Тензоры произвольного ранга

Этим мы аналитически определили тензор произвольного ранга и строения как сложный физический или геометрический объект, определяемый системой компонент , которые при преобра- [c.55]

Этот скаляр, как видно из формулы (1.615), является скалярным произведением векторов а и Ь. Действие свертывания с метрическим тензором, приводящее к подниманию или опусканию индексов, установлено пока лишь для мультипликативных тензоров. Однако каждый тензор можно представить в форме суммы мультипликативных тензоров соответствующего ранга. Это утверждение не требует доказательства, так как мы не ограничиваем количество мультипликативных составляющих тензора. Поэтому действие поднимания и опускания индексов распространяется на тензоры произвольного ранга и строения. Это подтверждается также тем, что метрический тензор принадлежит к так называемым единичным тензорам, так как его смешанные компоненты совпадают с символами Кронекера. [c.58]

Из определения (1.47) непосредственно вытекает следующее утверждение. Значение изотропной функции от индифферентных тензоров произвольного ранга есть индифферентный тензор. [c.33]

Внешним произведением двух тензоров произвольных рангов называют новый тензор, компоненты которого образованы умножением каждого компонента одного тензора на каждый компонент другого. Ранг полученного тензора равен сумме рангов сомножителей [c.33]

Тензоры п-го ранга. Распространим рассмотренный выше подход на тензоры произвольного ранга. [c.42]

Аналогичным образом определяются контравариантные, ковариантные и смешанные тензоры произвольного ранга. [c.357]

Тензоры произвольного ранга [c.86]

В случае тензоров произвольного ранга д используется -кратная свертка тензоров [c.140]

Таким образом, симметричный тензор второго ранга можно определить не только шестью его компонентами ац в произвольных ортогональных координатах но и тройкой главных направлений и тремя независимыми инвариантами. В качестве последних можно выбрать либо три главных значения тензора fli, йь Оз. либо их комбинации, например модули а, d и фазу ф тензора. [c.15]

Покажем теперь, что произвольный тензор второго ранга можно представить как сумму симметричного и антисимметричного тензоров. Действительно, введенное нами выше действие сложения позволяет написать [c.46]

Для построения тензорного базиса заметим, что диадное произведение ki kj в базисе ft, определяется матрицей, на пересечении i-й строки и j-ro столбца которых стоит единица, на прочих местах нули. Очевидно, что матрица оператора, соответствующего произвольному тензору второго ранга может быть представлена в виде суммы (линейной комбинации) матриц, имеющих единственный ненулевой элемент, равный единице на пересечении i-й строки и /-Г0 столбца для всех возможных наборов i и /, т. е. в виде линейной комбинации таких матриц. [c.314]

В общем случае, как мы видели в гл. 4, напряженное состояние характеризуется тензором второго ранга с девятью компонентами. В то же время поляризуемость Р —это вектор, описываемый тремя компонентами. Экспериментально установлено, что, когда произвольное напряжение действует i a нецентросимметричный кристалл, каждая компонента поляризуемости Pi линейно связана со всеми компонентами тензора напряжений ац [c.296]

Теорема. Если в каждом ортонормированном базисе имеем совокупность ЗР+ чисел. ... .. 1 такую, что в результате свертывания ее о произвольным тензором (о/ . .. ранга р получается тензор (bj . .. jJ рангам, то эта совокупность чисел образует тензор ранга р + 9 [c.396]

На основании соотношения (1 .37) тензор второго ранга (а ) можно определить как линейный оператор А, посредством которого произвольному вектору X ставится в соответствие некоторый вектор у. [c.397]

В левой части равенства (1 .82) — компоненты тензора третьего ранга, а в правой части компоненты dx произвольного вектора dx = -> [c.404]

Приведем пример к обсужденному определению тензора второго ранга. Рассмотрим произвольную площадку, проходящую через точку напряженного тела, отнесенного к системе координатных осей хуг. Нормаль к площадке v имеет в этой системе осей направляющие косинусы I, т н п, которые можно трактовать как составляющие по осям х, у и г единичного вектора v, направленного вдоль нормали. На этой площадке вектор напряжения pv имеет в системе осей хуг составляющие p j,, и р г [c.774]

