Механические системы с несколькими Уравнения

Метод марковских процессов позволяет (теоретически) получать точные законы распределения компонент вектора состояния нелинейной динамической системы любой размерности и точные значения вероятностных характеристик компонент вектора состояния в любой момент времени. На практике, к сожалению, это далеко не так. Получить точное решение уравнения Колмогорова, особенно когда надо учитывать реальные случайные возмущения (а не белый шум), для реальной нелинейной механической системы с несколькими степенями свободы практически невозможно. Поэтому опять остаются только приближенные методы решения уравнения Колмогорова, требующие введения в алгоритм решения упрощений и предположений, что приводит, как и в методе статистической линеаризации, к несоответствию приближенного и точного решения. Оценить это несоответствие нельзя, так как нет точного решения. Свободным от этих недостатков является метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Метод основан на численном решении исходных нелинейных уравнений без их упрощения. [c.231]

Дополнительные уравнения движения позволяют найти реакции связей [38]. При этом многомерная поверхность, по которой движется изображающая точка механической системы с несколькими степенями свободы, оказывается погруженной в пространство 3/г измерений, где п — число точек в системе. [c.37]

Итак определение критической силы для системы с несколькими степенями свободы сводится к математической задаче об определении наименьшего собственного числа матрицы коэффициентов линеаризованной системы уравнений равновесия механической системы в отклоненном от ее первоначальной формы положении. Сформулированное положение является статическим критерием устойчивости. [c.327]

Связанные колебательные системы с двумя степенями свободы. Колебательные системы музыкальных инструментов представляют собой, как правило, сложные связанные системы с несколькими степенями свободы. Уравнение движения одной из возможных связанных колебательных систем с двумя степенями свободы, например механической (рис. 1.5,а), может быть представлено в комплексной форме в виде [c.12]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

Рассмотрим основные свойства малых колебаний механических систем с одной и двумя степенями свободы на основе применения уравнений Лагранжа некоторые результаты для системы с любым, конечным числом степеней свободы приведем без вывода. Механическая система может совершать малые колебания только вблизи устойчивого положения равновесия. Обобщенные координаты системы в положении равновесия принимают равными нулю, т. е. отсчитывают их от положения равновесия. Тогда колебательным движением механической системы в общем случае считают всякое ее движение, при котором все обобщенные координаты или часть из них изменяются не монотонно, а имеют колебательный характер, т. е. принимают нулевые значения по крайней мере несколько раз. [c.384]

Для моделирования механических систем в настоящее время применяют несколько систем аналогий (электромеханическую, электроакустическую, электрогидравлическую, электропневмати-ч скую, электротепловую и др.), из которых для моделирования механических систем наибольшее применение получили электромеханические. Для пояснения сущности установления электромеханической аналогии рас-смотрим дифференциальные уравнения движения материальной частицы механической системы под действием силы F при изменении напряжения и в катушке с индуктивностью L в зависимости от протекающего в ней тока t [c.435]

С последними рассуждениями связан вывод уравнения (266), который был сначала намечен Максвеллом и затем развит несколько далее Планком 2). Представим себе смесь любого количества любых идеальных газов, заключенных между неподвижными жесткими индифферентными стенками, которую мы назовем нашей механической системой. Пусть положение всех частей молекулы одного сорта газа, который мы назовем первым, определяется л координатами / 2,. .., р , положение молекулы другого (второго) сорта определяется V координатами p .l, /> 1421 [c.529]

Уравнения (2.1) вместе с вторым уравнением (1.30), а именно Т = 611168 и уравнением (1.48) образуют систему пяти нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для определения пяти зависимых переменных , 7 и 5. Эти уравнения показывают, что механические и тепловые явления в динамике упругого тела связаны между собой. Получить решения полной системы уравнений весьма трудно (за исключением нескольких частных случаев). Один из этих частных случаев мы рассмотрим в гл. 5. [c.34]

Прямая задача динамики для системы материальных точек сводится к решению системы ЗN дифференциальных уравнений, так как уравнение движения вида (11.1) для каждой из N точек системы дает в проекции на координатные оси три дифференциальных уравнения для координат точки хД/),>>Д ), ,(/). Строгое аналитическое решение удается найти лишь в исключительных случаях, поэтому обычно используют приближенные методы. Однако существует несколько строгих общих законов, которые хотя сами по себе и не позволяют в общем случае найти траектории отдельных точек системы, вместе с тем дают важную информацию о движении системы в целом. Это закон (или теорема) о движении центра масс и три закона изменения и сохранения импульса, момента импульса и механической энергии системы материальных точек. Их выводу и обсуждению посвящена настоящая глава. [c.38]

