Общее решение уравнений в перемещениях

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ [c.76]

В 9Л мы рассматривали общее решение уравнений в перемещениях [c.560]

При сферической симметрии общее решение уравнения в перемещениях таково [c.121]

Если объемные силы и температура как функции координат известны и на границе заданы перемещения, то из уравнений (5.1) с известными начальными данными можно найти перемещения внутренних точек тела и таким образом решить задачу теории упругости в перемещениях. Напряжения после этого вычисляются с помощью закона Гука. Уравнения совместности деформаций при такой постановке задачи удовлетворяются автоматически, так как формулы, выражающие деформации через перемещения, представляют собой, как известно, общее решение уравнений совместности. [c.343]

Однако может быть доказано, что в случае односвязной конечной области общее решение уравнений равновесия в перемещениях может быть представлено в таком виде лишь при условии [c.130]

В гл. 3 и 4 будут использоваться, например, следующие общие решения решение а = вида (17) системы физических уравнений а" — a eki — 0 параметрические общие решения уравнений равновесия в функциях напряжений, уравнений неразрывности (параметры — перемещения), статических граничных условий в функциях напряжений и деформационных граничных условий для оболочек и др. [c.22]

Рассмотрим действие плоской гармонической волны сжатия, потенциал которой определяется формулой (4.5), на жесткое круговое включение, впаянное в тонкую упругую пластину. Для определения напряженно-деформированного состояния в пластине требуется определить решение уравнений (4.1) при соответствующих граничных условиях на поверхности ядра. Напряжения и перемещения выражаются через волновые функции посредством формул (3.71), общее решение уравнений (4.1) с учетом условий излучения — посредством формул (4.7). Можно рассмотреть два типа включений и соответствующих им граничных условий. Для фиксированного включения граничные условия состоят в том, что перемещения на его поверхности равны нулю [123] [c.83]

В выражениях (5) — (7) общий символ (и, у или w) со звездочкой означает полное рещение для данной части конструкции, нулем помечено частное рещение, общее решение без индекса. Для кольца общее решение уравнения (7) разделяется в свою очередь на две части — сферическую и тороидальную, для которых используются прописной и строчной символы соответственно. Обозначения компонент перемещений и напряжений для цилиндрической оболочки приведены на рис. 3, а, а для сферической оболочки — на рис. 3, б. Система перемещений и напряжений для кольца аналогична показанной на рис. 3, а. [c.157]

Исходя из соотношения (12.16), можно получить другие общие решения уравнений теории упругости. Если, в частности, принять в них Ф = 0, то вектор Ь, как следует из (12.14) и (9.4), только множителем будет отличаться от вектора перемещения и. Таким образом, имея вектор перемещения и, удовлетворяющий уравнениям теории упругости в перемещениях при отсутствии объёмных сил, можем рассматривать этот вектор как дивергенцию некоторого тензора функций напряжений, являющегося девиатором симметричного тензора [c.62]

Среди решений системы уравнений (1) важное значение имеют частные решения, т. е. решения, которые удовлетворяют системе уравнений в перемещениях, но не удовлетворяют граничным условиям или удовлетворяют только некоторым из них. Из частных решений иУ можно составить общее решение в виде либо конечного, либо бесконечного ряда и1 = а и1, причем коэффи- [c.180]

Достаточно общий метод решения задачи об упругом полупространстве дал Снеддон 1). Он основан на интегральном преобразовании Фурье по двум переменным, примененном к уравнениям в перемещениях, и приведении полученных уравнений к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.248]

Для уравнения (136) было найдено общее решение уравнений плоской задачи ортотропного тела [27 ], представленное через две функции напряжений и перемещений u>i и О) 2- В общем виде для этого случая компоненты перемещений имеют вид. ..... [c.190]

Решение общих уравнений в перемещениях можно искать с такой же зависимостью от угловых координат =Uq (г) sin 26 sin 2ф и т.д. Для функций и (г) получается система эйлерова типа, ее общее решение состоит из степенных функций соответствующие громоздкие выкладки приведены в [45J. При / -> О решение ограничено, при г = а непрерывны и и т, а при г з и превращается в (6,4), Вычислив энергию по формуле Эшелби, получим эффективный модуль ц [45]. Для жесткого включения оказывается = 1 + 5 с/2 (формула [c.310]

