Тензор нулевого ранга

Градиент тензора представляет собой тензор третьего ранга. (В общем тензорном анализе или линейной алгебре скаляры рассматриваются как тензоры нулевого ранга, векторы — как тензоры первого ранга, тензоры — как тензоры второго ранга кроме того, изучаются тензоры более высокого ранга. Их компоненты имеют более чем два индекса и преобразуются при изменении системы координат согласно правилам, аналогичным (1-2.10), (1-2.11) и (1-3.23)—(1-3.25).) [c.34]

Тензору напряжений, как и любому другому тензору о двумя индексами (тензору второго ранга), можно поставить в соответствие геометрический образ — поверхность второго порядка, так же как тензору с одним индексом (тензору первого ранга, или вектору) можно поставить в соответствие прямолинейный отрезок, а числу (тензору нулевого ранга) — точку на числовой оси. [c.551]

Тензор нулевого ранга ()V=0) в любой системе координат задается одной компонентой я= [c.7]

Как пример рассмотрим мультипликативный тензор с компонентами а б . Умножая этот тензор на метрический тензор получим смешанный тензор четвертого ранга, дважды ковариантный и дважды контравариантный. Произведем свертывание по двум парам индексов. Ранг тензора снизится на четыре единицы, и мы получим тензор нулевого ранга, или скаляр [c.58]

По числу компонент — в случае вектора это три его проекции на оси координат — вектор можно рассматривать как тензор первого ранга, скаляр — как тензор нулевого ранга. [c.116]

РАНГ ТЕНЗОРА. Тензор нулевого ранга — скаляр — величина, не зависящая от преобразования координат. [c.41]

Свертывание тензора ( / i ,.. (jp ,/jp) четного ранга 2р по р парам индексов приводит к тензору нулевого ранга, т. е. к инварианту (скаляру). Следовательно, операция свертывания является одним из способов получения инвариантов тензора четного ранга. [c.394]

Градиент скаляра. На основании (2 .65) ковариантная производная тензора нулевого ранга (скаляра) совпадает с частной производной [c.417]

В заключение отметим, что скаляры, векторы, тензоры второго ранга, а также более сложные объекты — тензоры более высоких рангов, могут быть объединены в общую систему и все рассматриваться. как тензоры разных рангов. Скаляр — как тензор нулевого ранга, вектор —как тензор первого ранга. При этом в пространстве п измерений тензор г-го ранга может быть [c.771]

Термодинамическая сила Aj фазовых или химических превращений является скаляром (тензор нулевого ранга) она может иметь сочетание с силой Tj (тензор второго ранга) [c.28]

Все величины (скалярные, векторные и тензорные) можно считать тензорами различного ранга. Скаляр—это тензор нулевого ранга, вектор—тензор первого ранга, > [c.523]

Следовательно, тензорные силы второго ранга могут сочетаться между собой или со скалярными силами (скаляр-тензор нулевого ранга), а векторные силы сочетаются между собой и тензорными силами третьего ранга, так как вектор —эго тензор первого ранга. [c.25]

Величина является тензором второго ранга, а химическое сродство — тензором нулевого ранга. Следовательно, в изотропной системе не может быть сочетания эффектов от действия этих сил с диффузией н теплопроводностью. Поэтому скорость химической реакции не вызывает появления градиента концентрации или температуры. Однако благодаря тому, что разница в рангах и х равна 2 (четное число), вообще говоря, сочетание между этими двумя процессами принципиально возможно. Оно не будет иметь места в том случае, когда [c.20]

Скаляр, представляемый буквой без индекса (1.1), называют тензором нулевого ранга. [c.8]

Так как скаляр Е — тензор нулевого ранга, то его закон преобразования имеет вид. [c.213]

Свертыванием тензора называется операция суммирования его компонент по любой паре верхних и нижних индексов. При этом его ранг снижается на два. Например, в результате свертывания тензора второго ранга, заданного смешанными компонентами Т/ получается скаляр Т — Т Т + T L который можно рассматривать как тензор нулевого ранга. В результате свертывания тензора третьего ранга, заданного смешанными компонентами f /, по индексам А и / получается вектор с компонентами с == [c.39]

Величины, которые не меняются в результате какого-либо преобразования, называются инвариантами по отношению к этому преобразованию. В частности, тензор нулевого ранга инвариантен (П1.25) к повороту множества координат. [c.239]

Тензоры обозначаются заглавными латинскими буквами, светлым курсивным шрифтом, например Р, Q, 8, Т компоненты тензоров — теми же буквами с индексами. Число индексов при компоненте определяет ранг тензора. Вектор по числу индексов можно рассматривать как тензор первого ранга, скаляр — как тензор нулевого ранга. В дальнейшем будут применяться тензоры второго ранга, у компонент которых два индекса — Ррд, Qrs и т. д. [c.17]

