Первая зона Бриллюэна

Первая зона Бриллюэна представляет собой элементарную ячейку Вигнера — Зейтца для обратной решетки, растянутой в 2я раз. Для определения вида первой зоны Бриллюэна нужно по-строить обратную решетку с параметрами ячейки 2яа, 2яЬ, 2лс и построить в ней ячейку Вигнера — Зейтца, пользуясь правилами, описанными в гл. 1. [c.219]

Рассмотрим в качестве примера простую кубическую решетку с параметром ячейки, равным а. В гл. 1 было показано, что для нее обратная решетка — также простая кубическая, причем а = =1/й. Ячейка Вигнера — Зейтца в к-пространстве, т. е. первая зона Бриллюэна, представляет собой в этом случае куб объемом 8л ,1а . Действительно, куб, построенный на трех взаимно перпендикулярных векторах длиной 2п.1а, содержит все неэквивалентные точки, поскольку они не могут быть получены одна из другой с помощью какого-либо вектора Н. Все точки, лежащие вне этого куба, можно получить из точек, расположенных внутри куба. Для построения первой зоны Бриллюэна нужно сместить все точки на вектор (—я/а, —я/а, —я/а). При этом центр куба совместится С началом отсчета к=0. Таким образом, все неэквивалентные значения компонентов вектора к лежат в интервалах [c.219]

Первые зоны Бриллюэна для простой кубической, ОЦК- и ГЦК-решеток показаны на рис. 7.2. Эквивалентность физических состояний, принадлежащих различным зонам Бриллюэна, позво- [c.219]

Рис. 7.2. Первая зона Бриллюэна для простой кубической (а), ОЦК- (б) и ГЦК-решеток (а)

Все возможные значения энергии в каждой энергетической зоне можно получить путем изменения k в пределах первой зоны Бриллюэна. Поэтому зависимость E k) часто строят только для первой зоны Бриллюэна. Все остальные значения Е могут быть приведены в эту зону. Такой способ изображения E k), иллюстрируемый рис. 7.7, получил название схемы приведенных зон. В отличие от него зависимость, показанную на рис. 7.6, называют периодической зонной схемой. [c.227]

Ранее отмечалось, что смещения в пространстве волновых векторов на расстояния, кратные 2п/а, физически ничего не меняют. Воспользуемся этим и приведем кривые дисперсии для обобществленного электрона к одной (первой) зоне Бриллюэна тогда вместо рис. 6.9 будем иметь рис. 6.10. На нем штриховкой выделены две разрешенные энергетические зоны 1 — зона проводимости и 2 — валентная зона. Они разделены запрещенной зоной шириной АЕ. В пределах области, выделенной на рисунке штриховой линией, кривые дисперсии как в зоне проводимости, так и в валентной зоне имеют квадратичный характер следовательно, здесь справедлива модель свободных электронов. Правда, масса этих электронов может отличаться от электронной массы кроме того, обратная кривизна квадратичной кривой Б валентной зоне указывает на то, что здесь должна использоваться отрицательная масса. Отрицательности массы можно избежать, если рассматривать в валент- [c.142]

Может оказаться, что к —к лежит вне первой зоны Бриллюэна. В этом случае матричный элемент q , отвечающий приведенному волновому вектору 1 , не равен нулю. Это соответствует процессу переброса Пайерлса. Мы будем учитывать такую возможность, не ограничивая область допустимых значений . в первой зоной, помня, что в соответствующем q величина х представляет приведенный вектор в первой зоне. Тогда член [c.759]

Процессы переброса — процессы рассеяния частиц (квазичастиц), при которых изменение их квазиимпульса выводит его за пределы первой зоны Бриллюэна. [c.285]

Любой точке А (к ) в обратном пространстве соответствует точка А (к) в первой зоне Бриллюэна, при этом к = =к+ 0. В твердом теле волну, характеризующуюся волновым вектором к, невозможно отличить от волны, описываемой [c.65]

В зоне Бриллюэна особый интерес вызывают так называемые точки симметрии, обладающие тем свойством, что они переходят сами в себя при некоторых преобразованиях симметрии, допускаемых в данной решетке. К числу названных точек относится центр первой зоны Бриллюэна (начало [c.65]

Таким образом, все состояния электронов в периодическом потенциальном поле характеризуются значениями волнового вектора к, лежащего внутри или на поверхности первой зоны Бриллюэна. Как уже говорилось, энергия таких состояний также будет функцией к. В общем случае функция Е = = Е(к) является многозначной, т. е. каждому заданному значению к отвечает несколько значений энергии. Для всех зна-—> [c.69]

Ограничение области изменения волнового вектора к значениями, лежащими внутри первой зоны Бриллюэна, условно, так как все к-пространство может быть заполнено зонами Бриллюэна, центрированными на различных узлах обратной [c.69]

Через Уй обозначен объем первой зоны Бриллюэна независимо от того, в каком пространстве (к или Р) она построена. Если кристалл однороден, то вероятность ( от координаты [c.101]

