов типа Коши. Приведем некоторые формулы, облегчающие вычисление интегралов типа Коши и сингулярных интегралов, которые часто встречаются при решении задач теории упругости с использованием функций комплексного переменного. Пусть с — некоторая конечная точка на плоскости 2 и пусть в окрестности этой точки функция / (z) имеет вид [c.14]

Очень ясное изложение этой идеи применительно к вычислению сингулярных составляющих интегралов по бесконечным граничным элементам принадлежит Уотсону [И] (см. гл. 8). [c.418]

Применяя к сингулярному интегралу равенства (4.63) квадратурную формулу Гаусса — Чебышева и пользуясь интерполяционным полиномом Лагранжа для искомой функции U r ) по узлам (4.49), можно определить значения потенциалов Ф-(о)(т))) (а следовательно, значения напряжений Ох) в любой точке ц, отличной от узлов коллокации Однако если воспользоваться тем фактом, что внутренняя область, вырезанная контуром Ь, находится в ненагруженном состоянии, то в вычислении сингулярного интеграла в выражении (4.63) нет необходимости [27, 53]. Поскольку в данном случае [c.122]

Полученные выше формулы для предельных граничных значений производных потенциалов включают сингулярные интегралы, вычисление которых сопряжено с определенными вычислительными трудностями. Значительных упрощений можно добиться с помощью выражения сингулярных интегралов через регулярные. Такие выражения, а также соответствующие формулы для предельных граничных значений потенциалов и их производных будем называть формулами регулярного представления [130]. Примером такой формулы служит формула (4.21), которая, в отличие от (4.26), не содержит сингулярного интеграла. Для регулярного представления в ней использована формула типа Гаусса. Другой подход для построения формул регулярного представления состоит в использовании теоремы Стокса. При этом требуется представить ядра потенциалов в виде, допускающем применение этой теоремы (для случая изотропной среды см. по этому поводу [84, 171]). [c.58]

Интеграл (2.13) является ключевым для вычисления целой серии сингулярных интегралов вида (2.11). Так, папример, используя тождество [c.58]

К положительным элементам одномерного варианта МГЭ (простота логики формирования разрешающей системы уравнений, хорошая устойчивость численного процесса, непосредственное определение начальных параметров каждого обобщенного стержня из разрешающей системы и т.д.) добавляются существенно важные для расчета пластинчатых систем факторы. Ядра интегральных уравнений (функции Грина) в МГЭ не содержат сингулярных точек. По этой причине уравнение (6.20) снимает проблему вычисления многомерных сингулярных интегралов. Исключается и проблема построения численного решения в окрестностях угловых точек пластины, что весьма актуально в прямом методе граничных элементов [7]. Как будет показано ниже, этот момент позволяет существенно повысить точность решения задач устойчивости тонких пластин по предложенному алгоритму МГЭ. Использование обобщенных функций для описания нагрузки ц х, у) в (1.20) также приводит к неожиданным результатам. Реальной становится возможность вычисления касательных и нормальных напряжений в точках приложения сосредоточенных нагрузок. В этих точках, в частности, поперечная сила =0,25 (1/Ах) 00 при Ах 00 [3, с. 173]. Здесь можно отметить, что неопределенность в [c.198]

Однако наряду с отмеченными преимуществами при использовании МГЗ встречаются и свои специфические трудности сложность получения для некоторых сплошных сред решения от действия точечного источника и необходимость выполнения весьма трудоемкой и сложной операции, связанной с вычислением интегралов, содержащих сингулярности. [c.65]

Последнее слагаемое в (7.29) отвечает сингулярному потенциалу Ф(г) г-2 оно получается или непосредственна при вычислении расходящегося интеграла (7.29) по правилу конечная часть расходящегося интеграла (см. 6 гл. III) или же после предварительного вычитания этого сингулярного потенциала из искомого решения (в результате чего получающиеся интегралы будут сходящимися). [c.383]

Для простых дифференциальных уравнений и простых схем дискретизации, особенно тех, в которых распределения потенциала и интенсивностей источников по линейным граничным элементам и треугольным внутренним ячейкам считаются однородными, все указанные выше интегралы можно вычислить аналитически. Их, безусловно, можно найти и приближенно с любой степенью точности методами численного интегрирования, как это приходится делать при вычислении интегралов от гораздо более сложных сингулярных решений с учетом их изменения по элементам с криволинейными границами. Используемые при этом численные квадратуры, изопараметрические элементы и т. п. будут подробно рассмотрены ниже. [c.77]

