Сингулярные интегралы определения

Таким образом, фактическое вычисление сингулярного интеграла на поверхности требует введения определенной дискретизации поверхности (определяемой каждый раз в зависимости от положения точки до) так, чтобы элементарные области описывали поверхности ere- Следовательно, при необходимости вычисления интегралов в совокупности точек до надо вводить соответствующее количество различных дискретизаций. В дальнейшем (в 3 гл. VII) приводятся приемы вычисления сингулярных интегралов, присутствующих в интегральных уравнениях пространственной задачи теории упругости, основывающиеся на специальных свойствах их ядер. [c.63]

В случае осевой симметрии задача об определении напряжений на границе сводится (если осуществить аналитическое интегрирование по углу) к вычислению одномерных сингулярных интегралов, которые можно вычислить без затруднений (см. 3 гл. I). [c.581]

Удовлетворив с помощью потенциалов (п. 152) граничные условия (III.150), (III.151) на каждом из разрезов, для определения N неизвестных функций g k (4) (А = I, 2, т) и (/ > (fe = ш + 1.....Л ) получим систему N сингулярных интеграль- [c.108]

Легко видеть, что для справедливости написанных выше уравнений для любой системы произвольных перемещений тела как жесткого целого каждый коэффициент диагонального блока размером 2x2 должен быть равен взятой с обратным знаком сумме соответствующих коэффициентов из всех недиагональных блоков. Так как диагональные блоки размера 2x2 составлены из членов, включающих р и сингулярные интегралы, которые можно найти аналитически (хотя это и затруднительно), эта возможность определения компонент диагональных блоков при помощи значений недиагональных блоков является полезным свойством прямого метода граничных элементов. [c.119]

Полученные выше формулы для предельных граничных значений производных потенциалов включают сингулярные интегралы, вычисление которых сопряжено с определенными вычислительными трудностями. Значительных упрощений можно добиться с помощью выражения сингулярных интегралов через регулярные. Такие выражения, а также соответствующие формулы для предельных граничных значений потенциалов и их производных будем называть формулами регулярного представления [130]. Примером такой формулы служит формула (4.21), которая, в отличие от (4.26), не содержит сингулярного интеграла. Для регулярного представления в ней использована формула типа Гаусса. Другой подход для построения формул регулярного представления состоит в использовании теоремы Стокса. При этом требуется представить ядра потенциалов в виде, допускающем применение этой теоремы (для случая изотропной среды см. по этому поводу [84, 171]). [c.58]

При изучении сингулярных интегралов с ядром из класса О (2, а, а) часто применяется следующий прием. Пусть требуется установить определенное свойство интеграла (3.27) для точек, лежащих на S (г, б), где S и б < d. Тогда естественно представить К (ф) в виде суммы [c.150]

Таким образом, мы получили два определения сингулярного интеграла. Определение формулой (3.40) возникло из совершенно естественного определения сингулярного интеграла, распространенного на многообразиях, а определение формулой (3.41) — вполне естественное для интегралов, распространенных на областях евклидова пространства. [c.151]

К положительным элементам одномерного варианта МГЭ (простота логики формирования разрешающей системы уравнений, хорошая устойчивость численного процесса, непосредственное определение начальных параметров каждого обобщенного стержня из разрешающей системы и т.д.) добавляются существенно важные для расчета пластинчатых систем факторы. Ядра интегральных уравнений (функции Грина) в МГЭ не содержат сингулярных точек. По этой причине уравнение (6.20) снимает проблему вычисления многомерных сингулярных интегралов. Исключается и проблема построения численного решения в окрестностях угловых точек пластины, что весьма актуально в прямом методе граничных элементов [7]. Как будет показано ниже, этот момент позволяет существенно повысить точность решения задач устойчивости тонких пластин по предложенному алгоритму МГЭ. Использование обобщенных функций для описания нагрузки ц х, у) в (1.20) также приводит к неожиданным результатам. Реальной становится возможность вычисления касательных и нормальных напряжений в точках приложения сосредоточенных нагрузок. В этих точках, в частности, поперечная сила =0,25 (1/Ах) 00 при Ах 00 [3, с. 173]. Здесь можно отметить, что неопределенность в [c.198]

