Аналитические функции и уравнение Лапласа

Аналитические функции и уравнение Лапласа [c.181]

Эта точка не может быть точкой максимума или минимума функции Re/г (г), так как согласно условиям Коши — Римана [см. (4) 1] вещественные (и мнимые) части аналитических функций удовлетворяют уравнению Лапласа (г = х + iy) [c.561]

Обратно, если мы предполагаем, что w есть аналитическая функция переменной г, то действительная и мнимая части этой функции представляют собой потенциал скоростей и функцию тока для некоторого возможного двумерного безвихревого движения жидкости, так как они удовлетворяют уравнениям (1) и уравнению Лапласа. [c.149]

Между аналитическими и гармоническими функциями имеется тесная связь. Пусть w (г) = и х, у) + iv х, у) — аналитическая функция на области D. Тогда для любых z D существуют частные производные ди/дх, ди/ду, dv/dx, dv/dy и выполняются условия Коши—Римана. Предположим дополнительно, что производные ди/дх, ди/ду, dv/dx, dv/dy сами непрерывно дифференцируемы (можно доказать, что аналитическая функция обладает непрерывными производными любых порядков и, следовательно, это предположение соответствует действительности). Дифференцируя первое равенство (5.6) по х, второе по у и складывая, приходим к уравнению Лапласа (5.7). Точно так же, дифференцируя первое равенство (5.6) по у, второе по д и вычитая, приходим к уравнению Лапласа дЪ/дх -f d v/dy = 0. Таким образом, установлено, что действительная и мнимая части аналитической функции являются функциями гармоническими. Более того, установлено, что функции класса С, связанные условиями Коши—Римана, — гармонические. [c.179]

Отметим, что при построении решения и = /(Й) волнового уравнения требовалось выполнение соответствующих условий дифференцируемости /(О) по О. Действительно, если функция x,y,t) при вещественных значениях переменных принимает в плоскости комплексного переменного 2 = л + 1у значения, заполняющие некоторую область, то следует предположить, что функция /(О) аналитическая в этой области, В скрытой форме это предположение, как известно, содержит в себе уравнение Лапласа для действительной и мнимой частей функции /. Примером этого рода служит решение и = х у). Если же функ- [c.432]

Связь с теорией функций комплексной переменной. Решение краевых задач для уравнения Лапласа от двух переменных существенно упрощается применением методов теории аналитических функций комплексной переменной Z = X +/у. Если /(г) = а +/w есть аналитическая функция, то функции и (х, у) и t (х, >() удовлетворяют уравнению Лапласа и связаны соотношениями Коши —Римана [c.250]

Действительная и мнимая части аналитической функции / г) удовлетворяют уравнению Лапласа [c.196]

В связи с вышеизложенным, получим аналитическое решение системы уравнений (2.30) с построением функций Грина для перемеш,ений и (а), v(a). Для решения данной задачи воспользуемся аппаратом интегральных преобразований Лапласа, где оригиналами выступают перемеш,ения и а), v(a). Согласно теореме о дифференцировании оригинала [103] будем иметь [c.90]

Таким образом, как действительная, так и мнимая части любой аналитической функции (производные которой зависят только от г) по отдельности являются решениями уравнения Лапласа. Функции аир называются сопряженными гармоническими функциями. [c.48]

Многое из того, что составляет основу метода ГИУ в его аналитическом и вычислительном аспектах, выясняется при проводимом ниже рассмотрении. Предположим, что в точках тела В разыскивается функция ф, удовлетворяющая уравнению Лапласа [c.12]

Ясно, что изложенный метод решения граничных задач для уравнения Лапласа является весьма общим. Функции f и g могут быть в достаточной степени произвольными, и поверхность дВ тела В может иметь весьма нерегулярную форму. В большинстве случаев рассмотрение разрывов функций или касательных плоскостей к дВ потребует, и то не всегда, лишь незначительного изменения описанной схемы. Однако для большинства представляющих практический интерес задач об аналитическом решении уравнения (4) не может быть и речи. В силу этого надлежит искать эффективные численные подходы, что может быть достигнуто различными методами. Один из таких методов, очевидно простейший и в то же время неожиданно хорошо работающий, описывается ниже. [c.13]

