Компоненты метрического тензора

Из уравнения (3-4.3) следует, что компоненты метрического тензора yij (т) совпадают в любой момент с ковариантными компонентами тензора деформации Коши [c.112]

При движении метрики компоненты метрического тензора удовлетворяют равенствам [c.18]

Пусть компоненты метрического тензора (з ) и[е зависят от i (см. определение метрического тензора). Тогда справедливы формулы [c.24]

Величины или g называются компонентами метрического тензора, так как они определяют расстояние между двумя точками пространства и угол между двумя направлениями в пространстве (формулы (1.63) и (1.64)). [c.56]

Действительно, рассмотрим смешанные компоненты метрического тензора. Их можно определить так [c.59]

Величины называются символами Кристоффеля второго рода. Далее мы найдем формулы, связывающие символы Кристоффеля с компонентами метрического тензора. Из формулы (П.59) видно, что символы Кристоффеля второго рода симметричны относительно нижней пары индексов. [c.93]

Из этого соотношения вытекают следующие выражения компонент метрического тензора [c.97]

Как известно, всегда можно выбрать компоненты метрического тензора так, что в фиксированной точке все символы Кристоффеля обратятся в нуль. Такая голономная система координат называется римановой, или нормальной, системой координат. В этой системе координат метрика пространства в ок- [c.156]

Так как количество коэффициентов преобразования превосходит количе- ство компонент метрического тензора, то переход к неголономной системе позволяет повысить точность определения метрики в окрестности фиксированной точки пространства конфигураций и точность найденного локального решения уравнений движения. [c.157]

Символы Кристоффеля второго рода определяются через компоненты метрического тензора по формулам (П.71Ь). Метрический тензор определим из равенства, совпадающего с (И. 70Ь) [c.167]

Следовательно, компоненты метрического тензора определяются так [c.178]

Обозначая компоненты метрического тензора в переменных Лагранжа в деформированной среде через и применяя формулы (1.49) и (11.55) т. I, получаем [c.503]

Для оценки слагаемых, содержащих символы Кристоффеля, примем, что свойства реального физического пространства мало отличаются от евклидовых. Это предположение основывается на огромном количестве наблюдений и опытов, составляющих основу классической механики. Поэтому компоненты метрического тензора будем определять соотношениями [c.527]

Здесь нами были приняты во внимание выражения (IV. 149) и сохранены лишь главные члены в выражениях компонент метрического тензора. [c.527]

IV. 54). Этот тензор, как видно из предыдущего, описывает механические свойства движущейся материи. Таким образом, классическое уравнение Пуассона в неинвариантной форме устанавливает связь между тензором энергии — импульсов и некоторым тензором второго ранга, содержащим в составе своих компонент вторые производные по координатам (1 = 1, 2, 3, 4) от компонент метрического тензора. [c.529]

Следующим шагом на пути обобщений является превращение неинвариантного равенства (IV. 165) в инвариантное, т. е. тензорное равенство, согласно основному принципу инвариантности аналитических формулировок основных законов природы, о котором шла речь выше. Чтобы пройти этот этап, надо построить тензор второго ранга с компонентами, содержащими вторые производные от компонент метрического тензора. [c.530]

Тензор с компонентами, содержащими вторые производные от компонент метрического тензора, известен. Это — тензор кривизны (IV. 89). Но тензор кривизны — тензор четвертого ранга. Однако посредством операции свертывания из тензора кривизны можно построить симметричный тензор второго ранга определенный равенствами (IV. 93). [c.530]

Соотношения (IV. 169) удовлетворяют условиям (IV. 167). Они называются уравнениями тяготения А. Эйнштейна. Десять уравнений (IV. 169) определяют десять компонент метрического тензора или десять гравитационных потенциалов, вместо одного в теории ньютоновского потенциала. [c.531]

Примеры тензоров второго ранга (ранга 2). Как показывает формула (1.13), совокупность скалярных произведений (е,-, ej) векторов базиса (неортогонального) представляет собой совокупность координат некоторого тензора ранга 2 этот тензор называется метрическим. В ортонормированном базисе компоненты метрического тензора определяются по закону (1.14) совокупность чисел, обладающих свойством (114), называется символом Кроне-кера (или дельта-тензором) и обозначается через б,-/ по определению [c.311]

Частица движется по геодезической на двумерной поверхности. Компоненты метрического тензора не зависят от координаты qK Доказать, что ковариантная компонента импульса pi постоянна. [c.83]

