Случайные величины, функции и их статистические характеристики

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ФУНКЦИИ И ИХ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ [c.5]

Внутренние и внешние возмущения являются случайными величинами или функциями относительно конкретного экземпляра двигателя, условий и момента его эксплуатации. Возмущения, как случайные величины, характеризуются статистическими данными, которые определяются по результатам испытаний или эксплуатации. При определении статистических характеристик возмущающих факторов необходимо иметь в виду, что из-за случайной неоднородности условий эксплуатации и испытаний часто возникают ошибки в выходных результатах. [c.36]

Как известно, мощность слоя ЗМС обычно варьирует в широких пределах нэ сравнительно небольших по протяженности участках, поэтому и связанные с ней характеристики сушественно изменяются. Если считать параметры однородной ЗМС случайными величинами, то спектральные характеристики n(f) и L(f) являются функциями л чайных аргументов. В этом случае для разделения однократных и частично кратных волн можно применять статистическую теорию. [c.54]

При стандартизации размерных рядов неровностей поверхности в начале использовали Rq (или Я к) — среднее квадратическое отклонение профиля неровностей от его средней линии (США) и Ra —> среднее арифметическое, точнее, среднее абсолютное отклонение его от той же линии (Англия). Эти параметры измеряли электромеханическими профилометрами возможно потому, что они представляют собой хорошо известные в электротехнике эффективное и среднее значения функций, а также статистические характеристики, подходящие для описания рассеивания случайной ординаты профиля относительно ее среднего значения, за которое в данной ситуации была принята средняя линия. Позднее, повсеместно, а также в международном масштабе, был принят параметр Ra из соображений, приведенных выше. Сохранившийся до настоящего времени параметр Ra используют с начала 40-х годов, т. е. более 30 лет. Для измерений оптическими приборами (двойными микроскопами и микроинтерферометрами) параметр Ra не подходит, так как требует трудоемких вычислений. Поэтому применительно к этой категории средств измерений неровностей принимали различные модификации характеристик общей высоты неровностей, такие, как R max — максимальная на фиксированной длине высота неровностей (ранее обозначавшаяся через Я а с). Яср — средняя высота неровностей и Rz—высота неровностей, определяемая по 10 точкам профиля. Для сопоставимости результатов измерений и однозначности стандартизуемых величин потребовалось выделить шероховатость из общей совокупности неровностей поверхности. Это сделали путем установления стандартного ряда базовых длин, полученного из рядов предпочтительных чисел. Значения параметров определяют на соответствующих базовых длинах. Неровности с шагами, превышающими предписанную базовую длину, в результат измерений шероховатости не входят, и стандартизация шероховатости поверхности на них не распространяется. [c.59]

При анализе и синтезе подобных систем возникает необходимость учета влияния внешнего воздействия, носящего характер стационарной случайной функции. В частном случае, когда последняя представляет собой, например, медленно изменяющуюся функцию, нелинейные характеристики могут быть сглажены при помощи автоколебаний, а затем подвергнуты обычной линеаризации [1]. Поэтому при исследовании подобных систем может быть использована линейная теория случайных функций. В более общем случае решение рассматриваемой задачи целесообразно провести, основываясь на статистической линеаризации существенных нелинейностей [2]. В работах [1, 2] предполагается, что параметры нелинейных звеньев системы автоматического регулирования являются детерминированными величинами. [c.135]

Обобщенная координата системы f (t), a(t), % t), т) t) — стационарные независимые случайные функции времени с известными статистическими характеристиками. Предполагаем, что интенсивность возмущений % (t) я ц (t) не приводит к большим изменениям амплитуды А (t) и фазы If) выхода / (t) системы за период величины Ро и а малые и система узкополосна. Тогда выход системы будет близок к квазигармоническим колебаниям с медленно изменяющимися во времени амплитудой и фазой. В первом приближении, следуя асимптотическому методу, можно принять [c.199]

Параметрическое возмущение % (t) считаем случайной функцией времени, статистические характеристики которой заданы. Реальный процесс изменения параметра % (t) заменяем на эквивалентный б-коррелированный и используем стохастические методы, связанные с составлением уравнения ФПК для определения функций плотности вероятности искомых величин (см. гл. П1). [c.200]

Пример. Измеряемый параметр представляет собой детерминированную функцию времени, на которую накладываются колебания со случайными амплитудами, но с постоянной частотой л (/) = ф (/) + ы os (а>0 + sin (ш/), где и, V — случайные величины, не зависящие от времени, с известными плотностями распределений. Требуется определить статистические характеристики (среднее значение и корреляционную функцию) случайной функции х (i). [c.166]