Покажем теперь, что действительная и мнимая части аналитической функции комплексного переменного удовлетворяют уравнению Лапласа. [c.287]

Из простого дифференцирования соотнощения (3.219) следует, что обе функции и х, у) и v x, у) удовлетворяют уравнению Лапласа. Поэтому обе они являются потенциальными функциями. Это очень важное заключение. Оно означает, что можно построить бесконечное количество потенциальных функций, взяв просто действительную и мнимую части любой аналитической функции. Трудность, естественно, заключается в удовлетворении заданным граничным условиям. [c.111]

Как известно, любая аналитическая функция комплексного переменного удовлетворяет уравнению Лапласа (2-6-1), поэтому в основе метода конформных отображений лежит сведение заданной сложной области с помощью некоторой аналитической функции к простейшей области (например, полуплоскости), для которой решение получить нетрудно. При этом уравнение Лапласа (2-6-1) и граничные условия сохраняют свой вид. Поэтому, если в полученной простейшей области мы подберем аналитическую функцию, удовлетворяющую рассматривае,-мым граничным условиям, задача считается решенной. [c.135]

В предыдущих разделах настоящей главы были представлены решения некоторых задач плоского течения, имеющих практическое значение. При этом были использованы некоторые из наиболее мощных аналитических методов теории потенциала. Так как мы в первую очередь заинтересованы в физической интерпретации и значении этих задач, то нами были показаны только те методы, которые имеют непосредственное приложение к проблемам некоторого практического значения . Однако существует ряд общих выводов, имеющих практический интерес, которые можно будет достаточно хорощо обрисовать здесь и которые не зависят от таких подробных данных, которыми характеризовались уже рассмотренные задачи. В качестве первого вывода следует упомянуть, что в целом каковы бы ни были отдельные формы граничных контуров, течение в любой системе замкнутых поверхностей всегда пропорционально разности давлений между поверхностями, через которые движется жидкость и от которых она движется при условии, что оба ряда поверхностей имеют постоянное давление каждый. Это положение можно рассматривать как само собой очевидное следствие линейности уравнения Лапласа. Его можно вывести также, пользуясь методом функции Грина. Однако представляет собой интерес показать следу- [c.190]

Доказанное свойство передаточной функции очень часто используется при исследовании технологических объектов. Большинство таких объектов описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных. Как правило, получить точное аналитическое решение этих систем уравнений невозможно. Однако можно упростить дифференциальные уравнения, если применить к ним преобразование Лапласа по времени. При этом обыкновенные дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические уравнения для функций й р) и v p), а уравнения в частных производных — в обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие производные только по пространственной координате. Решая преобразованную систему уравнений можно получить выражение v p) через й р). Используя затем соотношение (2.2.77), найдем передаточную функцию W p), с помощью которой удобно описывать оператор объекта. После того как найдена функция W p), можно определить весовую функцию g t) и переходную функцию h(t). Для этого достаточно по таблицам преобразований Лапласа определить оригиналы функций [c.71]

Реализация математических моделей теплообменников на ЭВМ сводится к вычислению массива комплексных значений передаточных функций непосредственно по приведенным выше аналитическим выражениям при заданных значениях комплексного параметра преобразования Лапласа (частоты) и коэффициентов уравнений динамики для каждого теплообменника. [c.129]

Сущность аналитического подхода к построению динамической модели заключается в том, что интегральное уравнение (10.50) при определенных условиях может быть сведено в интегральному уравнению Вольтерра первого рода типа свертки, которое просто решается при помощи преобразования Лапласа. Пусть по результатам теоретического анализа или статистической обработки экспериментальных данных заданы корреляционная функция Кхх (О входной случайной функции X (t) и взаимная корреляционная функция Кух (О входной X (t) и выходной Y (О случайных функций. Представим корреляционную функцию Кхх W в виде [c.336]

Как известно, задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа решаются с помощью потенциалов простого и двойного слоев, а при решении краевых задач для других дифференциальных уравнений применяются различного рода обобщенные потенциалы. Краевые задачи теории аналитических функций комплексного переменного, к которым приводятся задачи плоской теории упругости, [c.135]

