Осевая линия перемещения

Подробно рассмотрены различные частные случаи уравнений равновесия при больших (нелинейные уравнения) и малых (линейные уравнения) перемещениях точек осевой линии стержня. [c.13]

На рис. 1.1 показаны два положения стержня положение 1 соответствует ненагруженному состоянию (естественному), положение 2 —нагруженному состоянию. Под действием медленно нарастающих сил Р и моментов Т (рассматривается статика) стерл<ень, деформируясь, переходит из состояния 1 в состояние 2. Из рис. 1.1 следует, что упругие перемещения могут быть настолько большими, что форма осевой линии нагруженного стержня может как угодно сильно отличаться от первоначальной. Внешние силы в процессе деформации стержня могут также сильно изменяться по направлению (на рис. 1.1 направления векторов Рг и Тг в момент приложения к стержню показаны пунктиром). [c.15]

Векторное уравнение перемещений точек осевой линии стержня. Получим уравнение для вектора перемещений и. Из рис. 1.6 следует [c.19]

Уравнение (1.23) [или (1.24)] дает возможность определить относительные перемещения точек осевой линии. [c.20]

Получим уравнение перемещений точек осевой линии стержня для вектора и в декартовых осях в базисе 1у , воспользовавшись матрицей преобразования L° базиса i, к базису с/о . В этом случае имеем [см. (П. 58)] [c.20]

Различные случаи поведения внешней нагрузки. В 1.1 получены общие векторные уравнения равновесия стержня, нагруженного внешними силами и моментами (1.31) — (1.35). Решить уравнения равновесия или движения можно только в том случае, когда внешняя нагрузка известна. Поэтому подразумевается, что вся необходимая для решения уравнений информация о внешних силах и моментах, а также о поведении внешних сил при больших перемещениях осевой линии стержня известна. [c.23]

Рассмотрим частный случай, когда перемещения точек осевой линии стержня и, и углы поворота / малые. При малых углах поворота матрица [см. (П. 47)] [c.31]

Полученные выражения (1.55), (1.56) для приращений сил и моментов при малых перемещениях осевой линии стержня от его естественного состояния используются в дальнейшем при решении уравнений равновесия стержня. [c.33]

Входящие в уравнения (1.57) и (1.58) силы и моменты q, Р( ц и Т( > в наиболее общем случае могут зависеть от перемещений точек осевой линии стержня и, и углов поворота связанных осей /. Аналитическая зависимость векторов нагрузки от Uj и 0, в каждой конкретной задаче считается известной. Более подробно о возможном поведении нагрузки было сказано в 1.2. Например, если нагрузка следящая, то компоненты векторов q, Р< ji и К ) в связанных осях остаются неизменными при любых конечных перемещениях Uj точек осевой линии стержня и любых конечных углах поворота связанных осей. [c.34]

Найдем теперь перемещения точек осевой линии стержня (рис. 1.18). Так как стержень до нагружения моментом Т был прямолинейным, то при определении перемещений воспользуемся уравнением (1.21), приведенным к безразмерной форме записи [c.39]

Определение приращений внешней нагрузки. Рассмотрим более подробно возможные выражения для приращений векторов внешних сил (Aq, АР< Ац и ДТ "" ), входяш,их в АР<°> и ДТ< >. При малых перемещениях Uj осевой линии стержня и малых углах / поворота связанных осей можно считать, что внешние нагрузки изменяются мало, т. е. их можно представить в виде, как это и было сделано в данном параграфе, Р( )= Ро( >4-АР( Х°) T(v)=To(")+AT(v)(0) q=qo+A9( ) h= io+A li( ), где q , [c.48]

Получить уравнения равновесия в связанной системе координат для кругового (плоского) консольного стержня, нагруженного сосредоточенной мертвой силой Р<>) и следящей распределенной нагрузкой q (рис. 1.20). Силы Р "ис лежат в плоскости чертежа сечение стержня круглое, т. е. осевая линия стержня при нагружении будет плоской кривой. Перемещения точек осевой линии стержня можно считать малыми (ограничиться уравнениями нулевого приближения). [c.60]

На рис, 2.3 показаны проекции осевой линии стержня на плоскости x 0xi (рис. 2.3,а) и х[0хз (рис. 2.3,6). При построении графиков использовались полученные из решения системы уравнений (2.59) — (2.62) перемещения u,(e), по которым определялись перемещения в декартовых осях [c.75]

Из графиков видно, что перемещения точек осевой линии стержня, соответствующие нулевому приближению (кривая с индексом 0), отличаются от их уточненных значений (кривая с индексом 1). Например, модуль полного перемещения точки К (рис. 2.5), соответствующий первому приближению, отличается от модуля перемещения нулевого приближения на 25%. Второе приближение практически не отличается от первого приближения и при требуемой точности расчета 1 % соответствует точному численному решению. [c.78]

Уравнения равновесия на каждом этапе нагружения стержня. В 2.2 были изложены методы интегрирования уравнений равновесия стержней при малых перемещениях точек осевой линии стержня. Эти алгоритмы можно использовать и для [c.82]

