Потенциал сингулярный

Как уже отмечалось, при приближении к критическому состоянию детерминант устойчивости Dy и коэффициенты устойчивости (dXi/dxi)x. стремятся к нулю, а теплоемкость, сжимаемость, восприимчивость (вторые производные термодинамического потенциала) возрастают до бесконечности, что является макроскопическим проявлением большого развития флуктуаций. Эта математическая особенность вторых производных термодинамического потенциала и связанные с ней большие флуктуации в критической точке затрудняют теоретическое и экспериментальное изучение критических явлений. Однако результаты интенсивно проводимых исследований этих явлений позволяют принять, что сингулярность основных термодинамических функций вблизи критической точки имеет простой степенной вид [c.249]

Докажем, что все собственные значения уравнения (7.9) вещественны и по модулю не меньше 1, Предварительно установим некоторые вспомогательные соотношения. По аналогии с построением краевой задачи Римана для решения сингулярного интегрального уравнения и в нашем случае необходимо построить эквивалентное уравнению (7.9) соотношение между предельными (извне и изнутри) значениями потенциала простого слоя, плотностью которого является искомое решение интегрального уравнения. Воспользовавшись формулой (6.31), получаем соотношение [c.102]

Введенные выше потенциалы используются для построения сингулярных (естественно, одномерных) интегральных уравнений, соответствующих первой и второй основным задачам. Например, для статической задачи I (смещения берутся в виде потенциала (р, ф)) получается уравнение [c.590]

Уравнение (1), дающее основной инвариантный параметр теории трещин, легко обобщается на конечные деформации, а также на любые точечные, линейные и поверхностные сингулярности в любых сплошных средах, например упругопластических, вязкоупругих и др. [1 — 12]. В частном случае статического упругого тела, когда Г = О, Я = О, W = U, где U — упругий потенциал единицы объема, получаем Г = /, где / — не зависящий от пути интеграл Эшелби — Райса. [c.353]

Показатель 3 определяется из некоторого характеристического уравнения, которое может быть установлено из анализа сингулярных интегральных уравнений [3151. На основе соотношения (1.69) заключаем, что особенность функций ср (г ) и ср (т]) в точках = dzl такая же, как и максимальная особенность комплексного потенциала напряжений Ф (г) в угловых точках клиновидных областей, на которые разбивается тело ломаной или ветвящейся трещиной. В данном случае [c.61]

Заметим, что в рассматриваемом случае краевой трещины, выходящей под произвольным углом на границу полуплоскости, функция g" (г]) в точке У] ——1 ограничена. Этот вывод легко сделать, если учесть, что функция g (t) определяется через граничные значения комплексного потенциала Ф (г) на контуре трещины (см. формулу (1.69)), а также принять во внимание, что функция Ф (г) в окрестности угловой точки в клиновидных областях ограничена для углов при вершине 7 я (см. параграф 3 главы II). Рассмотрим случай, когда на берегах трещины заданы равномерно распределенные нормальные о и касательные % напряжения, т. е. Р (г]) = — Ь(о — гт)/2. В табл. 9 приведены значения коэффициентов интенсивности и / 2 для различных углов ориентации трещины. Отметим, что для некоторых случаев нагрузки в работах [46, 152] впервые получено численное решение сингулярного [c.129]

Подставив потенциал (VI.148) в граничное условие (VI.144) или (VI. 146), получим систему М + I сингулярных интегральных уравнений [c.211]

Последнее слагаемое в (7.29) отвечает сингулярному потенциалу Ф(г) г-2 оно получается или непосредственна при вычислении расходящегося интеграла (7.29) по правилу конечная часть расходящегося интеграла (см. 6 гл. III) или же после предварительного вычитания этого сингулярного потенциала из искомого решения (в результате чего получающиеся интегралы будут сходящимися). [c.383]

Для простых дифференциальных уравнений и простых схем дискретизации, особенно тех, в которых распределения потенциала и интенсивностей источников по линейным граничным элементам и треугольным внутренним ячейкам считаются однородными, все указанные выше интегралы можно вычислить аналитически. Их, безусловно, можно найти и приближенно с любой степенью точности методами численного интегрирования, как это приходится делать при вычислении интегралов от гораздо более сложных сингулярных решений с учетом их изменения по элементам с криволинейными границами. Используемые при этом численные квадратуры, изопараметрические элементы и т. п. будут подробно рассмотрены ниже. [c.77]

