Компоненты вектора контравариантные

В этом случае определения для контравариантных и ковариант-ных компонент вектора а суть соответственно [c.18]

При изменении координатной системы меняются также ковариантные и контравариантные компоненты вектора. Изменение координат определяется системой трех соотношений типа [c.19]

Чтобы сделать это, мы должны немного отклониться и показать, что дифференциалы координат dx суть контравариантные компоненты вектора dX, характеризующего различие между точкой с координатами х - + и точкой с координатами x . [c.30]

Вспоминая, что dx — контравариантные компоненты вектора dX, и сравнивая уравнение (1-4.6) с уравнением (1-2.7), находим [c.31]

Для координатных систем, не являющихся ортогональными, также можно говорить о физических компонентах при условии, что выбран векторный базис, составленный безразмерными векторами единичной длины. Однако в этом случае выбор неоднозначен. Можно взять векторы единичной длины, имеющие те же самые направления, что и векторы естественного базиса. В качестве альтернативы можно выбрать также векторы, имеющие направления векторов дуального базиса. В соответствии с этим мы определяем физически контравариантные компоненты или физически ковариантные компоненты векторов. Аналогичные замечания можно высказать и в отношении тензоров. Мы не будем использовать каких-либо компонент такого типа. [c.81]

Косоугольные координаты. Контравариантные и ковариантные компоненты векторов [c.49]

Компоненты а, аналитически определяющие вектор, называются контравариантными компонентами вектора. [c.49]

Наряду с определением вектора контравариантными компонентами существует определение вектора скалярными произведениями [c.50]

Коэффициенты преобразования а), являются контравариантными компонентами векторов нового координатного базиса в старой системе координат. Коэффициенты обратного преобразования являются контравариантными компонентами вектора е в новой системе. [c.51]

Покажем теперь, что между контравариантными и ковариант-ными компонентами вектора существуют линейные зависимости, которые устанавливают между ними взаимно однозначное соответствие. Рассмотрим сначала равенство (1.43с) и, пользуясь им, найдем ковариантные компоненты вектора на основании формул (1.44). Получим [c.52]

Величины dx можно рассматривать на основании (П.49Ь) как контравариантные компоненты вектора dr. Заметив, что ds является инвариантом, заключаем (см. 24), что g,-ft— компоненты симметричного ковариантного тензора второго ранга. Это заключение совпадает с тем, которое мы сделали в ч. I, рассматривая косоугольные системы декартовых координат. [c.92]

Рассмотрим теперь коэффициенты преобразования и Р кова-риантных и контравариантных компонент векторов. [c.92]

Контравариантные компоненты вектора скорости (11.66) называются также обобщенными скоростями. [c.95]

Конечно, в этих формулах не надо суммировать по одинаковым верхним и нижним индексам. В ортогональных системах координат вместо контравариантных и ковариантных компонент векторов пользуются их проекциями на оси местного координатного базиса. [c.96]

Из этого видно, что проекции а,(, вектора а на оси местного координатного базиса связаны с контравариантными компонентами вектора соотношениями [c.96]

В уравнениях (IV.5а) Р — контравариантные компоненты вектора силы. [c.320]

При параллельном переносе вектора из некоторой точки в соседнюю абсолютное изменение вектора равно нулю. Обозначим изменения контравариантных компонент вектора при параллельном переносе с1а . Тогда, согласно формуле (П.бОа), получим [c.388]

Базис Са далее называется неголономным, а базис е , определенный формулами (Ь), — голономным. Контравариантные компоненты вектора дг в неголономной локальной системе отнесения определяются формулами [c.152]

Приращения контравариантных и ковариантных компонент вектора при его параллельном переносе определяются формулами (IV. 157) и (IV. 158) первого тома [c.174]

Предположим, что метрика выбрана ). Тогда можно найти все контра-вариантные или ковариантные компоненты вектора бг на основании соотношений 24 первого тома. Вычисления, связанные с этим определением, сводятся к решению системы линейных алгебраических уравнений с 2Л1 неизвестными. Предположим, что это вычисление выполнено. Пусть найдены контравариантные компоненты вектора бг Ьг> = ЬхК Предположим, что форма [c.389]

Обозначая контравариантные компоненты вектора г через (1х получаем [c.501]

Определим значения контравариантных и ковариантных компонентов вектора а, заданного в точке Р пространства. Проведем через эту точку три координатные поверхности [c.16]

Обозначим контравариантные и ковариантные компоненты вектора а через A и Ак, а его компоненты в прямоугольной декартовой системе координат — через йт- Далее и обозначают проекции вектора а соответственно на вц и e . Учитывая, что а — = — орты прямоугольной декартовой системы коорди- [c.17]

Формула (2.14) определяет контравариантные компоненты вектора напряжения на площадке, заданной нормалью п, поэтому на основании теоремы о признаке тензора заключаем, что величины (укт составляют контравариантные компоненты тензора второго ранга. Тензор о называется контравариантным тензором напряжений. [c.36]

По формулам (3.17) при помощи ковариантных производных кова-риантных и контравариантных компонентов вектора перемещения и в системе направлений базисных векторов е и йа вычисляются компоненты тензора деформации. [c.49]

