Тензор мультипликативный

Систему девяти чисел аф , расположенных так, как указано выше, будем называть мультипликативным тензором. Очевидно, из рассмотренных выше произведений можно было бы построить иной тензор [c.44]

Этот тензор вообще отличается от предыдущего. Рассмотрим закон преобразования компонент построенных тензоров. Обозначая компоненты первого мультипликативного тензора через Ti/ , имеем [c.44]

Формулы преобразования скаляров, векторов и тензоров линейны относительно их компонент в новой и старой системах координат. Количество компонент скаляра равно единице, или 3 , количество компонент вектора равно трем,т. е. 3 количество компонент мультипликативного тензора (1.37) или (1.38) равно девяти, или 3 . Следовательно, количество N компонент скаляров, векторов и простейших тензоров в трехмерном пространстве определяется общей формулой [c.45]

Введенные выше мультипликативные тензоры (1.37) и (1.38) можно рассматривать как результат обобщенного действия умножения векторов а и Ь. Очевидно, это действие умножения не коммутативно. Применяя формулы (1.39) или (1.40) преобразования компонент тензора, легко убедиться в том, что сумма компонент Тц [c.47]

Сумма диагональных элементов матрицы тензора второго ранга называется его линейным инвариантом. Из выражений (1.37) и (1.38) видно, что линейный инвариант построенного нами мультипликативного тензора — скалярное произведение векторов а-Ь. [c.47]

Этим мы установили связь между векторным произведением и антисимметричной частью мультипликативного тензора второго ранга. Антисимметричная часть мультипликативного тензора второго ранга называется также бивектором ). Как видно из предыдущего, компоненты бивектора (опуская коэффициент 1/2) можно записать так [c.49]

Как пример рассмотрим мультипликативный тензор с компонентами а б . Умножая этот тензор на метрический тензор получим смешанный тензор четвертого ранга, дважды ковариантный и дважды контравариантный. Произведем свертывание по двум парам индексов. Ранг тензора снизится на четыре единицы, и мы получим тензор нулевого ранга, или скаляр [c.58]

Этот скаляр, как видно из формулы (1.615), является скалярным произведением векторов а и Ь. Действие свертывания с метрическим тензором, приводящее к подниманию или опусканию индексов, установлено пока лишь для мультипликативных тензоров. Однако каждый тензор можно представить в форме суммы мультипликативных тензоров соответствующего ранга. Это утверждение не требует доказательства, так как мы не ограничиваем количество мультипликативных составляющих тензора. Поэтому действие поднимания и опускания индексов распространяется на тензоры произвольного ранга и строения. Это подтверждается также тем, что метрический тензор принадлежит к так называемым единичным тензорам, так как его смешанные компоненты совпадают с символами Кронекера. [c.58]

Если рассматривать символы V как ковариантные компоненты символического вектора V, то величины и можно рассматривать как компоненты некоторых мультипликативных тензоров второго ранга. Но сравнение формул (IV. 146), (IV. 148) и (IV. 150) приводит к выводу, что введение вектора у не встречает препятствий лишь при применении системы прямолинейных декартовых координат, так как лишь в этой системе символы Кристоффеля равны нулю. [c.386]

Введем в рассмотрение так называемый мультипликативный тензор, или диаду, как тензор с компонентами, равными попарным произведениям проекций двух физических векторов а и Ь. Матрицей такого тензора будет служить таблица [c.118]

Компоненты тензора-произведения (мультипликативного тензора), как это следует из равенства (1 .22), снабжаются индексами, снятыми поочередно с компонент тензоров-сомножителей в заданном порядке. [c.394]

Д. Мультипликативные тензоры. Если есть тензор [c.210]

Альтернативное обобщение [35, 38] состоит в замене аддитивного разложения тензора деформаций Коши (2.65) мультипликативным разложением тензора градиента деформаций F на упругую F и пластическую F составляющие F = F F . [c.100]