В этой главе приводятся вывод соотношений МГЭ и его применение для численного решения двумерных задач теории упругости в случае малых деформаций. Большая часть представленных в данной главе теоретических выводов была получена в гл. 2 и 3. Вывод соотношений метода граничных элементов для задач теории упругости близко связан с аналогичным выводом теории потенциала [I, 2]. Однако результирующие интегральные уравнения в теории упругости выражаются системой векторных уравнений в отличие от интегральных уравнений теории потенциала, являющихся скалярными. Поэтому и сингулярные решения в теории упругости оказываются более сложными, чем в теории потенциала. Для их краткого и удобного введения мы будем пользоваться системой индексных обозначений. Читателю, не знакомому с этими обозначениями, рекомендуется прочитать приложение А, где приводятся необходимые пояснения. [c.100]

Фундаментальное сингулярное решение для потенциала р х) эквивалентного изотропного тела с проводимостью в точке л ,, обусловленного действием единичного источника интенсивности е(1) в точке I, можно записать в виде [c.144]

По своей сути уравнение (111.9), составляющее основу прямого МГЭ, является уравнением, определяющим некоторый потенциал (перемещение) в любой точке суммированием эффектов от других точек на границе S и внутри области V. Раскрыв по индексам уравнение (III.9), можно получить систему двух сингулярных интегральных уравнений в двумерном случае и трех — в пространственном. Сингулярность уравнений заключается в разрывности подынтегральных функций (III.5), (III.6) и (III.8) для случая Р = Q. Как будет показано далее, все интегралы в двумерном случае, содержащие функцию f/, , обладающую логарифмической особенностью, могут быть вычислены без особых трудностей. Интегралы, содержащие функцию Ti,, имеют сильную особенность вида HR и должны быть вычислены в смысле главного значения по Коши. [c.54]

Метод граничных элементов (МГЭ) — это метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, появившийся в результате сочетания идей теории потенциала с методами современной теории аппроксимации. МГЭ, с точки зрения теории аппроксимации, имеет много общих черт с широко известным методом конечных элементов, но отличается от него существенным преимуществом дискретизация осуществляется, как правило, не внутри области, в которой ищется решение, а на ее границе. Такое упрощение достигается путем точного удовлетворения исходным дифференциальным уравнениям с помощью представлений решения в виде, характерном для теории потенциала. Указанные представления могут быть использованы в рамках МГЭ лишь в случае, когда известны в явном виде (точно или приближенно) фундаментальные решения (или функции Грина) для рассматриваемых дифференциальных уравнений 1 исследованы граничные свойства соответствующих потенциалов. Путем предельного перехода на границу в формулах представления решения получаются граничные интегральные уравнения (ГИУ), которые являются основным объектом аппроксимации Б МГЭ. Этим объясняется еще одно (более раннее) название МГЭ — метод граничных интегральных уравнений. Заметим, что возникающие в теории упругости и в других разделах механики деформируемого твердого тела ГИУ часто являются сингулярными интегральными уравнениями [114, 107, 84], методы аппроксимации которых далеко не тривиальны. [c.3]

Сингулярное ГИУ второго рода. Если для представления решения используется потенциал двойного слоя с неизвестной плотностью ol (у), т. е. [c.64]

Тогда сингулярную часть плотности потенциала Q можно записать в виде [c.93]

Здесь F—свободная энергия единицы массы Ч (г, Q)=fhd][]— сингулярная часть свободной энергии Mo t)—регулярная часть химического потенциала Фо(0—регулярная часть свободной энергии. [c.110]

Заметим, что параметр /5(г, ) входит в 5-частичную функцию распределения (3.3.60) через функцию f/(r ,..., Гдг, ), определяемую соотношением (3.3.49). Таким образом, чтобы перейти от непрерывного потенциала взаимодействия к сингулярному потенциалу твердых сфер (3.3.67), можно воспользоваться правилом [c.213]

Дальнейшее обобщение плоской контактной задачи электроупругости при наличии сцепления с учетом того, что штамп имеет потенциал Vq, дается в работе [8]. Рассмотренная задача первоначально сводится к системе трех парных интегральных уравнений. Вводя неизвестные нормальные и касательные напряжения под штампом, а также неизвестную плотность зарядов под ним, систему парных уравнений преобразуем к системе сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши относительно введенных неизвестных функций. Решение этой системы авторами получено в замкнутом виде, что позволило определить контактные напряжения и распределение заряда под штампом. [c.594]

Связь термодинамического потенциала системы сильно взаимодействующих частиц с характеристиками рассеяния двух, трех и т.д. частиц системы получена в рамках схемы, описывающей эволюцию квантового объекта с изменением не времени, как обычно, а величины константы связи. Предлагаемый метод не требует решения уравнений Фаддеева и не ведет к сингулярностям типа рассеяния вперед. Рассмотрены простейшие приложения к теории горячего нуклонного вещества. [c.270]