Итак, все требуемые вспомогательные интегралы найдены, и, хотя в данном случае полученные результаты оказались весьма простыми и поучительными, совершенно ясно, что при дальнейшем усложнении, обусловленном либо сложностью сингулярных решений, либо геометрией элементов, либо, наконец, неоднородностью распределений источников или граничных условий, аналитическое вычисление интегралов неизбежно должно будет уступить место соответствуюш,им процедурам численного интегрирования. Применительно к задачам о потенциальных течениях полученные выше аналитические результаты открывают наиболее удобный путь для формирования элементов различных матриц иллюстративные примеры их использования будут приведены в 3.10. [c.83]

Чтобы проиллюстрировать свойства сингулярных решений и технику их интегрирования, мы, насколько это возможно, нашли в конечном виде интегралы от этих фундаментальных решений по линейным элементам и треугольным ячейкам. Соответствуюш,ие выкладки, как может показаться на первый взгляд, являются не более чем скучными упражнениями, однако вычисление подобных вспомогательных интегралов (безразлично как — численными или аналитическими методами) является неотъемлемой частью рассмотренных методов и определяет в конечном счете их точность и эффективность. Каждый из этих интегралов, безусловно, может быть найден численно, а для самых общих процедур, в которых используются криволинейные элементы, численные квадратуры становятся уже совершенно неизбежными. [c.98]

С ТОЧКИ зрения вычислений ключевым моментом любого метода граничных элементов является определение диагональных членов матрицы граничных коэффициентов влияния (собственного влияния элементов). Как мы видели, во всех методах граничных элементов, рассмотренных в книге, некоторые из этих членов терпят разрыв, или скачок , при переходе с одной стороны граничного контура на другую. Мы всегда подготавливали определение разрывных членов предварительным интегрированием сингулярности вдоль отрезка и затем переходили к пределу, приближаясь к отрезку по соответствующему направлению. В частности, в нашем изложении прямого метода граничных интегралов вначале мы интегрируем влияния от действия сосредоточенной силы в точке Р (точке нагружения) по отрезку с центром в другой точке Q (точка поля) и затем находим пределы результирующих выражений, когда Р приближается к Q извне рассматриваемой области R. Пределы необходимо брать именно таким образом, поскольку мы использовали форму теоремы взаимности, которая несправедлива, если точка нагружения лежит внутри области R (см. 6.3). [c.134]

Когда точки Р и Q совпадают, интегрирование в (6.9.1) должно выполняться специальным методом, поскольку в этом случае функции Тп (Р, Q) и Uji (Р, Q) сингулярны. Такие интегралы называются несобственными и вычисляются с помощью исключения из области интегрирования малого отрезка длиной 2е с центром в сингулярной точке и последующего нахождения пределов при е, стремящемся к нулю. Значение интеграла, вычисленное таким способом, называется главным значением Коши [c.134]

Таким образом, становится физически ясной природа ловушки , куда попадают исчезающие частицы . Теперь надо сформулировать проблему математически удовлетворительным образом. Слабым местом предыдущего вывода был переход от (5.4.11) к (5.4.12), т. е. вычисление термодинамического предела. Переход от суммы к интегралу справедлив, когда все различные члены в сумме конечны, т. е. частицы равномерно распределены между уровнями. Однако в случае бозонов при очень низких температурах происходит накопление значительной доли частиц на уровне 8=0 поэтому единственный член, соответствующий е = О в (5.4.11), дает в Pf вклад того же порядка, что и сумма всех остальных членов. В пределе N - оо зтот член даст дельтообразную сингулярность в (5.4.12). Поэтому его следует выделить из суммы и рассматривать отдельно [c.202]

Интегралы, присутствующие в уравнениях (2.2), (2.3) и (2.5), являются двумерными сингулярными интегралами, и в соответствии с общей теорией ( 3 гл. I) при их вычислении следовало бы каждый раз вводить локальную систему координат, определяемую пересечением поверхности с координатными поверхностями г = onst, ф = onst цилиндрической системы, ось которой Z совпадает с нормалью к поверхности в той точке, в которой интеграл вычисляется. Этот путь сопряжен с серьезными техническими трудностями, которые становятся еще более значительными при переходе к решению интегрального уравнения, когда вычисление сингулярных интегралов следует проводить в большом числе точек поверхности. Однако учет специфики ядер рассматриваемых интегралов позволил избежать отмеченных затруднений. Один способ [171] заключается в преобразовании этих сингулярных интегралов в несобственные (регулярные), а другой [88,206] базируется на возможности вычисления в явном виде интеграла от ядра, когда элемент поверхности есть плоский многоугольник. [c.572]

