Уравнение с множителем

Исключая при помощи (1.25) ускорения из уравнений (I. 23) и (I. 24), найдем к 1 уравнений с множителями Яj и рв. [c.31]

Уравнения эти носят наименование уравнений Лагранжа первого рода или уравнений с множителями в декартовых координатах. [c.386]

Доказательство. Можно использовать уравнения с множителями Лагранжа и заменить в них t величиной tY—1. что равносильно замене знака проекций приложенных сил и видоизменению множителей. [c.361]

Вместо (1) можно написать уравнения с множителем Лагранжа [c.161]

Если умножить второе уравнение на zi/z и вычесть его из первого, то получим уравнение с множителем е при производных. К получившейся системе можно применить указанные выше асимптотические методы. Для электрических машин таким путем получаются [4] уравнения медленных нестационарных процессов, более простые, чем исходные уравнения Парка —Горева. [c.347]

При выводе уравнений с множителями Лагранжа применяется, как известно, аксиома о связях, т. е. вводятся в рассмотрение, наряду с известными активными силами, еще неизвестные силы (управляющие воздействия), обеспечивающие вместе с данными силами реализацию искомого движения, согласно заданным связям. Иначе говоря, выводятся уравнения движения как бы голономной системы в них неизвестные силы входят через множители Лагранжа и только тогда, после вывода уравнений движения, к ним присоединяются уравнения неголономных связей. [c.7]

Исключим из числа неизвестных неопределенный множитель Л. Выразив его из первого уравнения системы (3.10) и подставив во все остальные, приходим к системе ( - 1) уравнений с п неизвестными Hi, Я2,. ..,Я вида [c.81]

У-образные канавки в нержавеющей стали (рю = 0,3 угол раствора 30°) будут иметь р1, 0,1. Таким образом, если задняя стенка выполняется с множеством У-образных канавок, рю в первом члене уравнения (7.56) просто заменяется на р . Второй член с множителем р , представляет излучение, отраженное от задней стенки к цилиндрической, а от нее в апертуру. Второй член может быть исключен, если цилиндрические стенки [c.345]

Можно отметить, что из (1.9d) вытекает равенство x,j = у . Уравнение (1.9с) содержит множителем при е сумму величин Х( и у,. Если в некоторой области переменных т] модуль этой суммы, умноженной на е, имеет порядок старшего по модулю члена левой части уравнения, то это — область пограничного слоя. Левая часть уравнения содержит произведение тех же величин х у с множителем, который может быть мал там, где и у, велики. Из проведенного рассмотрения величин, входящих в (1.9с), не ясно, возможно ли возникновение пограничного слоя в переменных т]. Такая возможность видна из следующего примера. [c.181]

Г р а д ш т е й н И. С., Нелинейные дифференциальные уравнения с малыми множителями при некоторых производных, ДАН СССР 66, вып. 6 (1949). [c.380]

Доказательство. Поскольку связь идеальна, мы можем воспользоваться уравнением Лагранжа с множителем и скалярно умножить обе его части на скорость V точки. Тогда [c.201]

Для материальной точки, стесненной такой связью, уравнение Лагранжа с множителем принимает вид [c.203]

Сг- — действительные числа. Это означает, что общее решение будет иметь слагаемое, содержащее в виде множителя функцию ехр(г]к )- Пусть т)к > О, тогда найдется сколь угодно близкое к стационарной точке в начальный момент времени решение, удаляющееся в бесконечность при I — оо. Предположим, что т к < 0. Сделаем замену независимой переменной I — —г. Обозначим у дифференцирование по т. Линейная система уравнений с гироскопическими силами примет вид [c.596]

Уравнения с неопределенными множителями Лагранжа [c.381]

Из (30) получим уравнения Лагранжа второго рода, или просто уравнения Лагранжа. Уравнения Лагранжа первого рода — уравнения с неопределенными множителями Лагранжа — получены для одной точки в 8 гл. 1. Уравнения Лагранжа первого рода можно получить и для системы. [c.393]

