Множители проблемы

Как и в случае отсутствия кратных множителей, проблема сводится к рассмотрению определителя [c.376]

Сравнивая соотношение (а) с уравнением (11.380), замечаем, что множитель Якоби для системы уравнений (III. 16) равен единице. Следовательно, проблема интегрирования системы уравнений (III. 16), действительно, сводится к нахождению ее четырех независимых интегралов. Три первых интеграла системы уравнений (III. 16) можно найти непосредственно. [c.414]

Соотношение (111.67b) является четвертым алгебраическим интегралом дифференциальных уравнений (III. 12) и (III. 14), не зависящим от времени. По теореме о последнем множителе Якоби задача сводится к квадратурам. Отметим, что задача С. В, Ковалевской приводится к квадратурам гиперэллиптического типа. Характер движения тела в случае Ковалевской гораздо сложнее, чем в случаях Эйлера и Лагранжа. В то время как в упомянутых двух классических случаях общие свойства движения твердого тела исследованы очень подробно, этого нельзя сказать о случае Ковалевской. Трудности, связанные с анализом движения тела в последнем случае, заставляют даже обратиться к экспериментальному изучению проблемы ). [c.453]

Экстремали, на которых достигается экстремум функциона.яа /, являются решением и исходной вариационной проблемы. Величины %1 называются неопределенными (функциональными) множителями Лагранжа. Уравнения Эйлера вариационной проблемы для функционала / и условия для /г позволяют найти у1 Я,у ( = 1, 2,. .., п у = 1,. .., т). Аналогичная ситуация имеет место и при отыскании экстремума функции, но множители Лагранжа при этом не являются функциональными. [c.449]

Перейдем к проблеме интегрирования дифференциального уравнения (24.35). Множитель У, входящий в выражение для К , неявно зависит от длины трещины /, Поэтому в общем случае возможно лишь численное интегрирование. В оценочных расчетах проблему упрощают, принимая У = 1, а также m = 4. В этом случае, а также учитывая обозначение (24.32), уравнению (24.35) придадим вид [c.437]

К сожалению, для системы с кулоновским взаимодействием ряд теории возмущений для массового оператора T> p izi,) содержит расходящиеся члены, поскольку функция 52(к) сингулярна в пределе к 0. Поэтому необходимо выполнить суммирование бесконечной последовательности членов этого ряда, соответствующих вкладу корреляций с малыми волновыми векторами. Аналогичная проблема возникает и в теории равновесных систем с кулоновским взаимодействием [64, 107], где множитель Лагранжа 2(к) дается второй формулой в (6.1.65). Эта аналогия между рассматриваемой задачей и задачей о вычислении равновесного массового оператора позволяет воспользоваться приемом, хорошо известным в теории кулоновской плазмы. [c.26]

В работе [ 394] была исследована проблема зарождения трещины в ситуации, подобной изображенной на рис. 15.18, б. Численный расчет показал, что для 50 дислокаций в скоплении напряжение зарождения в 7 раз ниже напряжения, следующего из уравнения Стро (15.72) с множителем Зтг/8. [c.266]