Диэлектрические кристаллы и текстуры, применяемые в устройствах электронной техники, как правило, обладают анизотропией свойств (в ряде случаев эта анизотропия специально создается технологически или индуцируется полями). Поэтому, описывая воздействия различных факторов на свойства этих диэлектриков, необходимо использовать тензорные параметры [6]. приведенных в табл. 1.1 физических величин скалярами (тензорами нулевого ранга) являются только температура Т, энергия Q> теплоемкость С. Скалярная величина полностью характеризуется одним числом и записывается без индексов. [c.18]

Дифференцированием тензора в декартовых координатах образуются тензоры более высокого ранга. В общем случае дифференцирование скаляра (тензора нулевого ранга) по координатам вектора (тензора первого ранга) дает [c.530]

Рассмотрим скаляр ср(х1, х , Хз) (тензор нулевого ранга). Совокупность производных первого порядка по координатам [c.22]

Таким образом, свертка есть скаляр (тензор нулевого ранга), известный как скалярное произведение аЬ [c.23]

Тензор — более общее понятие, чем вектор, характеризуемый тремя составляющими. Скаляр есть тензор нулевого ранга, а вектор—тензор первого ранга. [c.45]

Физические величины (13). Скаляр - это тензор нулевого ранга (15). Аналитическое определение вектора (16). Тензоры 2-го ранга (18). [c.5]

Физические величины, характеризующиеся одним числом, не зависящим от выбора системы координат, называются скалярами. Скаляр - тензор нулевого ранга. [c.13]

Таким образом, длина отрезка - скаляр и не зависит от того, в какой системе координат она определяется. Скаляр представляет собой пример простейшего тензора - тензора нулевого ранга. [c.16]

Такие физические величины, как, например, масса и энергия, которые характеризуются только величиной, относятся к тензорам нулевого ранга, т. е. к скалярам. [c.10]

Логически продолжая вышеуказанную схему, тензор третьего ранга записывают символом с тремя свободными индексами. А символ, который не имеет связанного с ним индекса, такой, как, например, Я, изображает скаляр, или тензор нулевого ранга. [c.21]

Трехмерный тензор второго ранга является понятием более сложным по сравнению со скаляром или вектором, в определенном смысле их обобщающим. Так, скаляр а мы можем трактовать как тензор нулевого ранга, содержащий 3 = 1 элемент. А вектор О (/ -> X, у, г) — это тензор первого ранга, содержащий 3 = 3 составляющих. Компоненты тензора при повороте координатных осей изменяются по строго определенному закону, который, собственно, и является формальным признаком этого математического понятия. Такой закон будет приведен в одном из последующих параграфов. [c.30]

Инварианты тензора. Так называются функции его компонент, сохраняющие неизменную, не зависящую от выбора базиса величину. Скаляр (тензор нулевого ранга)— инвариант. Распространенное словоупотребление проекция вектора—скаляр или скалярные уравнения движения неприемлемо. [c.430]

Таким образом, каждый индекс в отдельности преобразуется в соответствии с законом преобразования 4-вектора. 4-Вектор можно рассматривать как тензор первого ранга. В этом смысле инвариант является тензором нулевого ранга. Тогда тензором ранга п назовем величину t ,. . .. с п независимыми индексами, каждый из которых в отдельности преобразуется в соответствии с формулой (4.24) для 4-вектора. Если в тензоре ранга п приравнять два индекса, например k и i, то после суммирования по этим индексам получим тензор ранга (п — 2). Это является прямым следствием формул преобразования для тензоров и условий ортогональности (4.11), (4.14). Данная операция называется сверткой. Уравнения (4.72), с помощью которых из тензора второго ранга образуется тензор нулевого ранга, как раз представляют собой пример такой свертки. [c.86]

Итак, абсолютные скаляры, векторь и мультипликативные тензоры являются тензорами различных рангов. Абсолютные скаляры — тензоры нулевого ранга, векторы — тензоры первого ранга, мультипликативные тензоры (1.37) и (1.39)—тензоры второго ранга. [c.45]

Можно было бы сказать, что скаляр представляет собой тензор нулевого ранга, вектор—тензор первого ранга, а инертные свойства твердого тела характеризуются симметричным тензором, второео ранга. [c.561]

При таком определении тензор нулевого ранга будет иметь только одну составляющую, инвариантную относительно ортогонального преобразования. Следовательно, скаляр является тензором нулевого ранга. Тензор первого ранга имеет три составляющих, преобразуемых согласно равенству [c.167]