Рассчитывались три типа интегралов по дальнему контуру, определяемых уравнениями (5.2) — (5.4) [41]. На рис. 7 приведены изменения величины этих интегралов на начальной стадии развития трещины при С = О.бС . Как уже пояснялось ранее,, метод, основанный на использовании сингулярного элемента (см. модель А на рис. 4), который применен в данном случае, непосредственно обеспечивает точные значения коэффициентов интенсивности напряжений (т. е. ai). Значения коэффициентов интенсивности напряжений использовались для определения /i, 7i и /[ при помощи соотношений (5.6), (5.8) и (5.10). Сплошными линиями изображены значения J, J и J, рассчитанные на основании непосредственно определенных значений К с помощью формул (5.6), (5.8) и (5.10), в то же время треугольниками, квадратиками и кружками обозначены значения [c.298]

Дополнительные замечания об интеграле Райса. Использование интеграла Райса для определения показателей сингулярности в окрестности вершины трещины сделало актуальной задачу о нахождении аналогичных интегралов. [c.88]

С ТОЧКИ зрения вычислений ключевым моментом любого метода граничных элементов является определение диагональных членов матрицы граничных коэффициентов влияния (собственного влияния элементов). Как мы видели, во всех методах граничных элементов, рассмотренных в книге, некоторые из этих членов терпят разрыв, или скачок , при переходе с одной стороны граничного контура на другую. Мы всегда подготавливали определение разрывных членов предварительным интегрированием сингулярности вдоль отрезка и затем переходили к пределу, приближаясь к отрезку по соответствующему направлению. В частности, в нашем изложении прямого метода граничных интегралов вначале мы интегрируем влияния от действия сосредоточенной силы в точке Р (точке нагружения) по отрезку с центром в другой точке Q (точка поля) и затем находим пределы результирующих выражений, когда Р приближается к Q извне рассматриваемой области R. Пределы необходимо брать именно таким образом, поскольку мы использовали форму теоремы взаимности, которая несправедлива, если точка нагружения лежит внутри области R (см. 6.3). [c.134]

Шестая глава посвящена важнейшему разделу механики — гамильтонову формализму. Основная цель этого раздела — представить математические аспекты гамильтоновой динамики как мощный аппарат решения широкого круга задач механики, физики и прикладной математики. В лагранжевом подходе проблема решения уравнений лежит вне рамок лагранжева формализма. Положение меняется в гамильтоновом подходе, который позволяет получить решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. Вся информация об эволюции системы содержится в одной функции — гамильтониане в результате канонического преобразования можно получить новый гамильтониан, который в определенном смысле мал . Более того, поскольку все операции ограничены рамками группы движения кососимметричной метрики, то удается создать универсальные алгоритмы построения приближенных решений. В рамках гамильтонова подхода изложены теория специальных функций, каноническая теория возмущений, метод усреднения нелинейных систем, методы анализа движения системы в быстропеременном внешнем поле и т.д. Особый интерес представляет лекция 30, в которой развит метод Дирака удвоения переменных, позволяющий представить в гамильтоновой форме систему нелинейных уравнений общего вида и получить решения уравнений, описывающих сингулярно-возмущенные системы, решения алгебраических и трансцендентных уравнений, разрешить проблему обращения интегралов и т.д. В лекции 32 приведено решение задачи о движении релятивистской частицы в гиперболическом волноводе, представляющей интерес для проблемы сепарации частиц по энергии и удельному заряду. В рамках канонического формализма рассмотрена задача о движении протонов в синхрофазотроне. [c.8]

Дифференциальные уравнения и асимптотика интегралов. В этом пункте будет показано, что сингулярный оператор Vt, определенный связностью Гаусса—Манина в расслоении когомологий имеет регулярную особенность. Это поз- [c.100]

Рассмотрим другой способ вычисления сингулярных интегралов. Обнаружено, что если элементарная область есть плоский многоугольник, то сингулярный интеграл вычисляется в замкнутом виде (при этом предполагается, что плотность постоянна в пределах области). Заметим, что в этом случае изымаемая из рассмотрения часть области (согласно определению сингулярного интеграла) есть круг. Разумеется, использование указанной формулы требует осуществления предварительной полигонализации поверхности (если она первоначально криволинейна). Наиболее просто получается указанный результат, если область является прямоугольником и опорная точка выбрана в его центре. Из формулы (1.29) следует, что скачок предельных значений оператора напряжений равен удвоенной плотности, а из условий симметрии следует, что его значения с разных сторон совпадают по величине и обратны по знаку (поэтому предельное значение оператора напряжений равно самой плотности с учетом знака). Такой прием позволяет сразу найти не только сам интеграл, но и его сумму, включающую внеинтегральное слагаемое. [c.574]

