Компоненты вектора смешанные

Чтобы это установить наиболее простым способом, отнесем данные три вектора к ортогональному триэдру и обозначим через Х , Г4, Z (г=1, 2, 3) компоненты вектора по осям триэдра. Легко усмотреть, что наши три смешанные произведения в силу соотношений (20) и (15) выразятся определителями [c.38]

Чтобы это доказать, исключим, прежде всего, случай вырождения, когда на трех векторах нельзя построить действительного параллелепипеда, и обозначим через V произведение [V2V ]. Тогда длина вектора г выразит площадь параллелограма векторов и (т. е. основания ОР РР нашего параллелепипеда) направление же его перпендикулярно к плоскости этого параллелограма. Скалярное произведение можно поэтому интерпретировать (рубр. 20), как произведение из V на компоненту вектора г 1 по направлению V, надлежащим образом ориентированному а так как вектор V (0 ) перпендикулярен к плоскости г 2, щ (ОР РРз), то длина этой компоненты (ОЕ) есть не что иное, как высота к параллелепипеда, соответствующая основанию, площадь которого выражается числом V. Таким образом абсолютное значение произведения V, т. е. смешанного произведения г>1 v щ], равно ок (произведение из основания параллелепипеда на высоту) и выражает объем параллелепипеда векторов 1, з. Знак [c.38]

В случае смешанных граничных условий задаются либо компоненты векторов (Ч з , либо компоненты (4 4 . [c.88]

Эволюция вектора у (t) в пространстве U будет представлять собой диффузионный марковский процесс. Однако стохастические уравнения (24) для линейных параметрических систем оказываются нелинейными по отношению к части из компонентов вектора у (t). Поэтому уравнения относительно моментных функций образуют бесконечную систему. В уравнения, содержащие производные от моментных функций низших порядков, войдут моментные функции более высокого порядка. В связи с этим возникает проблема замыкания, т. е. приближенного сведения бесконечной системы дифференциальных уравнений к конечной системе. Кроме того, после замыкания уравнения будут содержать смешанные моменты процессов х (О и z (f), которые не входят в определение устойчивости по совокупности моментных функций. Поэтому вводят модифицированное определение устойчивости. [c.304]

На поверхности задаются смешанные граничные условия. В каждой точке этой поверхности задаются одна или две компоненты вектора поверхностного напряжения и соответственно две [c.237]

Могут быть рассмотрены усеченные (частные) пространства, являющиеся некоторой частью основного пространства (подпространством). Усеченные пространства могут быть смешанными, т. е. содержать только некоторые компоненты вектора перемещений и тензоров напряжений и (или) деформаций, функций напряжений. [c.28]

Для случая симметричной смешанной задачи (1.3) компоненты вектора смещений имеют вид [c.199]

Смешанная задача. Вдоль отрезка а-линии ОА (фиг. 76) задана нормальная составляющая скорости v, а на кривой ОВ известна связь между компонентами вектора скорости [c.158]

В случае смешанных начальных условий в качестве компонентов вектора Х следует выбрать те параметры, значения которых при X = О заданы (или равны нулю). Если же имеется упругая заделка, то компоненты Ху (0) и Ха (0) связаны с компонентами Хз (0) и Х4 (0) заданной линейной зависимостью. В этом случае выбор компонентов вектора Х1 не играет существенной роли. [c.352]

К особенностям поверхностных волн в кристалле относится и усложнение их структуры. В общем случае плоская поверхностная волна в кристалле имеет не две (как в изотропной среде), а три компоненты вектора смещения (см. формулы (1.24)) и является, таким образом, волной смешанной (вертикально-горизонтальной) поляризации. Уменьшение амплитуды смещения с глубиной в парциальных волнах, а следовательно, и в результирующей поверхностной волне, определяемое значениями os ag os os может происходить не по экспоненциальному закону, а по осциллирующей экспоненте (произведение экспоненциальной и тригонометрической [c.20]

Вывод краевых условий. К системе уравнений Ец), которая согласована с краевыми заданиями на лицевых поверхностях, очевидно, надо присоединить условия, выражающие задания на боковых поверхностях оболочки. Допустим, что на боковых поверхностях Е заданы напряжения или смещения, или на одной ее части Е известны напряжения, а на остальной части Е — смещений Е и2"=Е, Е ПЕ" = 0. Ниже мы рассмотрим также смешанные краевые условия вида на заданы касательные напряжения (например, обращаются в нуль) и нормальная компонента вектора смещений. Мы увидим, что такого рода условия возникают при так называемых втулочных связях (см. [2а], гл. 5, 8, п. 11). Мы предполагаем, что Е состоит из линейчатых поверхностей, образующие которых представляют нормали к 8. Пусть I — орт нормали некоторой площадки поверхности Е. Напряжение Р, на граничной площадке йЕ с нормалью I выражается формулой [c.51]