Для определения постоянных составляющих Uoo и Yoo могут быть использованы методы, рассмотренные в разд. 23.2. Предполагая, что на контур управления воздействуют только случайные возмущения с математическим ожиданием E(v(k) =0, Uoo и Yoo могут быть получены простым усреднением (метод 2 в разд. 23.2) перед началом работы адаптивной системы управления. Регуляторы, минимизирующие дисперсию, и регуляторы с управлением по состоянию не требуют дополнительных средств для компенсации смещения, так как последнее отсутствует. Однако, если возмущения имеют ненулевые средние (как бывает в большинстве случаев) и имеют место изменения задающей переменной w(k), следует учитывать величину постоянной составляющей, и для регуляторов, минимизирующих дисперсию, а также регуляторов с управлением по состоянию, не обладающих астатизмом, необходимо рассматривать задачу компенсации смещения. Простейшим способом решения этой проблемы является использование при оценивании параметров разностей первого порядка Аи(к) и Ау(к) (метод 1 в разд. 23.2). Смещение может быть исключено введением в модель оцениваемого процесса дополнительного полюса в точке z,= I путем добавления множителя /(z—1) и последующим расчетом регулятора для расширенной модели. Это тем не менее приводит к возникновению смещения при постоянных возмущающих воздействиях на входе объекта управления и не позволяет обеспечить наилучшее качество управления. Другая возможность заключается в замене у (к) на [у(к)—w(k)] и и (к) на Ац(к)=и(к)— —и(к—1) как при оценивании параметров, так и в алгоритме управления [25.9. Однако это приводит к ненужным изменениям оценок параметров при изменении уставок и, следовательно, к отрицательному влиянию на переходный процесс. Относительно хорошие результаты были получены при оценивании константы (метод 3 в разд. 23.2). Полагая Yoo=w(k), можно легко вычислить постоянную составляющую Uqo таким образом, чтобы смещение не возникало. Затем можно непосредственно использовать регулятор, не обладающий интегрирующими свойствами. [c.402]

Наименее организованным приемом численного решения задач об оптимальном управлении, связанным с использованием принципа максимума или аналогичных классических критериев оптимальности, является метод подбора даже слепого) начальных значений вектора ij) (io)) или, соответственно, начальных значений множителей Лагранжа ( о)> путем проб. Обладая большой общностью, метод не выдерживает критики с эстетических позиций и трудно исполним в тех случаях, когда речь идет о системах достаточного высокого порядка. Однако сбрасывать этот метод со счетов нельзя, потому что, будучи дополненным вспомогательными соображениями и в том числе промежуточными оценками результатов, он оказывается достаточно эффективным, если в процессе счета удается уловить характер зависимости оптимального движения (t) от краевых значений вектора "ф (io) или от Kt (to) (здесь речь идет прежде всего о задаче с заданными краевыми условиями на о (io) и х (ii) в случае ослабления этих условий общая проблема оптимальности часто упрощается). [c.199]

В данном разделе мы перепишем сигнал S t) (9.1) так, чтобы выявить различные временные масштабы, характерные для его эволюции. Во всей главе мы предполагаем, что нормированное распределение весовых множителей п имеет главный максимум при целом значении п >> 1 и ширину Ап такую, что п >> Ап >> 1. В таком пределе больших п, иначе говоря, в квазиклассическом пределе, частоты иоп физической системы гладко зависят от индекса п, так что можно перейти к непрерывному продолжению функции ио п). Заметим, однако, что здесь уже предполагается, что рассматриваемая физическая система является интегрируемой, то есть явление хаотичности отсутствует. В противном случае энергетический спектр демонстрирует очень сложное поведение с отталкиванием уровней и другими тонкостями. В данной главе мы не хотим погружаться в эти проблемы и предполагаем, что ио п) является гладкой функцией. [c.270]

Очевидно, что это дифференциальное уравнение формально соответствует дифференциальному уравнению для гармонического осциллятора в механике точки следует лишь отождествить величину воУ/а с массой материальной точки. В соответствии с известным методом решения проблемы осциллятора получим с точностью до не зависящего от напряженности поля фазового множителя Сп сп =1) для < (г) п> [c.158]

В проблемах автоматического регулирования, как правило, недопустимы неограниченно возрастающие отклонения V от начального значения УQ. Если мы вспомним, что показательная функция у = при положительном множителе Я, в показателе экспоненты при возрастании аргумента t неограниченно возрастает и притом, как известно из математики, быстрее всякой другой алгебраической непрерывной функции, то ясно, что положительные значения показателя недопустимы, и практически мы должны считаться для целей регулирования с отрицательными значениями вещественных корней и с отрицательными значениями вещественной части комплексных корней, т. е. с корнями, которые изображаются точками, лежащими в левой комплексной полуплоскости. [c.66]