Мультипликативный тензор, диада, аЪ получается в результате диад-пого умножения двух векторов а и 6 [c.19]

Градиент деформации теперь представлен аддитивным разложением Е и Й аппроксимируют относительную деформацию и вращение по этой причине их называют для случая малых деформаций симметрическим тензором относительной деформации напряжений Е й кососимметрическим тензором враи ения Й следует сопоставить это разложение с точным мультипликативным разложением (2.88). [c.34]

Тензоры, полученные путем перемножения компонентов других тензоров, условимся называть мультипликативными. [c.101]

Рассмотрим далее два тензора второго ранга и и составим из их компонентов мультипликативный тензор четвертого ранга [c.101]

Тензоры вида А 0 Д назовем мультипликативными тензорами. [c.19]

Итак, абсолютные скаляры, векторь и мультипликативные тензоры являются тензорами различных рангов. Абсолютные скаляры — тензоры нулевого ранга, векторы — тензоры первого ранга, мультипликативные тензоры (1.37) и (1.39)—тензоры второго ранга. [c.45]

На основании свойств антисиммс тричиых тензоров видим, что антисимметричную часть мультипликативного тензора второго [c.49]

Теперь мы можем обобщить понятие тензора, введенное нами первоначально в ортогональной системе декартовых координат. Рассмотрим сначала тензоры второго ранга. Применяя контрава-риантные и ковариантные компоненты векторов а и Ь, можем построить четыре мультипликативных тензора второго ранга. Эти тензоры имеют следующие компонешы [c.55]

Первый тензор имеет контравариантные компоненты, второй и третий — смешанные, четвертый — ковариантные ). Поэтому построенные здесь тензоры называются соответственно контравариантными, смешанными и ковариантными тензорами второго ранга. Закон преобразования компонент этих тензоров можно непосредственно найти на основании формул (1.50а), (1.50Ь), (1.51а) и (1.51Ь). Пользуясь этими формулами и распространяя закон преобразования компонент мультипликативных тензоров на все тензоры соответствующего ранга и строения, найдем, что контравариантные компоненты тензоров второго ранга преоб )азуются по формулам [c.55]

Рассмотрим действие умножения. Как мы уже указывали выше, образование мультипликативных тензоров является частным случаем действия умножения тензоров. Обобщим это действие. Пусть, например, имеем тензор второго пи.чга с компонентами Т и вектор с компопептами Пз компоне 1Т. этих тензоров можно образовать [c.56]

Весьма существенным является сочетание действия умножения с действием свертывания. С частными случаями этого действия мы встречались выше. Рассмотрим это действие подробнее, вводя как множитель метрический тензор. Простейшие случаи применения этого комбинированного действия определены формулами (1.53) и (1.55). Из этих формул видно, что, применяя действия умножения на метрический тензор и свертывания к вектору, можно поднять индекс компоненты вверх, превратив ковариантиые компоненты в контравариантные, или, наоборот, опустить этот индекс вниз. Это действие поднимания или опускания индексов, являющееся результатом комбинированного действия умножения и свертывания, можно распространить на произвольные мультипликативные тензоры. [c.58]

Производится также свертывание тензора с тензором, Эта операция, называемая внутренним произведением тензоров, состоит в предварительном тензорном (внешнем) умножении тензоров, а затем полученный мультипликативный тензор свертывается по индексам, принадлежащим тензорам-сомножителям. Например, перемножая тен-зорно два вектора (а ) и (6 ), а затем свертывая полученную диаду ( i/) = (ад (bj), приходим к инварианту [c.394]

При построении п выборе вида определяющих уравнений или реологических законов для описания больших деформаций сред с учетом иеупругих свойств могкио выделить несколько подходов, различающихся способом разложения полных деформаций и скоростей деформаций на упругие, пластические и вязкие аддитивное — с помощью метрического тензора разгруженной конфигурации [167] или мультипликативное — с помощью разложения градиента места [138]. [c.21]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...