Ковариантное дифференцирование

В этом параграфе изложены дополнения к 210 т. I. Рассмотрим результат изменения последовательности повторного ковариантного дифференцирования некоторого вектора и В отличие от т. I, здесь изучаются не трехмерные, а многомерные пространства. Возможность этого обобщения была указана в 210 т. I. [c.505]

Мы применили здесь теорему Риччи ( 210 т. I), а также воспользовались возможностью производить перестановку последовательного порядка ковариантного дифференцирования в евклидовом пространстве. [c.513]

Введем символический вектор-оператор ковариантного дифференцирования [c.323]

Как мы видели выше, алгебраические операции над тензорами приводят снова к тензорам, чего нельзя утверждать, как убедимся ниже, относительно их дифференцирования. Частные производные компонентов тензора составляют тензор лишь в декартовой системе координат. В криволинейных системах координат дело обстоит сложнее. Здесь приходится вводить так называемое ковариантное дифференцирование, действие которого на тензор снова даст тензор. Ковариантная производная совпадает с обычной, когда тензор отнесен к декартовой системе координат. [c.21]

Выполнив ковариантное дифференцирование по формуле (2 .65), получим [c.118]

При ковариантном дифференцировании используется теорема Риччи (1853—1925) ковариантная производная метрического тензора равна нулю, [c.415]

Можно также получить равенства = О, — О, т. е. при ковариантном дифференцировании метрические тензоры ведут себя как постоянные величины. [c.416]

При ковариантном дифференцировании справедливы следующие правила [c.416]

Ковариантное дифференцирование пригодно для любой системы координат и имеет тензорный характер. Поэтому, выражая какую-либо векторную операцию через ковариантные производные, получим выражение, справедливое в любой системе координат. [c.416]

Ковариантное дифференцирование контравариантного тензора производится по правилу [c.232]

В операциях ковариантного дифференцирования в у- и в -объемах требуется, конечно различать символы Кристоффеля например, [c.70]

При ковариантном дифференцировании компоненты метрического тензора играют роль постоянных — их можно выносить [c.882]

При ковариантном дифференцировании сохраняется правило дифференцирования произведения, например [c.882]

Это правило в соединении с правилами ковариантного дифференцирования обеспечивает автоматизм вычисления дифференциальных операций над тензорами любого ранга. [c.884]

Можно было бы ограничиться линейными преобразованиями координат (это делается весьма часто). Однако в нашем анализе неоднородного напряжения и неоднородной деформации такое ограничение неприемлемо. Одной из главных причин применения в реологических приложениях понятия телесного поля является то, что при пользовании ими отпадает необходимость в сложении тензоров в двух или более различных точках одного и того же многообразия (необходимость сравнивать тензоры в соседних точках все же остается, так как этого требует ковариантное дифференцирование). [c.385]

Это свойство изоморфизма обусловлено формальным сходством уравнений, определяющих изоморфизм с уравнениями, связывающими компоненты одного и того же тензорного поля в двух координатных системах. Значит, изоморфизм отражает и воспроизводит инвариантные соотношения всех типов независимо от того, включают ли они сложение, вычитание, свертку, ковариантное дифференцирование или внешнее умножение тензорных полей. Именно в этом заключается свойство воспроизводимости, оправдывающее применение термина изоморфизма для взаимно однозначного соответствия —между телесными и пространственными полями. [c.394]

Изоморфизм можно также рассматривать как процесс или операцию переноса поля из одного многообразия в другое. Следуя только что приведенному утверждению, можно сказать, что транспортная операция — > коммутирует с различными тензорными операциями такими, как сложение, свертка, ковариантное дифференцирование, при условии что они относятся к одной и той же конфигурации t системы. Операция — некоммутативна, например, с операциями d/dt и. .. dt. [c.395]

Здесь, согласно общепринятым обозначениям, запятая, стоящая перед нижним буквенным индексом, означает ковариантное дифференцирование относительно пространственного метрического тензора Доказательство получается непосредственно уравнения (12.52) и (12.54) сформулированы для произвольной пространственной координатной системы и, следовательно, справедливы в частном случае декартовой прямоугольной системы отсчета. Однако в такой системе ковариантное дифференцирование (, k) сводится к частному дифференцированию относительно х и уравнения (12.55), [c.405]

Помножим первые два равенства (6.41.6) на Ср/С д, выполним свертки, учтем, что тензоры а и с при ковариантном дифференцировании ведут себя как константы (в дальнейшем мы будем этим пользоваться без напоминания), и запишем полученные результаты, присоединив к ним равенство (6.41.7), [c.87]

В последнем равенстве слагаемые, содержащие тензоры е и х, попарна подобны в том смысле, что в каждую пару входят одноименные тензоры и одинаковое число символов ковариантного дифференцирования. Поскольку в каждую пару подобных слагаемых входит тензор Q, истинный смысл которого нам не известен, отбросим не только члены с Q, но и подобные им слагаемые. Получим [c.89]