При рациональном выборе основной системы неизвестные в уравнениях перемещений будут разделены, т. е. в каждое из уравнений войдет меньшее число неизвестных. Конечно, общее число уравнений останется неизменным (равным числу лишних неизвестных), но вместо решения одной системы уравнений с большим числом неизвестных решать придется несколько более простых систем. [c.199]

В дискретном методе (глава X), предложенном Л. П. Винокуровым, искомые функции (перемещения, напряжения) представляют в дискретной конечно-разностной форме для всех переменных, кроме одной, в отношении которой функции определяют в аналитической форме из системы дифференциальных уравнений. Рассматриваемый метод дает возможность дифференциальные уравнения в частных производных заменить системой обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющей форму общего решения, при которой можно удовлетворить различным краевым условиям. [c.15]

Решение уравнений пластичности в общем случае весьма сложно. Поэтому имеются приближенные решения, которые значительно упрощают общие рещения. Метод упругих решений, основанный на принципе последовательных приближений, нашел широкое применение в приближенном решении задач пластичности. При этом решается задача теории упругости для заданных внешних сил X, У, 2, а, <3г и находятся перемещения и, [c.108]

Различные случаи поведения внешней нагрузки. В 1.1 получены общие векторные уравнения равновесия стержня, нагруженного внешними силами и моментами (1.31) — (1.35). Решить уравнения равновесия или движения можно только в том случае, когда внешняя нагрузка известна. Поэтому подразумевается, что вся необходимая для решения уравнений информация о внешних силах и моментах, а также о поведении внешних сил при больших перемещениях осевой линии стержня известна. [c.23]

Для указанных тел чаще всего нет возможности получить элементарные формулы для определения напряжений, деформаций, перемещений. В то же время существуют некоторые общие пути решения задач, основанные на уравнениях, описывающих деформацию упругой среды под нагрузкой. Последовательное применение такого подхода, в принципе, дает возможность исследования сил упругости и перемещений в элементе конструкции любой формы. Эти уравнения и методы их решения изучаются в курсе теории упругости и пластичности. [c.6]

Для решения задач устойчивости, как мы уже выяснили, уравнения равновесия должны составляться для деформированного состояния упругого тела. Соответственно, применяя вариационное уравнение, в нем необходимо удерживать квадратичные члены в формулах для деформаций, как это было сделано для общей теории в 12.2 и для задачи об устойчивости стержня в 12.3. В задачах изгиба пластин достаточно удерживать те квадратичные члены, которые зависят от прогиба w, производные от перемещений мы сохраним лишь в первой степени. Повторяя вывод 12.4, мы найдем, что формулы (12.4.3) сохранят силу и в этом случае, но компоненты деформации срединной поверхности нужно будет вычислять по формулам [c.411]

Для—решения этой задачи воспользуемся формулами для напряжений (6.35), полученными из общего решения осесимметричной задачи в перемещениях. Так как наша задача относится к случаю плоской деформации, то уравнения для напряжений должны включать упругие постоянные и VJ согласно формулам Рис. 35 (5.6), т. е. иметь такой вид [c.102]

Ряд таких членов, отвечающий ряду для температуры Т, будет представлять частное решение общих уравнений (6J. Перемещения можно вычислить с помощью уравнений (а) или их аналогов в полярных координатах [c.484]

Несмотря на то, что общий план решения задач теории упругости в перемещениях или напряжениях достаточно ясен, реализация этого плана представляет весьма большие трудности, и в общем виде решить эти уравнения пока не представляется возможным. Лишь для простейших случаев удается получить решение задачи теории упругости, однако эти решения задач в самой общей постановке представляют очень большую ценность. Точные решения задач теории упругости являются своеобразным эталоном, с которым можно сравнивать приближенные решения, полученные в результате введения определенных дополнительных деформационных гипотез. [c.56]