Рассмотрим интегрирующий множитель ц Эйлера для уравнения (е). Как известно, интегрирующий множитель р удовлетворяет уравнению с частными производными [c.393]

Следовательно, множитель М должен удовлетворять уравнению с частными производными [c.394]

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА С МНОЖИТЕЛЯМИ 419 [c.419]

Уравнения Лагранжа второго рода с множителями [c.419]

Указания к решению задачи на ЭВМ. Уравнения движения содержат коэффициенты с множителем принимающим большие числовые значения. Чтобы уменьшить разрядность используемых при счете чисел, уравнения рекомендуется привести к нормализованной форме, в которую входят коэффициенты порядка единицы. Для этого уравнения следует поделить на множитель т и перейти затем к безразмерному времени i=(o . Соответствующее изменение масштаба времени нужно сделать в значениях начальных скоростей и величине интервала интегрирования. [c.71]

Уравнения эти носят название уравнений Лагранжа с множителем. Присоединяя к ним уравнение связи f x, у, z, i) = 0, получаем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными х, у, Z, %. Дифференцируя f x, у, z, t) = 0 по t, имеем, что проекции скорости dx/dt, dy/dt, dz/dt удовлетворяют соотношению [c.112]

Умножим уравнения Лагранжа с множителем Я соответственно на dx, dy, dz и сложим. После очевидных преобразований [c.112]

Умножив каждое из уравнений (4) на соответствующий множитель Xj и сложив полученные уравнения с уравнением (3), найдем [c.352]

Указание. Использовать уравнения Лагранжа с множителями для ив-голономных систем. [c.369]

Уравнения Лагранжа второго рода с множителями применяются главным образом для исследования движений систем с неголономными связями, а также в тех случаях сложных го-лономных связей, когда выявление некоторых обобщенных координат оказывается затруднительным. Подробное изложениг теории уравнений Лагранжа, в том числе и уравнений с множителями, относится к специальному курсу аналитической механики ). [c.420]

Интегрирование уравнений (30.31) весьма затруднительно. Обыкновенно закон движения несвободной материальной системы находят при помощи интегрирования уравнений других типов, с которыми мы познакомимся впоследствии. Уравнениями с множителями и в особе1шости равенствами (30.32) пользуются лишь для определения реакций связей. В самом деле, когда движение системы найдено, т. е. х , у , г,, J, , известны как функции времени, из уравнений (30.32) легко найти Бсе множители Х и и, следовательно, по формуле (30.15) можно определить реакции в функции времени. [c.300]

Если мы пожелаем найти реакцию стержня, то должны обратиться к уравнениям с множителями связи, например, в декартовых координатах. Уравнение связи и уравнения движения с множителем связи для частицы mi напишутся в этом случае так [см. формулы (32.4) и (32.6)] [c.334]

Предварительные замечания. Вопрос об определении движения несвободной материальной системы без неинтегрируемых связей может быть решён двояким путём или исчтегрированием уравнений движения, содержащих множители связей, а именно уравнений Лагранжа первого рода ( 177), когда система координат декартова, и уравнений, аналогичных названным, когда система координат произвольная ( 189), или интегрированием уравнений Лагранжа второго рода в независимых координатах ( 191). Последние уравнения быстрее и непосредственнее приводят к цели в них число переменных доведено до надлежащего минимума, поэтому и произвольных постоянных интеграции появляется наименьшее число. Интегрирование уравнений с множителями значительно сложнее число переменных в них превышает Необходимое, а потому и число произвольных постоянных интеграции больше, чем нужно для искомого движения ( 119, 121, 177, 189). Но зато движение системы определяется [c.461]

