Вывод краевых условий

Перейдем к выводу краевых условий для написанных уравнений в частных производных. Давление жидкости в начале трубопровода определяется характеристикой насоса и представляется в виде [c.177]

Исторически оправдана высокая оценка роли вариационных методов для вывода краевых условий к системе дифференциальных уравнений, моделирующих тонкое упругое тело сложной конфигурации и строения. [c.235]

Как было отмечено, вариационные методы являются надежным средством для вывода краевых условий. Одна из сложнейших задач в нелинейной теории — формулировка геометрических граничных условий в усилиях и моментах — успешно решена не без помощи вариационных уравнений К. 3. Галимовым (1958, 1960). [c.235]

Рис. 4.1. К выводу краевых условий для функции напряжений

Вывод краевых условий. К системе уравнений Ец), которая согласована с краевыми заданиями на лицевых поверхностях, очевидно, надо присоединить условия, выражающие задания на боковых поверхностях оболочки. Допустим, что на боковых поверхностях Е заданы напряжения или смещения, или на одной ее части Е известны напряжения, а на остальной части Е — смещений Е и2"=Е, Е ПЕ" = 0. Ниже мы рассмотрим также смешанные краевые условия вида на заданы касательные напряжения (например, обращаются в нуль) и нормальная компонента вектора смещений. Мы увидим, что такого рода условия возникают при так называемых втулочных связях (см. [2а], гл. 5, 8, п. 11). Мы предполагаем, что Е состоит из линейчатых поверхностей, образующие которых представляют нормали к 8. Пусть I — орт нормали некоторой площадки поверхности Е. Напряжение Р, на граничной площадке йЕ с нормалью I выражается формулой [c.51]

Наиболее просто решается вопрос в том случае, когда особенность решения обусловлена структурой краевых условий (например, когда какая-либо линия является линией разрыва краевых условий в напряжениях или когда приложена сосредоточенная сила или сосредоточенный момент). В этом случае особенность в решении возникает, даже если само уравнение граничной поверхности будет бесконечно дифференцируемой функцией. Приведем менее тривиальный пример. Допустим, что в плоском случае в окрестности неко орой точки граничный контур представим в виде двух дуг, пересекающихся под прямым углом. На одной стороне задано постоянное касательное напряжение, на другой оно тождественно равно нулю. Краевые условия здесь подобраны так, чтобы в угловой точке нарушался закон парности касательных напряжений. Естественно, что предположения, при которых закон парности выводился (имеется в виду дифференцируемость напряжений, о чем см. 1 гл. II), здесь не выполняются, что и приводит к неограниченности производных от смещений. [c.305]

Приведем, следуя [124], соотношения. между введенными выше аналитическими функциями, имеющие место на плоскости 2 = 0. Заметим, что в этом случае 6 = 0i = 02 = /х. Для их вывода буде.м использовать краевое условие (10.6), а также соотношения (5.53) и (5.54) гл. III и соотношения, связывающие деформации и напряжения со смещениями. Вводится одна функция [c.448]

Полученная таким способом линейная сеточная краевая задача с постоянными коэффициентами обычно не допускает еще строгого исследования, поэтому производят дальнейшие упрощения, которые приводят к редуцированным краевым задачам, учитывающим лишь некоторые из краевых условий. Далее будем рассматривать простейшую из них — задачу Коши. Таким образом, в вопросе исследования корректности разностной схемы мы ограничимся изучением устойчивости ее относительно возмущений начальных данных. Исследование, проведенное на уровне задачи Коши, позволяет отсеивать многие неустойчивые схемы. Окончательный вывод об устойчивости схемы можно сделать только после ее испытания. [c.85]

В отличие от этого поворота поворот соу через функцию w (ь), задан- ную вдоль контура С, не определяется, ибо для определения необходимо знать закон изменения функции w по направлению нормали V. Это рассмотрение позволяет сделать вывод о том, что число краевых условий должно быть равно четырем, так как задание Ot (s) предопределяется заданием функции w (s). Из записи условий (16. 42), (16.43) ясно, что из w (s) = О уже следует (Ох (i) = 0. Таким образом, [c.381]