Напомним, что в проблеме обобщенного равновесия множители А определены с точностью до целых кратных 2тг / /г (т.е. в данном случае до целых, кратных / ). Так как мы имеем теперь только два множителя А, —А, и так как А тоже будет множителем, то А должно [c.398]

Наличие фазовых множителей имеет весьма важное следствие, получаемое непосредственно из анализа таблиц характеров для допустимых неприводимых представлений. Мы можем здесь использовать либо формализм подгрупп, изучая характеры малых групп, либо формализм полной группы, используя ее неприводимые представления. Проблема, которую мы здесь обсудим, заключается в связности ) и классификации неприводимых представлений пространственной группы при изменении волнового вектора k от некоторой точки внутри первой зоны Бриллюэна до ее границы и при его дальнейшем продолжении. Напомним, что из самого определения волнового вектора и первой зоны Бриллюэна (данного в т. 1, 23) следует, что два волновых вектора к и к, связанные соотношением (т. 1, 23.6) [c.142]

Шор показал, что проблема разбиения на множители большого числа N может быть сведена к проблеме нахождения периода некоторой периодической функции /(х). А для нахождения этого [c.133]

Следовательно, вместо уравнений (14) мы можем рассматривать частные значения формулы (7) или самое общую формулу, заключающую эти частные значения. Если можно проинтегрировать некоторые из этих частных значений, то получим, очевидно, столько же интегралов уравнений (14). Это происходит потому, что интегрирование какого-нибудь частного значения формулы (7) сводится к интегрированию суммы произведений этих уравнений на подходящим образом выбранные множители. Если бы можно было проинтегрировать формулу (7) в общем случае независимо от значений б о мы нашли бы все интегралы проблемы изопериметров. [c.330]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Напомним, что при выводе функционала Ху —Вашицу, был принят за основу функционал Рейсснера /2 (и, о) и использовалась зависимость (15.117). В данном разделе применим симметричную зависимость, и подобно тому как при выводе функционала Ху—Вашицу поставили дополнительное условие (15.19), в рассматриваемом случае потребуем выполнения симметричного (см. табл. 15.2) условия (15.17), используя так же как и при построении функционала Ху —Вашицу множители Лагранжа для сведения условной вариационной проблемы к свободной. [c.527]

Теория дифракции изучает решения уравнений Максвелла, зависимость от времени t для которых определяется множителем ехр (—iiat). Соответствующие решения описывают монохроматический процесс рассеяния, при котором векторы напряженности вторичного поля являются строго периодичными функциями времени. Несмотря на то что данная модельная ситуация, даже в простейших случаях, учитывает далеко не все детали реализуемых процессов, ее изучение необходимо для понимания и всестороннего исследования ряда важных проблем прикладной электродинамики. Основные задачи стационарной дифракции связаны с изучением пространственного распределения поля. В отличие от них основной проблемой теории рассеяния является изучение эволюции полей во времени. Здесь первичное поле определяется начальными данными с компактными (в полосе, соответствующей периоду структуры) пространственными носителями, а вторичное — существенно зависит как от пространственных, так и временного параметров. [c.10]

Возможно, что наиболее ранний пример использования комплексных собственных частот в электродинамике относится к 1884 г., когда Томсон рассмотрел свободные колебания поля во внешности идеально проводящей сферы [152]. Типы колебаний, удовлетворяющие условию неприходящего излучения, экспоненциально нарастали в пространстве, что дало повод для критики со стороны Ламба, считавшего задачу физически неправильно поставленной. Явление экспоненциальной катастрофы до сих пор многих отпугивает от решения несамосопряженных спектральных краевых задач, хотя вопрос полностью исчерпывается при переходе на нестационарную точку зрения — с каждым нарастающим колебанием связан экспоненциальный множитель, зависящий от времени, который перекрывает зависимость от координат в любой точке пространства. Иными словами, каждая функция, описывающая свободные колебания, финитна в пространстве и ее носитель растет со временем. Постановка спектральных задач для линий передачи и открытых резонаторов вполне естественна даже без связи с проблемами теории рассеяния. В случае с дифракционными решетками необходимость в построении спектральной теории не столь [c.10]