Яз. Аналогично, в равенствах (1) преобразования компонентов тензора первого ранга (вектора) при переходе от одной системы ортогональных осей к другой системе, правые части представляют собой линейные функции (функции первой степени) относительно направляющих косинусов /i, т ,. ... з- Учитывая неизменность числа а, определяющего тензор нулевого ранга (скаляр) в любой системе координат, формулу преобразования для скаляра при ререходе от одной системы ортогональных осей к другой, аналогичной, можно представить в виде [c.772]

Хт являются тензорами первого ранга, так как градиенты от скалярных величин Т и [l/T являются векторами. Термодинамической движущей силой химических и фазовых оревращений является величина химического средства Ai, нротюрциональная разности скалярных величин (р г—Pi), т. е. является тензором нулевого ранга. Перенос количества движения 1ЖИДК0СТИ или перенос импульса описывается тензором второго ранга. [c.13]

Термодинамические силы Х и Хт являются тензорами первого ранга (векторами) поэтому между ними возможно сочетание. Это сочетание дают налагающие явления переноса эффект Соре при молекулярном переносе тепла я эффект Дюфо при диффузии вещества. Одна1КО сочетания теплопроводности или диффузии с химическими и фазовыми превращениями быть не может, так как разница в рангах между силами А и и Ai или между Х . и Ai равна единице (нечетное число). Так же не может быть сочетания между молекулярными переносами тепла и количества движения или между диффузией и внутренним трением, так как термодинамические силы молекулярного переноса тепла и массы являются тензорами первого ра нга, а термодинамические силы молекулярного переноса количества движения — тензоры второго ранга (разница в рангах тензоров выражается нечетным числом). Однако в некоторых частных случаях внутреннее трение можно рассматривать как молекулярный перенос кинетической энергии движения потока жидкости, который происходит под действ ием термодинам1ической силы — кинетической энергии движения (градиент от скаляра). В этом случае возможно сочетание между молекулярными переносами тепла, массы вещества И энергии движения жидкости, так как все они описываются действием термодинамических сил, которые являются тензорами одинакового ранга (векторами). На основании принципа Кюри возможно сочетание между молекулярным переносом количества движения (объ-емиая вязкость) и процессами химических и фазовых превращений, так как в первом случае силы Л,- являются тензором нулевого ранга, а во втором случае — тензором второго ранга. Следовательно, разница в рангах тензоров равна двум (четное число), и поэтому сочетание между ними возможно. [c.13]

В соответствии с этим определением вектор аеЭп можно назвать тензором первого ранга, скаляр (число) а — тензором нулевого ранга. [c.6]

Тензором нулевого ранга (скаляром) в Л -мерном пространстве называется математическая величина, характеризуемая одной (Л = 1) компонентой "а", которая при повороте множества координат с помощью матрицы кошнусов ((%)) (П1.17) щ)еобразуется по закону [c.239]

В предыдущих подразделах приложения тензоры различного ранга рассматривались как некоторая математическая абстракщга, характеризуемая определенным количеством компонэтт, каждая из которых при повороте множества координат преобразуется по закону (П1.26). В основном тексте учебника параметры движения сплошных сред представляются как соответствующие физические аналоги тетзоров различного ранга. Так, плотность, масса, объем, температура, мощность не зависят от ориента1дш множества координат и дня их математического описания используются тензоры нулевого ранга или скаляры перемещение, скорость, ускорение, сила, напряжение описываются с помощью тензоров первого ранга или векторов параметры деформированного и напряженного состояний окрестности движущихся материальных частиц - с помощью тензоров второго ранга вычисление объема Q непрямоугольного параллелепипеда с ребрами а, Ь и с в декартовом множестве координат [c.250]

ЧИСЛО компонент тензора равно 3", где N—порядок тензора. Тензор нулевого ранга задается в любой системе координат в пространстве любого числа измерений одной компонентой такие тензоры называются скалярами и выражают физические величины, характеризующиеся только численным значением. Тензоры первого ранга имеют три координатные компоненты в трехмерном пространстве, называются векторами и представляют величины, которые характеризуются как численным значением, так и направлением. Тензоры второго ранга называются диадиками и описывают некоторые характеристики, важные в механике сплошной среды. При математическом изучении механики сплошной среды также определяются и часто используются тензоры более высокого ранга, в частности третьего и четвертого (триадики и тетрадики). [c.10]

В случае изотропии тензор модулей упругости является изотропным тензором, т. е. он обладает в каждой декартовой системе координат одинаковыми компонентами. Изотропным тензором второго ранга является тензор Кронекера б//, такой тензор третьего ранга есть тензор Леви-Чивиты zuk- Каждый скаляр также может считаться изотропным тензором нулевого ранга. Однако изотропного тензора первого ранга не существует. Тензоры 4-го ранга ЬцЬы и ЬшЬц б,гб/ являются изотропными, и обобщенный изотропный тензор четвертого ранга получается их линейной комбинацией. [c.59]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...