Простейший способ построения этих зон состоит в том, что в к-пространстве строят совокупность точек gi, к каждой из которых из начала координат проводят вектора gi и через их середины — перпендикулярные к ним плоскости. Область, ограниченная этими плоскостями, являющимися геометрическим местом точек, равноудаленных от начала координат и ближайших к нему узлов обратной решетки — это первая зона Бриллюэна, а указанные плоскости — ее границы. В векторной форме уравнение границы зоны Бриллюэна записывается в виде [c.62]

Первая зона Бриллюэна для распространенных структур металлов изображена на рис. 1.6. Видно, что для ГЦК структуры — первая зона Бриллюэна — кубооктаэдр, для ОЦК — ромбододекаэдр, для ГПУ — гексагональная призма. [c.62]

Несмотря на особую важность первой зоны Бриллюэна, в некоторых случаях удобно оперировать с другими зонами (второй, [c.62]

Поскольку вектора к находятся с точностью до g, то любая, функция может быть переведена в любую (обычно первую) зону Бриллюэна. Для этого из рассматриваемого вектора к следует вычесть вектор g, чтобы их разность к—g- оказалась внутри или на границе первой зоны Бриллюэна. Далее б полученную точку следует перенести величину функции в точке к. [c.63]

Рис. 4.1. Приведение е(к) для свободных электронов к первой зоне Бриллюэна

Рассмотрим приведение к первой зоне Бриллюэна какой-либо функции на примере е(к) для свободных электронов (рис. 4.1). Пусть точка к в к-пространстве будет перемещаться из центра зоны Бриллюэна в сторону увеличения значений к. На границе зоны Бриллюэна функция е(к ) окажется равной- функция [c.63]

ДлЯ построения ферми-поверхности в схеме приведенной зоны проводят радиусом kp несколько сфер Ферми с центрами в нескольких соседних узлах обратной решетки. Легко видеть, что первая зона Бриллюэна действительно будет заполнена полностью, а заключенные внутри сферы Ферми участки второй, третьей, четвертой зон Бриллюэна будут находиться соответственно между двумя, тремя, четырьмя пересекающимися сферами (рис. 4.11). [c.84]

Найти число электронных состояний на атом внутри сферы, вписанной в первую зону Бриллюэна, для ГЦК и ОЦК решеток. [c.86]

Найти для Си объем и поверхность первой зоны Бриллюэна Си обладает ГЦК решеткой, а==3.61 А. [c.86]

Найти и сравнить энергию свободных электронов в центрах граней и ребер, а также в вершинах первой зоны Бриллюэна ГЦК и ОЦК решеток. [c.87]

Найти отношение kp при валентности 2=1, 2, 3 к радиусу сферы, вписанной в первую зону Бриллюэна и описанной около нее (для ГЦК и ОЦК решеток). [c.87]

В зоне проводимости, особенно вблизи ее дна, электронный спектр близок к спектру свободных электронов. Энергия электронов в кристаллах и волновая функция являются многозначными функциями волнового числа (см. 66). Это позволяет смещать спектр по волновому числу по определенным правилам. Условливаются, что волновое число должно всегда находиться в первой зоне Бриллюэна. Не вдаваясь в подробности определения этой зоны, заметим лишь, что такое условие требует для характеристики энергии и волновой функции использовать значения волнового числа, лежащие в интервале от нуля до некоторого максимального. Этот интервал различен по разным направлениям. Такой способ классификации электронных состояний в кристалле называется схемой приведенных зон. В ситуации, изображенной на рис. 117, это позволяет поместить начало кривой Е = Е(к) зоны проводимости на одну вертикаль с началом кривой Е = Е(к) валентной зоны. Тогда становится очевидным, что зависимость Е = Е к) в зоне проводимости действительно близка к соответствующей зависимости для свободного электрона. Однако рассмотрение скорости электрона одинаково удобно провести и без схемы приведенных зон, потому что ход производной dE/dk не зависит от смещения спектра по оси к. [c.352]

Для простой кубической решётки с параметром решетки а первая зона Бриллюэна представляет собой куб с ребром 2л/а и объемом 2n/af. Полное число, разрешенных значений вектора к для такого кристалла равно также N — числу частиц в кристалле. Каждому значению к отвечают два состояния с разными спинами в энергетической гоне. Поэтому полное число состояний в зоне должно равняться 2N. [c.147]

Для того чтобы понять разницу между N- и [7-процессам.и, рассмотрим поведение фононов в первой зоне Бриллюэна простой примитивной квадратной решетки с параметром а (рис. 6.16). Пусть в результате столкновения в точке О двух фононов с волновыми векторами ki и кг образуется фонон с волновым вектором кз=к1-[-к2 (рис. 6.16,а). Если исходные векторы таковы, что суммарный вектор кз не выходит за границы зоны Бриллюэна, то все три вектора имеют положительные относительно kx направления и для них справедливы условия (6.82) и (6.83) при 0=0. Описанная картина соответствует N-процессу. Так как тепловая sneff- [c.189]

Рис. 6.16. Схематическое изображение трехфононных процессов в первой зоне Бриллюэна —+ я/а —я/а<