Вернемся к примеру. Считая, во-первых, что перемещения точек осевой линии стержня малы, во-вторых, что потеря устойчивости стержня происходит в плоскости чертежа (рис. 3.1,а), можно получить следующее линейное уравнение равновесия стержня [c.93]

Входящее в уравнения (3.44) осевое усилие Qi определяется из уравнения (3.10) при x = /R° Р < > = 0, т. е. Qi — —q2 R°-Уравнения (3.44) — (3.47) позволяют определить критическую нагрузку q, в самом общем случае ее поведения (следящая, мертвая , зависящая от перемещений осевой линии стержня). Если нагрузка следящая, то Aqi = 0 и из системы (3.44) — (3.47) получаем две независимые подсистемы уравнений такого вида [c.104]

Рассмотрим случай, когда силы следят за некоторой прямой в пространстве (линия А—А на рис. 3.10), оставаясь в плоскости, перпендикулярной этой прямой. Примеры таких сил приведены на рис. 3.11 и 3.12. На рис. 3.11 показан стерл<ень, вращающийся относительно оси Х2- При потере устойчивости плоской формы стержня распределенная нагрузка q всегда перпендикулярна оси xj. На рис. 3.12 показан стержень, находящейся в магнитном поле. Распределенные силы притяжения магнита (при малых перемещениях точек осевой линии стержня после потери устойчивости) можно считать перпендикулярными А—А. В этом примере распределенные силы имеют направление, противоположное силам, возникающим при вращении стержня (рис. 3.11). Кроме того, в этих примерах (рис. 3.11 и 3.12) модуль сил после потери устойчивости не остается постоянным, так как зависит от радиуса г. [c.114]

Приращения сосредоточенных сил, следящих за прямой, при малых отклонениях стержня от исходного состояния. Получим выражение для ДРо при малых перемещениях точек осевой линии стержня и малых углах поворота связанных осей. Воспользовавшись выражением (1.46) для матрицы L, преобразуем выражение [c.115]

Окончательно из (3.92) получаем выражение для приращения силы Р при малых углах поворота связанных осей и малых перемещениях точек осевой линии стержня [c.117]

Приращения сосредоточенных сил, следящих за точкой пространства, при малых перемещениях стержня относительно естественного состояния. Рассмотрим случай, когда углы поворота связанных осей и перемещения точек осевой линии стержня до потери устойчивости можно считать малыми, т. е. компоненты вектора [c.117]

Правая часть выражения (3.94) не зависит от АЬю и и, т. е. малые углы поворота связанных осей и малые перемещения точек осевой линии стержня до потери устойчивости на критические силы, следящие за точкой Oi (рис. 3.14), влияния не оказывают. Полученное выражение (3.94) для приращения силы Р совпало с выражением (1.49) для случая, когда деформации стержня до потери устойчивости не учитывались. [c.118]

Ограничимся пока случаем, когда перемещения точек осевой линии стержня малы. Мысленно выделим элемент стержня и рассмотрим его равновесие (рис. 4.1,6) с учетом всех сил, действующих на этот элемент. Так как проекции сил остаются неизменными в декартовых осях, то целесообразно и уравнения равновесия получить в этих осях. Считаем, что сечения стержня остаются при деформации стержня плоскими и ортогональными осевой линии стержня, т. е. деформации сдвига не учитываются. [c.129]

При больших пространственных перемещениях точек осевой линии стержня относительно естественного прямолинейного состояния уравнения равновесия стержня получим из системы уравнений [c.134]

Основная особенность задач статики стержней, контактирующих с упругой средой, заключается в том, что при отклонении осевой линии стержня от естественного состояния (как для начально прямолинейных, так и начально криволинейных стержней) появляются распределенные силы, зависящие в общем случае от вектора перемещений и точек осевой линии стержня, т, е. q = q(u). Когда характеристика упругого основания линейна, то [c.156]

В гл. 1—3 было показано, что во многих прикладных задачах приходится иметь дело с силами и моментами (распределенными и сосредоточенными), которые зависят от перемещений точек осевой линии стержня и от углов поворота связанных осей q = q(u, -< ) n= Li(u, в ). При малых перемещениях точек осевой линии стержня и малых углах поворота связанных осей эти силы (например, q и )Li) можно представить в виде [см. (4.55)] [c.156]

Уравнения равновесия. Уравнения равновесия для стержня переменного сечения, лежащего на упругом основании, при малых перемещениях точек осевой линии являются частным случаем уравнений (4.98)-(4.102) при = = [c.157]

Воспользовавшись принципом возможных перемещений, определить перемещение точки k стержня, нагруженного следящей за точкой О силой Ро (рис. 4.14). Сечение стерн ня и модуль силы постоянны. Перемещения точек осевой линии стержня считать малыми. (Ограничиться одночленным приближением.) [c.182]

Воспользовавшись принципом возможных пере.мещений, определить перемещения точек осевой линии стержня постоянного сечения (рис. 4.17). На участке (0 е 0,5) стержень лежит на упругом основании с линейной характеристикой. [c.183]