В отличие от предыдущих примеров здесь, вследствие наличия в исходном выражении возможной формы упругой линии большего количества параметров, задача привела к иной ее постановке. Эти параметры не выходят общим множителем левой части уравнения, выражающего условие безразличного равновесия, в правой части которого будет стоять нуль, а потому критическое значение внешней силы Р не определяется сразу, а выражается через эти параметры (вернее, через их отношения). Таким образом величина критической силы остается неопределенной и может быть найдена из условия, что параметры должны принять такие значения, при которых переход от устойчивой к неустойчивой форме равновесия, совершающийся через состояние безразличного равновесия, произэйдгт при наименьшем значении силы Р. В такой постановке проблемы проф. С. П. Тимошенко предложил свой способ применения метода Ритца в задачах устойчивости (см. Об устойчивости упругих систем , Киев 1910). Прим. ред. [c.312]

В гл. 4—6 мы изложили основной метод равновесноЁ статистической механики. Коротко идею этого метода можно сформулировать следующим образом. Исходя из принципа равных априорных вероятностей, можно сконструировать определенное число равновесных ансамблей. Из них наиболее важны канонический и большой канонический ансамбли в термодинамическом пределе они становятся эквивалентными. Затем демонстрируется, что нормировочные множители — статисттеские суммы, соответствующие этим ансамблям,— содержат всю информацию, необходимую для вычисления термодинамических величин. Следовательно, проблема равновесной термодинамики сводится к вычислению статистической суммы. [c.254]

Обобщенный на неголономные системы с двумя свободными лангранже-выми параметрами, принцип Гамильтона — Остроградского в форме Чаплыгина 4 содержит в подынтегральном выражении корректирующий множитель (приводящий множитель, по терминологии С. А. Чаплыгина). В связи с принципом Чаплыгина возникла проблема его обобщения на системы с произвольным числом степеней свободы и на случай неголономных координат. [c.91]

В начале развития динамики неголономных систем дифференциальные 93 уравнения движения были выведены в различном виде Остроградским, Феррерсом и Раусом. Общая методика интегрирования этих уравнений не была разработана, а их структура, связанная с наличием декартовых координат или множителей неголономных связей, создавала значительные трудности при решении конйретных задач (о качении твердых тел). Таким образом,в конце XIX в. проблема составления динамических уравнений неголономной механики в лагранжевых координатах без множителей связей типа уравнений Лагранжа второго рода была вполне актуальной. [c.93]

В результате исследований, посвященных принципу максимума и аналогичным ему критериям классического вариационного исчисления, были разработаны общие приемы построения необходимых признаков оптимальности, по-видимому, вполне достаточные для большинства типичных экстремальных задач о программном управлении. Как правило, в настоящее время решение этого вопроса не вызывает принципиальных затруднений, во всяком случае, если речь идет о минимизации (максимизации) функционалов вида (8.2) и подобных им. При встрече с новым кругом задач этого типа обычно удается учесть дополнительные обстоятельства и составить соответствующие необходимые условия экстремума по широко известным теперь общим рецептам. Однако составление дифференциальных уравнений, выражающих необходимые условия оптимальности, является лишь первым, хотя и чрезвычайно важным этапом в решении конкретных проблем. Следующий этап состоит в интегрировании этих уравнений с учетом краевых условий, которым должно удовлетворять искомое оптимальное движение. Эта краевая задача, связанная с необходимостью привести управляемый объект в заданное состояние, остается до сих пор трудной проблемой. Дело заключается в следующем. Необходимые признаки оптимальности, выражаемые дифференциальными уравнениями Эйлера — Лагранжа для координат Х1 1) и множителей Лагранжа Я-г ( ) (или для имеющих тот л е смысл координат г) г 1) вектора -ф ( ) в случае принципа максимума), определяют внутренние свойства оптимальных движений, описывая их локальное поведение в окрестности каждой точки на данной траектории. В силу этих свойств каждое оптимальное движение развертывается во времени совершенно определенным образом, отталкиваясь от начальных условий х ( о) и ( о)-Начальные данные ( о) обычно задаются по условиям задачи. Величины ( о) ("Фг ( о)) определяют по условиям принципа максимума направление в пространстве х , в котором уходит оптимальное движение х (t) из точки X to). Трудность состоит в выборе величин (Ьо), которые обеспечивают прицеливание оптимального движения как раз в заданное конечное состояние X 1х) (или на заданное многообразие М конечных состояний и т. п.). Эффективное преодоление этой трудности, как правило, тормозится невозможностью получения явной зависимости между величинами х ( 1) и А, ( о) вследствие неинтегрирз емости в замкнутой форме дифференциальных уравнений задачи. Каждая новая серия соответствующих краевых задач, особенно, если речь идет о нелинейных объектах, требует обычно для своего разрешения подбора специальных вычислительных алгоритмов. Лишь для отдельных классов задач выведены некоторые закономерности, облегчающие их конкретное решение. [c.192]