Таким образом, задача оценки вероятности разрушения металла при его обработке сводится к следующей. Даны случайные функции ёо(г1), епр(т1) и случайная величина ё о со всеми статистическими характеристиками. Требуется оценить плотность [c.151]

Основное различие этих двух методов состоит в том, что операция осреднения по множеству реализаций, или, что то же самое, по генеральной совокупности, осуществляется на разных этапах анализа. Применяя дискретные представления случайных функций Wq (xi, Ху), W (xi, Ха), мы сначала строим приближенное детерминистическое решение, которое устанавливает функциональную связь между входными случайными величинами и интересующими нас параметрами системы. После этого выполняется вероятностный анализ (операция осреднения, преобразование плотности вероятности и т. д.). На этом этапе критическая нагрузка сжатой оболочки выступает как случайная величина со своими статистическими характеристиками. [c.220]

Кажущееся противоречие двух подходов разрешается путем сопоставления итоговых результатов. Можно ожидать, что для одной и той же задачи критическая величина параметра нагрузки, найденная по методу интегральных спектральных представлений, будет мало отличаться от среднего или среднего квадратического значения случайной критической силы, определенной на множестве отдельных оболочек. Именно эти статистические характеристики определяются при помощи метода дискретных представлений функций Wo (Xi, Х2), w (Xi, X2). [c.220]

Общий метод построения моделей, учитывающих статистический разброс, состоит в следующем. На основании кривых регрессии подбираем аналитические зависимости между характеристиками нагруженности и характеристиками ресурса. Эти зависимости содержат ряд параметров, часть которых мы относим ко всей генеральной совокупности образцов, а остальные трактуем как индивидуальные параметры образцов.Параметры второй группы полагаем случайными величинами. Таким образом, вместо одной функциональной зависимости, связывающей усредненные по выборке результаты испытаний, мы получаем одно- или многопараметрическое семейство кривых. Это семейство в сущности представляет собой случайную функцию — зависимость между уровнем нагруженности и ресурсом для наугад взятого образца. Следующий этап состоит в выборе подходящих аналитических выражений для функций распределения случайных параметров на основе результатов статистической обработки базовых ресурсных испытаний. [c.94]

Перейдем теперь к расчету статистических характеристик величин Z] и Z2. Каждая из компонент векторов и т] является суммой большого числа независимых между собой случайных слагаемых и поэтому с достаточно хорошей точностью эти компоненты можно считать нормально распределенными случайными величинами. С учетом этого предположения нетрудно, воспользовавшись известными методами, найти аналитические выражения для характеристических функций величин Zi и Z . Опуская традиционные, но в данном случае чрезвычайно громоздкие преобразования мы ограничимся тем, что сформулируем лишь окончательный результат— как следует из анализа характеристических функций величин Zi и Z2, при достаточно мощном сигнале (гё 1) распределения величин Zi и Z2 достаточно точно аппроксимируются нормальными распределениями с параметрами [c.144]

Статистические характеристики, построенные по опытным данным, еще не позволяют анализировать характер изменения случайной величины. Необходимо знать закон ее распределения, выраженный в математической форме— интегральную функцию распределения вероятностей или функцию плотности распределения вероятностей. [c.28]

В отличии от статистических характеристик случайных величин, которые представляют собой определенные числа, характеристики случайных функций являются в общем случае не числами, а функциями. Математическим Ожиданием случайной функции X (О называется неслучайная функция гПх t), которая при каждом значении аргумента I представляет собой математическое ожидание соответствующего сечения случайного процесса (рис. 23). [c.44]

Определение вида функции распределения. Статистическая оценка характеристик генерального распределения случайной величины I существенно облегчается (может быть выполнена по результатам меньшего числа испытаний), если известен вид (аналитическое выражение) функции распределения F x). Так, например, если величина распределена нормально, то статистическая оценка генерального распределения сводится к уже описанному определению среднего и дисперсии с заданной точностью и надежностью. Поэтому главной задачей статистической обработки является определение вида функции распределения данной механической характеристики при этом важно установить является ли неизвестное распределение или заданной функции ф( ) хотя бы приближенно нормальным. Наиболее наглядным способом проверки, насколько полученная по данным выборки эмпирическая функция распределения (12.55) близка к некоторой гипотетической функции Р х), является графический способ. Сопоставление кривой накопленной частоты или гистограммы с гипотетической кривой дает качественное представление о степени близости эмпирического и гипотетического распределений. Для повышения точности и наглядности графического сопоставления удобно показывать эмпирическое распределение не в системе координат с равномерной шкалой, как это делалось на рис. 12.10, а, а в специальной системе координат, в которой график гипотетического распределения является прямой линией. Новая система координат может быть задана либо таблицей, либо нанесена на специальную бумагу, которая называется вероятностной бумагой [23]. [c.409]

