Множитель Якоби

Содержащиеся в книге методы анализа систем канонических уравнений Гамильтона включают метод Якоби-Гамильтона, теорию последнего множителя Якоби [70], интегральные инварианты, переменные действие-угол [21, 49, 55]. Для иллюстрации эффективности приложений всего этого арсенала методов в книге даются элементы теории возмущений. [c.13]

Следствие 9.6.1. Пусть М — множитель Якоби. Тогда по теореме 9.5.5 [c.674]

Теорема 9.6.1. Пусть М и М2 — два множителя Якоби, причем М2 Ф 0. Тогда их отношение [c.675]

По определению множителей Якоби, очевидно, будем иметь [c.675]

Теорема 9.6.2. Пусть известны к независимых первых интегралов У1,..., Ук, в также множитель Якоби М. Тогда множитель Якоби N для системы т—к дифференциальных уравнений, к которой приводится исходная система, имеет вид [c.675]

Тогда множитель Якоби служит интегрирующим множителем уравнения [c.676]

Таким образом, знание множителя Якоби и т - 2 независимых первых интегралов автономной системы дифференциальных уравнений позволяет свести к квадратурам задачу определения ее траекторий. [c.677]

Множителем Якоби для исходной системы служит 1. Следовательно, приведенная система допускает еще один первый интеграл [c.678]

Показать, что система уравнений движения спутника относительно центра масс на круговой орбите допускает множитель Якоби, равный единице. [c.702]

Последний множитель Якоби. Теорема Лиувилля [c.392]

ПОСЛЕДНИЙ МНОЖИТЕЛЬ ЯКОБИ. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ [c.393]

Сравнивая уравнения (I) и (II. 395), видим, что интегрирующий множитель р Эйлера — частный случай функции М. Функция М называется множителем Якоби. [c.393]

Рассмотрим некоторые общие свойства множителя Якоби. [c.393]

Если известен множитель Якоби для системы уравнений (11.379), то нахождение последнего интеграла этой системы приводится к квадратуре. [c.394]

Воспользуемся уравнением, которому удовлетворяет известный по условию теоремы множитель Якоби. На основании уравнения (11.398) найдем [c.395]

Полученный результат объясняет происхождение термина последний множитель Якоби - [c.395]

Примечания, а) Множитель Якоби системы канонических уравнений движения равен единице. [c.395]

Для доказательства этого утверждения применим теорему о последнем множителе Якоби ( 133). [c.414]

Сравнивая соотношение (а) с уравнением (11.380), замечаем, что множитель Якоби для системы уравнений (III. 16) равен единице. Следовательно, проблема интегрирования системы уравнений (III. 16), действительно, сводится к нахождению ее четырех независимых интегралов. Три первых интеграла системы уравнений (III. 16) можно найти непосредственно. [c.414]

Согласно теореме о последнем множителе Якоби задача Эйлера может быть решена квадратурами. Это будет показано в 145. [c.416]

Таким образом, вопрос сведен к квадратуре, как и предполагалось, на основании теоремы о последнем множителе Якоби. [c.423]

Из уравнения (III, 41) квадратурой можно на-йти и, и далее из соотношений (111.40а) и (III. 40Ь) после интегрирования найдем ф и ф. Следовательно, вопрос действительно свелся к квадратурам, как и предполагалось на основании теоремы о последнем множителе Якоби. [c.429]

Соотношение (111.67b) является четвертым алгебраическим интегралом дифференциальных уравнений (III. 12) и (III. 14), не зависящим от времени. По теореме о последнем множителе Якоби задача сводится к квадратурам. Отметим, что задача С. В, Ковалевской приводится к квадратурам гиперэллиптического типа. Характер движения тела в случае Ковалевской гораздо сложнее, чем в случаях Эйлера и Лагранжа. В то время как в упомянутых двух классических случаях общие свойства движения твердого тела исследованы очень подробно, этого нельзя сказать о случае Ковалевской. Трудности, связанные с анализом движения тела в последнем случае, заставляют даже обратиться к экспериментальному изучению проблемы ). [c.453]

Функция М называется множителем Якоби или просто множителем системы уравнений (1). [c.268]

Инвариантность множителя. Последний множитель Якоби. [c.269]

Функция М носит название последнего множителя или последнего множителя Якоби. [c.272]

Очевидно, что в данном случае dfijdxi = О, г = 1,..., 6, и система уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки имеет множитель Якоби М — 1,0 [c.674]

Теорема 9.6.3. (Теорема о посл(щдем множителе). Если известны т—1 независимых первых интегралов системы дифференциальных уравнений и множитель Якоби М, то интегрирование этой системы заканчивается квадратурой. [c.676]

Сравнивая выражения интегрального инварианта /(п> (П.ЗЭЗЬ) и (1) заключаем, что множитель Якоби М в новых переменных определяется равенством [c.394]

Ука.чапны. с четырех интегралов достаточно, чтобы интегрирование системы (29), (30) можно было свести к квадратурам. Чтобы в этом убедиться, достаточно найти множитель Якоби М. Разрешив уравнения (29) относительно производных, получим [c.274]

Интегрирование этого уравнения дает такое выражение для множителя М = ff (с — произвольная постоянная). Из теории последнего множителя Якоби следует теперь, что интегрировазше систем дифференциальных уравнений (29), (30) сводится к квадратурам. [c.274]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...