Рассмотрим другой способ вычисления сингулярных интегралов. Обнаружено, что если элементарная область есть плоский многоугольник, то сингулярный интеграл вычисляется в замкнутом виде (при этом предполагается, что плотность постоянна в пределах области). Заметим, что в этом случае изымаемая из рассмотрения часть области (согласно определению сингулярного интеграла) есть круг. Разумеется, использование указанной формулы требует осуществления предварительной полигонализации поверхности (если она первоначально криволинейна). Наиболее просто получается указанный результат, если область является прямоугольником и опорная точка выбрана в его центре. Из формулы (1.29) следует, что скачок предельных значений оператора напряжений равен удвоенной плотности, а из условий симметрии следует, что его значения с разных сторон совпадают по величине и обратны по знаку (поэтому предельное значение оператора напряжений равно самой плотности с учетом знака). Такой прием позволяет сразу найти не только сам интеграл, но и его сумму, включающую внеинтегральное слагаемое. [c.574]

Уравнения (5.6) также являются сингулярными уравнениями с разрывными ядрами и разрывным коэффициентом при внеинтегральном члене. Исследования условий разрешимости уравнений класса (5.6) также отсутствуют. Однако, безусловно, является полезной разработка эффективных численных методов решения уравнений (5.2), (5.5), (5.6) ). Например, не составляет труда реализация в той или иной форме метода механических квадратур. Для вычисления сингулярных интегралов, входящих в уравнения (5.2), (5.5) и (5.6), можно использовать регулярное представление (3.2) в его модифицированной форме. Если же осуществить полигонализацию поверхности, то можно воспользоваться кубатурными формулами [88, 206]. [c.597]

Саникидзе До/с. Г. О приближенном вычислении сингулярных интегралов с суммируемой плотностью методом механических квадратур.— Укр. мат. журн., 1970, 22, № I, с. 106—114. [c.313]

К положрггельным элементам одномерного варианта МГЭ (простота логики формирования разрешаюш,ей системы уравнений, хорошая устойчивость численного процесса, непосредственное определение начальных параметров каждого обобш,енного стержня из разрешаюш,ей системы и т.д.) добавляются факторы, существенно важные для расчета пластинчатых систем. Ядра интегральных уравнений (функции Грина) в МГЭ не содержат сингулярных точек. По этой причрше уравнение (7.20) снимает проблему вычисления многомерных сингулярных интегралов. Исключается и проблема построения численного решения в окрестностях угловых точек пластины, что весьма актуально в прямом методе граничных элементов [29]. Как будет показано ниже, этот момент позволяет существенно повысить точность [c.407]

Некоторые трудности заключаются в вычислении коэффициентов линейной системы. В разд. 1 уже отмечалось, что ГИУ, вообще говоря, двумерное сингулярное ИУ. Так в ГИУ теории упругости сингулярным является член, содержащий ядро Tij [5, 10]. Поэтому вычисление коэффициентов гр( р). матрицы A7ij, отвечающих расположению контрольной точки Rp в области интегрирования, сводится к вычислению двумерных сингулярных интегралов (СИ), что можно сделать либо непосредственно [48], либо используя регулярное представление СИ. Рассмотрим здесь первый способ, о втором будет сказано ниже (п. 2.3), [c.193]

Приведенные выше квадратурные формулы следует использовать для вычисления регулярных,.интегралов и интегралов со слабой особенностью [195]. Сингулярные и гиперсингулярные интегралы требуют специального рассмотрения. Как отмечалось выше, вопросы построения квадратурных формул для сингулярных интегралов рассматривались в работах [28, 63, 147, 218, 219, 266, 273, 289, 468, 489, 491, 567 и др.], а для гиперсингулярных — в работах [28, 36, 52, 131, 213 — 215, 273, 479, 488, 490, 501, 508, 533, 567 и др.]. Укажем один способ построения квадратурных формул для сингулярных и гиперсингулярных интегралов, основанный на их предварительной регуляризации [70]. Суть этого метода проиллюстрируем на примере одномерного сингулярного интеграла вида [c.151]

Рассмотрим подробнее вопросы вычисления коэ( )фициентов системы уравнений (7.21) по формулам (7.22) и (7.23). При вычислении побочных коэ( )фициентов трудностей не возникает, так как подынтегральные выражения в этом случае не имеют сингулярностей. Для вычисления таких интегралов можно использовать интерполяционные квадратурные с юрмулы Гаусса вида (6.59). В соответствии с (7.13) функции Бесселя первого р второго рода нулевого и первс)го порядка [50] имеют вид [c.165]