При решении конкретных задач обычно ограничиваются только первыми двумя моментами распределения средним значением и корреляционной функцией. Основываясь только на этих двух простейших характеристиках случайного процесса, можно получить весьма простой математический аппарат и расчетные формулы для статистического анализа линейных систем с постоянными параметрами при стационарных возмущениях, Ясно, что при этом мы получаем приближенный метод, способный дать только оценки для общего случая. Теория, которая оперирует только первыми двумя моментами распределения (средним и корреляционной функцией), называется корреляционной теорией случайных процессов. Для случайных процессов с нормальным законом распределения этих характеристик вполне достаточно, так как они позволяют определить математические ожидания, дисперсии и моменты распределения для любых случайных величин x ,. . ., процесса x(t) при любых ii,. .. , tn, а затем определить и л-мерную функцию распределения. Это большое преимущество нормальных случайных процессов используется всюду, где только возможно и даже там, где случайные процессы не нормальны, но приближенно могут рассматриваться как нормальные, Для линейных систем с постоянными параметрами преимущество корреляционной теории усиливается еще и тем обстоятельством, что при подаче на ее вход нормального случайного процесса выход системы имеет также нормальный закон распределения. [c.29]

Статистические характеристики — случайные величины, представляющие собой оценки вероятностных характеристик, параметров функций распределения вероятностей погрешности измерений, они получаются экспериментальным путем при выборочных, статистических испытаниях. Статистические характеристики погрешности измерений отражают степень близости к истинному значению измеряемой величины только того единственного результата измерения, который получен в той же серии измерений, по данным которой рассчитаны статистические характеристики. Область использования статистических характеристик—-лабораторные измерения. Поскольку статистические характеристики — случайные величины, их не представляется возможным нормировать. Они могут служить только ориентировочными оценками степени близости к истинному значению измеряемой величины результата измерения, полученного в данной серии опытов на том конкретном объекте измерений и в тех конкретных условиях, при которых была проведена данная серия измерений. [c.100]

Более полной характеристикой непрерывной случайной величины могут служить зависимости статистической функции — накопленной частости Р (О и гистограмма плотности / (/) распределения случайной величины. Их можно построить на основании опытных данных следующим образом. [c.10]

Статистические характеристики случайной величины z полностью описываются функцией p z), называемой плотностью вероятностей, такой, что [c.9]

Важной величиной, полностью характеризующей статистические характеристики случайной величины z, является характеристическая функция величины z, определяемая равенством [c.9]

При не слишком малом т распределение р У х х,1а) уже не может быть выражено через эйлеровы статистические характеристики. Однако, если то можно использовать то обстоятельство, что правая часть (9.24) в этом случае может быть представлена в виде суммы ряда интегралов, берущихся по не-пересекающимся интервалам времени продолжительности > Т, и являющихся слабо зависимыми случайными величинами. Поэтому можно думать, что к соответствующей сумме должна быть применима так называемая центральная предельная теорема для слабо зависимых случайных величин, согласно которой распределение вероятностей суммы большого числа таких величин при некоторых широких условиях оказывается очень близким к нормальному. В последние годы центральная предельная теорема была при некоторых условиях доказана и непосредственно для интегралов вида (9.24) (см., например, Розанов (1963), где рассмотрен случай интеграла от стационарной случайной функции близкие теоремы имеются и для интегралов от некоторых нестационарных случайных функций). К сожалению, прямо воспользоваться этими доказательствами все же нельзя, так как фигурирующие в них условия, налагаемые на случайные функций, не могут быть точно проверены в применении к характеристикам реальных процессов ). Тем не менее, эти условия настолько естественны, что было бы крайне странно, если бы распределение вероятностей для смещения К(т) при существенно отличалось от нормального распределения. В некоторых случаях рас- [c.472]

Теоретически статистические характеристики случайных процессов и полей следует определять, усредняя нужные величины по всем реализациям процесса или поля. Практически же обычно при построении характеристик усреднение проводится по времени или по одной протяженной реализации поля. Для законности такого усреднения необходимо выполнение так называемого условия эргодичности. Суть его для случайных функций времени состоит в том, что для надежного определения средних интервал усреднения должен быть много больше, чем < время корреляции, определяемое по формуле (1.25), где под К следует понимать корреляционную функцию случайного процесса. [c.21]