К положрггельным элементам одномерного варианта МГЭ (простота логики формирования разрешаюш,ей системы уравнений, хорошая устойчивость численного процесса, непосредственное определение начальных параметров каждого обобш,енного стержня из разрешаюш,ей системы и т.д.) добавляются факторы, существенно важные для расчета пластинчатых систем. Ядра интегральных уравнений (функции Грина) в МГЭ не содержат сингулярных точек. По этой причрше уравнение (7.20) снимает проблему вычисления многомерных сингулярных интегралов. Исключается и проблема построения численного решения в окрестностях угловых точек пластины, что весьма актуально в прямом методе граничных элементов [29]. Как будет показано ниже, этот момент позволяет существенно повысить точность [c.407]

Стандартный метод решения сингулярных интегральных уравнений состоит в их регуляризации и последующем численном решении полученных интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Однако такой подход очень трудоемок. В последнее время в численных расчетах наибольшее распространение получили прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений, которые, минуя регуляризацию, приводят к решению конечных систем алгебраических уравнений. Среди них следует отметить метод механических квадратур, основа1шый на определенных формулах, для интерполяционного полинома и квадратурных формулах для сингулярных интегралов [30, 65, 71, 77, 94, 180, 228, 299, 314, 315, 341, 360, 4191. [c.52]

Уравнение (111.95) получено ранее [337] для определения асимптотического решения интегрального уравнения периодической задачи [50] в случае системы параллельных трещин большой длины. При а (х) = —а = onst найдено численное решение этого уравнения с помощью квадратурных формул Гаусса —Эрмита для обычного (см. [236], с. 687) и сингулярного интегралов. Покажем, что уравнение (II 1.95) может быть численно решено также на основе квадратурных формул Гаусса —Чебышева. [c.97]

Будем называть интеграл, определенный равенством (4.14), сингулярным интегралом на Г (в точке хеГв) и говорить, что он существует в смысле Коши. [c.47]

Интеграл, определенный в смысле главного значения, будем называть син-гулярным интегралом. Если к С Ъ) на О хО и интеграл (1.9) не существует в обычном несобственном смысле Римана, но является равномерно сходящимся сингулярным интегралом в области В, то к будем называть сингулярным ядром. Если же к С (т), где О < т < 3, то к будем называть ядром со слабой особенностью. [c.129]

Для определения локального поля динамических напряжений надо применить обратное преобразование Лапласа к выражениям Тге(г, Z, р) ит0г(г, Z, р), получаемым подстановкой (53.10) в (53.2) и (53.3). Сингулярные напряжения получаются в результате разложения при больших а подынтегральных функций в интегралах для т,е (г, z, р) и t 2 (г, z, р). Используя теорему [186] о поведении интегралов Коши вблизи концов контура интегрирования при выполнении обратного преобразования Лапласа, определим динамические сингулярные напряжения вблизи вершины трещины по формулам (51.2), (51.7) [c.424]

Наличие двух-трех членов ряда (5.1.43) обеспечивает достаточно высокую точность аппроксимации. Часто на практике интерес представляют лишь деформации ползучести при больших длительностях нагружения. В этих случаях можно воспользоваться ядром ползучести в виде одной экспоненты. Для более точного описания деформаций ползучести в области малых времен нагружения прибегают к функциям со слабой сингулярностью. Наиболее распространенными ядрами такого рода являются вдра, предложенные Дюффингом, Ржаниххыньпи, Работновым. Применение сингулярных функций в качестве ядер ползучести связано с весьма сложной процедурой определения параметров этих ядер. Поэтому были предприняты попытки разработать аппроксимации интегралов таких функций. Так [c.288]

В которых г5 — координаты произвольной точки , а F(vb ), как и G, — известная двухточечная функция, сингулярная при = . В силу последнего обстоятельства интеграл во втором уравнении (2.3) несобственный, что и отмечено звездочкой . В МГЭ граница S дискретизируется , т.е. разбивается на М малых, но конечных отрезков. Интегралы по таким отрезкам заменяются после этого суммами, содержащими дискретный набор значений функции / = / с = 1,..., М в центрах указанных отрезков. Затем уравнения, полученные таким образом из первого уравнения (2.3), записываются в тех точках , где в силу (1.8) или (1.9) известно т.е. на Г, Гу и Г . Аналогично уравнения, получающиеся из второго уравнения (2.3), записываются в точках отрезков Го и Гу, в которых, согласно (1.7), dip/dN = d(f/dy = 0. Число получившихся в итоге уравнений равно М, т.е. числу подлежащих определению значений функции / . В эту систему, линейную относительно входит, однако, также неизвестная константа С. Дополнительное уравнение, также линейное относительно и (7, получается дискретизацией условия излучения [4] [c.305]