Задачи, не разрешимые методами статики твердого тела, в которых число неизвестных сил превышает число уравнений статики, называют статически неопределимыми. Методами сопротивления материалов эти задачи разрешимы, так как всегда есть возможность доба-В Ить к уравнениям рав новесия, которых недостаточно для решения, дополнительные уравнения перемещений. В результате общее число уравнений оказывается равным числу неизвестных, и задача оказывается разрешимой. Способы составления уравнений перемещений рассмотрим. на примерах расчета разных типов статически неопределимых систе.м. [c.69]

Реакции упругих опор учли в виде сосредоточенных сил, пропорциональных соответствующему перемещению. После получения общего решения из граничных условий нашли частотное уравнение. В промышленных условиях выполнили экспериментальное исследование по определению вынужденных колебаний и сравнили их с найденными значениями частот, что позволило дать рекомендации по выбору жесткости станины. На втором этапе рассмотрели вынужденные колебания станины. Дифференциальные уравнения поперечных колебаний в плане и в вертикальной плоскости выписали по типу уравнения (4) и дополнительно учли начальную погибь в плане и в вертикальной п.лоскости и эксцентриситет приложения нагрузки. Решения этих уравнений разыскивали в виде рядов, представляя значения погиби и эксцентриситета, также аппроксимированные рядами. [c.133]

Решения, полученные на основе безмоментной теории, если они оказываются медленно изменяющимися и удовлетворяют граничным условиям на контуре оболочки, мало отличаются от точных. Если эти решения не удовлетворяют граничным условиям, наложенным на нормальные перемещения, углы поворота или соответствующие усилия, то часто можно получить достаточно точный результат, учитывая дополнительно краевой эффект. Кроме того, как и в симметрично нагруженных оболочках вращения (гл. 3), медленно изменяющиеся решения безмоментной теории мол<но рассматривать как приближенные частные решения уравнений общей теории. [c.289]

Однако это равенство правильнее называть не общим решением уравнений Ламе, а функциональным представлением в форме Папко-вича—Нейбера вектора перемещения и в упругом изотропном однородном теле. [c.78]

Пластинка, толщина которой б мала по сравнению с остальными размерами, подвергается действию приложенных по контуру сил, лежащих в срединной плоскости пластинки. Положим, что нам известен закон распределения напряжений. Задача заключается в том, чтобы найти, как изменятся напряжения, если в какой-либо точке пластинки, удаленной от контура, сделать круглое отверстие малого диаметра. Частный случай поставленной задачи решен Г. Киршем ), им разобран случай растяжения пластинки. Свое решение Г. Кирш получил путем подбора. Процесса этого подбора решения он не приводит, а дает окончательные значения перемещений и деформаций и показывает, что они удовлетворяют основным уравнениям теории упругости. Недавно вышла по этому же вопросу новая работа П. А. Велихова ). Хотя автор в начале своей работы и указывает, что ему при отыскании решения много помогла гидродинамическая аналогия, но в действительности опять все сведено к постепенному подбору решения. В заключение этой работы автор приходит к результатам Г. Кирша. Ниже мы подробно остановимся на работе П. А. Велихова, здесь же предлагаем решение задачи прямым путем, а не путем подбора. Такое решение вполне возможно, если рассматривать задачу как плоскую и воспользоваться общим решением ее в случае кругового кольца ). [c.106]

Метод исследования состоит в том, что для каждого узла записываются уравнения равновесия и условия совместности и решаются относительно неизвестных, введенных таким обт разом, чтобы через них можно было определить все усилия, моменты, напряжения, перемещения и повороты. Для каждой части конструкции общее решение задается в виде суммы ре-шения по безмоментной теории и решения от краевого эффекта. Выражения решений от краевого эффекта для цилиндри ческой оболочки взяты из работы Хетеньи [8], а для сферической оболочки — из работы Лекки [9]. Ни одно из решений [c.60]