Прежние попытки распространить ЭКС-метод на неупругие процессы натолкнулись на специфическую для системы трех и более частиц трудность, которая состоит в появлении у точного матричного элемента потенциала взаимодействия особых сингулярностей при совпадении энергий начального и конечного состояний. Эти сингулярности сами по себе не связаны с ЭКС-методом, но приобретают остроту именно для него из-за особо важной роли, которую играет указанный матричный элемент в рабочем аппарате метода. [c.311]

Сингулярности матричного элемента потенциала. Как уже говорилось выше, матричный элемент потенциала взаимодействия взятый по точным волновым [c.311]

Для потенциала, сингулярного в нуле, аналитического при л =Нег>0 и ведущего себя на бесконечности как ехр —тг) вдоль любого луча л >0, Жакшич и Лимич [50] для сдвигов фаз получили асимптотическое поведение при больших X и largA, <я/2 [c.227]

Другое представление. Подход (12.65)—(12.70) оказывается особенно полезным, когда потенциал сингулярный, так как формула (12.69) выражает фазовый сдвиг непосредствершо через / к, г) . Функцию / (к, г) даже в сингулярном случае можно получить, решая уравнение (12.16) (итерациями) или [c.368]

АДИАБАТИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ в космологии — один из возможных типов малых нарушений однородности Вселенной, цривлекаемых для объяснения происхождения её наблюдаемой структуры галактик, а также групп, скоплений и сверхскопле-ний галактик. А. ф. присутствуют, вероятно, уже на самых ранних стадиях эволюции Вселенной — вблизи космологич. сингулярности (см. Сингулярность космологическая). Они представляют собой неоднородности плотности и потенц. возмущения скорости п-ва, к-рые нарушают однородное и изотропное расширение Вселенной и, нарастая под действием сил тяготения, приводят к образованию гравитационно обособленных космич. тел. А. ф. сохраняют уд. энтропию строго неизменной по пространству — отсюда их название (см. Адиабатический процесс). Постоянство уд. энтропии является, согласно совр. теориям (см. Варион-ная асимметрия Вселенной), одним из важнейших свойств ранней Вселенной. [c.26]

Адиабатич. флуктуации описываются возмущениями метрики Фридмана — Робертсона — Уокера скалярного типа, к-рые эффективно сводятся к неоднородному возмущению ньютоновского гравитац. потенциала и связанному с ним возмущению полной плотности энергии вещества. Кроме того, у вещества появляется потенциальная (т. н. пекулярная) скорость относительно выделенной космологии. системы отсчёта, в к-рой невозмущённая метрика дростраиственно однородна. В зависимости от характера временной эволюции адиабатич. флуктуации принадлежат к растущей (квазиизотропной) или падающей моде. Только первая мода совместима с условием малости П. ф. при г 10 . Для растущей моды П. ф. безразмерная амплитуда возмущений метрики в сияхроввой системе отсчёта не зависит от времени на нач. стадиях расширения Вселенной, когда пространственный масштаб флуктуаций Ь сч R t) больше размера космология, горизонта границы области двусторонней причинной связанности, см. Вселенная) с1, каковы бы ни были свойства вещества (необ.ходимо только выполнение причинности принципа). Поэтому, с точки зрения классич. теории гравитации, эта амплитуда (10 —10 ) должна быть задана как нач. условие для Вселенной в момент её выхода из сингулярности космологической (Большого Взрыва), — 0. [c.554]

Векуа И. П. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений и некоторые краевые задачи теории потенциала,— Тр. Тбил. мат. ин-та АН ГССР, 1941, 10, с. 73—92.—Груз. [c.304]

После некоторых преобразований формулы (10.12) при условиях (10.15) и (10.16) промежуточную асимптотику (сингулярную часть) потенциала 2 ( ) можно привести к такому виду [c.115]

Фундаментальные решения уравнения (3.1), составляющие основу всего последующего анализа, представляют собой значения потенциала р х) в произвольной точке наблюдения обусловленные единичным источником интенсивности < ( ), помещенным в точку приложения нагрузки Хотя начала координат систем I и Xi совпадают, за каждой из них совершенР10 необходимо сохранить ее специальное назначение. Таким образом, классическое сингулярное решение может быть записано в виде [c.56]