Обе части уравнения (5.1) содержат интегралы с сингулярными ядрами, поэтому обычные формулы для аппроксимации этих интегралов типа формулы трапеций, дают результат, неравномерно зависящий от размера отрезка интегрирования. Верный способ вычисления таких интегралов - разбить область интегрирования на малые от резки, на каждом таком отрезке искомую функцию представить разложением Тейло ра и получившиеся выражения проинтегрировать аналитически с учетом вида ядра Результат будет зависеть от дифференциальных свойств самой функции, но не ядра Рассмотрим вначале аппроксимацию интеграла типа Коши в правой части (5.1) с рав номерным шагом Дг и запишем его значение в точке (х/ , г,) [c.109]

В заключение остановимся на вопросе о решении сингулярных интегральных уравнений в задачах установившихся колебаний. В этом случае само вычисление интегралов можно осуществлять, используя регулярные представления, аналогичные (3.1) и (3.2), или же (если осуществлять полигонализацию граничной поверхности) формулы, полученные в [180]. [c.588]

УФ-расходимости возникают в квантовополевой теории возмущений при вычислении интегралов в пространстве 4-импульсов соответствующих Фейнмана диаграммам, содержащим замкнутые петли. Путём введения всломогаг. регуляризации такие расходящиеся интегралы делаются конечными и вычисляются в явном виде нри этом в простейших случаях сингулярные составляющие выделяются в аддитивные структуры, имеющие вид полиномов невысокой степени по внеш. имиульсам (см. ф-лу (3) в ст. Регуляризация расходимостей). Для нек-рого класса КТП степень этих полиномов не зависит от порядка теории возмущений и не превышает двух. Такие теории допускают процедуру П., с помощью к-рой удаётся полностью устранить все УФ-расходимости и выразить результаты вычислений через небольшое число параметров, физически близких параметрам (массам, константам связи) исходного лагранжиана рассматриваемой системы взаимодействующих полей. Эти теории наз. перенормируемыми. В класс перенормируемых теорий (с нек-рыми оговорками) входят модели с безразмерными константами связи, в т. ч. теории калибровочных полей, такие как квантовая электродинамика (КЭД) И квантовая хромодинамика (КХД). [c.563]

Изобретение Г-интегрирования позволяет любому студенту легко и единообразно выводить подобные основополагающие формулы, связывающие силовые и энергетические характеристики сингулярности любого физического поля с интенсивностью этой сингулярности, описываемой некоторым множителем в сингулярном решении. Таким путем из соответствующих инвариантных Г-интегралов можно получить (соответствующие вычисления были проведены в [1 —12]) все известные физические законы о классических взаимодействиях закон Ньютона взаимодействия двух точечных масс — в теории тяготения законы Кулона, Био — Савара, Фарадея — в теории электромагнетизма формулу Жуковского — Чаплыгина и формулы для сил, действующих на источники, впхревые линии и кольца, — в гидродинамике идеальной жидкости формулу Стокса — в гидродинамике вязкой жидкости формулу Пича — Келера — в теории дислокаций формулу Ирвина — в линейной механике разрушения формулу Эшелби — в теории точечных включений и др. Таким же путем для новых типов сингулярностей, или новых физических полей, или новых комбинаций известных физических полей можно получать новые закономерности. [c.360]

Первый сингулярный интеграл в (1.10.13) имеет особенность типа Коши и вычисляется на каждом элементе численно или аналитически. При этом на элементах, где j, интеграл не имеет особенностей и интегрирование выполняется по восьмиузловой формуле Гаусса. На элементе, где г -> О (при i = j), интегралы вычисляются аналитически или численно по шестнадцатиузловой формуле Гаусса. На возможность вычисления интеграла типа Коши по квадратурной формуле Гаусса указано в работе [33]. [c.37]

В [2] мы выделили из е (х у ) явно выделямую особую часть. Остаток оказывается гладкой функцией ео (х у ). Можно написать формулы вариации, включающие в себя гладкую функцию ео вместо е (см. пп. 1,2), При этом мы выделяем из интегралов, понимаемых в смысле обобщенных функций, слагаемые с известной сингулярностью, и остается только описать такой способ их вьиисления, который не нарушает устойчивости точного уравнения. Основная техническая сторона предлагаемого нами способа — это введение определенным образом регуляризованных расходящихся интегралов. Из формул вариации удается выделить часть, сходящуюся в несобственном смысле, а остаток выразить через такие расходящиеся интегралы. В пп. 3,4 приводится эффективный метод численного расчета этих интегралов, а в п. 5 — вычисления несобственного интеграла. Эти вычислительные методы имеют второй порядок по числу точек разбиения границы дЗ (напомним, что 5 не разбивается). В п. 6 мы доказываем устойчивость метода. [c.187]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...