Принцип максимума и методы классического вариационного исчисления, рассмотренные выше, приспособлены прежде всего для решения задач о программном оптимальном управлении. Соответствующие дифференциальные уравнения, описывающие оптимальное движение и множители Лагранжа Я, (г), или вектор-функцию г) (0> являются уравнениями типа уравнений Эйлера — Лагранжа и Гамильтона. Они определяют управление в виде функции от времени . Во многих случаях, однако, ставится задача о синтезе оптимальной системы, работающей по принципу обратной связи, и тогда требуется, например, определение управления и в виде функции от текущих фазовых координат Хг 1) объекта. Здесь, конечно, возможен следующий естественный путь решения задачи. Для реализовавшегося в данный момент времени 1 х состояния х х х) решается вспомогательная задача о программном управлении (0[т, а (т)] (i>т), которое минимизирует тот же функционал и при тех же концевых условиях и ограничениях, какие заданы в исходной проблеме синтеза. Далее полагается, что [т, д (т)] = (т )[т, я (т)]7 и такие значения и = [т, X (т) ] при каждом = т > о используются в ходе реального процесса управления. В случае, если алгоритм вычисления ( )[г, д (т)] путем решения вспомогательных программных задач можно осуществлять значительно быстрее, чем протекание самого процесса х (т), такой путь может оказаться целесообразным, тем более, что по ходу процесса при т > 0 приходится на деле лишь корректировать величины (т)[т, а не решать в каждый момент = т заново всю программную задачу. Здесь, правда, еще остается нелегкая чисто математическая проблема, < остоящая в доказательстве того, вообще говоря, правдоподобного факта, что найденные таким путем функции [т, х (т)] при подстановке и = = [ , X ( )] в исходные уравнения (2.1) действительно разрешают проблему синтеза оптимальной системы. Это строгое обоснование того факта, что описанный переход [т, а (т) ] = (т)[т, а (т)] действительно дает оптимальный синтез, наталкивается, например, на следующую [c.202]

Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера — Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности (уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления (за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости (газа) в канале магнитодинамического генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. А. Лурье. [c.239]

В третьей главе описана одномерная дискретная нелинейно-диснерсионная модель мелкой воды. С помогцью дополнительного нредноложения о распределении скорости жидкости по глубине кинетическая энергия всего слоя выражается через скорости частиц на поверхности жидкости. Тем самым появляется возможность понизить размерность задачи и избавиться от проблемы перехлеста лагранжевых ячеек. Дополнительным удобством является то, что матрица системы для нахождения множителей лагранжа получается трехдиагональной. [c.12]

Проблема, которой мы посвятим настоящий параграф, возникла более 150 лет тому назад. Однако физическая интерпретация множителя X, входящего в уравнения (3.21) или (3.22), для случая, когда дивергенция скорости не равна тождественно нулю, все еще продолжает обсуждаться, хотя в рабочие уравнения множитель % не входит. Численное значение этого множителя было оцределено с помощью гипотезы, предложенной Г. Г. Стоксом в 1845 г. [ ]. Не касаясь сейчас физических обоснований, оправдывающих гипотезу Стокса, мы сначала констатируем, что в соответствии с этой гипотезой необходимо принять существование соотношения [c.67]