В настоящей главе приведен вывод дифференциальных уравнений сплошности движения и энергии и описано содержание и смысл понятия краевые условия [112]. [c.14]

Анализируя полученные безразмерные уравнения сложного теплообмена совместно с безразмерными характеристическими функциями и краевыми условиями, приходим следующим выводам относительно осуществления подобия исследуемых процессов. [c.350]

Для расчета угла конусности необходимо знать, как зависят goj, и Гдх от параметров процесса. При выводе уравнений, описывающих процесс переноса капель жидкости в струе газа и распределение их по сечению струи, сам процесс дробления на капли вытекающей из сопла струи принимается в качестве краевого условия. [c.36]

При > 1 нет необходимости производить какие-либо дополнительные преобразования для доказательства выполнимости краевых условий для о ("О (С, D и L — произвольные постоянные, подлежащие определению). Аналогично предыдущему [см. вывод формулы (7)] в уравнение (9) достаточно ввести такую зависимость С от D, чтобы [c.274]

Данное неоднородное краевое условие необходимо использовать при выводе уравнений для критических сил. Рассмотрим шарнирное опирание одной кромки и свободный край другой кромки (рисунок 7.14). [c.465]

Этот курс, вероятно, должен быть годовым. В нем должны найти отражение вывод основных уравнений механики сплошной среды, физические допуш ения и возмож ные упрош ения моделей, постановки начальных и краевых условий, корректность этих постановок. Здесь же целесообразно изложить некоторые основные аналитические под ходы, используемые для анализа задач основные идеи асимптотических методов, ме тодов теории подобия и размерности, некоторых других аналитических конструкций, о которых шла речь в разделе 2. [c.26]

Краевые условия для этой системы уравнений выводятся тем же путем, каким в статической задаче устойчивости были получены краевые условия (3.3.6). Согласно этим условиям в каждой точке граничного контура Г необходимо задавать равными нулю шесть величин, альтернативно выбираемых из следующих шести пар [c.67]

Следует добавить, что дифференциальные уравнения, описывающие процессы изгиба и выпучивания длинной прямоугольной пластинки по цилиндрической поверхности, образующая которой параллельна длинной стороне пластинки, лишь значениями некоторых коэффициентов (см. ниже) отличаются от соответствующих уравнений изгиба и устойчивости слоистых балок и стержней. Точно также уравнения, описывающие процессы изгиба и выпучивания длинной панели по цилиндрической поверхности, аналогичны соответствующим уравнениям изгиба и устойчивости арки. Так возникают пары близких между собой систем дифференциальных уравнений, характеризующих механическое поведение существенно различных элементов конструкций. Ясно, что методы исследования краевых задач для этих близких систем уравнений одинаковы, а результаты, полученные при решении одной из них, сохраняют свое значение и для другой. Поэтому сформулированные ниже выводы о характере и степени влияния поперечных сдвигов, обжатия нормали, вида краевых условий на характеристики напряженно-деформированного состояния и критические параметры устойчивости слоистых длинных пластин и панелей остаются справедливыми для балок, стержней и арок. [c.94]

Однако необходимо учитывать, что при выводе функции Грина в усиливающей неоднородной среде положение источника может быть произвольным и поэтому в этом выводе надо руководствоваться формулой (2.97) для R. Для устранения математических затруднений, связанных с несовместимостью краевых условий Кирхгофа, Зоммерфельд [35] ввел для плоской задачи в вакууме другую функцию Грина [c.99]

Излагается методика применения вариационного принципа Гамиль-тона-Остроградского для вывода уравнений и естественных краевых условий в задачах динамики одномерных упругих систем. Приводятся примеры типичных постановок задач. [c.18]