Если в к-пространстве (или в Р-пространстве) построить обратную решетку, растянутую в 2л раз, т. е. решетку с векторами 2ла, 2лЬ, 2яс (или 2я Йа, 2лЙЬ, 2яйс ), то все к (или Р-1-про-странство можно разделить на области, в которых имеются физически эквивалентные состояния. Эти области называют зонами Бриллюэна. Многогранник минимального объема, построенный вокруг начала координат в к (или Р-)-пространстве, содержащий все возможные различные состояния, называют первой, или основной, зоной Бриллюэна. С помощью векторов обратной решетки любую точку к (или Р )-пространства можно перевести в первую зону Бриллюэна. [c.219]

Итак, для полного описания всей совокупности состояний электрона в кристалле достаточно рассматривать только область значений к, ограниченную первой зоной Бриллюэна. Тем не менее, иногда полезно считать, что волновой вектор может изменяться по всему к-пространству. Поскольку для любых двух значений к, от-личаюш,ихся на вектор 2пН, все волновые функции и уровни энергии одинаковы, энергетическим уровням можно приписывать индексы п так, чтобы при заданном п собственные функции и соб- [c.221]

Электроны описываются с помощью расширенной зонной схемы, так что волновой вектор к не обязательно лежит в первой зоне Бриллюэна. Обозначения волнового вектора отдельных состояний выбирается преимущественно таким образом, чтобы приближения относительно матричного элемента, уноминавшиеся выше, были бы ] ак можно более справедливыми. Это значит, что электрон в состоянии к рассматривается как свободный электрон с тем же волновым вектором. Как и обычно, чтобы получить дискретную систему-значений для к, вводятся периодические граничные условия. Мы будем пренебрегать спин-орбитальным взаимодействием и, где необходимо, обозначать спин индексом s, который может принимать значения iV2- [c.758]

Нормальные типы колебаний кристаллртческой решетки состоят из волн, которым можно приписать волновой вектор ос, принимающий значения, лежащие в первой зоне Бриллюэна. Если в элементарной ячейке находится один атом, то имеется N различных величин х и для каждого у. три независимые волны, соответствующие различным поляризациям и обозначаемые а=1, 2, 3. Смещение oR иона из положения равновесия может быть представлено в виде ряда обычного типа по координатам q a. [c.758]

В (37.13) сумма не ограничена первой зоной Бриллюэна, но берется по всем значениям х. Подобно этому, в (37.14) сумма берется по всем к, ибо мы используем расширенную зонную схему для описания волновыу функций электронов. Заметим, что, по определению, [c.760]

Первая зона Бриллюэна играет в физике твердого тела особую роль, поскольку все состояния электронов могут быть описаны векторами к, находящимися в этой зоне. По этой причине теоретические расчеты проводятся обычно для точек к в этой зоне, и некоторым из них, через которые проходят элементы симметрии (высокосимметричные точки), даже присвоены специальные названия. Многие из них приведены на рис. 1.6. Упомянем некоторые из них Г для всех трех структур — центр зоны в ГЦК структуре W — вершины граней, L н X — центры соответственно шестиугольных и квадратных граней, К — середина двух касающихся шестиугольных граней, U — середина ребра, по которому касаются шестиугольные и квадратные грани в ОЦК структуре помимо Г основными точками являются Я — вершины ромбододекаэдра, лежащие на координатных осях обратной решетки, Р — остальные вершины ромбододекаэдра, точки N имеют координаты [c.62]

Таким образом, колебательные движения частиц одномерной цепочки атомов могут быть описаны значениями m и й, находящи-тиися внутри области значений — л/асА ся/а. Эта область, как следует из гл. 1, называется первой зоной Бриллюэна. [c.212]

Здесь рп = —импульс электрона, переброшенного в зону проводимости Рр — импульс дырки, возникшей в валентной зоне Рфот — импульс фотона (кванта света), вызвавшего переход электрона. В пределах первой зоны Бриллюэна проекции им.пульса электрона на кристаллографические оси лежат в пределах от —hnla до 4-йл/а, где а— параметр решетки а 3-10 см. Р,п а та 10 й. Импульс фотона равен 2лЙ/ 1, и для Х л 10 см составляет 10 А, т, е. примерно на 3 порядка меньше импульса электрона. Поэтому [c.319]

Знак плюс сотносится к процессам, протекающим с поглощением фонона, знак минус — с испусканием фонона. Так как энергия фо-н онов в полупроводниках не превышает сотых долей электрон-вольта, а Йа (V I эВ, то в выражении (12.9) можно пренебречь по сравнению с Ы. Импульс же фонона Йкф н лежит в Тех же пределах первой зоны Бриллюэна, что и импульс электрона. Поэтому при переходах с участием фононов импульс электрона может изменяться в широких пределах, что графически выражают проведением наклонных стрелок, характеризующих такие переходы (рис. 12.3, б). Вследствие того, что вероятность протекания процессов с участием трех частиц много меньше вероятности двухчастичных процессов, коэффициент поглощения в области непрямых переходов зггачи-тельно ниже, чем в области прямых. С понижением температуры процессы с поглощением фонона идут реже и коэффициент поглощения для непрямых переходов уменьшается. [c.321]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...