Другая форма записи уравнений движения была использована в работе [8] в смешанной форме записи. Уравнения записывались в произвольной криволинейной системе координат для декартовых компонент вектора и тензора. Подставим в уравнение (2.35) вместо вектора а его выражения в декартовой системе координат а = = а т ( % — декартовые компоненты вектора). Далее подставим в уравнение (2.37) выражение для векторов в декартовой системе координат, а для компонент тензора — его связь с декартовыми координатами тензора Р, [c.79]

Заметим, что частные производные функции щ по tu а также частные производные порядка выше первого всех функций у по компонентам вектора v равны нулю. Частные производные первого порядка по переменной / равны правым частям уравнений (8.29). Выражения для частных производных по / более высокого порядка, а также смешанных производных получаются формальным дифференцированием этих уравнений. [c.50]

Этот скаляр, как видно из формулы (1.615), является скалярным произведением векторов а и Ь. Действие свертывания с метрическим тензором, приводящее к подниманию или опусканию индексов, установлено пока лишь для мультипликативных тензоров. Однако каждый тензор можно представить в форме суммы мультипликативных тензоров соответствующего ранга. Это утверждение не требует доказательства, так как мы не ограничиваем количество мультипликативных составляющих тензора. Поэтому действие поднимания и опускания индексов распространяется на тензоры произвольного ранга и строения. Это подтверждается также тем, что метрический тензор принадлежит к так называемым единичным тензорам, так как его смешанные компоненты совпадают с символами Кронекера. [c.58]

Компоненты радиуса-вектора мы обозначили r и г . Следует отметить, что они определены в локальной системе координат с началом в точке приложения радиуса-вектора. Ниже мы докажем, что величины ] к являются компонентами смешанного тензора второго ранга. [c.58]

Свертыванием тензора называется операция суммирования его компонент по любой паре верхних и нижних индексов. При этом его ранг снижается на два. Например, в результате свертывания тензора второго ранга, заданного смешанными компонентами Т/ получается скаляр Т — Т Т + T L который можно рассматривать как тензор нулевого ранга. В результате свертывания тензора третьего ранга, заданного смешанными компонентами f /, по индексам А и / получается вектор с компонентами с == [c.39]

Возникновение дислокации можно представить как результат частичного сдвига в кристаллической решетке, причем различают краевую и винтовую дислокации (рис. 2.8, а и б). Краевая дислокация имеет условное обозначение (рис. 2.9), вертикальная черта в котором указывает расположение лишнего слоя атомов, как бы вдвинутого в кристаллическую решетку, а горизонтальная соответствует расположению плоскости, в которой произошел частичный сдвиг. Смещение слоев атомов вдали от искажения кристаллической решетки характеризуется вектором Бюргерса Ь. В случае простой кубической решетки модуль Ь вектора Бюргерса краевой дислокации с одним лишним атомным слоем (см. рис. 2.8, а) равен одному шагу решетки, а для винтовой дислокации Ь равен шагу винтовой ломаной, которая образуется, если проследить за расположением атомов в зоне искажения (рис. 2.8, в). В общем случае дислокации могут иметь смешанную ориентацию с краевой и винтовой компонентами (см. рис. 2.9). Дислокации возникают при кристаллизации металла и в процессе его неупругого деформирования. [c.83]

Сама граница упругого тела рассматривается как поверхность в чисто геометрическом смысле. На такой поверхности считается возможным задавать самые различные условия для выходящих на нее компонентов тензора напряжений, вектора смещений или их комбинации При этом здесь сразу могут проявляться противоречия между столь общими свойствами границы и свойствами ограниченного ею идеально упругого тела при условии малости деформаций. В частности, можно указать на постановку смешанных граничных задач (2.4) с резко выраженной линией раздела между областями Si и Sj. При этом, как правило, в решении задачи возникают особенности, т. е. наблюдается неограниченный рост некоторых [c.25]

Поверхность отличается смешанными граничными условиями на 5 частично заданы силы и частично скорости перемещения. Так же, как и в предыдущих случаях, на 5 должны быть заданы либо три компонента (проекции на координатные оси) векторов скорости или сил, либо связывающие их соотношения. [c.75]