Следовательно, есди две функции а и переменных х м у являются действительной и мнимой частями некоторой аналитической функции / (z), то каждая из них будет решением уравнения Лапласа. Уравнение Лапласа встречается во многих физических задачах, включая задачи теории упругости (см., например, уравнение (б) 17). [c.182]

Примем вначале, для простоты, что Q — аналитическая функция своего аргумента. Нетрудно усмотреть, что потенциал скоростей (17.5), удовлетворяюш,ий волновому уравнению, можно рассматривать как обобш,ение соответствуюш его потенциала от источника в несжимаемой жидкости ф = —Q (1)/4яг, удовлет-воряюш,его уравнению Лапласа. Действительно, при малых г, разложив Q в ряд Тейлора, получим выражение [c.214]

Наиболее замечате-ньные результаты были получены в XIX в. в области исследования плоских установившихся потенциальных течений несжимаемой жидкости. Еще Ж. Лагранж (1781) ввел функцию тока для плоских течений удовлетворяющую для безвихревых течений, как и потенциал скорости, уравнению Лапласа. Кинематическое истолкование функции тока было дано В. Ренкином Разработка аппарата теории функций комплексного переменного дала возможность широко развить методы исследования плоских задач движения несжимаемой жидкости, которые в самом начале развивались совместно со смежными исследованиями задач электростатики. Первые работы, в которых при помощи теории аналитических функций исследуются простейшие задачи электростатики и гидродинамики, относятся к 60-м годам. Существенное развитие области применения теории функций в гидродинамике связано с изучением открытого Г. Гельмгольцем класса так называемых струйных течений жидкости — течений со свободными ли-78 ниями тока, на которых давление сохраняется постоянным. Интерес к этим течениям возник в связи с попытками получить на основе модели идеальной жидкости реальные картины обтекания тел с образованием силы лобового сопротивления и без бесконечных скоростей. [c.78]

Изучению осесимметричных продольных колебаний плоских изотропных круговых пластин с центральным отверстием посвящена публикация [17]. Модуль упругости и плотность материала пластины полагались зависящими от радиальной координаты, а напряжения на внещнем и внутреннем контурах считались функциями времени. Начальные условия принимались нулевыми. Применяя к уравнению движения конеч-, ное преобразование Ханкеля по пространственной координате и преобразование Лапласа по времени, автор получил аналитическое выражение для перемещений и напряжений для неоднородной пластинки, подвергнутой действию динамической нагрузки по контуру в срединной плоскости. [c.290]

Действительная и мнимая части аналитической функции комплексного переменного как решения диференциальног< уравнения Лапласа. Рассмотрим теперь явления плоского, или двухразмерного, движения жидкости. Хотя такие движения в строгой форме едва ли встречаются в действительности, тем не менее многие движения жидкости—по крайней мере определенные области движения — могут рассматриваться приближенно, именно как плоские. Главное преимущество такого представления о течениях заключается в упрощении математического исследования. Однако это упрощение обусловливается не уменьшением числа независимых переменных места (такое упрощение возможно и в отнощении трехразмерных движений, симметричных относительно оси вращения), а тем, что, поскольку плоское явление зависит только от двух прямоугольных координат х, > ), диференциальное уравнение v aIrлa a удовлетворяется как действительной, так и мнимой частью любой аналитической функции комплексного аргумента х- 1у. [c.139]

Из этих так называемых диференциальных уравнений Коши-Римана, вытекающих непосредственно из предположения, что Ф и суть действительная и мнимая части аналитической функции комплексного переменного х- -1у, могут быть получепы вторичным частным диференциро-ванием по х и у опять диференциальные уравнения Лапласа. [c.140]