Параграф 5.5 содержит некоторые выводы, связанные с использованием различных численных методов удовлетворения краевым условиям на кривых, отличных от координатных, при помощи конечной линейной комбинации однородных решений. [c.19]

В качестве начальных данных принимают нулевые значения служебных коэффициентов /С и / и начального условия Ую- В результате решения дифференциального уравнения определяют значение 0 У (О при Ую = 0 = 0. Следующее решение дифференциального уравнения находят при = х ( i > 0). Последующие значения г/ю рассчитывают по формуле (84), и как только соответствующее краевое условие станет меньше е, результат решения выводится на печать. [c.134]

В сборнике ) систематически применяется следующий способ вывода граничного интегрального уравнения. Для данной системы эллиптических дифференциальных уравнений получается аналог третьего тождества Грина (см. формулу (3) на стр. 12), дающий представление решения в произвольной точке Р области в виде интегралов от граничных значений решения и комбинации его производных, входящей в естественные краевые условия. Предельный переход в этом тождестве при условии, что точка Р стремится к точке границы Q области, приводит к двумерному (в общем случае сингулярному) интегральному уравнению по границе (ГИУ). [c.183]

Система уравнений, описывающая течение смазки в УГД контакте, выводится с учетом ряда допущений (их обсуждение см., например, в [5, 7, 32]) из уравнений гидродинамики, теплопереноса и теории упругости. Основные допущения заключаются в следующем толщина слоя смазки существенно меньше радиусов контактирующих тел, силы вязкого трения значительно больше инерционных, локально контактирующие тела заменяются полупространствами. Связь между тензором скоростей деформации и тензором напряжений, т.е. реологическая модель среды, является заданной. Зависимости свойств смазки — вязкости, плотности, теплопроводности, теплоемкости — от давления и температуры полагаются известными. Известными являются физические свойства твердых тел. При исследовании микро-УГД смазки задается топография поверхности. Система УГД уравнений замыкается начально-краевыми условиями. [c.499]

Преобразуем начально-краевую задачу (1.24) к краевой задаче относительно скоростей сг°, и и. Для этого продифференцируем по t уравнения равновесия, граничные условия на Si t) (i = 1,...,4) и уравнения состояния. Для вывода граничного условия на S (t) [c.197]

Спецкурс Колебания распределенных механических систем является естественным продолжением курса теории колебаний. Сначала излагаются методы вывода уравнений упругих колебаний и краевых условий. Методы основаны на принципах Даламбера и Гамильтона - [c.11]

Выводы. 1°. При заданных краевых условиях и значениях А, В, С, а также уровнях помех V,, определяемых неравенствами (4.2.7), гарантированное время переориентации т = 70( ) посредством управлений (4.1.9), (4.2.4), (4.2.9) достигается при max а = 514.5 (Нм). Однако это не только "осторожная" (что характерно для игровых стратегий), но и несколько завышенная оценка уровней м. При моделировании не замечено ни одной допустимой реализации помех, при которой значение max а было бы больше 440 (Нм). [c.217]

В качестве краевых условий в моделях полупроводниковых приборов используют зависимости потенциалов на контактах от времеин, принимают значения концентраций носителей на границе между внешним выводом и полупроводником равными равновесным концентрациям Ра и Яо, для границ раздела полупроводника и окисла задаются скоростью поверхностной рекомбинации gs, что определяет величины нормальных к поверхности раздела составляющих плотностей тока Jp и Jn, и т. д. [c.156]

Из изложенного следует, что в каждой точке гладкого участка контура могут быть зафиксированы перемещения Wv. w, (Ov, что совпадаеп со сделанным ранее выводом о необходимости четырех краевых условий в задаче напряженно-деформированного состояния пластин. Если контур не имеег угловых точек, то — = Мй и конечная сумма в filler исчезает. Исчезает она и в случае dwi = 0. [c.389]