В [2] мы выделили из е (х у ) явно выделямую особую часть. Остаток оказывается гладкой функцией ео (х у ). Можно написать формулы вариации, включающие в себя гладкую функцию ео вместо е (см. пп. 1,2), При этом мы выделяем из интегралов, понимаемых в смысле обобщенных функций, слагаемые с известной сингулярностью, и остается только описать такой способ их вьиисления, который не нарушает устойчивости точного уравнения. Основная техническая сторона предлагаемого нами способа — это введение определенным образом регуляризованных расходящихся интегралов. Из формул вариации удается выделить часть, сходящуюся в несобственном смысле, а остаток выразить через такие расходящиеся интегралы. В пп. 3,4 приводится эффективный метод численного расчета этих интегралов, а в п. 5 — вычисления несобственного интеграла. Эти вычислительные методы имеют второй порядок по числу точек разбиения границы дЗ (напомним, что 5 не разбивается). В п. 6 мы доказываем устойчивость метода. [c.187]

Книга состоит из десяти глав. По охватываемому материалу 1-4 главы соответствуют в целом традиционным курсам механики. Задачи остальных четырех глав связаны с тематикой спецкурса Методы интегрирования канонических систем . В отличие от лагранжева формализма гамильтонов подход позволяет в принципе найти решение как каноническое преобразование начальных данных, не обраш аясь непосредственно к уравнениям. В этом аспекте канонический формализм является мош ным рабочим методом, позволяюш им получить приближенное решение широкого круга физических и математических задач [1]. Рассмотрены проблемы, относяш иеся к интегрированию нелинейных уравнений, преобразованиям Дарбу и Фрелиха, ВКБ-приближению, определению собственных векторов и собственных значений, гамильтоновой теории специальных функций. Дополнительные преимуш ества дает метод удвоения переменных, позволяюш ий использовать канонический формализм для решения нового класса задач алгебраических и трансцендентных уравнений, сингулярно-возмуш енных уравнений, построению Паде-аппроксимантов, обраш ению интегралов и т. д. Широта диапазона рассматриваемых проблем обусловлена возможностью приведения к гамильтоновой форме нелинейных систем обш его вида и универсальностью используемых методов интегрирования. [c.7]

В этой главе рассмотрены численные методы решения динамических контактных задач с односторонними ограничениями для упругих тел с трещинами. Изложены основы проекционных методов решения задач математической физики. Используя Эти методы, построены дискретные аналоги граничных интегральных уравнений системы линейных алгебраических уравнений метода граничных элементов. Приведены основные сведения о конечных элементах и интерполяционных полиномах, определенных на них. Рассмотрены вопросы численного интегрирования регулярных интегралов с особенностями сингулярных и гиперсингулярных, а также интегралов от быстро осциллирующих функций, изложены методы численного преобразования Лапласа и его обращения. [c.136]

В заключение следует сделать еще одно замечание. Возникновение в представлении звукового поля, да и, вообще говоря, любого волнового поля, интегралов с особенностью на пути интегрирования является довольно типичной ситуацией. Возникающая при этом математическая неоднозначность в определении значения такого интеграла означает и некоторую неоднозначность в постановке задачи. Физический анализ такой неоднозначности обычно позволяет достаточно четко определить тот путь вычисления интегралов, который соответствует существу задачи [71]. В частности, очень важно использовать в таком процессе принцип предельного поглощения совместно с переходом к контурному интегрированию. Однако такой прием полностью оправдан на том этапе, когда известны явные выражения для плотностей интегральных представлений, в данном случае функции Ь (т) и d (т) в системе (2.139). В рассматриваемой задаче об излучении звука коротким цилиндром эти функции должны определяться из системы сингулярных уравнений, в которой интегралы также допускают неоднозначную трактовку. Введение в среду затухания не сказывается на характере сингулярности системы (2.134). Какие-либо другие способы, кроме приведенного выше способа трактовки интегралов в с.мысле главного значения для регуляризации системы (2.134), указать трудно. [c.102]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...