Производная по перемещению

Выражение (2-68) связывает между собой вторые производные по перемещениям обоих ионов диполя. Подставляя в (2-68) значения вторых производных из (2-67), получаем после приведения подобных членов [c.60]

Производная по перемещению. Рассмотрим движущуюся поверхность уравнение которой имеет следующий вид [c.133]

Обе составляющие справа от знака равенства являются тензорами. Таким образом, производная по перемещению функции переменных и t — двухточечный тензор. [c.134]

Определим несколько производных по перемещению, которые будут необходимы в последующих рассуждениях. Согласно (20.15) для функции Х к получаем [c.135]

Вычислим производную по перемещению ЬА/Ы. Согласно [c.136]

Величина В может быть выражена введенными выше величинами А, С и производной по перемещению ЬВ Ы. А именно используя последовательно формулы (20.21), (20.13), (20.17) и (20.18), получаем [c.138]

Производная (20.62) характеризует изменение, происходящее в течение времени и регистрируемое наблюдателем, движущимся вдоль линии векторного поля и по поверхности разрыва (/ц. Если поле совпадает с полем Л , то производная (20.62) переходит в обсуждавшуюся выше производную по перемещению. [c.144]

Для составления системы алгебраических уравнений наиболее часто используют прием, при котором для каждого элемента составляют выражение для вычисления потенциальной энергии с учетом энергии от нагрузок. Исходя из условия, что в упругом состоянии равновесию тела соответствует минимум энергии, от выражения для потенциальной энергии элемента вычисляют частные производные по перемещениям узла в радиальном и осевом направлениях, суммируют производные (одноименные по номеру узла и направлению оси), сумму их приравнивают нулю и это дает алгебраическое уравнение. При расчете теплового состояния поршня составляют выражение для функционала [45], от которого находят частные производные по температуре узла. При этоМ Количество алгебраических уравнений в системе будет равно числу узлов. [c.132]

Переходя на язык анализа, можно сказать, что деформация определяется первыми производными от перемещений по координатам Л" и у. Муаровый метод, следовательно, неизбежно требует дифференцирования наблюдаемых функций перемещений. Это и производится в неявной форме, когда измеряется шаг полос, т. е. определяется разность перемещений. Такая операция связана, естественно, с потерей точности и накладывает ограничения на применение метода муаровых полос. Если деформации малы, полосы расположены редко. В пределах рассматриваемой области их будет [c.523]

В любом амортизаторе могут быть определены три взаимно перпендикулярные направления х, у, z такие, что перемещение точки крепления амортизатора в одном из этих направлений вызывает силовую реакцию амортизатора в противоположном направлении. Эти направления называются главными. Если через X, Y и Z обозначить проекции реакции амортизатора на главные направления и учесть упругие и демпфирующие свойства реальных амортизаторов при малых колебаниях, то можно предположить следующее реакции по главным направлениям зависят только от соответствующих перемещений и их первых производных по времени. Тогда функции [c.276]

В случае реономных связей введем понятие замороженной связи. Связь называется застывшей или замороженной , если в некоторое мгновение считается, что она перестает зависеть явно от времени, т. е. как бы застывает, перестает перемещаться или деформироваться. Так, например, для реономной связи, представленной на рис. IV.4, замораживание означает, что в некоторое мгновение парабола останавливается и в это мгновение перемещениями, удовлетворяющими связи, являются перемещения, не выводящие точку с неподвижной (остановленной) параболы. Аналитически замораживание связей проявляется в том, что в уравнениях связи вида (57) явно входящее время t считается константой и при дифференцировании частная производная по [c.149]

Теорема 5.1.2. (Об изменении количества движения). Если связи идеальны и в каждый момент времени допускают поступательное виртуальное перемещение всей системы параллельно неподвижной оси с единичным направляющим вектором е, то производная по времени от проекции 0 количества движения на эту ось равна сумме проекций внешних активных сил на ту же ось [c.381]