Если учесть более благоприятные условия в смысле устойчивости и точности, то неявные уравнения предпочтительнее явных. Однако в случае кратковременных процессов и процессов с переменными краевыми условиями неявные уравнения теряют свои преимущества в отношении как устойчивости, так и точности по сравнению с явными, а метод расчета становится сложным вследствие неявности и необходимости решения системы алгебраических уравнений. Следует отметить, что если отношение шага интегрирования по времени неявного метода к соответствующему шагу интегрирования явного меньше трех, то количество алгебраических операций в неявном методе будет больше, чем в явном методе расчета. В этом случае явная схема расчета предпочтительнее неявной. Следует также иметь в виду, что в реальных условиях работа конструктивных элементов происходит при переменных краевых условиях. Постоянные условия теплообмена на практике встречаются крайне редко. Чтобы учесть изменение условий теплообмена, как правило, приходится принимать малый шаг интегрирования по времени. Кроме того, как было уже отмечено, численный метод будет нами использован для расчета процессов с малым временем теплового воздействия. В связи с указанным приходим к выводу, что для расчета нестационарных тепловых процессов в элементах конструкции тепловых двигателей явные конечно-разностные уравнения предпочтительнее неявных. Поэтому при изложении численных методов расчета основное внимание будет сосредоточено на явных уравнениях и на явном методе расчета. Неявный метод ргсчета изложен в 2-9. [c.39]

Аналогично примечанию (см. стр. 287 сноска ) условия устойчивости 14) и (16) не исключают отдельных возрастаний погрешностей. Это, в частности, имеет место в пристеночной зоне. В наших рассуждениях не принимались во внимание краевые условия, однако предполагалось, что рассматриваемая точка сетки, так же как и все другие, находится во внутренней области потока. Вблизи стенки следует принимать во внимание краевое условие = О, значительно влияющее на процесс движения. Поэтому вблизи стенки ошибки распространяются не только на точки сетки с < О, а ошибки, большей частью вследствие s/o =0 и т1 о = 0, будут снова влиять на внутреннюю область Другими предположениями при выводе условия (16) были 1) точка (х, у) лежит в устойчивой области в этом случае у < 0 2) возможность линеаризации уравнений ошибок 3) h и I малы настолько, что в окрестности рассматриваемой точки х, у) лежит еще достаточно большое количество точек. В двух последних предположениях отражаются трудности, которыми всегда пренебрегают при аппроксимации нелинейных дифференциальных уравнений методом конечных разностей. [c.292]

Здесь следует еще убедиться в обратном определяемые равенствами (6.3.1), (6.3.2) во всей области функции Ф, ( ), F.( ) удовлетворяют краевым условиям (6.2.7), (6.2.8), по которым они найдены способом интегралов Коши. Обоснование с помощью теорем теории потенциала (теорема Гарнака) приводится в упомянутом труде Н. И. Мусхелишвили. Другой вывод этих же соотношений приводится в пп. 6.13, 6.14. [c.571]

Переходя к рассмотрению реальных конструкций и исследованию их на основе метода, изложенного в предыдущей главе, особое внимание надо уделить выводу разрешающих уравнений и краевых условий для разностей. параметров основного и побочного процесса, их скоростей, ускорений и т. д. Поскольку эти разности в изучаемых проблемах можно считать как угодно малыми величинами, то допустимы некоторые упрощения, которые для сложных конструкций будут весьма полезными. Здесь имеются в виду не предположения частного порядка, характерные для данной конструкции, а общие для любой деформируемой системы, касающиеся упрощений при учете геометрической нелинейности, допустимых в рам ках бифуркационных и псевдобифуркационных проблем. [c.39]