Для случаев, когда применимы квазистационарные уравнения движения Стокса, гидродинамическая сила и момент (относительно произвольного центра О), действующие на твердую частицу произвольной формы при ее поступательном и вращательном движении в жидкости, покоящейся на бесконечности, зависят от трех фундаментальных тензоров второго ранга (диадиков), связанных с геометрическими свойствами тела [c.185]

Вязкоупругие свойства для произвольных направлений, не совпадающих с направлением осей симметрии материала, определяются при этом обычными (приведенными выше) формулами преобразования компонент тензора четвертого ранга при повороте системы декартовых координат, причем некоторые упругие постоянные заменяются в этих формулах интегральными операторами. [c.55]

Переход к ковариантным и контравариантным компонентам в произвольной ортогональной системе координат осуществляется по формулам , для тензоров первого ранга [c.79]

На произвольные тензоры операция перестановки распространяется по линейности. Для тензора второго ранга возможна только одна перестановка, обозначаемая так [c.8]

Теперь очевиден способ дальнейщих обобщений. Мы можем непосредственно написать формулы преобразования для тензоров произвольного ранга и строения [c.55]

Прежде чем дать определение тензора, вспомним некоторые сведения из векторной ажебры, обобщение которых приведет к понятию тензора произвольного ранга. [c.235]

Тензор произвольного ранга, матрица которого не меняется щ>и повороте множества координат, назьшается изотропным. Простейшим таким теюором является скаляр. Примером изотропного тензора второго ранга является едштчный тензор [c.241]

Многие действия над тензорами произвольного ранга сводятся к действиям над их матрицами. Так, сложение (вычитание), возможное лишь для тензоров одинакового ранга, сводигся к сложению (вычитанию) соотвегсгвующих компонент матриц слагаемых (вычитаемых) [c.242]

Представление тензоров произвольного ранга в виде суммы полиад позволяет ввести обобщение вжторного произведения (П1.2). [c.244]

Расшотрим некоторые обобщшия митральных операций над векторами ю векторного анализа для тензоров произвольного ранга. [c.257]

В работе В. В. Лохина (1963) было отмечено удобство классификации анизотропных сред по их точечным группам симметрии. Показано, что любой тензор, инвариантный относительно данной точечной группы, можно представить в виде линейной комбинации тензоров, составленных при помощи тензорных операций из некоторого минимального набора тензоров. Л. И. Седов и В. В. Лохин (1963) выявили такие системы тензоров для 7 типов текстур и всех 32 классов кристаллов. Установлен общий вид формул для тензоров произвольного ранга, являющихся нелинейными тензорными функциями скалярных и тензорных функций произвольного ранга (см. также В. В. Лохин и Л. И. Седов, 1963). Показано, что для построения тензорных функций необходимо и достаточно знание полной системы функционально независимых совместных инвариантов рассматриваемых тензоров и тензорных аргументов. Выявлена структура тензорных функций, описывающих состояние текстур и некоторых классов кристаллов (В. В. Лохин, 1963). [c.74]

Понятие тензора произвольного ранга может быть введено путем обобщения формулы (14.1). Так, например, компонентами тензора четвертого ранга в декартовой прямоугольной системе д будем называть совокупность 81 величин преобразующихся, при переходе к другой системе координат дг , по формулам вида [c.100]

Дальнейшее обобщение действия умножения на случай произвольного количества тензорных сомножителей различного строения очевидно. Например, даны сомножители Т1, Rafi, одним из возможных произведений будет смешанный тензор пятого ранга [c.57]

Добавление 1.4. Для нелинейных тензоров деформации е - и efj аналога формулы Чезаро не установлено Условия совместности в случае конечных деформаций представляют собой условия сохранения евклидовости пространства как известно из геометрии, для того чтобы область Q пространства после деформации также была областью евклидова пространства, необходимо и достаточно, чтобы тензор кривизны деформированного пространства был нулем. Тензор кривизны — тензор четвертого ранга компоненты которого в произвольной криволинейной системе имеют вид [c.15]