Предположим, что рассматриваемый класс механических задач таков, что можно произвести линеаризацию всех зависимостей по перемещениям и и по производным от ы в частности, любой из тензоров напряжений будет линейным оператором от и . Как видно из формулы (1.79), в этом случае t = ta, и для того чтобы зависимости (1.78), (1.81) были линейными по и, необходимо положить Vo = v, Gi = ki, следовательно, в линейном варианте теории все тензоры напряжений совпадут. Для того чтобы отличать тензор напряжений для этого линейного случая от других, будем использовать специальное обозначение or [c.20]

Второе обстоятельство заключается в том, что частица движется по отношению к полю величины Ф, занимая в нем последовательно разные положения. Такое движение называют конвективным. За время с11 частица совершит перемещение Vй1 л перейдет в новое положение, в котором функция Ф будет отличаться от своего исходного значения на величину, равную произведению производной по направлению перемещения, т. е. по направлению вектора V, на длину перемещения V (И. [c.337]

Итак, если связи допускают одинаковое для всех точек системы перемещение в направлении некоторой оси, то производная по времени от проекции количества движения на эту o i [c.378]

Здесь, как и в 8, С — контур, охватывающий вершину трещины W — плотность энергии деформации Пт — косинус угла между нормалью к С и радиусом из вершины трещины г Оу, Uj — компоненты напряжения на С по i-м направлениям Ui г — частные производные компонентов перемещения по п на С. [c.194]

Выражая усилия через деформации по формулам (7.40) и далее через перемещения, согласно соотношениям (7.38), приводят задачу о колебаниях к трем дифференциальным уравнениям в частных производных относительно перемещений Ua, и Пг [108]. [c.263]

Имея выражения коэффициентов С , d , в , легко с помощью полиномов (10.4) найти конечно-разностные производные по переменным X, у для ребра т, где х = 0, у = 0 1], уравнения (5.37), и в аналитической форме по переменной z, функциями которой являются перемещения [c.354]

Следовательно, в нуль при 2= Л обращается не только сама составляющая (Уг(х. у, г), но и ее производная по 2. Из этого можно заключить О2 будет очень малой величиной по всей толщине пластинки, поэтому с достаточной точностью можно считать эти напряжения равными нулю. Проекция вектора перемещения любой точки срединной плоскости на ось О2 равна нулю (по симметрии). Полагая изменение перемещения w очень малым по толщине пластинки, принимаем ги)(х, у, 2)=0. Будем также считать, что изменения проекций перемещений и(х, у, г), с(х, у, г) по толщине пластинки малы, поэтому вместо величин и и и можно рассматривать их средние значения [c.29]

Силы, зависящие от вектора перемещений, его первой производной по е и углов поворота сечений. В этом наиболее общем случае приращения векторов сил и моментов могут быть представлены в таком виде [см. уравнение (1.99)] [c.98]

При выводе уравнений движения необходимо иметь кинематические соотношения, устанавливающие связь между обобщенными перемещениями и их первыми производными по времени. [c.11]

Если начальные условия зависят от перемещений и их первых производных по времени, т. е. [c.119]

Точное решение уравнения (5.29) из-за слагаемых, зависящих от первых производных по времени, очень громоздко. Поэтому для решения воспользуемся принципом возможных перемещений, по- [c.122]

Если АРу и АРу, например, зависят от ии и О, где /г=2, 3 (возможны случаи, когда действующие на стержень динамические нагрузки зависят и от первых производных по е и х перемещений точек осевой линии стержня и углов поворота сечений стержня), т. е. [c.166]

Теорема об изменении проекции количества движения системы (в дифференциальной форме). Если среди возможных перемещений системы имеется поступательное (как твердого тела, т. е. с сохранением неизменности расстояния между двумя любыми точками системы), то производная по времени от проекции количества движения на это направление равна сумме проекций всех активных сил на это направление. Принимая направление поступательного перемещения за ось Ох, запишем утверждение теоремы как [c.340]

Угловая скорость равна первой производной углового перемещения по времени. [c.102]