Выберем в качестве основных оцениваемых величин следующие статистические характеристики случайного процесса плотность распределения среднее значение исследуемой величины автокорреляционные и взаимнокорреляционные функции спектральную и взаимную спектральную плотность. Подчеркнем, что при обсуадении методов оценки указанных статистических характеристик, основное внимание будет сосредоточено на рассмотрении особенностей, отличающих оценку этих характеристик для нестационарных случайных процессов от их стационарных аналогов, имея в виду, что последние хорошо изучены, достаточно известны и прочно вошли в научную и инженерную практику. Поскольку нестационарные процессы-суть такие, статистические свойства которых меняются во времени и в пространстве, разновидностей их чрезвычайно много. Поэтому нет единой методики, п 1менимой к нестационарным случайным процессам произвольного вида применимость той или иной методики ограничивается процессами нескольких типов. [c.15]

При анализе надежности работы механизмов и устройств, как и при других исследованиях случайных величин, нельзя упускать вопросы достоверности полученных характеристик надежности. При это1М следует иметь в виду, что тот объем наблюдений, который достаточен для достоверного определения эксплуатационных характеристик автоматической линии в целом, может оказаться недостаточным для определения характеристик надежности элементов этой линии (механизмов, устройств или инструмента). Поэтому в случае малого объема наблюдений при определении характеристик надежности возможны случайные ошибки. В связи с этим необходимо оценивать достоверность полученных характеристик надежности, т. е. определять согласованность принятого теоретического и статистического распределения случайных величин. Достоверность получеипых характеристик надежности обычно определяется по так называемым критериям согласия . Идея применения критериев согласия заключается в том, что на основании данного статистического материала необходимо проверить гипотезу, что случайная величина х подчиняется некоторому определенному закону распределения, который может быть задан в виде функции расп )еделеиия (х), в виде плотности распределения / (х) или в виде совокупности вероятностей того, что величина х попадает в пределы -го интервала. [c.97]

Для достоверной оценки математического ожидания и закона распределения случайной величины генеральной совокупности ее значений необходимы достаточно представительные выборки с числом реализаций случайной величины 100—150 и более. Для невосстанавливаемых элементов и систем однократного действия суммарная наработка, т. е. время реализации всех изменений со-характеристики, и рабочий интервал времени, когда набирается необходимый объем статистической информации об отказах niaxi для функции надежности сопоставимы (рис. 11, б). Поэтому в математическое выражение функции надежности Р (t) необходимо подставить функциональ- [c.77]

Рассмотрим вначале критерии, в основе которых лежит предположение о нормальном или логарифмически нормальном законе распределения изучаемой характеристики механических свойств. Такие критерии называют параметрическими. Статистические критерии, которые не используют информацию о виде функции распределения случайной величины, называют непарамётрическими критериями. [c.52]

При статистической обработке непрерывных процессов основным объектом является единственная выборочная функция времени (в виде электрического сиг. нала или записи), которую в дальнейшем в соответствии с терминологией, приид. той в теории случайных процессов, будем называть реализацией. Статистические характеристики представляют собой или скалярные величины (функционалы) и.гщ функции (обычно интегральные преобразования, определяемые непосредственно по реализации или по ее спектру). Для процессов некоторые характеристики явля-ются аналогами рассмотренных в предыдущем разделе выборочных характеристик совокупностей дискретных данных. Для реализации л (/), заданной на интервале (О, Т), основными являются следующие группы статистических характеристик. [c.92]

Метод статистической линеаризации. В теории нелинейных систем часто приходится встречаться с дифференциальными уравнениями, содержащими нелинейные функции, которые не линеаризуются обычными способами (например, разрывные функции). Для приближенного опредатения вероятностных характеристик решений дифференциальных уравнений можно применить метод статистической линеаризации. Этот метод основан на замене нелинейных функций такими линейными, которые в известном смысле статистически равноценны данным нелинейным функциям. Пусть две случайные величины X и У связаны функциональной зависимостью [c.137]

Метод статистического моделирования [13] применимдля расчета размерных цепей, в которых связь замыкающего и составляющих звеньед задана уравнением (3.16). Для расчета необходима ЭВМ. Метод статистического моделирования относится к численным методам решения, где используется моделирование случайных величин на вычислительных машинах. В расчетах используются случайные значения Ац размера, которые определяются в зависи мости от вида функции распределения (нормальный закон, Релея и т, д.). Для каждого случайного сочетания значений звеньев рассчитывается случайное значение замыкающего звена. Массив случайных значений замыкающего звена необходим для определения предельйых значений, среднего размера и других характеристик. Формулы для определения случайных значений Л /размеров приведены в табл. 3.22 (г — порядковый номер пробы). В расчетах используются квантили и in распределения для односторонних доверительных вероятностей Yb и Yh. соответствующих верхней и нижней границам рассеяния размеров (табл, 3.23). По случайным значениям Л у составляющих авеньев рассчитывают случайное значение Aj>j замыкающего звена (см. формулу (3.16)) [c.103]