При построении теории тяготения, названной Эйнштейном общей теорией относительности (ОТО), он всецело исходил из принципа эквивалентности гравитационного поля нужным образом ускоренных систем отсчета. А так как разным системам отсчета соответствует разная метрика пространства-времени, то Эйнштейн принял за гравитационное поле метрический тензор gpv риманова пространства-времени. Так принцип эквивалентности привел к отождествлению метрики и гравитации компоненты метрического тензора в ОТО являются в то же время потенциалами тяготения. [c.158]

КОМПОНЕНТЫ МЕТРИЧЕСКОГО ТЕНЗОРА И СИМВОЛЫ КРИСТОФФЕЛЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ [c.119]

Для некоторых ортогональных криволинейных координат найдем компоненты метрического тензора и символы Кристоффеля. [c.121]

Ковариантные компоненты метрического тензора [c.123]

На основании (2 .25) и (6.49) контравариантные компоненты метрического тензора [c.131]

Ковариантные компоненты метрического тензора для рассматриваемой системы криволинейных координат на основании (2 .76) и (2 .77) равны [c.365]

Лапласиан вектора а в криволинейных координатах определяется формулой (2 . 100). Входящие в нее контравариантные компоненты метрического тензора g l на основании (2 .25) и (11.3) равны [c.366]

Символы Кристоффеля можно выразить через компоненты метрического тензора. Исходя из (2 .66) [c.415]

В случае ортогональных криволинейных координат компоненты метрического тензора удовлетворяют соотношениям [c.416]

Задаче динамики деформируемого тела можно поставить в соответствие задачу о равновесии фиктивного четырехмерного тела. Для этого в рассмотрение вводится четырехмерное пространство с системой координат л (а = 1,2, 3, 0), в которой первые три координаты х (I = 1, 2, 3) — пространственные они совпадают с координатами Д основной системы координат, четвертая координата — временная хР = где и" — коэффициент пропорциональности, имеющий размерность скорости. Координатная линия х° — прямая, ортогональная к другим координатным линиям системы координат. Метрический тензор системы координат х имеет компоненты goo = —U ёю = остальные компоненты gtj совпадают с соответствующими компонентами метрического тензора основной системы координат х (t = 1,2,3). Введем в рассмотрение четырехмерный тензор кинетических напряжений (Т), компоненты которого имеют вид [24] [c.32]

Компоненты метрического тензора и символы Кристоффеля системы координат определяются по формулам (1.4.43). Для области возмущений имеем следующие граничные условия [c.69]

Компоненты метрического тензора системы координат следующие [c.363]

Функции / 3 вычисляем по формулам (1.4.14) второй части книги, учитывая выражения компонент метрического тензора (4.1.4), символы Кристоффеля (4.1.5) и фундаментальные функции (4.1.68). [c.376]

Компоненты метрического тензора [c.377]

Компоненты метрического тензора сферической оболочки в соответствии с (4.4.4) имеют вид [c.422]

Символы, определяемые выражениями (1-4.11) и (1-4.10), называются символами Кристоффеля первого и второго роДа соответственно. Как видно из этих соотношений, они являются комбинацией производных метрического тензора по координатам и обра-ш аются в нуль, если компоненты метрического тензора постоянны, как это имеет место в декартовой системе координат. Известное правило суммирования распространяется также и на эти символы. Индексы в символах Кристоффеля первого рода считаются нижними, а в символах Кристоффеля второго рода один из индексов считается верхним и два — нижними. [c.32]

Величины gift называются, как было указано в ч. I, компонентами метрического тензора. Они связаны с координатными векторами ej соотношениями [c.92]

Симметричность величин относительно индексов /г следует из правой части равенства (а). Теперь рассмотрим закон преобразования величин Первый член в правой части преобразуется как компонента смешанного тензора второго ранга, так как величины 6, совпадают со смешанными компонентами метрического тензора, а является абсолютным скаляром. Что касается второго члена, то следует отметить, что радиус-вектор в криволинейной системе координат нужно считать определенным своими компонентарли в местном координатном базисе начало местной координатной системы должно совпадать с началом радиуса-вектора. Зная модуль радиуса-вектора и его направление относительно упомянутой местной координатной системы, можно найти его компоненты, как это отмечалось в первом томе. [c.78]

Равенства, находящиеся в первых двух строках, выражают антисимметричность тензора Rprst относительно каждой пары индексов р, г н S, t. Учитывая свойства (1.88), после подсчета получаем, что из 81 компонента тензора Римана — Кристоффеля остается только шесть независимых компонентов Я 2 2, Я г ъ, R2323, Ятз, Rim, Rsisz-Известно, что во все евклидово пространство можно ввести декартову систему координат. Так как в последней компоненты метрического тензора постоянны, а следовательно, символы Кристоф- [c.27]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...