Угловое ускорение равно первой производной угловой скорости или второй производной углового перемещения по времени. [c.105]

Деформации, как видим, определяются не самими перемещениями, а их производными по переменным х, у, z. Значит, при параллельном переносе тела, когда перемещения и, V, W меняются на постоянную величину, деформации х, tj, остаются неизменными, чего и следовало ожидать. [c.35]

Как и при решении задач устойчивости, изобразим упругую линию так, чтобы сами перемещения, а также первая и вторая производные от перемещений по z были бы положительными. Напомню, мы это делаем формально и только для того, чтобы упростить выбор знака для изгибающих моментов. Итак, получаем [c.161]

Подставляя в уравнение (3.7.1) по формулам (1.8.3) вместо компонентов тензора напряжений компоненты тензора деформации, выраженные через перемещения с помощью уравнений Коши (1.7.1), и учитывая независимость друг от друга аппроксимирующих функций , (р , ф , получим три приближенные системы (т + л- -/) уравнений в частных производных по трем переменным относительно (т + п + /) искомых функций /и П, [c.73]

Скорость V — величина, равная первой производной от перемещения по времени [c.10]

Решение уравнений движения (4.22) должно удовлетворять начальным условиям — условиям в начале движения, т. е. при / = О перемещения Ui и их производные по времени t (скорости , ) должны иметь заданные значения и ui . [c.76]

Постановка граничных условий для уравнений Ламе особенно проста, когда речь идет о первой основной задаче теории упругости, т. е. когда на поверхности задано и, = Ui. Если на границе заданы усилия, то следует по закону Гука выразить напряжения через деформации, т. е. первые производные от перемещений, и внести в граничные условия (8.4.6). Таким образом, на границе оказываются заданными некоторые линейные комбинации из первых производных функций ш, которые мы выписывать не будем. [c.249]

В формуле (12.4.2) опущены члены, содержащие более высокие степени производных от перемещений. Следует заметить, что при этом отбрасываются, например, такие произведения как 42,iW 2, малые по сравнению с Ua.i- Но произведения и квадраты величин Wj и w 2 не появляются и их отбрасывать не приходится. Это замечание сделано в связи с тем, что производные от прогибов пластины w могут значительно превышать производные от перемещений Ua так, что может быть того же порядка малости, что Ua, е. Действительно, полагая порядок Ua, ц, равным е и имеющим тот же порядок е, находим, что порядок Ша равен Уе и порядок равен е < ( . В дальнейшем при построении геометрически нелинейной теории мы встретимся с такими обстоятельствами, однако, приближенное равенство (12.4.2) с вытекающими из него следствиями сохранит силу. Теперь мы можем записать [c.396]

Для решения задач устойчивости, как мы уже выяснили, уравнения равновесия должны составляться для деформированного состояния упругого тела. Соответственно, применяя вариационное уравнение, в нем необходимо удерживать квадратичные члены в формулах для деформаций, как это было сделано для общей теории в 12.2 и для задачи об устойчивости стержня в 12.3. В задачах изгиба пластин достаточно удерживать те квадратичные члены, которые зависят от прогиба w, производные от перемещений мы сохраним лишь в первой степени. Повторяя вывод 12.4, мы найдем, что формулы (12.4.3) сохранят силу и в этом случае, но компоненты деформации срединной поверхности нужно будет вычислять по формулам [c.411]

Ошибка перемещения механизма выражается ограничен1юй и непрерывной функцией от перемещения ведущего звена и имеет по крайней мере первую и вторую ограниченные и непрерывные производные по перемещению ведущего звена, если рассматриваемый интервал движения механизма не содержит остановок ведущего звена. [c.23]

Понятие возможных перемещений для механических систем с не-голономными связями изложим только для линейных неголономных связей первого порядка, т. е. для связей, выражающихся неинтегри-руемыми дифференциальными уравнениями первого порядка относительно координат и липе11ными относительно производных по времени от координат . Допустим, что на систему из N точек наложено I [c.326]