Троллейбус является сложной механической системой, состоящей из большого числа масс с различными связями. Степень подробности описания троллейбуса как колебательной системы, а следовательно, и число учитываемых степеней свободы зависят от характера решаемой задачи при научных исследованиях число уравнений может исчисляться несколькими десятками при проектировочных расчетах пользуются колебательной системой, показанной на рис. 2.69. Она включает четыре массы для двухосного троллейбуса и шесть масс - для сочлененного (массы обозначены т, упругие элементы - с, демпфирующие элементы - к). [c.214]

Эффективность этого анализа зависит от точности, полноты и обоснованности, с которыми установлены допуски на характеристики и определены виды отказов. При определении основных функций должны учитываться все возможные состояния схемы. Состояние схемы определяется совокупностью напряжений и токов, для которой можно написать только одну систему матричных уравнений или составить только один сигнальный граф. Так как эта система уравнений применима только к одному состоянию схемы, то все обратно смещенные диоды должны оставаться обратно-смещенными, реле и механические выключатели — в требуемом положении включено или выключено , а транзисторы, используемые в режиме насыщения,— в режиме насыщения и т. д. для того, чтобы схема оставалась в данном состоянии. Если один или несколько элементов схемы изменят свое состояние так, что для описания схемы потребуется другая система уравнений или графов, то схема изменит свое состояние. [c.36]

Приведем в этой связи несколько выдержек из статьи Н. Г. Четаева (1936). К объяснению какого-либо механического явления природы сначала подходят с определенными гипотезами о коренных движущих силах, что позволяет для переменных изучаемой материальной системы писать некоторые дифференциальные уравнения движения. В том случае, когда решения этих дифференциальных уравнений кладут значения изучаемых функций Фд вблизи их опытных данных (в пределах ошибок эксперимента), гипотезу принимают за закон природы, по крайней мере до тех пор,, пока не обнаружатся в опыте новые и несовместимые с принятой гипотезой факты... [c.14]

До сих пор мы считали, что состояние системы полностью определено конечным числом координат ( 1. Ф>2, Фг)- Но состояния реальных (не идеализированных) систем, -например тела, совершающего произвольные механические колебания, невозможно описать, если не задать смещений бесчисленного количества составляющих его материальных точек. Число координат (степеней свободы) при этом бесконечно возрастает, и уравнения Лагранжа становятся неэффективными. Скажем несколько слов об основных уравнениях, описывающих поведение таких систем с бесконечно большим числом степеней свободы. [c.62]

Устойчивость вынужденных колебаний нелинейной системы. При гармоническом возбрхдении механической системы с нелинейной характеристикой восстанавливающей силы в некотором диапазоне частот решение задачи о вынужденных колебаниях неоднозначно — одному и тому же значению частоты возбуждения соответствуют несколько значений полуразмахов колебаний (см. с. 28), т. е. несколько разных режимов движения. Некоторые из этих режимов неустойчивы. При анализе устойчивости различных режимов коэффициенты уравнений первого приближения оказываются периодическими функциями времени (см. с. 39) для системы с одной степенью свободы уравнения первого приближения обычно приводятся к уравнению типа Хилла (или в частном случае к уравнению Матье), Задача устойчивости периодического режима движения нелинейной системы сводится к оценке свойств решений этого уравнения (см. т. 1). [c.41]

Для систем с нелинейными неголономными связями вопросы определения виртуальных перемещений и составления уравнений движения несколько сложнее и носят отвлеченный характер, поскольку до настоящего времени отсутствует корректный пример механической системы с идеальными нелинейными неголономными связями. Как известно, по вопросу о возможности реализации неголономных связей имела место оживленная, но не внесшая ясности дискуссия, в которЪй участвовали П. Аппель, Э. Деласю, А. Беген. Много позднее вопросы реализации идеальных классических линейных неголономных связей силами сухого [c.173]

Динамика промышленных робртов. В отличие от копирующих манипуляторов с ручным приводом промышленные роботы представляют собой механическую сис[гему, в которой динамические нагрузки (нагрузки от сил инерции) могут быть значительными. Эти нагрузки определяются из решения системы уравнений движения. Для составления уравнений движения пространственного механизма с несколькими степенями свободы применяются два метода метод уравнений Лагранжа второго рода и кинетостатический метод. Поясним оба метода на примере простейшего промышленного робота с тремя степенями свободы при цилиндрической зоне обслуживания (рис. 149). [c.272]