Разлагая и i в ряд в точке Р и пренебрегая членами высших порядков малости относительно dx. dx — контравариантные компоненты вектора PQ), будем иметь [c.50]

Уравнения равновесия определяются по формуле 6.18). Предварительно пользуясь формулами (2 .83) и (2 .84), найдем соотношения между контравариантными и физическими компонентами вектора массовой силы, а также тензора напряжений [c.127]

Уравнения равновесия получим по формуле (6.18), определив соотношения между контравариантными и физическими компонентами вектора массовой силы и для тензора напряжений 1(2 .83) и (2 .84) [c.130]

КОНТРАВАРИАНТНЫЕ И КОВАРИАНТНЫЕ КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРА [c.407]

Рассмотрим преобразование контравариантных компонент вектора а, который в старой и новой системах координат представляется разложениями [c.408]

Таким образом, прямое преобразование (2 .И) контравариантных компонент вектора а выполняется через коэффициенты обратного преобразования координатных векторов et, а обратное преобразование (2 . 12) — через коэффициенты прямого преобразования. Этим и объясняется название контравариантные компоненты . [c.409]

На основании (2 .17) метрический тензор является симметричным. С помощью метрического тензора можно установить соотношения между -контравариантными и ковариантными компонентами вектора а. Исходя из (2 .4) и (2 .3) имеем [c.410]

Если обозначить ортогональные проекции вектора а на направления единичных векторов локального базиса через a(s), называемые физическими компонентами а, то между ними, контравариантными и ковариантными компонентами вектора имеют место соотношения [c.417]

Наряду с контравариантными компонентами вектора В можно ввести ковариантные (часто говорят просто о ковариантных векторах) В , = В. Для [c.498]

Связь между ковариантными и контравариантными компонентами вектора [c.32]

Каков геометрический смысл контравариантных и ковариантных компонент вектора Как они преобразуются Какова между ними связь [c.34]

В какой системе координат ковариантные и контравариантные компоненты вектора совпадают и почему [c.34]

Компоненты произвольного вектора в базисе, дуальном естественному, называются ко вариантными. Различие между ковариан-тными и контравариантными компонентами имеет смысл только по отношению к существованию какой-либо координатной системы. Если два взаимно дуальных базиса выбраны независимо от акой бы то ни было системы координат, не существует способа оказать предпочтение одному перед другим, и компонентам вектора в каждом из базисов не могут быть присвоены различные наименования. [c.18]

С другой стороны, если известна система из трех чисел, преобразующаяся при изменении координатной системы согласно (1-2.10) или (1-2.11), то существует некоторый вектор, контравариантные или ковариантные компоненты которого задаются этой системой. [c.19]

Величины а являются контравариантными компонентами вектора а в новой системе координат. Из сравнения формул (1.50а) и (1.49) видно, что прямое преобразование коитравариантных компонент осуществляется при посредстве коэффициентов р обратного преобразования векторов координатного базиса. Этим объясняется возникновение термина контравариантный . [c.51]

Весьма существенным является сочетание действия умножения с действием свертывания. С частными случаями этого действия мы встречались выше. Рассмотрим это действие подробнее, вводя как множитель метрический тензор. Простейшие случаи применения этого комбинированного действия определены формулами (1.53) и (1.55). Из этих формул видно, что, применяя действия умножения на метрический тензор и свертывания к вектору, можно поднять индекс компоненты вверх, превратив ковариантиые компоненты в контравариантные, или, наоборот, опустить этот индекс вниз. Это действие поднимания или опускания индексов, являющееся результатом комбинированного действия умножения и свертывания, можно распространить на произвольные мультипликативные тензоры. [c.58]

Одной из важнейших особенностей является здесь то, что при вычислении нужно тщательно различать ковариантные и контравариантные компоненты векторов и тензоров. Это приводит, однако, не к большим осложениям, чем, например, применение косоугольных декартовых координат. [c.680]

В этой книге всюду будут употребляться координаты Минковского. Они имеют то большое удобство, что для них ковариантные компоненты векторов и тензоров те же, что и контравариантные компоненты, и все векторы и тензоры можно написать с индексами внизу, избегая, таким образом, сложности в обозначениях. Если мнимое время Xi, окажется некоторым источником неясностей, то мы можем сразу перейти от координат Минковского х, к действительным декартовым координатам а , положив Хр = х , Xi = ix . Нам представится случай перейти к действительным координатам в 111 для того, чтобй обсудить вопрос о знаке. [c.392]

Наряду с представленным здесь вариантом часто используется также 4-мериое описание, в к-ром временная координата (обычно с индексом 0) берётся действительной, но 4-мерному пространству приписывается гиперболич. сигнатура (-f-, —, —, —) в таком пространстве приходится различать ко- и контравариантные компоненты векторов и тензоров (см. Ковариантность и кантравариантность). [c.37]

Инвариантность тензора, как и вектора, обеспечивается взаимо-обратностью преобразований управляющих диад [формулы (1.61) J и компонент тензора. Контравариантные компоненты преоб- [c.36]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...