Таким образом, для любого объема тела каждая из трех компонент FidV равнодействующей всех внутренних напряжений может быть преобразована в интеграл по поверхности этого объема. Как известно из векторного анализа, интеграл от скаляра по произвольному объему может быть преобразован в интеграл по поверхности в том случае, если этот скаляр является дивергенцией некоторого вектора. В данном случае мы имеем дело с интегралом не от скаляра, а от вектора. Поэтому вектор Ft должен являться дивергенцией некоторого тензора второго ранга, т. е. иметь вид [c.14]

Распространим эти результаты на дифференцирование тензора. Рассмотрим произвольные параллельные векторные поля Б , С", определенные вдоль некоторой кривой. Пусть А тп есть тензор второго ранга, определенный вдоль той же кривой. В каждой точке этой кривой АтпВ С дает скаляр, поэтому его производная по s есть также скаляр [c.25]

В вырожденных электронных состояниях важное значение имеют взаимодействия электронного спина с ядерными спинами, энергия к-рых в больше энергии чисто ядерных спин-спиновых взаимодействий, где ge л g — электронный и ядерный g -фак-торы, Цв — магнетон Бора, рд — ядерный магнетон. Электрон-ядерные спин-спиновые взаимодействия бывают двух видов 1) классич. диполь-дипольное взаимодействие (анизотропное), энергия к-рого в общем случае произвольной М. определяется тензором второго ранга с 9 компонентами 2) не имеющее классич. аналога изотропное контактное взаимодействие Ферми aSI, обусловленное наличием электронной спиновой плотности в месте расположения ядра. В отличие от анизотропного спин-спинового взаимодействия контактное взаимодействие имеет место только в состояниях с Л = о, аналогичных -состояниям атомов, т. к. только атомные s-орбитали создают спиновую плотность в мосте расположения ядра. Константы обоих видов взаимодействий зависят от электронной плотности М. и дают ценную информацию об электронных волновых ф-циях М. [c.190]

ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИМПЕДАНС электром аг-нитного поля — соотношение, определяющее связь между тангенциальными компонентами комплексных амплитуд гармония, электрического (г)ехр(1Сйг) и магнитного Н(г)ехр(гсй1) нолей на нек-рой поверхности 5. В случае произвольной поляризации полей и ориентации 5 П. и. является двумерным тензором второго ранга. Если тангенциальные составляющие полей Е.,. и перпендикулярны, вводят скалярный П. и. EJH. обладающий многими сходными свойствами с импедансом участка цепи переменного тока. Подробнее см. Импеданс (электрич.). ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН АНТЕННА — антенна, в к-рой используется открытая линия передач с замедляющей системой частный случай антенны, бегущей волны. Бегущие замедленные волны оказываются прижатыми к направляющей поверхности, поэтому их называют поверхностными (поперечная составляющая волнового вектора является в таких системах мнимой величиной, т. е. амплитуда поля в направлении нормали к поверхности экспоненциально убывает), поток энергии вдоль поверхности концентрируется вблизи неё. [c.653]

При действии на любое тело произвольных размеров и формы самоуравновешенной системы массовых и (или) поверхностных сил в нем возникают также самоуравновешенные в каждой точке тела внутренние усилия. Если бы тело было рассечено произвольной плоскостью, то эти внутренние усилия были бы, вообще говоря, непрерывно распределены по поверхности сечения, причем и направления, и плотности усилий в разных точках поверхности были бы различными. Кроме того, распределение внутренних усилий зависело бы также от ориентации плоскости сечения. Напряжение — это величина, используемая для определения интенсивности и направления внутренних усилий, действующих в заданной точке тела на некоторой площадке. Поскольку напряжение определяется не только величиной и направлением, но и ориентацией площадки, на которой оно действует, напряжение является тензором второго ранга. Полное описание величин и направлений напряжений на всех проходящих через данную точку площадках характеризует напряженное состояние в этой точке. Хотя определение напряжения и использование его в дальнейшем в виде тензорной величины не вызывают особых неудобств, мы будем применять более обще- [c.86]

Пространственные поля. Состояние напряжения в момент времени t можно описать с помощью пространственных полей абсолютно симметричным контра-вариантным тензором второго ранга с компонентами р - (х, t) в произвольной координатной системе л , фиксированной в пространстве. Внутренняя сила сцепления представляется контравариантным пространственным вектором с компонентами на поверхности 5 (х,/) = = onst, т. е. [c.408]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...