Тензор смешанный

Здесь и далее в тексте скобки в выражениях типа а-(А-Ь) или аналогичных им опускаются, если это не может привести к недоразумению.) Можно заметить аналогию между уравнениями (1-3.17)— (1-3.20) и уравнениями (1-2.7) и (1-2.8) для векторных компонент. Следует также отметить, что определены два типа смешанных тензорных компонент, которые в общем случае различны. Как видно из уравнений (1-3.19) и (1-3.20), они различаются позицией индексов. Как можно показать, используя уравнение (1-3.12), две системы смешанных компонент совпадают только для симметричного тензора. В этом случае индексы могут быть поставлены в любом порядке, но предпочтительным является расположение индексов друг под другом [c.23]

Матрица смешанных компонент единичного тензора является, следовательно, единичной матрицей размером 3x3 [c.26]

Практический метод вычисления следа тензора состоит в суммировании смешанных компонент [c.28]

Вследствие того что тензор Va в общем случае не симметричен, существенно положение индексов. Для смешанных компонент, рассматриваемых до сих пор, обычно пользуются одним из следующих обозначений [c.32]

Здесь и ниже мы называем левыми смешанными компонентами тензора А компоненты A j, а правыми смешанными компонентами — компоненты Aj. [c.110]

Несмотря на это, не существует симметричного тензора, компоненты которого в системе совпадают с т] действительно, левая и правая конвективные формы симметричного тензора несимметричны и пе равны друг другу. Конечно, если J = J , то смешанные компоненты можно записать как эту матрицу можно тогда интерпретировать двумя различными способами, основываясь на уравнениях (3-4.22) и (3-4.23). [c.115]

Мы получили два смешанных тензора третьего ранга. Тензорные свойства полученных величин очевидны. Подробное доказательство можно провести, пользуясь формулами преобразований, найденными В предыдущих параграфах. [c.57]

Рассмотрим это действие на частном примере, а затем обобщим результаты. Предположим, что задан смешанный тензор третьего ранга Выберем из компонент тензора те, у которых а=Р, [c.57]

Как пример рассмотрим мультипликативный тензор с компонентами а б . Умножая этот тензор на метрический тензор получим смешанный тензор четвертого ранга, дважды ковариантный и дважды контравариантный. Произведем свертывание по двум парам индексов. Ранг тензора снизится на четыре единицы, и мы получим тензор нулевого ранга, или скаляр [c.58]

Этот скаляр, как видно из формулы (1.615), является скалярным произведением векторов а и Ь. Действие свертывания с метрическим тензором, приводящее к подниманию или опусканию индексов, установлено пока лишь для мультипликативных тензоров. Однако каждый тензор можно представить в форме суммы мультипликативных тензоров соответствующего ранга. Это утверждение не требует доказательства, так как мы не ограничиваем количество мультипликативных составляющих тензора. Поэтому действие поднимания и опускания индексов распространяется на тензоры произвольного ранга и строения. Это подтверждается также тем, что метрический тензор принадлежит к так называемым единичным тензорам, так как его смешанные компоненты совпадают с символами Кронекера. [c.58]

Действительно, рассмотрим смешанные компоненты метрического тензора. Их можно определить так [c.59]

Ковариантная производная смешанного тензора может быть записана так [c.387]

Теперь можно доказать, что величины, определенные формулами (IV. 148) и (IV. 150), представляют собой смешанные и ковариант-ные компоненты одного тензора, а не двух разных. Предлагаем проверить это читателю. [c.388]

Компоненты радиуса-вектора мы обозначили r и г . Следует отметить, что они определены в локальной системе координат с началом в точке приложения радиуса-вектора. Ниже мы докажем, что величины ] к являются компонентами смешанного тензора второго ранга. [c.58]

Этим доказано, что второе слагаемое в правой части равенства (а) также является компонентой смешанного тензора второго ранга. Теорема доказана. [c.78]

Итак, компоненты смешанного тензора кривизны выражаются формулами [c.505]

Возвратимся к смешанному тензору кривизны. Произведя циклические перестановки ковариантных индексов и сложив результаты, получим тождество Риччи [c.508]

Упражнение. Доказать, что совокупность чисел представляет собой совокупность ковариантных компонентов тензора третьего ранга, смешанные и ковариантные компоненты которого определяются по формулам [c.318]