Колебания, которые мы рассматривали в этой главе, относились к механическим системам. Однако легко видеть, что здесь имеется много сходства с теорией колебания электрических систем. Так, например, уравнения (10.65) можно рассматривать как относящиеся к п электрическим контурам, взаимодействующим друг с другом. Тогда коэффициенты Vij будут играть роль соответствующих электрических емкостей, коэффициенты Sij — роль сопротивлений, а коэффициенты Tij — роль индуктивностей. Возмущающие силы Foi6 заменятся тогда электродвижущими силами с частотой ш, приложенными к одному или нескольким контурам, а уравнения (10.74) будут играть роль уравнений (2.39) главы 2. [c.374]

Автор имеет в виду в данном случае не только механические явления в узком смысле слова методы изучения устойчивости одинаковы как для механических явлений, так и для процессов в более широком понимании. В последнем случае выбирается некоторая величина или несколько величин, изменение которых с течением времени характеризует изучаемый процесс. Эти величины с таким же правом -могут быть приняты за обобщенные координаты", как углы, прямолинейные отрезки или душ кривых служат обобщенными координатами какой-либо механической системы. Например, говоря о колебаниях электрических или электромеханических, принимают за одну из координат количество электричества д, протекающего сквозь сечение проводника в этом случае i = dqldt есть обобщенная скорость или сила тока. Для таких систем справедливы уравнения Лагранжа, и потому общие выводы, которые получены для механических явлений, будут справедливы и по отношению к процессам в более широком смысле слова. [c.423]

Результаты, полученные в задачах 31, 32, можно подытожить с несколько иной точки зрения мы показали, что уравнения цепочки Боголюбова для функций Р, (как и вытекающие из них кинетические уравнения) содержат решения, которые в каждый момент времени соответствуют чисто механическому состоянию всех частиц системы, и в то же время их решениями являются функции распределения Р,, соответствующие равновесной статистической механике Шббса, описывающей предельное смешанное состояние равновесной статистической системы. > [c.405]

Продолжая классическую традицию английской физики У. Томсона, Фарадея Мак-Куллоха, Максвелла, которые шли по пути построения физических (механических) моделей на основе аналогии, Лармор ) в конце XIX в. также ставит перед собой задачу сведения всего многообразия явлений к динамическим принципам. Он считает центральной задачей разработку идеи о каком-либо определенном характере связи между эфиром и веществом. Для этой цели он воспользовался принципом наименьшего действия, который, по его мнению, позволяет свести к динамике такие физические теории, внутренний динамический механизм которых скрыт от непосредственного наблюдения. Аналогичную точку зрения на проблемы электродинамики развивал ранее Гельмгольц. Лармор находит классический вид лагранжиана и, воспользовавшись определением величин Е и Н и тем, что полная энергия системы связана с L, выводит уравнения Максвелла. Легко доказать, идя несколько иным путем, что уравнения [c.856]

В результате решения первой задачи определяют расположение и параметры вибровозбудителей, а также, если возбудителей несколько, — значения начальных фаз J,. .., а/ вынуждающих сил, развиваемых возбудителями и обеспечивающих требуемое поле колебаний упругой системы k — число вибровозбудителей). Примеры решения этой задачи в двух практически важных частных случаях приводятся в параграфах 2 и 3 настоящей главы. Задача о синтезе систем с синхронно работающими вибровозбудителями состоит в таком выборе свободных параметров системы, при котором определенные решением первой задачи начальные фазы j,. .., удовлетворяют основным уравнениям и соответствующим условиям устойчивости. Решение второй задачи в случае систем с механическими дебалансными возбудителями рассматривается в гл. XXXIX. [c.146]

Дискретность. Наноструктуры принципиально дискретны, они могут содержать всего несколько слоев атомов. В этом случае континуальное описание, применяемое в макроскопической механике, может использоваться только с очень серьезными поправками. Сложность здесь состоит не только в расхождениях между решениями дискретных и континуальных уравнений, но еще и в принципиальной неоднозначности определения ряда макроскопических понятий для дискретных систем. Прежде всего это относится к понятию размера панообъек-та. Действительно, как корректно определить объем системы из двух атомов Указанная неоднозначность присуща всем величинам, в определении которых существенно используется понятие размера (например, напряжения, упругие модули и т.д.) [1, 2]. В зависимости от способа определения размера нанообъекта, значения соответствующих механических величин могут изменяться в несколько раз. Так, для нанокристаллической полосы, содержащей два слоя атомов, модуль Юнга может различаться, в зависимости от способа его определения, более чем на 100% [1]. Отметим, что даже для величин, определяемых однозначно, отклонение от макроскопических значений может быть очень существенно. Так, в упомянутой задаче коэффициент Пуассона оказывается почти в два раза меньше своего макроскопического значения. [c.485]