Работа посвящена определению дальности видимости черных и нечерных объектов в том случае, когда наблюдатель и наблюдаемый объект находятся в различных горизонтальных плоскостях. Решение задачи учитывает асимметричность индикатрисы рассеяния, альбедо земной поверхности и, наряду с рассеянием, поглощение света. В первую очередь решается чисто теоретическая задача определение яркости света в любой точке атмосферы для любого направления луча в частности решается вопрос об определении яркости неба. В основу решения положено уравнение переноса лучистой энергии, из которого затем, принимая во внимание краевые условия, выводится система двух интегральных уравнений для двух неизвестных функций г) и [т г являющихся ключом к решению всей задачи. Решение этой системы интегральных уравнений осуществляется методом последовательных приближений. Вычисление дальности видимости дано для двух вариантов задачи, в зависимости от расположения наблюдателя по отношению к наблюдаемому объекту (выше или ниже) и основано, с одной стороны, на понятие контраста яркостей, введенного Кошмидером, [c.347]

Одной из ключевых и принципиальных проблем динамики систем с движущимися границами и нагрузками была корректная математическая постановка краевых задач в частных производных. Еще со времен С.П. Тимошенко движущуюся нагрузку заменяли некоторой эквивалентной сосредоточенной силой. Однако такой подход был некорректен, и при больших отно сительных скоростях движения нагрузок приводил к неправильным выводам. В результате многолетних поисков была разработана универсальная процедура постановки с амосогласованных задач динамики упругих систем с движущимися по ним объектами на основе вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Возникающие при этом вариационные задачи оказались неклассическими, что потребовало проведения дополнительных разработок по вариационному исчислению. Новыми оказались и получаемые таким путем краевые задачи математической физики. Их принципиальное отличие от классических задач состоит в наличии дополнительного существенно нелинейного краевого условия, описывающего взаимовлияние движущегося объекта и колебаний упругой направляющей. Физический смысл последнего условия состоит в том, что при взаимодействии распределенной системы с движущимся со средоточенным объектом возникают силы вибрационного давления. На существование таких сил впервые обратили внимание еще Рэлей (1902 г.) и Е.Л.Николаи (1912-1925 гг.), изучавшие колебания струны с движущимся вдоль нее кольцом. Предложенный подход позволил по-новому взглянуть на проблемы динамики упругих систем, несущих подвижные нагрузки, и вскрыть новые, ранее не учитываемые явления. [c.9]

В первой главе па основе принципа возможных перемещений получены уравнения равповесия для произвольных оболочек и естественные краевые условия. Их вывод базируется па кинематических и физических гипотезах, которые позволяют учитывать поперечные сдвиговые напряжения, удовлетворяющие необходимым граничным условиям па лицевых поверхностях оболочки. Физические соотпошения для армированного материала и критерий прочности для него построены на основе структурного подхода. Дана математическая формулировка структурного Крите--рия пр очности армированных оболочек и предложен конструк--тивный метод определения гиперповерхности разрушения оболочки в пространстве параметров внешнего воздействия. [c.5]

Большую работу выполнил Буссинеск по теории тонкостенных стержней и по теории пластинок ). Он дал новый метод вывода уравнений равновесия для тонкостенного стержня, полученных ранее Кирхгоффом. В теории пластинок он привел новый вывод дифференциального уравнения равновесия и исследовал краевые условия Пуассона—Кирхгоффа на основе изучения местных нарушений, возникающих в результате замены одной системы контурных сил другой, статически ей эквивалентной. Таким путем он пришел к выводам, ранее уже полученным Кельвином (см. стр. 319). Эта работа была предпринята Буссинеском по совету Сен-Венана ) и вошла в состав приложения (note finale) 73 к выполненному последним переводу книги Клебша. [c.396]

Для вывода интегрального уравнения контактной задачи подобно тому, как это было сделано в 3, рассмотрим сначала вспомогательную задачу о равновесии, тонкого слоя 1 0<1/ Л) при краевых условиях (3.2). Допустим, что для материала слоя 1 справедливы все те предположения, которые были сделаны в 2 при выводе формулы (2.17). Кроме того, пусть модуль сдвига Gi верхнего слоя на порядок превосходит модуль сдвига Gz нижнего слоя. В этом случае слой 1 будет работать в осаовном на сжатие, и приближенное решение краевой задачи [c.466]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...