Покажем, что бт", называемые символами Кронекера, являются компонентами смешанного тензора второго ранга для этого мы должны показать, что бт удовлетворяют формулам (1.12) [c.9]

Для того чтобы эти соотношения выполнялись при всех значениях Ah, компоненты смешанного метрического тензора gu. следует выбрать следующим образом [c.15]

О признаке тензора заключаем, что выражение в круглых скобках представляет собой смешанный тензор второго ранга. Этот тензор называется ковариантной производной вектора fiP и обозначается через здесь запятая перед индексом п указывает на дифференцирование по X". Следовательно, [c.25]

Основная задача третьего типа или смешанная задача состоит в том, что по заданным поверхностным силам/гна одной части поверхности тела 5i и по заданным перемещениям (л ) на другой части поверхности тела 5 , а также, вообще говоря, по заданным массовым силам ft требуется определить компоненты тензора напряжений atj (х ) и перемещения Ui хх), удовлетворяющие основным уравнениям (4.3) и (4.4) при выполнении смешанных граничных условий (4.8). [c.72]

Левая часть полученного равенства и первые два члена в его правой части — скаляры. Следовательно, и последний член в правой части -у скаляр. Тогда на основании обратного тензорного признака выражение в скобках определяет компоненты некоторого смешанного тензора второго ранга. Этот тензор называется абсолютным дифференциалом тензора (Sj ) [c.414]

Исследование проведем сразу на примере смешанной задачи (т. е. будем исходить из условий (1.2)). Рассмотрим множество тензоров, удовлетворяющих однородным уравнениям равновесия и первому из условий (1.2). Обозначим это множество через /( ). Образуем теперь множество Кг тензоров, удовлетворяющих уравнениям совместности деформаций в напряжениях (уравнения Бельтрами — Митчелла) ( 4 гл. И), причем соответствующие смещения должны удовлетворять первому из условий (1.2). [c.626]

При этом тензор бу можно относить как к начальному базису, так и к базису в деформированном пространстве. Это не одно и то же, поскольку переход к контравариантным и смешанным компонентам будет производиться по-разному. Далее можно определить контравариантные компоненты тензора напряжений в деформированном теле и написать уравнения равновесия обычным способом [c.235]

В целях решения многомерной задачи (или со сложным видом смешанного разрушения) для композитов здесь мы предложим другую интерпретацию. Эта интерпретация основана на знании соответствующей прочности материала, содержащего случайно распределенные микроскопические трещины (т. е. трещины, которые на порядок меньше макроскопической), плотность которых типична для технологии изготовления материала. Знание прочности соответствует определению тензоров разрушения Рц,. . . [c.230]

Контраварпантные компоненты, а также другие типы смешанных компонент тензора Va получаются поднятием второго индекса в уравнениях (1-4.9) и (1-4,14) соответственно. Символы и а, - называются контравариантными производными контрава-риантного и ковариантного векторов соответственно. [c.33]

При помощи уравнения (2-7.12) физические компоненты векто ров и тензоров легко выразить через соответствующие ковариант-ные, контравариантные или смешанные компоненты. Помечая физические компоненты при помощи индекса, заключеннога [c.79]

Первый тензор имеет контравариантные компоненты, второй и третий — смешанные, четвертый — ковариантные ). Поэтому построенные здесь тензоры называются соответственно контравариантными, смешанными и ковариантными тензорами второго ранга. Закон преобразования компонент этих тензоров можно непосредственно найти на основании формул (1.50а), (1.50Ь), (1.51а) и (1.51Ь). Пользуясь этими формулами и распространяя закон преобразования компонент мультипликативных тензоров на все тензоры соответствующего ранга и строения, найдем, что контравариантные компоненты тензоров второго ранга преоб )азуются по формулам [c.55]

Первая операция не требует подробных разъяснений. Рассмотрим, например, смешанный тензор второго ранга Т - Изменяя порядок индексов, мы получаем, вообще говоря, др)той тензор Т1. Перестановка индексов не пзмепжп тензора лишь тогда, когда он симметричен. [c.56]

Дальнейшее обобщение действия умножения на случай произвольного количества тензорных сомножителей различного строения очевидно. Например, даны сомножители Т1, Rafi, одним из возможных произведений будет смешанный тензор пятого ранга [c.57]