Использование методов численного моделирования для решения уравнений теплообмена несколько облегчает задачи теплофизического анализа операций обработки металлических заготовок резанием, но не исключает необходимости использования некоторых допущений, упрощений и схематизации процесса. Комплекс вопросов, связанных с теоретико-экспериментальным изучением, математическим моделированием и расчетом теплового состояния системы контактирующих объектов при выполнении операций механической обработки заготовок резанием (особенно высокопроизводительных и концентрированных) с применением СОЖ, требует своего решения, без чего невозможно изготовление конкурентоспособной машиностроительной продукции в условиях экологизированного производства [12, 13]. [c.49]

Как уже упоминалось выше, для наших целей достаточно лишь небольших усовершенствований теории Гиббса. Однако тщательный анализ идей Гиббса, необходимый для установления этих изменений, приводит к одному побочному результату несколько неожиданной природы, который вызывает существенное изменение идейной основы теории и оказывается справедливым как для обратимых, так и для необратимых процессов. Основная идея Гиббса состоит в том, что данная термодинамическая система макросистема) сравнивается с некоторым ансамблем чисто механических систем микросистемы) и что движение этого ансамбля интерпретируется как течение в фазовом пространстве. Обычно предполагается, что это течение подчиняется уравнению неразрывности. Однако основания для такого предположения вызывают некоторые сомнения, поскольку это течение не представляет собой течения действительной среды. С другой стороны, легко видеть, что, для того чтобы объяснять произвольные термодинамические процессы, следует отказаться от этой гипотезы и заменить уравнение неразрывности уравнением переноса. Эта операция вопреки тому, что кажется на первый взгляд, согласуется с теоремой Лиувилля. Она опирается только на представление о том, что движение в фазовом пространстве не является чистой конвекцией или течением (как в случае действительной жидкости), но представляет собой налолчение на это явление процесса переноса, или потока (того типа, который встречается в теплопередаче). Различие между этими двумя типами движения тесно связано с различием между изэнтропическими и более общими процессами. В самом деле, легко видеть, что в отсутствие потока теорема Лиувилля исключает все неизэнтропические процессы. Новый [c.11]

Второй важнейшей идеей геометрии Декарта стало использование для описания движения координатных осей. Оси у Декарта еш,е не равноправны одна ось главная, другая — вспомогательная, расположенная под некоторым (не обязательно прямым) углом к главной оси. Все кривые у Декарта делятся на два класса 1) описываемые непрерывным движением циркуля или линейки, или же несколькими такими последовательными движениями, из которых последуюгцие вполне определяются п предшествуюгцими 2) механические кривые, к которым относятся все остальные. Механические кривые Декарт исключал из класса допустимых кривых и, таким образом, рассматривал только кривые, которые могут быть построены с помош,ью некоторого шарнирного механизма. Декарт отмечал, что степень алгебраического уравнения кривой инвариантна относительно выбора системы координат. Но за основу классификации кривых он брал не степень их уравнения, а число звеньев соответствуюш,его шарнирного механизма. Алгебраическая символика Декарта очень близка к современной. Всякое уравнение кривой приводится к виду Рп 2) = О, где Р (-г) — многочлен с целыми коэффициентами, расположенными по убываюгцим степеням неизвестного г. Декарт высказал предположение, что алгебраическое уравнение кривой имеет столько корней, какова его степень. [c.63]

Выписанная довольно громоздкая система уравнений (4.1) — (4.5) полностью описывает линейные механические и электромагнитные процессы в пьезоэлектриках. Можно показать [6, 9], что в общем случае в пьезоэлектрических кристаллах могут распространяться в одном направлении пять волн смешанного типа, характеризующихся как механическими переменными, так и электромагнитными. Это соответствует трем возмущенным акустическим волнам, распространяющимся со скоростями, несколько большими соответствующих скоростей без учета пьезоэффекта, и двум возмущенным электромагнитным волнам, скорости которых практически не меняются. Поскольку, однако, параметр возмущения имеет порядок и/С 10 % где V — скорость акустической волны, ас — скорость света, то при решении акустической части задачи в большинстве практически важных случаев (но не во всех )) волновым характером электромагнитного поля можно пренебречь, рассматривая его в квазиста-тическом приближении. При этом задача сводится к решению системы [c.222]