В аналитической механике необходимо более подробно рассмотреть связи, налагаемые на точки механической системы. Механической системой, как известно, называют любую совокупность материальных точек. Условия, ограничивающие, свободу перемещения точек механической системы, называютя связями. Математически связи могут быть выражены уравнениями или неравенствами, в которые входят время, координаты всех или части точек системы и их производные по времени различных порядков. Для одной точки уравнение связи в общем случае можно выразить в форме [c.370]

В одномерной бегущей волне все величины (р, р, Т, Vs,Vn) могут быть выражены в виде функций от одного параметра, в качестве которого может быть выбрана,например, одна из самих этих величин ( 101). Скорость U перемещения точки профиля волны равна производной dxldt, взятой при определенном значении этого параметра. Производные по координате и времени от каждой величины связаны друг с другом соотношением d/dt = = —ид/дх. [c.727]

Вспоминая определение производной по направлению данного вектора (22), получим значение конвективного изменения конвФ на перемещении V сИ [c.337]

Деля обе части равенства (45) на Ш, перейдем от бесконечно малых перемещений р к векторам скорости V, от вектора бесконечно малого поворота 0 — к вектору угловой скорости ш вращения затвердевщего элемента, а от тензора деформации 5 —к тензору скоростей деформаций отличающемуся от 3 точкой, стоящей сверху и обозначающей производную по времени t. При этом справедливо равенство [c.341]

В предыдущих главах, посвященных изложению основных теоретических положений динамики стержней, были даны методы вывода уравнений движения пространственнокриволинейных стержней, нагруженных переменными во времени распределенными и сосредоточенными силами. Наряду с мертвыми силами расс.матривались и другие возможные силы, которые могут зависеть от линейных и угловых перемещений и их первых производных по независимым аргументам. Были получены уравнения малых колебаний и изложены численные точные и приближенные методы определения частот и форм колебаний пространственно-криволинейных стержней. [c.164]

Отметим один характерный частный случай упрощенных геометрически нелинейных уравнений деформаций. Представим себе мембрану в плоскости ху. При действии на нее поперечной нагрузки она получает прогибы w, во много раз превосходящие перемещения и, V в плоскости ху. В подобных задачах, решаемых в геометрически нелинейной постановке, можно учитывать лишь нелинейные слагаемые относительно больших перемещений wvivix производных по х и и Z/. В этом случае с учетом допущения е 1 и sin 7 л 7 (из 2.17), (2.18) получим [c.33]

Чтобы определить линейное или угловое перемещение в точке, где по условию задачи сила отсутствует, в этой точке следует приложить соответствующую фиктивную обобщенную силу. Далее, написав выражение для потенциальной энергии от системы сил, включая указанную фиктивную силу, следует взять его производную по этой фиктивной силе и в полученном выражении для пepe]V1eщe-ния положить фиктивную нагрузку равной нулю. [c.413]

Ui( t — x), МЫ предлшагаем, что функции щ по крайней мере дважды дифференцируемы, в противном случае подстановка их в уравнения движения была бы бессмысленна. Первые производные от функций Ui по времени — это скорости. Напряжения выражаются через первые производные от перемещений по координатам. Эти первые производные должны быть непрерывны, следовательно, волны рассматриваемого типа не могут нести разрывов скоростей или разрывов напряжений. Для стержня мы сразу предположим, что на фронте волны скорость и деформация, а следовательно, напряжение, меняются скачком, и получим скорость фронта в этом предположении. Волны, несущие разрывы производных от перемещений, т. е. скоростей и напряжений, называются волнами сильного разрыва или ударными волнами. Возможность распространения ударных волн в неограниченной упругой среде со скоростями с, и Сг требует дополнительного обоснования. Для продольных волн сильного разрыва применение этого обоснования получается в результате буквального повторения анализа 2.10 для стержня. Совершенно аналогичные рассуждения, основанные на теореме о количестве движения, позволяют установить возможность распространения ударных волн искажения. Таким образом, уравнения движения упругой среды допускают решения, содержащие разрывы первых производных от перемещений. [c.441]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...