Различные специальные вопросы. Недавно С. М. Белоносову И—3] удалось получить интегральные уравнения плоской задачи, пригодные, вообще говоря, и в случае угловых точек ). Рассматриваемая область (конечная или бесконечная), ограниченная кусочно-гладким контуром L, отображается на правую полуплоскость Re С >0 плоскости вспомогательного переменного + iii]. Затем для искомых комплексных потенциалов ф и -ф, регулярных в правой полуплоскости, получаются функциональные уравнения, аналогичные уравнениям, данным в 78. Эти функциональные уравнения после применения к ним одностороннего преобразования Лапласа приводят к интегральному уравнению с действительным симметричным ядром относительно неизвестной плотности интегрального представления. Если контур L не содержит угловых точек и вообще достаточно гладок, то ядро уравнения, определенное для обеих переменных на всей бесконечной прямой, является фредголь-мовым. В общем случае при наличии угловых точек оно уже не будет фредгольмовым, но будет принадлежать к типу ядер Карлемана. Для частных случаев клина и бесконечной полосы интегральное уравнение допускает обращение по формуле Римана — Меллина и решение задачи находится в замкнутом виде (в квадратурах). Ядра интегральных операторов, входящих в решение задачи, не выражаются, правда, в элементарных функциях, но их всегда можно аппроксимировать с достаточной точностью простыми кусочно-аналитическими функциями. В названной выше работе [c.598]

Для установления аналитической зависимости К и О от внешних факторов Ирвин рассмотрел пластину с центральной и краевой трещиной [достаточно большую, так что зона пластической деформации мала по сравнению с шириной пластины (рис. 36)]. Решение такой задачи в рамках теории упругости дано в работах [43, 54]. Для плоского случая Вестергаард [54] дал простое решение задачи с иапользованием потенциальной функции, являющейся решением дифференциального уравнения Лапласа, которую можно представить в виде действительной (Не2) и мнимой (1т2) частей функции Z=f(x+iy). Он использовал добавочную систему обозначений Z есть производная 2, в свою очередь 2 — [c.57]

Отсюда вццно, что перемещение в отличие от той же компоненты при антиплоской деформации упругого тела, вообще говоря, не удовлетворяет уравнению Лапласа. Для того чтобы можно было воспользоваться выражениями для перемещения и напряжений через аналитическую функцию (2.1.9), представим перемещение в области разгрузки в виде суммы [c.111]

Значительное место в его творчестве занимают вопросы теории ньютоновского потенциала, разработанные им в строго классическом направлении. Отправляясь от фундаментальных работ А. М. Ляпунова, относящихся к проблеме фигур равновесия, Леонид Николаевич живо и оригинально строит решение граничных задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа. В .предположении постоянной плотности он доказывает известную теорему П. С. Новикова по обратной задаче ньютоновского потенциала, а также исследует вопрос об аналитическом продолжении функций, представимых потенциалами. Эти результаты нашли освещение в опубликованной в 1946 г. монографии Теория ньютоновского потенциала , к которой примыкают две другие работы Об одной обратной задаче теории потенциала (1938 г.) и О единственности определения формы притягивающего тела по значениям его внешнего потенциала (1954 г.). Интерес Леонида Николаевича к этим вопросам не ослабевал до последнего времени ( К теории сфероида Лапласа , 1968 г.). [c.10]

Вне зоны пластического течения неремегцение щ удовлетворяет уравнению Лапласа. Пермегцепие щ — гармоническая функция неременной г = Х + гх2, и ее можно представить как мнимую часть некоторой аналитической функции [c.222]

Последняя задача может быть приближенно решена подбором в качестве потенциальной функции линейного сочетания частных функций, которые удовлетворяют граничным условиям, но не удовлетворяют уравнению Лапласа, т. е. методом Ритца, или же удовлетворяют уравнению Лапласа, но не граничным условиям, т. е. методом Трефтца. Подобрав такие ряды частных функций, приводим фактический процесс аналитического решения, необходимого для получения приближенного результата, к решению систем совместных линейных алгебраических уравнений для нахождения постоянных коэфициентов в линейных сочетаниях частных функций. Коэфициенты в этих алгебраических уравнениях представлены интегралами, которые включают частные функции и заранее установленные граничные значения, которые допускаются точным решением на контурах. [c.213]