Рассмотрим этот вопрос несколько подробнее. На временных интервалах порядка Д< Тст, естественно, задача о движении системы должна решаться на уровне механики. Нас эта механическая задача сама по себе мало интересует. Однако за это время характеристики сталкивающихся частиц, входящие в качестве аргументов в функцию J 2, меняются сильно (в частности, импульсы частиц до и после их столкновения). Между тем, как видно из структуры уравнения для Г, межмоле-кулярное взаимодействие непосредственно на функцию J l не влияет это влияние осуществляется через функцию J 2, которая вместе с потенциалом взаимодействия Ф( г - г ) находятся в правой части уравнения под знаком интефала, в связи с чем влияние резкого изменения функции 2, происходящего в связи со столкновением частиц, на функцию J l будет сглаживаться, и сама функция за промежуток времени Д< Тст изменится мало. [c.313]

Хорошо известно, что в физике существуют и иные подходы к концептуализации интуитивного понятия равновесия. И прежде всего это термодинамическое равновесие. В соответствии с этой концепцией система приходит в равновесие не потому, что ее влекут силы , а потому, что это наиболее вероятное состояние системы, состоящей из множества частей, обладающих независимой динамикой. Система может быть и механической, управляемой законами динамики, но ее поведение, если она очень сложна, в среднем начинает определяться совсем другими законами, которые очень непохожи на динамические. Это различие в математическом описании изменения состояний системы совершенно фундаментально. Вместо движения во времени система просто изменяет свое положение в пространстве макроскопических параметров, оставаясь на некой поверхности, называемой уравнением состояния. Время не входит в число параметров, важных для описания системы. Уравнение состояния задается линейным соотношением между дифференциалами макроскопических переменных, или так назьгоае-мым пфаффовым уравнением 4.1 . Меняя один или несколько макропараметров системы, мы просто сдвигаем ее по поверхности уравнения состояния. По существу, с математической точки зрения , это изучение дифференциальной топологии поверхности, определяемой уравнением состояния. [c.32]

Идея первого способа состоит в опускании в расплав подпитывающего стержня (рис. 7.2). Процессом подпитки можно управлять, меняя площадь поперечного сечения подпитывающего стержня, его состав и механическую скорость его подачи. При необходимости в расплав может одновременно вводиться несколько стержней. Для того, чтобы получить математическое выражение, описывающее процесс выравнивания состава в данном методе, необходимо составить уравнение баланса примеси в расплаве и приравнять изменение концентрации примеси нулю. Из этого уравнения для любого варианта механической подпитки расплава опускающимся стержнем легко найти условия, обеспечивающие получение однородного кристалла. Так, для наиболее интересного с практической точки зрения режима получение легированных кристаллов рещение уравнения сводится к отысканию либо нужной концентрации подпитывающего стержня при заданных остальных параметрах, либо к отысканию его площади поперечного сечения. В частности, если сечения вытягиваемого кристалла и стержня подпитки равны, и равны их плотности, то состав подпитывающего стержня должен быть равен составу растущего кристалла. Этот способ выравнивания состава позволяет получать однородные монокристаллы с высоким выходом и большим диапазоном уровней легирования. Он используется и для выращивания монокристаллов твердых растворов (см. гл. 6), например, в таких системах как Ge-Si, Bi-Sb, InAs-GaAs и т.д. [c.272]

Рассмотрим полубесконечную пьезоэлектрическую анизотропную среду с нанесенным тонким пьезоэлектрическим слоем толщиной А, ограниченную бесконечной плоскостью с координатой хз = О (ось Хз перпендикулярна ограничивающей плоскости). Для расчета можно использовать ту же методику, что и в разд. 6.1 [106, 170, 183]. Однако в данном случае решение будет более сложным, так как существуют два волновых уравнения (6.12) одно — для подложки (решением этого уравнения являются четыре парциальные волны с постоянными затухания Ь, расположенными в нижней половине комплексной полуплоскости) второе — для слоя (его решение — восемь парциальных волн, поскольку ни одним значением Ь нельзя пренебречь — это связано с конечной толщиной слоя). В свободном пространстве, т. е. при Л з > А, потенциал можно представить выражением (6.6). Решение, полученное в виде двух линейных комбинаций парциальных волн (одна для слоя, вторая для подложки), должно удовлетворять двенадцати граничным условиям, которые можно записать следующим образом не-прерьшность упругих напряжений 7з, при дгз = О и дгз = А непрерывность механических смещений м, при хз = 0 непрерывность электрического смещения >3 при Л з = О и Хз = А и непрерывность потенциала <р при л з = 0. Решение можно получить путем последовательного подбора значений фазовой скорости, стремясь к нулевому значению детерминанта системы уравнений, как и при решении системы (6.15). Скорость зависит ие только от направления распространения, ио и от толщины слоя. Кроме того, заданной толщине могут соответствовать несколько различных решений, т. е. волн, имеющих разную скорость. [c.281]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...