В заключении второй части книги рассматриваются малые прогибы тонких упругих оболочек, излагается линеаризированная теория устойчивости оболочек. Приведенные здесь общие уравнения устойчивости цилиндрических оболочек в перемещениях, вызванных потерей устойчивости, известны как уравнения Тимошенко. Дается решение этих уравнений для случая внешнего поперечного давления и равномерного продольного сжатия. Последний случай особенно интересен. Автором впервые изучена теоретически неосесимметрвганая форма потери устойчивости и показано, что в этом случае при выпучивании по коротким продольным волнам выражение для продольной критической нагрузки совпадает с формулой для критической нагрузки при симметричном волнообразовании. Здесь описан также метод расчета на устойчивость оболочек за пределом упругости. Наконец, излагается общее решение уравнений малых осесимметричных деформаций сферической оболочки и их щ)имвнение к различным случаям нагружения. [c.7]

Во второй главе рассматриваются основные уравнения задачи термоупругости в квазистатической постановке, когда не учитываются связывающий член в уравнении теплопроводности и инерционные члены в уравнениях равновесия. Рассмотрение этого вопроса в специальной главе оправдывается тем, что квазистатическая задача термоупругости имеет наибольшее практическое значение в обычных условиях теплообмена тепловые потоки, образующиеся вследствие деформации, и динамические эффекты, обусловленные нестационарным нагревом, настолько невелики, что соответствующие члены в уравнениях могут быть отброшены и система уравнений распадается на обычное уравнение нестационарной теплопроводности и уравнения, описывающие статическую задачу о термоупругих напряжениях при заданном температурном поле, вызванном внешними источниками тепла. Здесь при изложении постановки квазистатической задачи термоупругости в перемещениях представление общего решения выбрано в форме, полученной П. Ф. Папкови-чем в 1932—1937 гг. В этой форме решение однородного уравнения для вектора перемещения содержит произвольные гармонические вектор и скаляр, а частное решение соответствующего неоднородного уравнения, отвечающего заданному температурному полю, определяется через скалярную функцию, получившую название термоупругого потенциала перемещений, которая удовлетворяет уравнению Пуассона. [c.7]

В шестой главе на основе представления общего решения уравнений теории упругости в перемещениях в форме П. Ф. Пап-ковича исследуются осесимметричные задачи термоупругости для цилиндра и полой сферы при заданных температурных полях (стационарных или нестационарных). Функциональный произвол в представлении общего решения здесь используется так, чтобы наиболее просто удовлетворить граничным условиям. [c.9]

Это решение с указанием, что из него получаются ранее известные, но без упоминания о его обш ности , было предложено Ж. Буссинеском еще в 1889 г. П. Ф. Папкович (1937, 1939) указал, что (1.2) является излишне общим решением уравнения теории упругости в перемещениях [c.6]

Первые крупные исследования по общей теории упругих оболочек созревают к началу сороковых годов. Освоению и анализу теории оболочек способствовало применение ведущими учеными страны тензорной символики для записи основных соотношений теории. Уравнения совместности деформации впервые вывел А, Л. Гольденвейзер (1939) А, И. Лурье (1940) и А. Л. Гольденвейзер (1940) ввели в теорию оболочек функции напряжения, через которые определяются усилия и моменты, тождественно удовлетворяющие уравнениям равновесия. А, Н. Кильчевский (1940) указал способы построения теории оболочек и решения ее задач на основе теоремы о взаимности. Уравнения в перемещениях геометрически нелинейной теории были опубликованы X. М. Муштари (1939) — изложенный им вариант теории является обобщением упрощенной нелинейной теории пластинок Кармана на оболочки произвольного очертания. [c.229]

Общее решение уравнений (2.92) является суммой частного решения (2.93) и общего решения однородных уравнений, вытекающих из (2.92) при Т1ци 0. Эти решения однородных уравнений являются известными кинематическими зависимостями компонент тензора деформаций 8ци от компонент вектора перемещений П . В дальнейшем речь идет лишь о частных решенияк [c.44]