Однако внимательное изучение основополагающего труда Лагранжа Аналитическая механика , Том I, ч. I (отдел четвертый, стр. 60—61), где были выведены уравнения с множителями, названными именем их автора, показывает, что Лагранж уже имел представление о неинтегри-руемых СВЯЗЯХ в механике, что вытекает из следующего его высказыв -ния Вообще с помощью уравнений йЬ = 0, с1М = 0, ( N = 0, —.. <...> мы будем выражать условные уравнения независимо от того, будут ли эти уравнения сами по себе полными дифференциалами или же нет, при условии, что дифференциалы будут линейными . Ясно, что Лагранж подразумевает ПОД вышенаписанными дифференциалами линейные (в современной терминологии) дифференциальные формы, как интегрируемые, так и неинтегрируемые. [c.3]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Движение, определяемое уравнением (14.4), имеет колебательный характер, так как координата л периодически изменяет свой знак при изменегши знака, вход лш,его в уравнение сннуса. Множитель е " указывает на то, что амгиг1гтуда колебаний с течением времени уменьшается. [c.37]

Тогда мы получим систему 3/1 — k г уравнений с тем же числом неизвестных 3n — k обобщенных координат и г лагран-жевых множителей. [c.67]

Составим уравнения движения саней, используя динамические уравнения движени я в обобщенных координатах с множителями Лагранжа [c.322]

Уравнения этого типа выведены ранее уравнений других типов в 1877 г. (Феррерсом). Уравнения с неопределенными множителями имеют н сейчас большое значение в применении теории неголономных систем к различным практическим задачам, например, при расчете оптимальных траекторий полета. [c.381]

Чаобы в данном случае из одного уравнения (125) вывести уравнения движения, поыпглким каждое из уравнений в (126) на некоторый множитель (—Ер) (р 1,2,. .., з), являющийся неизвестной функцией времени. После умножения слоягим все эти уравнения с уравнением (125). [c.382]

Уравнения с неопределенными множителями можно вывести и для систем с дополнительными голономпыми связями, для данной системы с п обобщенными координатами. [c.383]

Таким образом, Vi удовлетворяет системе однородных линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, являющимися функциями только от координат, но не от времени. Общее решение таких уравнений может быть представлено в внле суммы частных решений, в которых vi зависит от времени посредством множителей типа Сами частоты со возмущении не произвольны, а определяются в результате решений уравнений (26,4) с соответствующими предельным условиями. Эти частоты, вообще говоря, комплексны. Если имеются такие со, мнимая часть которых положительна, то будет неограниченно возрастать со временем. Другими словами, такие возмущения, раз возникнув, будут возрастать, т. е. движение будет неустойчиво по отношению к ним. Для устойчивости движения необ.хо-димо, чтобы у всех возможных частот со мнимая часть была отрицательна. Тогда возникающие возмущения будут экспоненциально затухать со временем. [c.138]

Здесь по предыдущему обобщенные силы Q/, так же как Ф , являются заданными функциями обобщенных координат qu q2,. .., q,-. Замечая, что 6W величин vb , с множителями связей, введенными в предыдущем параграфе. Система уравнений (54) должна служить для нахождения координат q ,, q° в равновесных положениях несвободной системы и множителей (а=1, 2,. .., s), определяющих обобщенные реакции. Имеем г уравнений с г -f- S неизвестными [c.323]

Уравнения неразрывности деформаций для пологих оболочек (уравнения Кодацци — Гаусса для деформированного состояния), где отброигены члены с множителями kj, и k [69] имеют вид [c.252]

Сравнивая это уравнение с аналогичным уравнением для математического маятника (10.12), мы видим, что эти уравнения отличаются только постоянным множителем. Там, где для математического маятника стоит множитель 1//, для физического маятника входит множитель tndH. Поэтому физический маятник будет вести себя так же, как и математический, длина которого 1 =1 (md. Выведенный из состоя- [c.408]

Уравнения равновесия с множителями. Пусть на точки Xv, f/v, 2v системы действуют заданные силы с проекциями Xv, Уу, 2, (v = 1,. .., п) и пусть на эту систему наложены удер жпвающие связи [c.83]

Условие нормировки волновой функции. Волновая функция определяется линейным уравнением с точностью до [юстоянного множителя, который можно выбрать так, чтобы удовлетворить интерпретации 14 1 = как плотности вероятности. Так как 4 4 dxdj dz-вероятность нахождения частицы в элементе объема d.vdvdz, то [c.99]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...