В правой части равенства (IV. 147) стоит сумма произведений компонент йх коитравариантного вектора на величины Ууй - Эта сумма может быть тензором, а именно вектором с контравариантными компонентами только тогда, когда величины являются компонентами смешанного тензора второго ранга ). В левой части равенства (IV. 147) стоят компоненты коитравариантного вектора ( а). Поэтому можно рассматривать сумму, стоящую в правой части равенства (IV. 147), как результат действия свертывания, выполненного над вектором н смешанным тензором Ja ( 24). [c.386]

Симметричность величин относительно индексов /г следует из правой части равенства (а). Теперь рассмотрим закон преобразования величин Первый член в правой части преобразуется как компонента смешанного тензора второго ранга, так как величины 6, совпадают со смешанными компонентами метрического тензора, а является абсолютным скаляром. Что касается второго члена, то следует отметить, что радиус-вектор в криволинейной системе координат нужно считать определенным своими компонентарли в местном координатном базисе начало местной координатной системы должно совпадать с началом радиуса-вектора. Зная модуль радиуса-вектора и его направление относительно упомянутой местной координатной системы, можно найти его компоненты, как это отмечалось в первом томе. [c.78]

Числа i[ /i = t gi/i — называются смешанными компонентами тензора второго ранга, ti,= gihg/it —ковариантными компонентами тензора второго ранга. [c.315]

Тензор giJ называется смешанным метрическим тензором. Лег ко доказать, что gh совпадает с тензором Кронекера. Действи тельно, на основании формул (1.34), (1.35) и (1.36) имеем [c.15]

На основании правила скалярного умножения i gkmgin представляет собой смешанный тензор Стп. а — контравариант-ные компоненты тензора малой деформации. [c.61]

Дивергенция вектора. Ковариантная производная контравариант-ного вектора представляет собой смешанный тензор второго ранга. Свернув этот тензор, получим скаляр, называемый дивергенцией вектора [c.417]

Пек и Гёртман рассматривали полубесконечную среду, ограниченную плоскостью Xi = 0 и нагружаемую равномерно распределенным по границе нормальным давлением. Зависимость внешнего давления от времени выбиралась в форме ступеньки— единичной функции Хевисайда. Касательные напряжения на границе не задавались вместо этого при Х = 0 было наложено требование равенства нулю перемещений, параллельных осям Xi и лгз. Подобные смешанные граничные условия обычны для задач о механических волноводах, поскольку они позволяют построить решение путем наложения бесконечных синусоидальных волновых пакетов. Было найдено точное решение для компоненты dujdxi тензора деформаций в виде суперпозиции синусоидальных мод — бесконечной суммы интегралов Фурье по бесконечным интервалам. Асимптотическое приближение к точному решению для больших значений времени и больших расстояний было построено при помощи метода перевала. [c.372]

В квадратичных критериях прочности, подобных критерию Хилла, смешанная компонента определяется через другие компоненты и не является независимой. В теориях типа теории наибольших нормальных напряжений (деформаций) принципиально не может быть взаимного влияния напряжений, так как критерий прочности задается в виде системы независимых неравенств, выполнение любого из которых означает достижение предельного состояния. Как и в модифицированном критерии Хилла, в критерии Цая — By используются предельные напряжения материала слоя при растяжении и сжатии. При построении предельных поверхностей на основании критерия Цая — By используется теория слоистых сред (предполагается, что материал слоя линейно упругий). Метод ограничивается оценкой возможности разрушения композита для заданного напряженного состояния, при этом не делается никаких предположений относительно причин разрушения (т. е. не анализируются компоненты тензора напряжения слоя, соответствуюшего достигнутому предельному состоянию). [c.155]

Хотя методы аналитического определения предельных напряжений композитов имеют неоспоримое преимущество перед чисто экспериментальными методами, отсутствие уверенности в правильности использованного критерия прочности требует проведения испытаний слоистых композитов в условиях комбинированного нагружения. Аналитические критерии, предложенные Цаем, By и Шойблейном, требуют также проведения испытаний при плоском напряженном состоянии для вычисления смешанных компонент тензоров прочности. Из различных типов образцов, используемых для определения предельных напряжений композиционных материалов при комбинированном нагружении, наиболее предпочтительными являются тонкостенные трубки, нагружаемые внутренним и наружным давлением, осевой нагрузкой и кручением. [c.162]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...