Это уравнение снова является сингулярным скалярным интегральным уравнением рассмотрейного в 3.4 типа, связывающим все граничные значения потенциала р х) и потока и х) с заданным распределением внутренних источников (х). Все интегралы имеют особенности при х = однако, как будет показано в дальнейшем, интегралы, содержащие функцию G, имеющую логарифмическую особенность, могут быть вычислены (аналитически или численно) без дополнительных трудностей. Двумерные интегралы по границе, содержащие функцию F, напротив, имеют сильную особенность порядка 1/г и должны вычисляться по формуле " [c.68]

Если обратиться к классической теории потенциала, то сингулярные интегральные уравнения, полученные для решения как первой основной задачи, так и для второй, представляют собой интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Разница заключается в том, что для решения первой основной задачи исходят из представления в виде потенциала двойного слоя, а для решения второй основной задачи следует воспользоваться представлением смещений в виде обобщенного потенциала простого слоя. Разумеется, отличие также состоит в физическом смысле искомых функций и значениях правых частей. Для этих сингулярных уравнений индекс (разность между числом собственных функций исходного уравнения и союзного к нему) оказывается равным нулю [152]. Следовательно [153J, будет существовать оператор, который преобразует их в эквивалентные регулярные уравнения второго рода, и поэтому к исходным уравнениям применимы альтернативы Фредгольма. При этом поверхность тела может быть представлена набором кусочно-однородных поверхностей, подчиняющихся условиям Ляпунова, а плотность сингулярного интегрального уравнения должна удовлетворять условию Гельдера — Липшица вместе со своей производной [153] [c.55]

Имеется важное различие между системой с потенциалом ЛД и системой твердых сфер. В последнем случае из-за сингулярной природы потенциала температура практически не влияет на физические величины. Это видно из соотношения (8.4.2), которое означает, что парное распределение, так же как и макроскопическая сжимаемость, зависит лишь от плотности. В реальном газе, однако, температура играет решающую роль. Из элементарной физики мы знаем, что сжимаемость как функция плотности (или, эквивалентно, давление как функция объема) ведет себя раэличным образом при разных температурах это поведение отображается набором кривых, называемых изотермами, построенных в плоскости фР/п, га) (или в плоскости Р— V). Интервал температур делится на две качественно различные области критической температурой Те. Если Т С Тс, то при определенной плотности имеет место резко выраженный фазовый переход газ — жидкость, эатем следует область значений плотности, при которых пар и жидкость сосуществуют, и, наконец, область значений плотностей, где среда находится действительно в жидком состоянии. Трудные проблемы, относящееся к критическим явлениям и фазовым переходам, будут обсуждаться в гл. 9 и 10. [c.312]

Для практических приложений форма интеграла столкновений в уравнении (3.1.39), не всегда удобна, поскольку скобки Пуассона содержат производные 5Ф12/5г , которые не определены в случае непроницаемых частиц. В подобных случаях потенциал взаимодействия Ф12 имеет сингулярную часть. Поэтому имеет смысл исключить потенциал взаимодействия в правой части уравнения (3.1.39) и записать интеграл столкновений через величины, описывающие процесс двухчастичного рассеяния. [c.171]

Выражения (50) используются затем для формулировки контактных задач электроунругости. Предполагая, что электроды-штампы занимают область 5, где заданы компоненты вектора перемещения и потенциал, а остальная часть границы свободна от механических нагрузок и зарядов, авторы [13] приходят к системе четырех сингулярных интегральных уравнений вида [c.601]

В п. 2 этой статьи на простом примере вскрывается физическая природа сингулярностей и выясняется их структура. Оказывается, что за сингулярности ответственны слагаемые потенциала взаимодействия, связывающие неполное число частиц системы (явление свободного пролета ). Можно было бы поэтому думать, что сингулярности представляют собой столь же серьезную трудность для ЭКС-метода, как и имеющий то же происхождение нефредгольмовский характер ядра для метода, основанного на уравнении Липпмана-Швингера. Однако систематическое построение аппарата ЭКС-метода применительно к процессам общего вида, составляющее содержание пп. 3 и 4, показывает, что сингулярности не только не препятствуют формулировке последовательной схемы, но, напротив, служат фактором, ведущим к ее упрощению. Это проявляется, в частности, в том, что при описании неупругих переходов можно перейти от самих матричных элементов потенциала к их вычетам в точках сингулярности, прямо связанным с амплитудами переходов. При этом соответствующие дифференциальные по константе связи уравнения превращаются в алгебраические. Предлагаемая схема иллюстрируется в п. 5 на простом примере квазидвухчастичной системы, состоящей из частицы и связанного комплекса, обладающего несколькими уровнями возбуждения. [c.311]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...