Параллельно с этим упрощенным подходом разработана усложненная математическая модель геофизической турбулентности, для которой, наряду с базисными гидродинамическими уравнениями для среднего движения, выведены эволюционные уравнения переноса для одноточечных вторых моментов пульсирующих в потоке термогидродинамических параметров многокомпонентной реагирующей газовой смеси. Модель включает в себя эволюционные уравнения переноса для составляющих тензора турбулентных напряжений Рейнольдса, составляющих векторов турбулентного потока тепла и турбулентной диффузии, уравнения переноса для турбулентной энергии и дисперсии пульсаций энтальпии среды, а также уравнения переноса для парных корреляций пульсаций энтальпии и состава смеси и смешанных парных корреляций пульсирующих концентраций отдельных компонентов смеси. Такой подход обеспечивает возможность расчета сложных течений многокомпонентных реагирующих газов с переменной плотностью, когда существенны диффузионный перенос турбулентности, конвективные члены и предыстория потока, и потому более простые модели (основанные на идее изотропных коэффициентов турбулентного обмена) оказываются неадекватными. [c.313]

Смешанное произведение векторов тоже можно представить через компоненты в виде определителя [c.18]

Уравнение (2.52) позволяет получить вырансение для проекций Мх через проекции векторов Ие и Хо в связанных осях. Такой смешанный вариант, когда некоторые векторы в уравнениях движения представлены через проекции в связанных осях, наиболее удобен при численных методах решения. Тем более что, например, компоненты вектора у. на декартовы оси практического интереса не представляют. В случае необходимости компоненты вектора х в декартовых осях (после определения компонент х в связанных осях) находятся из соотношения Xx=L Xe [c.38]

Рассматриваемая задача представляет собой задачу о внутренней трещине, находящейся в сравнительно тонкостенном конструкционном элементе, для исследования которого применяют теорию пластин или оболочек. В обычной системе обозначений, принятой ниже и отнесенной к локальной системе координат, представленной на рис. 1, ui, U2 и Uz — компоненты вектора перемещений, Pi и Р2 — углы поворота нормали к нейтральной поверхности в плоскостях Х1Х3 и Х2Х3, Nij, Мц и Vi (i, j = 1,2) — результирующие мембранных усилий, момента и усилий поперечного сдвига. Принимаем также, что задача о сквозной трещине в пластине или оболочке поставлена и сведена к системе интегральных уравнений. В [11—16] принято, что неизвестными функциями интегральных уравнений являются производные перемещений поверхности трещины и углов поворота нормалей к нейтральной поверхности. Это является естественным следствием постановки задачи для пластины пли оболочки со смешанными краевыми условиями. В случае симметричной задачи о сквозной трещине в области —а <. Х <. а (расположенной в одной из главных плоскостей кривизны) пластины или оболоч- [c.245]

Здесь а, — контравариантные компоненты вектора и тензора fli, hij — ковариантные компоненты h j, — смешанные компоненты знаком обозначена операция диадного (полиадного) произведения базисных векторов. Здесь и далее индексы компонент векторов и тензоров пробегают значения 1, 2, 3 по повторяющимся индексам проводится суммирование. [c.14]

В самом общем виде решение основной смешанной задачи для полуплоскости, когда на некоторых отрезках ее границы заданы компоненты вектора смещений, а на остальной части — компоненты вектора напряжений, было получено в 1935 г. Н. И. Мусхелишвилн [236]. Решение было найдено сведением проблемы к бесконечной системе линейных уравнений, удовлетворяющ,ей известным критериям разрешимости. [c.14]

Все прочие вида компонент называются смешанными компонентами тензора Ф, причем /з раз ковариантными и раз контравариант-ными, если в их определение взсодит р векторов базиса и векторов кобазиса. При этом вазвны не только сами числа и , но и расположение вектбров. Тензор ранга г имеет всего различных ви ов компонент. Число компонент данного вида (наприме]р, ковариантных) равно тг . [c.14]

Нетрудно установить механический смысл разыскиваемы.х компонентов вектора X. Матричное уравнение (5.18) или (5.20) представляет собой условие равновесия всех узлов. Следовательно, отличные от нуля компоненты вектора ЕгХесть реактивные усилия, возникающие в тех узлах и по тем направлениям, где заданы перемещения, т. е. наложены связи. Другими словами, имеет место равенство рр = Е2Х. Сравнивая теперь уравнения (5.18) и (5.14) с уравненияГми (4.41), нетрудно убедиться в их тождественности. Таким образом, в данном случае метод неопределенных множителей Лагранжа приводит к разрешающей системе уравнений смешанного типа (4.41). [c.98]

Контраварпантные компоненты, а также другие типы смешанных компонент тензора Va получаются поднятием второго индекса в уравнениях (1-4.9) и (1-4,14) соответственно. Символы и а, - называются контравариантными производными контрава-риантного и ковариантного векторов соответственно. [c.33]