Считая перемещения точек осевой линии малыми, определить напряженно-деформированное состояние стержня (рис. 4.14) численным решением уравнений равновесия. (Ограничиться уравнениями нулевого приближения, положив I Pol =0,5.) [c.183]

Методы численного решения уравнений нулевого и последующих приближений изложены в гл. 2. Во многих прикладных задачах, а также в учебных курсах, 1как правило, ограничиваются исследованием системы уравнений (1.107) — (1.111), соответствующей нулевому приближению без оценки справедливости принятого допущения о малости перемещений осевой линии стержня и углов поворота связанных осей и малости компонент векторов Q(i) и Система уравнений (1.158) — (1.161) [или в коорди- [c.55]

Уравнения равновесия первого приближения в декартовой системе координат. Уравнения равновесия нулевого приближения в декартовых осях — см. уравнения (1.130) — (1.133). Если нагрузка мертвая , то компоненты векторов q -o, Pio, Jixo и XlV, ВХ0ДЯШ.ИХ в Pj o И JxQ, В дбкартовой системе координат остаются постоянными при любых перемещениях точек осевой линии стержня, поэтому приращения этих векторов (Aq ° [c.56]

Получить уравнения равновесия для кругового консольного стержня, (рис. 1.21), находящегося на ускоренно движущемся объекте (считая перемещения точек осевой линии стержня малыми), для случая, когда вектор ускорения объекта а параллелен плоскости xi0x2 (ограничиться уравнениями нулевого приближения). На стержне имеется сосредоточенная масса т, которую можно считать точечной. Масса единицы длины стержня равна Шо. В естественном состоянии осевая линия стержня есть плоская кривая, лежащая в плоскости чертежа (в плоскости XiOXi). [c.60]

Из сопоставления полученных выражений (3.54) и (3.56) для критической нагрузки 2 следует 1) если Лзз<Л22, то кольцо потеряет устойчивость в плоскости чертежа, т. е. перемещения точек осевой линии стержня относительно плоскости равны нулю 2) если Лзз.>Лг2, то кольцо потеряет устойчивость с выходом из плоскости чертежа (перемещения точек осевой линии в плоскости чертежа равны нулю — проекция осевой линии стержня после потери устойчивости на плоскость чертежа есть окружность) 3) если Лзз=Л22, то кольцо теряет устойч,ивость и в плоскости чертежа, и относительно этой плоскости (все три компоненты вектора перемещений U отличны от нуля). [c.106]

Традиционный метод вывода уравнений равновесия. Уравнения равновесия для прямолинейного в естественном состоянии стержня в простейших задачах, когда осевая линия стержня — плоская кривая, а нагрузки — мертвые , можно получить традиционным методом, который излагается в курсах сопротивления материалов и строительной механики. Если стержень естественно закручен (см. рис. В.21) и нагружен внешними силами и моментами со сложным поведением (например, следящими за нормалью к осевой линии, или следяш,ими за некоторой точкой пространства, или зависящими от перемещений точек осевой линии стержня, и т. д.), то традиционным методом получить уравнения равновесия довольно сложно. Для подобных задач их существенно проще получить из общих уравнений равновесия (1.31) — (1.35) или (1.57) — (1.61) как частный случай для прямолинейных (в естественном состоянии) стержней. [c.129]

Так как Мз = АззАхз A >i i d г dг=d U2 dг , то окончательно получаем уравнения равновесия прямолинейного стержня при малых перемещениях точек осевой линии [c.131]

Принцип возможных перемещений может быть использован для приближенного решения задач статики стерл<ней наряду с более привычным решением дифференциальных уравнений равновесия. Для этого необходимо обобщить этот принцип так, чтобы его можно было распространить на упругие системы. Для упругих систем, например стержней (или в более общем случае для деформируемых систем), необходимо принимать во внимание не только работу внешних, но и работу внутренних сил, возникающих при отклонениях упругой системы от исходного состояния. Остановимся более подробно на понятии возможного перемещения для стержней. Возможным (или виртуальным) перемещением называется всякое малое неремещенне точек осевой линии стержня из исходного состояния без нарушения связей, наложенных на стержень. Например, для стержня, показанного на рис. 4.9, любая функция бг/(е), мало отличающаяся от функции у (г) и удовлетворяющая тем же краевым условиям, что и функция у е), может рассматриваться как возможные перемещения для точек осевой линии стержня. Любое возможное перемещение бг/(е) стержня является непрерывной функцией. [c.167]

Изложенный метод приближенного решения уравнения равновесия с использованием принципа возможных перемещений потребовал сведения системы уравнений равновесия первого порядка к одному уравнению четвертого порядка, что приводит к громоздким промежуточным преобразованиям, особенно для стержней переменного сечения и при нелинейной зависимости приращений сил Aq, Ар, ДРг, АТ от перемещения точек осевой линии и или от угла в з- Например, для стержня переменного сечения (см. рис. 4.10) (стержень нагружен дополнительной осевой силой Pi = Pioii, поэтому Qio=Pio4 0) получаем следующую систему четырех уравнений равновесия при следящих силах [c.173]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...