Далее нам надо будет менять порядок ковариантного дифференцирования. Оно, вообще говоря, не подчиняется закону переместительности, и формулы, к которым нам придется прибегать, записываются так ) [c.90]

Ковариантное дифференцирование тензора [c.17]

Отсюда из справедливого для ковариантного дифференцирования общего правила дифференцирования произведения и из (5.4), [c.255]

Подставляя сюда выражения (6.68) и производя ковариантное дифференцирование, получаем с учетом (5.32) три уравнения равновесия [c.295]

Последние зависимости, соотношения (3.5) и (3.18) и применимое к ковариантному дифференцированию обычное правило дифференцирования произведения дают [c.25]

Отметим, что с учетом правил ковариантного дифференцирования [c.27]

Символ V, означает ковариантное дифференцирование в метрике [c.302]

В приведенных соотношениях ковариантное дифференцирование по и производилось в метрике (1.17). В дальнейшем для такой операции более удобной оказьшается метрика (1.4). Пусть [c.309]

Важное место в тензорном анализе занимает операция ковариантного дифференцирования. Ковариантные производные тензоров поверхности первого и второго рангов определяются формулами [c.20]

Следовательно, Qijh = для любой криволинейной системы координат. Поэтому результат неоднократного ковариантного дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования для эвклидова пространства. Уравнение (1-2-42) впервые было выведено де Гроотом [Л. 1-5]. [c.18]

V. 3. Ковариантное дифференцирование. Проведение вычислений с векторными и тензорными величинами требует введения координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной природы (ко-, коитравариантных, смешанных). Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) при смещении из данной точки в соседнюю обусловлено лишь свойствами этого инварианта иначе обстоит дело с компонентами, так как их изменения зависят еще от величин и направлений базисных векторов. Пусть, например, контравариантные компоненты а вектора а не зависят от координат q , их частные производные по этим переменным — нули, но было бы ошибкой считать, что остается неизменным и вектор а. Верно и обратное при постоянном векторе а его компоненты а или as не сохраняют постоянных значений. Задачей последующего является введение таких характеристик изменяемости векторов и тензоров, в которых учитывались бы изменения как самих этих величин, так и координатного базиса, к которому они отнесены. Это достигается введением операции ковариантного (или абсолютного) дифференцирования. [c.880]

В табл. 3.13 приведев функционал (ср. а, е), в котором не выполнено ковариантное дифференцирование. Чтобы получить окончательную развернутую форму, которая представляет в общем случае криволинейных ортогональных координат громоздкое выражение, необходимо воспользоваться формулами дифференцирования (Приложение 2) и выразить ф(, через физические компоненты. [c.98]

Для ковариантнон производной справедливы те же правила дифференцирования суммы, произведения и т. д., что н для обычной производной. Ковариантные производные от компонентов метрического и дискриминантиого тензоров равны нулю, так что эти компоненты при ковариантном дифференцировании должны рассматриваться как постоянные. [c.212]

Забегая вперед, заметим, что в выражении VpVaiw символы ковариантного дифференцирования можно поменять местами (к вопросу о замене порядка ковариантного дифференцирования мы еще вернемся в этом параграфе). Поэтому в коэффициенте при УзУ ш можно заменить а на р, а р на а и представить формулу (6.43.15) так [c.89]

Уравнения равновесия в форме (2.42) отличаются от уравнений (2.26) тем, что в них участвуют операции ковариантного дифференцирования в метрике иедеформированной конфигура- [c.85]

Отмстим, что операция ковариантного дифференцирования введена для компонент вектора и тензоров. Салт же тензоры (векторы) являются инвариантными (не зависящими от выбора системы координат) величинами (без индексов). Для них ковариантная производная совпадает с обычной частной производной. Поэтому [c.178]

Таким образом, координатные векторы, компоненты метрического и дискриминантного тензоров при ковариантном дифференцировании можно считать постоянньпли. Заметим, что операция ко-вариантного дифференцирования введена для компонент векторов и тензоров. Сами же тензоры (векторы) являются инвариантными (не зависящими от выбора системы координат) величинами (без индексов). Для них ковариантная производная совпадает с обычной производной. [c.14]

Таким образом, координатные векторы, компоненты метрического и дискриминантного тензоров при ковариантном дифференцировании можно считать постоянными. Кроме того, как нетрудно видеть, на ковариантное дифференцирование распространяется правило обычного дифференцирования произведения. Отметим, что операция ковариантного диф( ренцирования введена для компонент вектора и тензоров. Сами же векторы и тензоры являются ин- [c.87]

Т. е. (в обычном, эвклидовом пространстве) можно менять порядок ковариантного дифференцирования. [c.88]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...