В правой части равенства (IV. 147) стоит сумма произведений компонент йх коитравариантного вектора на величины Ууй - Эта сумма может быть тензором, а именно вектором с контравариантными компонентами только тогда, когда величины являются компонентами смешанного тензора второго ранга ). В левой части равенства (IV. 147) стоят компоненты коитравариантного вектора ( а). Поэтому можно рассматривать сумму, стоящую в правой части равенства (IV. 147), как результат действия свертывания, выполненного над вектором н смешанным тензором Ja ( 24). [c.386]

Симметричность величин относительно индексов /г следует из правой части равенства (а). Теперь рассмотрим закон преобразования величин Первый член в правой части преобразуется как компонента смешанного тензора второго ранга, так как величины 6, совпадают со смешанными компонентами метрического тензора, а является абсолютным скаляром. Что касается второго члена, то следует отметить, что радиус-вектор в криволинейной системе координат нужно считать определенным своими компонентарли в местном координатном базисе начало местной координатной системы должно совпадать с началом радиуса-вектора. Зная модуль радиуса-вектора и его направление относительно упомянутой местной координатной системы, можно найти его компоненты, как это отмечалось в первом томе. [c.78]

Условия коллинеарности двух векторов. Выражения компонент векторного произведения и численного значения смешанного произведения дают возможность выразить в координатах условия коллинеарности и компланарности, векторов этим условиям можно придать и векторную форму. [c.39]

КОВАРИАЦИОННАЯ МАТРИЦА — матрица, об].азо-ванная из попарных смешанных вторых момсчиов (ковариаций) неск. случайных величии (с.м. Моменты случайной величипы). Ковариация между компонентами я ,-и случайного вектора а = (xj, xg,. . ., х/с) определяется как [c.390]

В общем случае поверхность тела может иметь еще участки 5", на которых заданы смешанные граничные условия. Однако в каждой точке N S" независимо можно задать лишь такую комбинацию компонентов распределенной поверхностной нагрузки и перемещения, которые удовлетворяют условию р" (N) и° (N) = О, т. е. векторы р° (N) и и° (N) ортогональны и заданные силы не совершают работу на заданных перемещениях. Характерным примером участков типа S " являются сечения плоскостями симметрии, выделяющими из конструкции часть, которую можно рассматривать независимо от всей конструкции. Пусть оси и.ха лежат в такой плоскости симметрии, а ось хз нормальна к ней. Тогда будем иметь п, (N) п, (N) = О, пз (Л ) = 1, р1 (N) =pl N) =0, (N) = О и в качестве граничных условий 0ai (Л ) = сгзз (Л ) О я (N) = 0. [c.14]

V. 3. Ковариантное дифференцирование. Проведение вычислений с векторными и тензорными величинами требует введения координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной природы (ко-, коитравариантных, смешанных). Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) при смещении из данной точки в соседнюю обусловлено лишь свойствами этого инварианта иначе обстоит дело с компонентами, так как их изменения зависят еще от величин и направлений базисных векторов. Пусть, например, контравариантные компоненты а вектора а не зависят от координат q , их частные производные по этим переменным — нули, но было бы ошибкой считать, что остается неизменным и вектор а. Верно и обратное при постоянном векторе а его компоненты а или as не сохраняют постоянных значений. Задачей последующего является введение таких характеристик изменяемости векторов и тензоров, в которых учитывались бы изменения как самих этих величин, так и координатного базиса, к которому они отнесены. Это достигается введением операции ковариантного (или абсолютного) дифференцирования. [c.880]

При постановке задач ОМД граничные, в том числе и кинематические граничные, условия назначаются на основе априорных или апостериорных представлений об изучаемом процессе. Наиболее часто кинематические граничные условия задаются в виде значений вектора скорости (вектора перемещения) или его отдельных компонент на границе области исследования. Очевидно это связано с ограниченностью нашего восприятия движения материальных объектов. Действительно, трудно, например, предположить значение какой-либо компоненты тензора скоросгей деформаций на контакте деформируемого металла с абсолютно жестким инструментом. И совершенно очевидно, что нормальная к поверхности такого инструмента составляющая вектора скорости металла в точке контакта его с инструментом должна бьпъ равна такой же составляющей вектора скорости инструмента в этой же точке. В дальнейшем (см. п. 1.5.3) мы будем различать несколько типов граничных условий. Здесь отметим, что с кинематическими параметрами связаны кинематические и смешанные граничные условия. [c.61]

Если при реш ши задач о движшии КМ нарушение сплошности среды не происходит, то на поверхности стыка контактирующих компонент композитной среды обычно вместо статических условий (1.3.55) записывают смешанные граничные условия, обеспечивающие ншре-рьтность нормальной к поверхности составляющей вектора скорости (1.2.171) и парность касательных нащ)яжений [c.99]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...