Эксперименты на песчаных моделях с трехразмерными гравитационными течениями. Теперь становится ясным, что в свете рассмотрения, проведенного в гл. VI, п. 17, уравнения (5) и (9) гл. VI, п. 17, базирующиеся на теории Дюпюи-Форхгеймера, дающие форму свободной поверхности и величину расхода при гравитационном радиальном течении, едва ли могут считаться в какой-либо степени справедливыми без прямого эмпирического или точного аналитического подтверждения. Однако эти уравнения были поставлены под сомнение только в 1927 г., когда Козени опубликовал свою первую попытку решить проблему течения прямыми методами потенциальной теории . Так, начав с уравнения Лапласа [(2), гл. VI, п. 1], он сделал попытку синтезировать решение, удовлетворяющее граничным условиям гравитационного течения с помощью элементарных решений того типа, который был применен нами для исследования проблемы несовершенных скважин [уравнение (7), гл. V, п. 3]. К сожалению, точные граничные условия не были приложены им к решению этой задачи. Так, расход через систему был принят соответствующим линии тока, входящей в колодец на уровне жидкости в последнем. Однако в колодце, как уже было отмечено, будет иметь место определенный разрыв непрерывности, так что свободная поверхность системы будет входить в колодец над уровнем жидкости в последнем, давая толчок к образованию поверхности фильтрации. Тогда решение будет состоять только из постоянных членов и ряда функций Ганкеля, и радиальные скорости на значительных расстояниях от колодца станут экспоненциально исчезающе малыми. Однако с физической стороны ясно, что в точках, удаленных от поверхности колодца, радиальные скорости должны асимптотически приближаться к соответствующим значениям в строго двухразмерном радиальном течении. Поэтому потенциальная функция в таких точках асимптотически приближается к логарифмическому изменению или содержит, очевидно, логарифмический член, как это имеет место, например, в уравнении (5), гл. VII, п. 20 (vide infra). Наконец, потенциальная функция Козени не обладает характеристикой, требуемой каждым точным решением проблемы гравитационного течения, а именно, чтобы наивысшая линия тока была линией тока свободной поверхности с потенциалом, пропорцио- [c.302]

Векторы электрического и магнитного полей Т-волны в одиночных и связанных ЛП с однородным магнитодиэлектрическим заполнением удовлетворяют уравнениям Лапласа. Это позволяет использовать для построения моделей элементов такого вида аналитический аппарат теории функций комплексного пере-меииого (методы конформных отображений). Большое количество результатов, полученных таким образом для однородных ЛП различных типов (в основном образованных плоскими поверхностями), содержится в [19, 103]. [c.34]

Основываясь на соотношении между преобразованиями Лапласа и Фурье, эту методику можно реализовать на ЭВМ путем расчета частотных характеристик. При этом переменная перобразования Лапласа рассматривается как комплексный параметр, принимающий ряд ио-следовательных значений из некоторого диапазона. Для каждого значения этого параметра проводится решение системы изображающих уравнений и определяются численные комплексные значения изображений 2(s). Эти значения могут определяться как путем численного решения системы изображающих уравнений, так и расчетом по явным выражениям передаточных функций, если их удается определить аналитически. Совокупность значений изображения каждой из выходных координат во всем диапазоне изменения комплексного параметра преобразования Лапласа (частоты) определяет частотную 7 99 [c.99]

Первый этап,— аналитическое решение уравнений динамики, записанных в пространстве и.зображений по Лапласу для отдельного теплообменника. Аналитические выражения передаточных функций некоторых моделей теплообменников приведены выше. [c.352]

Аналитические методы определения характеристик объектов регулирования основаны на составлении их дифференциальных уравнений. Составление дифференциальных уравнений базируется на использовании основных физических законов сохранении массы, энергии и количества движения. Как правило, таким путем удается получить нелинейное уравнение объекта, аналитическое решение которого в общем случае не может быть получено. Следующим шагом является линеаризация полученного уравнения, т. е. переход к линейной математической модели объекта. Линеаризация обычно проводится путем разложения нелинейных зависимостей в ряд Тейлора в окрестности исходного станционарного режима с сохранением только линейной части разложения и последующим вычитанием уравнений статики. Полученная таким образом линейная модель объекта справедлива лишь при малых отклонениях от исходного стационарного режима. Решение уравнений при ступенчатом или импульсном изменении входных величин позволяет получить соответственно переходные функции (кривые разгона) или импульсные временные характеристики объектов. Решение часто проводят в области изображений Лапласа или Фурье. В этом случае получают соответственно передаточные функции или амплитудно-фазовые характеристики. [c.817]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...