Е. Н. Kennard [3.118—3.121] (1953—1958) рассматривает задачу о малых упругих колебаниях круговой цилиндрической оболочки в развитии статьи [3.84]. Считая, что искомые функции являются аналитическими по z, автор разлагает в ряды по степеням z компоненты тензора напряжений и вектора перемещений. Пользуясь граничными условиями и общими соотношениями теории упругости, автор исключает слагаемые, содержащие производные от искомых величин по переменной г. Это позволяет вывести уравнения движения без привлечения гипотез о неизменяемости нормального элемента и получать уравнения с любой степенью точности, которая оценивается степенью h. Получены уравнения в перемещениях с точностью до включительно. В приближении тонких оболочек предполагается, что hIR очень мало и изменение любой функции вдоль срединной поверхности на расстояниях порядка h тоже мало. В этом случае, как полагает автор статьи, метод степенных рядов справедлив и законно усечение рядов. Показано, что несоблюдение второго условия может приводить к паразитным решениям. Проверкой служит предельный переход h 0. Если в этом случае мембранные уравнения имеют решение и притом единственное, то построенное приближенное решение действительно [c.189]

Случай, когда упрочнение материала отсутствует и на внутренней поверхности дан закон изменения перемещения да со временем, рассмотрен Альтшулером П1. Бахшиян 1 1 рассмотрел случай, когда на внутренней поверхности задано дав-ление. Общее решение уравнения (7.99) при Я == 1 (о( = Оз) он берёт в виде [c.369]

Шесть компонентов деформаций, выраженных через три компонента перемещений в зависимости (1-9), можно рассматривать как систему дифференциальных уравнений в частных производных относительно перемещений и, V, т, если компоненты деформации (Ех, Еу, EZ, Уху, Уух и Ужг) ЯВЛЯЮТСЯ ЗЭДаННЫМИ фуНКЦИЯМИ X, у, 2. Поскольку имеется шесть уравнений относительно трех неизвестных функций, то в общем случае нельзя считать, что эти уравнения будут иметь решения при произвольном выборе компонентов деформаций. На компоненты деформации должны быть наложены условия, позволяющие этим шести уравнениям дать систему однозначных непрерывных решений для трех компонентов перемещений. Если произвольно задать компоненты деформаций ех, Еу, Ег, Уху, Ууг И ужг), ТО упругое тело, мысленно раз-битое на малые элементарные параллелепипеды после их деформации, может потерять сплошность, иметь разрывы. [c.15]

После решения общей системы уравнений получаем все перемещения узлов Z == [Zj, Z2,. . ., Z245] в общей системе координат. На этом этапе надо перейти обратно от указанных перемещений Z к перемещениям узлов Z в местной системе для каждого элемента. Это опять делается в автоматическом режиме. [c.270]

Иегко убедиться, что реакции определяются таким способом однозначно, т. е. они не зависят от выбора частного перемещения дР нз числа тех, которые определяются уравнениями (26), (27). В самом деле, наиболее об]цее перемещение DP , удовлетворяющее этим уравнениям, получится, в силу известных свойств систем линейных уравнений, если мы присоединим к частному решению дР уравнений (26), (27) общее решение соответствующей однородной системы (20), т. е. самое общее обратимое виртуальное перемещение bPf нашей системы. Вследствие этого [c.279]

Круговая цилиндрическая оболочка представляет собой частный случай оболочки вращения, поэтому теория, изложенная в 26, полностью для нее применима. В частности, может быть проведен числовой расчет произвольно нагруженной оболочки (в том числе и переменной вдоль образующей толщины) путем численного интегрирования уравнений (5.78). Эти уравнения, однако, существенно упрощаются, так как для цилиндрической оболочки os 0 = = 0 sin 0 = 1 г = = R = onst Ri = oo. В отличие от других оболочек вращения, для круговой цилиндрической оболочки с постоянной толщиной стенки дифференциальные уравнения представляют собой систему уравнений с постоянными коэффициентами. Поэтому можно проанализировать их решения в общем виде. Выведем уравнения равновесия цилиндрической оболочки в перемещениях. [c.277]

Решение этих уравнений для каждого номера к может быть найдено обычным способом оно состоит из общего решения однородной системы и частного решения неоднородной. Удобная форма решения в помощью функций перемещений предложена А. И. Лурье [361. Ограничимся анализом однородных уравнений, соответвтвующнх уравнениям (5.101). [c.279]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...