Решение проблемы упрощения расчетов балок на упругом основании принадлежит целиком советским ученым. В 1923 г. проф. Н. П. Пузыревский [301] предложил метод расчета с применением повторяющихся функций, получивший впоследствии название метода начальных параметров . Сущность предложения состоит в том, что при любой сколь угодно сложной нагрузке приходится составлять только уравнения для определения двух неизвестных, которыми являются угол поворота сечения и прогиб балки в начале координат. Но книга была издана литографским способом и о методе Пузыревского широкие инженерные круги узнали значительно позднее, когда уже стал известен метод акад. А. Н. Крылова, изложенный в работе [211], опубликованной в 1930 г. В книге А. Н. Крылова рассматривается метод начальных параметров с применением фундаментальных функций, отличающихся от повторяющихся функций Пузыревского постоянными множителями. Кроме того, в книге предложен метод последовательных приближений, дающий возможность полу-ченпя решения в рядах прямо для любых самых сложных [c.81]

О пфаффовых множителях. Перейдем теперь к рассмотрению более общей пфаффовой вариационной проблемы [c.100]

В проблеме равновесия для пфаффовых уравнений множители можно разбить на пары так, чтобы множители каждой пары различались только знакоя1( ). Эти множители можно обозначить через А1, —А1,. .., А ,., —А ,,. Они должны быть вещественными или чисто мнимыми количествами ). [c.101]

Отсюда следует, что множители обеих систем уравнений вариации — первоначальной и преобразованной — являются инвариантами одной и той же матрицы С. А так как новая система имеет постоянные коэффициенты и соответствует пфаффовой проблеме, то согласно 10 (см. примечание 16 к главе III) множители обеих систем могут быть разбиты на пары вида (А, —Л). [c.366]

Следует сказать, что метод А. М. Данилевского тесно связан с проблемой факторизации ( 3) мероморфных функций. Действительно, 4)ункция С+(а), входящая в решение парного уравнения (5.82), с точностью до множителя может траетоваться как решение задачи на факторизацию следующей мероморфной функции Q(a)jP a)= (a) -(a). [c.80]

Приведенные ниже экспоненциальные оценки были впервые получены еще Пуанкаре [337, п. 226]. Поскольку, однако, при 0 1 эффект экспоненциально мал, возникает очень серьезная и трудная проблема оценки точности этого результата, которая до сих пор обсуждается в литературе (см., например, [197, 483, 484]). По существу вопрос был решен уже в первых работах Мельникова [298], который показал, что все неэкспоненциальные поправки могут быть оттрансформированы с помощью канонической замены переменных (см. также [314], лемма 10.3). Тем не менее в некоторых специальных случаях, например, для стандартного отображения, эффекты высщих приближений приводят к появлению численного множителя порядка единицы, который пока не поддается аналитической оценке (см. [70, 6.1] и [485]).— Прим. ред. [c.240]

При этом 6 = 1 для синглетного состояния, 6 = 0 для триплет-ного состояния. Выражение (44.2) содержит недиагональные элементы. Следовательно, (44.1) не дает собственных значений задачи. Для этого (44.2) должно быть диагонализировано. Иначе говоря, отдельных детерминантов Слэтера недостаточно для описания возбужденного состояния. Оно описывается суперпозицией различных детерминантов. Из-за трансляционной симметрии проблемы суперпозиция возможна только для детерминантов, которые описывают состояния с одинаковыми К=к —Л,,. Это же выражается символом б у недиагональных элементов (44.2). Если в детерминанте Слэтера возбужденного состояния все г заменить на г + / , то получатся множители вида ехр (г ( 1+ -f. ..+Ллг)-Л ). Так как = то для заполненной зоны эти множители будут [c.184]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...