Другой тип соотношений между статистическими характеристиками можно получить, введя в рассмотрение, наряду с лагранжевой скоростью У(х, ), представляющей собой значение случайной функции и(Х, О в случайной точке Х(х, О также случайную величину У(Хь х, t), относящуюся к фиксированной точке Х1 = Х(х, t), Значениями этой величины являются скорости тех жидких частиц, которые в момент 1 находились в точке х, а в момент 1 оказались в фиксированной точке Хь а ее плотность вероятности р(У Хь х, t)—это условная плотность вероятности величины У(х, t) при условии, что Х(х, 1) = Х1. Поэтому, строго говоря, величина У(Хь х, t) не является ни чисто лагранл<евой, ни чисто эйлеровой. Однако мол<но ожидать, что при возрастании [c.490]

При не слишком малом т распределение р(У т х, о) уже не может быть выражено через эйлеровы статистические характеристики. Однако если т > Г, то правая часть (10.24) может быть представлена в виде суммы ряда интегралов, берущихся по непересекающимся интервалам времени продолжительностью более Т и являющихся слабо зависимыми случайными величинами. Поэтому к этой сумме должна быть применима центральная предельная теорема для слабо зависимых случайных величин, согласно которой распределение вероятностей суммы большого числа таких величин при некоторых широких условиях оказывается очень близким к нормальному. В последние годы центральная предельная теорема была при некоторых условиях доказана и непосредственно для интегралов вида (10.24) (см., например, Розанов (1990), где рассмотрен случай интеграла от стационарной случайной функции близкие теоремы имеются и для интегралов от некоторых нестационарных случайных функций). К сожалению, прямо воспользоваться этими доказательствами все же нельзя, так как фигурирующие в них условия, налагаемые на случайные функции, не могут быть точно проверены в применении к характеристикам реальных процессов. Тем не менее эти условия настолько естественны, что было бы крайне странно, если бы распределение вероятностей для смещения У(т) при т > Г существенно отличалось от нормального распределения. В некоторых случаях распределение для (т) (или хотя бы для отдельных компонент этого вектора) может быть найдено экспериментально с помощью измерения распределения концентрации в различных сечениях облака , создаваемого источником примеси (например, распределения температуры в различных сечениях теплового следа за нагретым телом). Таким образом, удалось и экспериментально показать, что во многих турбулентных течениях распределение для (т) при больших т действительно очень близко к нормальному, причем в частном случае турбулентности в аэродинамической трубе за решеткой оказалось, что оно является почти нормальным при всех значениях т (см., например, Коллис (1948), Таунсенд (1951), Уберои и Корсин [c.494]

Для удобства, наряду со статистическими характеристиками, введем понятие о вероятностных характеристиках случайных величин— погрешностей измерений, как о характеристиках генеральной совокупности случайной величины. Вероятностные характеристики— это хара-ктеристики (параметры) функций распределения вероятностей случайной величины и, как таковые, являются детер-мпнированными величинами. [c.99]

Другой тип соотношений между статистическими характеристиками можно получить, введя в рассмотрение наряду с лагранжевой скоростью V x,t), представляющей собой значение случайной функции а(ЛГ, 1) в случайной точке Х(х, I), также и случайную величину х, 1), относящуюся к фиксиро- [c.468]

Случайное поле I (К) можно определить, только задавая его статистические характеристики. По примеру задач о сшшах в решетке ( 1.5 и 1.7) или о распределении атомов в пространстве ( 2.7) введем различные функции распределения для величин (К). Так, функция Р ( , К) определяет плотность вероятности найти случайную величину в интервале в точке К. [c.136]

Абстрактные модели потока r(i). В алгоритмах обработки данных сейсморазведки поток r t) рассматривается как реализация некоторого случайного процесса, задаваемого своими статистическими характеристиками, например, автокорреляционной функцией или ее пара-метрами - дисперсией и радиусом корреляции, а также законом распределения значений г. Абстрактной моделью потока r t) независимо от макроструктуры среды v условий регистрации как правило считается стационарный эргодический центрированный гауссов белый шум. У такого процесса любой отсчет статистически не связаь (не коррелирован) ни с одним другим отсчетом, включая соседние, т. е. радиус корреляции менее шага дискретности по времени. Среднеквадратичная величина отсчетов процесса обычно порядка 0,01 - 0,001. [c.33]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...